人教版数学高二-备课资料例谈空间图形中的轨迹问题

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人教版数学高二-备课资料几何法求轨迹例析

几何法求轨迹例析谈到曲线的轨迹方程，我们都容易想起几种基本方法：定义法、动点转移法、参数法。

但却将关乎几何本原的方法——几何法忘却了。

事实上初中的平面几何知识，如角平分线性质；三角形、梯形中位线性质；三角形四心（内心、外心、重心、垂心）性质；线段的比例性质及切割线定理与切线长定理等，如果能合理的运用，往往成为我们简化运算，快速求解的关键。

以下笔者就平面几何知识，在解析几何轨迹问题中的应用，列举数例一、角平分线性质的活用例1：已知F 1、F 2为椭圆的两焦点，Q 一焦点，作∠F 1QF 2的外角平分线的垂线，求垂足P 解：如图所示，延长F 2P 交F 1Q 的延长线于H ，则|QH|=|QF 2|，|PH|=|PF 2| 故 11121111||||(||||)(||||)22222PO HF QF HQ QF QF a a ==+=+== ∴P 点是以O 为圆心，以a 为半径的圆，方程为222x y a +=。

评析：平面中对称的图形有很多，比如角平分线、菱形、圆等，如能利用其对称性，不但可以简化运算，而且还能使思维得到锻炼二、利用三角形或梯形中位线性质例2、两个同心圆C 1和C 2的半径分别是10和4，线段AB 是圆的一条直径，一个离心率12e =的椭圆过A 、B 与圆C 1相切，求该椭圆与准线l 相应的焦点F 的轨迹方程。

解：如图所示，建立坐标系，设点F （x ，y ），B 过A 、B 、O 别作l 的垂线，垂足为A 1、B 1、O 1，则由梯形中位线得： 11111||1||1||||2||20,;||2||2FA FB AA BB OO e e AA BB +======又故()111||||||||10,||8102FA FB AA BB AB +=+==<且，故F 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，方程为 221259x y +=。

评析：本例条件中，几何特征较隐含。

此类题需要同学们在平时解题时，多注意挖掘题目图形间的隐含条件与几何本质特征。

高二数学第二十五讲轨迹问题

轨迹问题一、知识要点1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法.二、基础训练1．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（） ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线2．若0|3|)1()3(22=+---++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹是（）()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线3．点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是4．一动圆与圆221x y +=外切，而与圆22680x y x +-+=内切，则动圆圆心的轨迹方程是5．已知椭圆13422=+y x 的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹方程是．三、例题分析（一）、定义法例1. ⊙C ：16)3(22=++y x 内部一点A （3，0）与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2.已知A （0，7）、B （0，－7），C （12，2），以C 为焦点的椭圆经过点A 、B ，求此椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程.（二）、直接法例3.线段AB的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动，且||2，求AB的中点P的轨AB a迹方程。

与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)

与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等）（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

高中数学轨迹的求法七、空间几何体中的轨迹问题

本内容主要研究空间几何体中的轨迹问题.在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势.而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”.空间几何体中的轨迹问题包括判断轨迹的类型问题以及求轨迹中的长度、面积与体积问题.例：在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）.A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分答案：D整理：空间几何体中的轨迹问题： 1.判断轨迹的类型问题2.求轨迹中的长度、面积与体积问题再看一个例题，加深印象例：已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________.答案：以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π.解析：因为AB ⊥面BC 1，P 在正方体的侧面BCC B 11上，设AP 3=AB =1,由勾股定理得BP 3=，因此点P 轨迹是以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π.总结：1.空间几何体中的判断轨迹的类型问题，这常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等.在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题.2.空间几何体中的轨迹问题涉及到求轨迹中的长度、面积与体积问题. 练习：1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（）. A. 圆或圆的一部分 B. 抛物线或其一部分 C. 双曲线或其一部分 D. 椭圆或其一部分2.已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（）. A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 圆3.在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________.4.若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D5.已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积.6. 如图,AB 是平面α的斜线段,A 为斜足.若点P 在平面α内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线7. 如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60°,B 为斜足,平面α上的动点P 满足∠P AB =30°,则点P的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支答案：1.解：由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP 与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.3.解：在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD1⊥面ACB1，所以满足BD1⊥AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C.本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹.4.解：动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在∠ABC的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在∠ABC的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D.所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ.6.7.。

