材力题解第章

材力题解第章公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]9-2. 计算图示各杆或桁架的变形能。

解：（b ） 方法1：（1）查表得C 截面的转角EIMll l l EIl M θc 9)93943(6222-=⨯-⨯-= （2）由功能原理EIlM θM W U c 18212=== 方法2（1）列出梁的弯矩方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=Mx l M x M x lM x M 2211)()( （2）求弯曲变形能bcEIlMEIlMEIlMdxEIxMdxEIxMU lll1816281622)(2)(2223/2223/0112=+=+=⎰⎰（c）（1）列出梁的弯矩方程θPRθM sin)(-=（2）求弯曲变形能EIRPπdsEIθPRdsEIθMUπl82)sin(2)(322/22=-==⎰⎰9-3. 传动轴的抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。

皮带拉力T+t=P，D=2d。

试计算轴的变形能。

设a=l/4。

解：（1）将外力向轴线简化M(（2）扭转变形能CD段发生扭转变形，扭矩为：Pd/2ppGIldPGIlaPdU3232)2()21(2221=+=（3）水平方向弯曲变形能EIlPEIPlPδPUDH964821213232=⨯==（4）垂直方向弯曲变形能EIlPaEIlPaEIPaPδtTUCV3845)3)(3(21)(213233=⨯+⨯=+=（5）轴的变形能EIlPGIldPUUUUp38493233222321+=++=9-4. 试用互等定理求跨度中点C的挠度，设EI=常量。

解：（a）（1）将P力移到C截面处，如下图aD Bb（2）由位移互等定理EIPal a EI Pl a θδδf B c 1616221221=⨯=⨯=== 方向向上 （b ）（1）将P 力移到C 截面处，如下图（2）由位移互等定理EIPl l EI l P EI l P l θf δδf c c c 4852)2)2((3)2(23231221-=⨯-+-=⨯+===方向向下9-8. 试求图示各梁截面B 的挠度和转角。

解：（1）在B 处作用虚加力P f 和M f ，并列出弯矩方程BaB2M fff ff M x a l P qx x M M x P x M -+---=--=)(21)()(222211 （2）上式分别对P f 和M f 求偏导数1)( 1)()()( )(212211-=∂∂-=∂∂+--=∂∂-=∂∂ff f f M x M M x M x a l P x M x P x M（3）用卡氏定理求挠度和转角⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+---+---=∂∂+∂∂=∂∂=+---+---+---=∂∂+∂∂=∂∂=--af f al f f l fl f f B af f al f f l fl f f B dx EIM x a l P qx dx EIM x P dx M x M EI x M dx M x M EI x M M Uθdx x a l EIM x a l P qx dx x EIM x P dx P x M EI x M dx P x M EI x M P U f 02222112222111102222211122221111)1()(21)1()()()()()()]([)(21)()()()()()(（4）令上两式中的P f 和M f 为零EIqa dx EIqx θa l EIqa dx x a l EI qx f aB aB 6)1(210)4(24)]([21030222302222=--+=-=+---+=⎰⎰挠度和转角的方向与虚加力的方向一致9-11. 图示刚架，已知AC 和CD 两部分的I=30×10-6m 4，E=200GPa 。

