初高中数学衔接课程平面几何知识补充

高中所需平面几何知识补充

1. 合比性质与等比性质

1. 已知

83x y y +=，则x

y

=________，y x y -=________。

2. 已知

57a c e b d f ===(b+d+f ≠0).b+2d-3f ≠0。则a c e b d f ++++=_____，2323a c e

b d f +-+-=____。 3. 已知x y y z x z

k z x y

+++===，则k=_________。

2. 三角形内角与外交平分线定理

1）内角平分线定理

已知：如图所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC;

思路1：过C 作角平分线AD 的平行线。

证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 的延长线交于E 。 则： BA/AE=BD/DC; ∵ ∠BAD=∠AEC ；（两线平行，同位角相等） ∠CAD=∠ACE ；（两线平行，内错角相等） ∠BAD=∠CAD ；（已知） ∴ ∠AEC=∠ACE ；（等量代换） ∴ AE=AC ；

∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-4乙所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC

证明2：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ； ∵ ∠BAD=∠CAD ；（已知） ∴ DE=DF ；

∵ BA/AC=S △BAD/S △DAC ； （等高时，三角形面积之比等于底之比）

BD/DC=S △BAD/S △ABCDAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比） ∴ BA/AC=BD/DC

ABC AD BAC AB BD

AC CD

∠=在中，若为的平分线，则：

结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。

2）*外角平分线定理

已知：如图所示，AD 是△ABC 中∠BAC 的外角∠CAF 的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC

思路1：作角平分线AD 的平行线。

证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 交于E 。则： BA/AE=BD/DC ∵ ∠DAF=∠CEA ；（两线平行，同位角相等） ∠DAC=∠ECA ；（两线平行，内错角相等） ∠DAF=∠DAC ；（已知） ∴ ∠CEA=∠ECA ；（等量代换） ∴ AE=AC ；

∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线

段和相邻的两边应成比例

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-5乙所示，AD 是△ABC 内角∠BAC 的外角∠CAF 的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC.

证明2：过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ∥⊥BA 的延长线于F ； ∵ ∠DAC=∠DAF ；（已知） ∴ DE=DF ；

∵ BA/AC=S △BAD/△DAC ；（等高时，三角形面积之比等于底之比）

BD/DC=S △BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比） ∴ BA/AC=BD/DC

结论2：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看△BAD 和△DAC 的面积时，先以BA 和AC 作底，而以DF 、DE 为等高。然后以BD 和DC 为底，而高是同高

ABC AD A CAE ∠∠在中，为的外角的平分线，

AB BD

AC CD

=则：.ABC AD ABC AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8AB=_______∠2在中，是的平分线，，则3.,90,12,5,,1,,____________

3

Rt ABC B AB BC DE AC E AD D AB DE AC ∠=︒==⊥==中于在边上且则

3．如图，在△ABC 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.

2. 圆心角与圆周角

圆心角

如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

B

A

O

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

B '

B

A

A '

O

AB =''A B ，AB=A ′B ′

理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合

∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ，AB=A ′B ′

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动

图3.1-8

手作一作．

（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．

B

'

A A '

(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB =''A B ，AB=A /B /．

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等．

1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•

为什么？∠AOB 与∠COD 呢？

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