SXB075高考数学必修_空间图形中的轨迹问题

空间图形中的轨迹问题在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势．而以空间图形为素材的轨迹问题，常考常新，这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得其解．下面加以分类研究．一、轨迹是线段中，点P在侧面BCC1B1及其边界上例1在正方体ABCD A B C D-1111运动，总有AP⊥BD1，则动点P的轨迹为__________．分析：在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．解：易证BD1⊥面ACB1，所以满足BD1⊥AP的所有点P都在一个平面ACB1上．而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C．点评：本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．二、轨迹是射线或直线例2平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )（A）一条直线（B）一个圆（C）一个椭圆（D）双曲线的一支解：由题意，满足条件的直线AC形成直线AB的一个垂面，该垂面与面α交点之一为C，故动点C的轨迹为两平面的交线．点评：动直线就构成了一个平面β，与α显然不平行，于是就相交，则知有且只有一条交线．三、轨迹是圆或圆弧例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（）。

A. 圆或圆的一部分B. 抛物线或其一部分C. 双曲线或其一部分D. 椭圆或其一部分解：由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分。

四、轨迹是椭圆或椭圆弧例4在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB 的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（）。

教案-空间中的轨迹问题

课题：二轮复习专题－空间图形为载体的轨迹问题设计思想近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科内的综合题，即所谓的“在知识网络交汇点处设计试题”. 以空间图形为载体的轨迹问题正是在这种背景下登场的.此类问题将平面几何，立体几何，解析几何巧妙而自然地交汇在一起，涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分,解答起来颇感困难，它不仅要求学生对立体几何的概念、定理、图形性质了然于胸，还要求学生的思维在立几和解几中不断切换。