试求截面D 的水平位移和转角，若P=10kN ，l =1m 。

解：（1）在D 处作用虚加力M f ，并列出弯矩方程3213121112)(2)()(x P M l P x M M l P x M M x P x M f ff ---=--=--=PlP 1=P（2）上式分别对P 1和M f 求偏导数1)( 1)( 1)(2)( 2)( )(3211312111-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂ff f M x M M x M M x M l P x M l P x M x P x M（3）用卡氏定理求挠度和转角⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+---+---=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=----+---+---=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=l f lflf f l f l fl f f B l f lflf l l lDHdx EIx P M l P dx EIM l P dx EIM x P dx M x M EI x M dx M x M EI x M dx M x M EI x M M Uθdx l EIx P M l P dx l EIM l P dx x EI M x P dx P x M EI x M dx P x M EI x M dx P x M EI x M P U δ03321211201333322221111033210211201113213322122111111)1(2)1(2)1()()()()()()()()2(2)2(2)()()()()()()()(（4）令上两式中的M f 为零rad EIPl dx EI x P l P dx EI l P dx EI x P θmm EIPl dx l EI x P l P dx l EI l P dx x EI x P δl l l f B l l lDH 0117.07)1(2)1(2)1()(1.21338)2(2)2(2)()(2033210211201303321021120111==---+--+--===---+--+--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰挠度和转角的方向与P 1和虚加力的方向一致9-13. 图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷P 作用下，试求节点B 与D解：（1）在B 处作用虚加力P f ，并求出约束反力f D A f AP P N P Y P P X 2222+==+=（2）求各杆的轴力PPX A0 22222 2254321=+=--=-=-=N P P N P P N P N P N f ff f（3）上式分别对P f 求偏导数0 1 22 22 2254321=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂ff f f f P N P NP N P N P N （4）用卡氏定理求B 点沿BD 方向的位移12)2()22()22()22(22)22(2251+⋅⋅++-⋅--+-⋅-+-⋅-=∂∂=∂∂=∑=EAl P P EA l P P EA lP EA l P P N EA l N P Uδf f f f i fi i i f BD（5）令上式中的P f 为零EAPl EA Pl EA lP EA l P δBD 71.2)222(02)2()22()(00≈+=+⋅+-⋅-++=方向为B 向D 靠近9-14. 图示简易吊车的撑杆AC 长为2m ，截面的惯性矩I=×106mm4。

拉杆BD 的A=600mm2。

P=。

如撑杆只考虑弯曲影响，试求C 点的垂直位移，设E=200GPa 。

P解：（1）求出约束反力22 22 22PR P Y P X D A A ===（2）求BD 杆的轴力和AC 杆的弯矩222112)1(22)( 22)( 2Px x P x M Px x M P N ++-=-== （3）用卡氏定理求C 点垂直位移mm EI P EA P EI P EI P EA P dx x EI Px x P dx x EI Px EAP dx x x M EI x M dx x x M EI x M P NEA Nl P U δl l BD CV60.0553.00472.032662)]1(22[2)1(22)22(22212)()()()(10222211112222211111=+=+=++=--++-+--+⋅⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=⎰⎰⎰⎰方向向下。

9-15. 平面刚架如图所示。

刚架各部分截面相同，试求截面A 的转角。

P解：（1）求各杆的弯矩方程)( )cos 3()( )(332211Px x M αx l P x M Px x M -=-=-=（2）在梁上A 处单独作用一单位力偶，并列出弯矩方程1)( 1)( 1)(321-==-=x M x M x M（3）用莫尔定理求A 截面的转角ACEIPl EI Pl EI Pl EI Pl dx EI Px dx EI αx l P dx EI Px dx EI x M x M dx EI x M x M dx EI x M x M θl l l l l l A 2332921529)1)((1)cos 3()1)(()()()()()()(2222340325021301333322221111=++=--+⨯-+--=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰转角的方向与单位力偶方向相同。

9-18. 图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩Mo 作用下，试求析轴杆自由端的线位移和角位移。

解：（1）求水平杆的扭矩方程和垂直杆的弯矩方程0201)( )(M x M M x T ==（2）在自由端分别单独作用一单位力和单位力偶，并求出相应的扭矩方1)( 1)()( 0)(221222111====x M x T x x M x T（3）用莫尔定理求自由端的位移40400020010022222111214202020202221211111643211)()()()(3220)()()()(d πE h M d πG l M EI h M GI l M dx EIM dx GI M dx EI x M x M dx GI x T x T θd πE h M EI h M dx EI x M dx EIx M x M dx GI x T x T δp h lp l l p hl lp H +=+=⨯+⨯=+===+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰自由端的线位移和角位移和方向与单位力和单位力偶方向一致。

9-19. 在曲拐的端点C 上作用集中力P 。

设曲拐两段材料 相同且均为同一直径d 的圆截面杆，试求C 点的垂直位移。

解：（1）求BC 杆的弯矩方程及AB 杆的扭矩方程和弯矩方程Pax T Px x M Px x M ===)( )()(22211（2）在C 端单独作用一单位力，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程ax T x x M x x M ===)( )()(22211（3）用莫尔定理求C 端的垂直位移4343333202220101122222222111132312833)()()()()()(d πG Pa d πE Pa EI Pa GI Pa EI Pa dx EIx Px dx GI a Pa dx EI x Px dx EIx M x M dx GI x T x T dx EI x M x M δp a a p al l p lV +=++=⋅+⋅+⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰自由端的垂直位移单位力方向一致。