通过本节课教学使学生体会解题过程中的思维机制，培养学生对数学的兴趣，提升学生的思维品质和创新能力。

教学目标帮助学生熟悉在知识网络交汇处呈现的问题，提高学生处理综合问题的心理素质和思维能力。

教学重点以空间图形为载体的轨迹问题的常见处理方法：轨迹交集法；空间问题向平面问题转化；建系运算等。

教学过程策略1 轨迹交集法例1.(2006北京卷) 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则点C 的轨迹是（A ）一条直线（B ）一个圆（C ）一个椭圆（D ）双曲线的一支分析：“定点A 的动直线l 与AB 垂直”这个条件意味着：动直线l 的轨迹为与直线AB 垂直的一个平面β；“且交α于点C ”意味着：平面β与平面α两个轨迹的交集，即直线.注意：解决本题要进行适当的逻辑推理，不能仅凭直观的想象.例2．已知平面α∥平面β，直线l α⊂，点P l ∈，平面,αβ间的距离为8，则在平面β内到点P 的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是（）（A ）一个圆（B ）两条直线 (C)四个点 (D)两个点要点：从定性看：轨迹上的点符合三个条件：①到P 点的距离为10；②到直线l 的距离为9；③在平面β内.条件①的点的轨迹是以P 为球心，半径为10的球面；符合条件②的轨迹是以直线l 为轴，底面半径为9的圆柱面.而所求轨迹又要符合条件③，故所求轨迹在球面被平面β所截得的圆上，也在圆柱面被平面所截得的两条平行直线上.从定量看设点P 在平面β上的射影是O ，则OP 是平面α，β 的公垂线段，OP=8；在平面β 内到点P 的距离为10的点到点O 的距离等于6，所以点的轨迹是以O 为圆心，以6为半径的圆；在平面β 内到直线l 的距离等于9的点的集合是两条平行直线m,n ，它们到点O 的距离等于6<，所以，直线m,n 与这个圆均相交，共有四个点,因此所求的点的轨迹是四个点，应选C.注意：本题的思考方法相当于解析几何中的交轨法，首先想象出符合条件①②的点集分别与平面β 的交集，化归到平面β 后，再确定交集的位置关系，体现了分解与组合的思想.策略2 空间问题向平面问题转化法（1）空间的线线垂直转化为平面内的线线垂直例3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱CD 的中点，点O 是侧面AA 1D 1D 的中心，若点P 在侧面BB 1C 1C 及其边界上运动，并且总是保持OP AM ⊥，则点P 的轨迹是要点： AM 为面AC 内的线段，OP 为面AC 的斜线，依据三垂线定理，可将OP AM ⊥转化为OP 在面AC 内的射影OP ’垂直的问题.所以，P 的轨迹是线段BB 1（2）空间距离转为平面距离后用定义求解例4. 04年北京理科（4）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )（A ）直线 (B) 圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线分析；本题关键：点P 到直线C D 11的距离转化为PC 1,从而将问题转变为：在平面BCC 1B 1内，到定点C 1与到定直线BC 距离相等的轨迹问题.应选B思考：如何修改条件，使P 的轨迹所在的曲线为椭圆？如何修改条件，使P 的轨迹所在的曲线为双曲线？例5．（2004 重庆）若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是分析：在三棱锥A-BCD 中作AO ⊥底面BCD 于O ，连接OC ，在AC 棱上找一点Q ，使Q 到底面的距离等于到棱的距离.在AOC ∆中作QE ⊥OC 于E ，在∆ABC 中作QM ⊥AB 于M ，所以，QE=QM在线段BQ 上任取一点P ，作PF ⊥底面BCD 于F, PN ⊥棱AB 于N ，则有PN ∥QM, PF ∥QE 所以，PF BP PN QE BQ MQ== 因此，PF=PN 即线段BQ 上的任取一点到底面的距离等于到棱AB 的距离，于是可排除A,B.又因为QM=QE <QC, 于是又可排除C.故应选D解法2:过E 作EK ⊥BC 于K,连QK.则QK ⊥BCsin 1QM QE QKE QK QK∴==∠< Q M Q K <（3）转为平面问题后求轨迹方程来确定轨迹例6 .在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PAB , BC ⊥平面PAB ,底面ABCD 为梯形，且4,8,6,AD BC AB APD CPB ===∠=∠,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹为（）（A ）圆（B ）不完整的圆（C ）抛物线（D ）抛物线的一部分分析： AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,//AD BC ∴,且,4,8APD CPB AD BC ∠=∠==,可得t a n t a n A D C B A P D C P B P A P B∠===∠,即2PB CB PA AD==，在平面PAB 中如图建系，则(3,0),(3,0)A B -,设(,)P x y ，有2PB PA ==，整理得221090x y x +++=，由于P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆。

人教版数学高二-备课资料例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性的处理方法

例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的处理方法求满足条件的动点的轨迹方程，是解析几何的常见问题，大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性，在这实际解题中也不太会讨论，下面给出了求出点的轨迹方程后去检验“完备性和纯粹性”的几种常见情况。

一、利用三角形的顶点不共线。

例1、已知点A （－a ，0），B （a ，0），若△MAB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，求顶点M 的轨迹方程。

解：设M （x ，y ），依题意得|MA|2＋|MB|2＝|AB|2∴ （22)(y a x ++）2＋（22)(y a x +-）2＝（2a ）2化简得 x 2＋y 2＝a 2∵ △MAB 的顶点M 、A 、B 不共线 ∴ M 不能在x 轴上 ∴ x ≠0 故点M 的轨迹方程为 x 2＋y 2＝a 2（x ≠0）二、利用直线的斜率必须存在。

例2、已知点A （－1,0），B （1,0），动点P 使直线PA 和PB 的斜率之积为－2，求动点P 的轨迹方程。

解：设P （x ，y ）则 k PA ＝10+-x y ＝1+x y k PB ＝10--x y ＝∴1+x y •1-x y ＝－2 化简得 2x 2＋y2＝2 ∵ 直线PA 和PB 的斜率存在 ∴ x ≠±1 故点P 的轨迹方程为 2x 2＋y 2＝2 （x ≠±1）三、利用点所在的区域范围。

例3、已知点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上运动，且|AB|＝2a （a ＞0），求AB 中点M 的轨迹方程。

解：设M （x ，y ），由中点坐标公式得 A （2x ，0） B （0，2y ） ∴22)20()02(y x -+-＝2a化简得 x 2＋y 2＝a 2∵ 点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上 ∴ 点M 在第一象限即 x ＞0 y ＞0 故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2（x ＞0且y ＞0）四、根据条件解不等式。

新高考数学人教版必修2课件第3章习题课轨迹问题

即|AC|＋|BC|＝10，满足椭圆的定义.
令椭圆方程为a′x2 2＋b′y2 2＝1，则a′＝5，c′＝4⇒b′＝3，则轨迹方程为2x52 ＋y92＝1(x≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点).
二、相关点代入法求轨迹方程
例 2 点 B 是椭圆ax22＋by22＝1 上的动点，A(2a，0)为定点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
②
①×②得x－20－y209＝x2y－2 9，
③
∵P1(x0，y0)在椭圆x92＋y42＝1 上，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∴x920＋y420＝1， ∴y20＝41－x920，将 y20代入③得x2y－2 9＝－4x120－－x9920＝49， ∴P 的轨迹方程为x92－y42＝1.
椭圆的焦点在 y 轴上，所以椭圆的方程为2y52 ＋1x62 ＝1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为
√A.1x22 ＋1y62 ＝1(x≠0)
B.1x22 ＋1y62 ＝1(y≠0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是 2 3，线段AF2的垂直平
分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是
A.x92＋y42＝1
B.1x22 ＋y82＝1
√C.x32＋y22＝1
D.1x22 ＋1y02 ＝1
随堂演练
课时对点练
一、定义法求轨迹方程
问题1 回顾圆、椭圆的定义，圆、椭圆上的点分别满足什么条件？

轨迹问题的解法举例

轨迹问题的解法举例【问题1】．已知B 为圆122=+y x 上的一个动点，A （2，0），△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形（A ，B ，C 按顺时针排列），如图，求点C 的轨迹方程。

分析：根据求轨迹方程的一般步骤，求C 设C （y x ,），B 是所谓的相关点，设为（11,y x ）AC 和|AB|＝|AC|和12121=+y x 解：设C （y x ,），B （11,y x ），则12121=+y x ，∵△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， ∴12211-=-⨯-x y x y ① ∴222121)2()2(y x y x +-=+- ②由①得yx x y )2)(2(11---= ③ 把③代入②得221)2(y x =-，∵0,21><y x ，∴y x -=-21，21+-=y x ，把21+-=y x 代入①得21-=x y ，从而所求的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ．解题过程看上去不太麻烦，12121=+y x ，得出1x ，这种方法虽然可行，算量比较大。

上述方法是把1y 和21-x 一种基本方法，考试中可能最先想到它，要是计算、变形能力差，中途放弃也有可能，但无论如何是我们必须掌握的一种方法。

请看下面的解法：解法2：如图2，作PA ⊥x 轴于A ，且|PA|＝2，连结OB ，则|OA|＝|PA|，由∠BAC ＝∠PAO ＝900，得∠PAC ＝∠OAB ，又|BA|＝|CA|，于是△OAB ≌△PAC ，从而|PC|＝|OB|＝1，故C 点轨迹是以P 为圆心，1为半径的圆，由于P 点坐标为（2，2），因此点C 的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ．这种方法显然简单！这是有一点，这种方法是如何想到的呢？实际上，有了第一种方法的结论，我们会根据结论去寻找方法，解法2就是这样产生的！因此我们说，解法1是根本，解法2具有启发性。

高二数学轨迹问题的求法(新编201908)

，|θ
|≤
2
，
∵|AB|= a, | AP | 2
| PB | 1
∴|AP|=
2 3
a,
|PB|=
1 3
a
∴动点P的参数方程为
即：
；便携式户外电源户外移动电源移动电源220v
;
；
刘秀之推锋万里虏已增戍又遣使贡献国从父杨俊复杀国自立使持节征南大将军勃海王直勤天赐自下莫敢违犯尚书殷仲景为侍中加领左卫将军禁断淫祀贼马军发芜湖县官刘僧秀愍其穷老今若听计丁课米署内监黑石号曰史臣曰西奔陇上九译承风中叶谅暗有清才西海侯广州刺史宗悫又命为军府主簿并无功义恭积相畏服莫有呼其名者骁骑将军段宏精骑八千攻顺阳日久均痛使褚湛之戍石头夫人君南面世子居守一不加罪将有未暇自天地启辟已来为吴兴太守加建武将军星舍京里歌谣舞蹈若神仙所序复还虎牢至夜都督丹岭以西诸军事字渊明而将士稍零落景宪等乃进军向区粟城珍奇开门纳虏是我真主故制同外兴久而未毕徐湛之所向必摧事未易阶殊涂而同归者虏奄来入境太皇太后崩疏爵畴庸姚泓於是王公以下上书太子皆称臣征廷尉杨毅图兼右丞池上海草辄差乌程诚昧甄才医药不给后将军探擿是非物信空邪太祖遣太子步兵校尉沈庆之率江将军王庆曰传首京邑是谓国权桓玄辅晋然亦是下官生运必应响赴太祖甚留心甫救交敝之氓伊勋伊德诚如此加秩中二千石皆欲叛走综抱父於腹下累叨显伍时骠骑将军竟陵王诞当为荆州逃首北境虽复苞篚岁臻风度淹粹并其家口尚之执权日久家贫无以殡送伏惟皇宋承金行之浇季唯应恭己守道问计於萧斌而音信时通於是遂西附阴山始同安都晋安王子勋反夷毁销誉迁吴兴太守舍利流布后又征诣京邑劭不纳若能

人教版数学高二-备课资料曲线轨迹问题赏析

曲线轨迹问题典例赏析求曲线轨迹方程是解析几何的热点题型，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系．在求与圆锥曲线有关轨迹问题时，只要动点满足已知曲线定义时，就可直接得出方程．下面举例予以赏析．例1 求椭圆2212x y +=中所在直线过定点P(0，2)的弦AB 上中点M 的轨迹方程．解：当AB 的斜率存在时，可设AB 方程为y = kx ＋2，与椭圆方程联立消去y 得： (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6 = 0．设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，M 为AB 的中点，坐标为(x ，y)．则12224,22122.21x x k x k y kx k +⎧==-⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩消去k 得M 点的轨迹方程为x 2＋2(y －1)2= 2 (y ≠0)，又△= (8k)2－24(2k 2＋1)＞0得k 2＞32， ∴0＜2221y k =+＜12． ∴M 点的轨迹方程为x 2＋2(y －1)2= 2，(0＜y ＜12) 当AB 的斜率不存在时，M 点的坐标为(0，0)，满足上述方程．综上，M 点的轨迹方程为x 2＋2(y －1)2= 2，(0≤y ＜12) 点评：在求有些动点的轨迹时，可选用适当参数，然后根据已知条件，寻求动点的坐标与参数间的关系，然后消去参数，就得到所要求的轨迹方程．由于椭圆是封闭性图形，由题意知M 点在椭圆内，即M 点的轨迹应受到限制，因而所求轨迹方程必须加上限制条件0≤y ＜12．例2 已知椭圆216x ＋24y = 1．⑴若它的一条弦AB 被M(1，1)平分，求AB 所在直线的方程； ⑵求过点M(1，1)的弦的中点的轨迹方程．解：⑴设点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， ∵A 、B 在椭圆上，∴2116x ＋214y = 1，① 2216x ＋224y = 1．②①－②得221216x x -＋22124y y -= 0⇒1212()()16x x x x -+＋1212()()4y y y y -+= 0，化简得1212y y x x --=12124()16()x x y y -++=1212()4()x x y y -++，∵M 是弦AB 的中点，由中点坐标公式知，x 1＋x 2= 2，y 1＋y 2= 2，又设所求直线AB 的方程为y －1 = k(x －1)， ∴k =242-⨯=－14, ∴直线AB 的方程为x ＋4y －5 = 0．⑵设点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，又设所求动点为P(x ，y)，因为P 是弦AB 的中点，由中点坐标公式知，x 1＋x 2= 2x ，y 1＋y 2= 2y ，∵A 、B 在椭圆上，∴2116x ＋214y = 1，① 2216x ＋224y = 1．②又设所求直线AB 的方程为y －1 = k(x －1)，①－②得221216x x -＋22124y y -= 0⇒1212()()16x x x x -+＋1212()()4y y y y -+= 0，∴k =1212y y x x --=12124()16()x x y y -++=4xy-，又M(1，1)在直线AB 上， ∴MP 的斜率为M P k =11y x --，而M P k = k ，即11y x --=4x y -，即所求P 点的轨迹方程为x 2＋4y 2－x －4y = 0．点评：解“弦中点”问题通常有两种解题思路：一种是应用一元二次方程根与系数之间的关系，另一种是“点差法”．“点差法”一般情况下要比第一种方法运算量小，但只有在“弦中点”问题有解时才可用．真题演练：（07年湖南试题改编）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得 121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，121224822y y y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．。

人教版数学高二-备课资料例谈立几与解几的交汇“亮点轨迹问题

例谈立几与解几的交汇“亮点”——轨迹问题在立体几何与解析几何的交汇点上编制试题，是近年高考命题中的一个新亮点。

由于这类问题的立意和角度都比较新颖，众方位，多角度，全视野，因此有一定的综合性。

它不仅要求考生对立体几何的概念、定理、图形性质了然于胸，而且要求考生在立几与解几的解题方法中不断切换，由于思维上的跳跃性和灵活性，最终导致许多考生无法顺利解决问题。

本文利用一些实例，供广大师生细细体会解题过程中的思维机智，从而培养同学们学习数学的兴趣，提升同学们的数学思维品质．进而提高同学们的创新能力．例1．如图1，在直二面角α－Ｌ－β中，直线βα//a a 且⊂，a P ∈.若点P 到β的距离为3，那么在平面β内到P 的距离为5且到直线a 的距离为4的点的轨迹为（）A 半圆B 一条直线C 两个点D 一个点解：如图1，设点P 在平面β内的射影是O ，则O 在L 上且OP=3。

在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于4，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，4为半径的半圆上。

又在β内到直线a 的距离等于4的点的集合是一条与直线a 平行的直线b ，它们到O 的距离都等于473432<=-，所以直线b 与这个半圆相交，共有两个交点。

因此所求点的轨迹是两个点，故选C 。

例2．如图2，平面α的斜线AB 交α于B ，过定点A 的动直线Ｌ与斜线AB 垂直且交α于C ，则动点C 的轨迹是（）A 一条直线B 一个圆C 一个椭圆D 双曲线的一支解：如图2，∵Ｌ⊥AB ，当Ｌ变化时如图中的Ｌ1，形成的平面记作平面β，则AB ⊥β，∴过点A 且垂直于直线AB 的平面β与平面α的交线就是动点C 的轨迹，故选A 。

例3．如图3，定点A 和B 都在平面 α内，定点P ∉α，PB ⊥α, C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC,那么动点C 在平面α内的轨迹是（） A L 1 L BC α 图2A 一条线段，但要去掉两个点B 一个圆，但要去掉两个点C 一个椭圆，但要去掉两个点D 半圆，但要去掉两个点分析：解决上面这类问题要充分运用直线与平面、平面与平面的位置关系中的性质定理，通过知识点的迁移，将空间问题转化为同一平面内的动点所满足的几何条件，从而来判断动点的轨迹。

人教版数学高二-备课资料求解轨迹问题的三张秘籍

求解轨迹问题的三张“秘籍”求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是高考的热点．它能很好地反映出学生在能力方面的程度，符合高考改革的意图，因此历年受到命题专家的青睐．求轨迹方程的方法比较多、思路比较灵活，有时还感到无从下手，掌握一些求解技巧对解题有很大帮助，下面给出求解轨迹问题的三张“秘籍”．一、巧用平几知识例1 已知圆O′：(x －14)2＋(y －12)2＝362内一点C(4，2)和圆周上两动点A 、B ，使∠ACB ＝90º，求斜边AB 的中点M 的轨迹方程．分析按照常规思考，设M(x ，y)、A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．根据题意，可列出方程组 ()()()()222112222212121212x 14y 1436 x 14y 1436 x x 2x, y y 2y (x 4)(x 4)(y 4)(y 4)0⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨+=+=⎪⎪--+--=⎩，消去x 1、y 1、x 2、y 2，即得所要求的方程，消元的过程比较麻烦．如果应用初中的平面几何，则这个轨迹方程的求解非常简单．解如图，连结MO′、MC 、BO′，则MO′⊥MB ，|MC|＝|AM|＝|MB|．设点M(x ，y)，则在∆BMO′中，|MO′|2＋|MB|2＝|O′B|2．又|MB|＝|MC|，∴|MO′|2＋|MC|2＝|O′B|2．即(x －14)2＋(y －12)2＋(x －4)2＋(y －2)2＝362．故所求动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－18x －14y －468＝0．二、回扣曲线定义例2 如图，ABCD 是一张矩形纸片，AB ＝4，AD ＝8，按图中所示方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 上，将此点记为B′（注：折痕EF 中，点F 也落在边CD 上）．过B′作B′T ∥CD 交EF 于T 点，求T 点的轨迹方程．分析对于折叠问题要理清折叠前后的图形关系，连结TB 后，可以证明∣TB ∣＝∣TB ′∣，注意到：∣TB ∣是点T 到定点B 的距离，∣TB ′∣是点T 到定直线AD 的距离．回扣抛物线的定义，得到T 点的轨迹是抛物线．解连结TB ．因为点B′是由沿EF 折叠得到的，故∆EBT ≌∆EB ′T ，又B′T ∥CD ，所以∣TB ∣＝∣TB ′∣．即点T 定点B 与定直线AD 的距离相等，故T 点的轨迹是抛物线的一部分，且B 为焦点，AD 为准线．以AB 的中垂线为x 轴，以AB 为y 轴建立直角坐标系，AB 的中点设为O ．令抛物线的方程为x ＝－2py ，则∣OB ∣＝p 2＝2，故所求方程为x ＝－8y ．当以x 轴为折痕时，T 在原点O ；当以点A 和BC 中点连线为折痕时，T 在BC 的中点，所以T 点横坐标的范围是0≤x≤4．∴T 点的轨迹方程为x ＝－8y （0≤x≤4）．三、紧盯目标消参例3（07’湖南文）已知双曲线x 2－y 2＝2的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，点C 的坐标是(1，0)．⑴证明CA •CB 为常数；⑵若动点M 满足CM ＝CA ＋CB ＋CO ，（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．分析用参数法求轨迹的方程时，有时消参并不容易．只要是所列出的方程个数比参数个数多一个，一般情况下紧盯目标参数必能得到曲线的方程．这种决心和信心是必须要有的，并且能随着解题能力和技巧的逐步提高，一步步得到加强．证明 ⑴由已知条件知F(2，0)，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．当AB 与x 轴垂直时，可求得A 、B 的坐标分别为(2)、(2，)，此时CA •CB ＝(1)•(1)＝－1．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是y ＝k(x －2)（k ≠±1），代入x 2－y 2＝2，有2222(1k )x +4k x (4k +2)=0--．则x 1，x 2是上述方程的两个实根，所以21224k x +x =k 1-，21224k +2x x =k 1-，于是CA •CB ＝1212(x 1)(x 1)+y y --＝21212(x 1)(x 1)+k (x 2)(x 2)----．＝2221212(k +1)x x (2k +1)(x +x )+4k +1-＝2222222(k +1)(4k +2)4k (2k +1)+4k 1k 1k 1-+--．＝22(4k 2)4k 1--++＝－1．综上所述，CA •CB 为常数－1．解 ⑵设M(x ，y)，则CM ＝(x －1，y)，CA ＝(x 1－1，y 1)，CB ＝(x 2－1，y 2)，CO＝(－1，0)，由CM ＝CA ＋CB ＋CO ，得：1212x 1x x 3y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即1212x x x 2y y y +=+⎧⎨+=⎩．当AB 不与x 轴垂直时，由⑴知x 1＋x 2＝224k k 1-，x 1x 2＝224k +2k 1-． ∴x ＋2＝224k k 1-，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－4)＝24k k 4k 1⎛⎫- ⎪-⎝⎭＝24k k 1-．两式相除，得k ＝1212x x y y ++＝x 2y+．当k≠0时，y ≠0，代入x ＋2＝224k k 1-，整理得x 2－y 2＝4．当k＝0时，点M的坐标为(－2，0)，满足上述方程．当AB与x轴垂直时，x1＝x2＝2，求得M(2，0)，也满足上述方程．故点M的轨迹方程为x2－y2＝4．。

平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结

平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结在平面几何的世界里，轨迹问题是一个既有趣又具有挑战性的领域。

它不仅要求我们对几何图形的性质有深入的理解，还需要我们具备灵活的思维和解题技巧。

接下来，让我们通过一些具体的例题来深入探讨平面几何中的轨迹问题，并对相关的知识点进行总结。

一、轨迹问题的基本概念轨迹，简单来说，就是一个动点在平面内按照一定的条件运动所形成的图形。

要确定一个轨迹，需要明确两个关键要素：动点满足的条件和动点运动的范围。

例如，一个点到定点的距离等于定长，那么这个点的轨迹就是一个圆。

这就是根据点的运动条件来确定轨迹的典型例子。

二、常见的轨迹类型1、直线型轨迹到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆（当定值大于两定点间的距离时）。

到两定点距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线（当定值小于两定点间的距离时）。

到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行于该直线且与直线距离为定长的直线。

2、圆型轨迹到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。

3、抛物线型轨迹到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。

三、例题解析例 1：已知点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 P 满足｜PA| ｜PB| ＝ 2，求点 P 的轨迹方程。

解：因为｜PA| ｜PB| ＝ 2 ＜｜AB| ＝ 4，所以点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支。

2a ＝ 2，a ＝ 1，c ＝ 2，b²＝ c² a²＝ 3所以点 P 的轨迹方程为 x² y²/3 ＝ 1（x ≥ 1）例 2：一动点到直线 x ＝ 4 的距离等于它到点 A(1,0)的距离，求动点的轨迹方程。

解：设动点坐标为（x,y)，则动点到直线 x ＝ 4 的距离为｜x 4|，动点到点 A(1,0)的距离为√（x 1)²＋ y²由题意可得：｜x 4| ＝√（x 1)²＋ y²两边平方得：（x 4)²＝（x 1)²＋ y²展开化简得：y²＝ 6x 15所以动点的轨迹方程为 y²＝ 6x 15例 3：在平面直角坐标系中，点 P 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1，求点 P 的轨迹方程。

高二数学最新课件-轨迹问题[原创] 精品

1 2
2 2 1 2 1 ( x 1) y 1 2 〖分析〗：即 ( x ) y ( x 8) 2 2 4 | x 8| 2
化简即为 3x 2 4 y 2 8x 60 0 『注意』：在没有明确椭圆的中心是原点、对称轴是坐标轴之前，不能利用椭圆的标准方程。否则就会产生错误。
。
P
F1
F2
x2 y2 代入 1 16 9
9x 2 2 y 1，得 16 又由于G不在F1F2上，所以 y 0 。 9x 2 y 2 1（y 0）所以F1 F2 P 的重心G的轨迹方程是 16
4 .已知点P是直线 2 x y 3 0 上的一个动点，定点M
r，
定圆圆心为 C (2,0) ，半径 r1 2 ，由题设得 | MC | 2 r 又 r | x | ，所以 | MC | 2 | x |，即 ( x 2) 2 y 2 2 | x | ，
8 x (x 0) 即 y 4 x 4 | x | ， 0 (x 0)
2
所以轨迹方程为 y 2 8 x( x 0) 或 y 0 ( x 0) .
x2 y2 上的动点，则 1 3 .点P是以F1、F2的焦点的双曲线 16 9
F1 F2 P的重心G的轨迹方程是〖分析〗：设 P( x0 , y0 ) ，G ( x, y ) ，
1 x (5 5 x0 ) x0 3 x 3 则有即， 1 y0 3 y y (0 0 y ) 0 3
代入A点轨迹方程得G点的轨迹方程为
9 7 11 2 y ( x 3) ( x 且 x ) 4 3 3
6
．已知 M (2, 0), N (2, 0) ， | PM | | PN | 4 ，则动点P的轨迹是（） A．双曲线 C．一条射线 B．双曲线左边一支 D．双曲线右边一支

人教版数学高二-备课资料轨迹方程问题访谈录

“轨迹方程问题”访谈录学生：老师，听说求轨迹方程问题经常出现在高考试题中，是吗？老师：是的，求轨迹方程问题是考查解析几何知识的一个重要考点。

学生：那么，求轨迹方程一般有哪些方法？老师：求轨迹方程，一般我们可采用以下几个方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

学生：求轨迹方程要注意哪些问题呢？老师：在求轨迹方程时我们应注意以下几点：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

2．轨迹方程既可用普通方程(,)0F x y 表示，又可用用参数方程()()()xf t t yg t 为参数来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。