离散数学-第11讲-布尔代数上课讲义

三、有限布尔代数的结构
定义4 <L, ≤>(<L,∧,∨>)是格，有全下界0, a∈L,满足 (1) a≠0; (2) 不∃b∈L使得0<b<a;
则称a为该布尔代数的一个原子。 盖住关系:设a, b是一个格中的两个元素,如果b≤a且b≠a,即b＜a,并且在此 格中再没有别的元素c,使得b＜c和c＜a,则称元素a覆盖元素b。
的元素a,b,c∈B，满足下列4条，则称<B,*,⊕>为布尔代数: (1) 交换律 a*b=b*a 和 a⊕b=b⊕a (2) 分配律 a*(b⊕c)=(a*b)⊕(a*c)和
a⊕(b*c)=(a⊕b)*(a⊕c) (3) 全上(下)界 B中存在两个元素0和1, 对B中任意元素a,满足
a*1=a 和 a⊕0=a (4)补元存在性 对B中每一元素a都存在一元素a′,满足
定义3 设<A,*,⊕,′,0,1>和<B,∩,∪, - ,α,β>是两个布尔代数。定义一 个映射f:A→B,如果在f的作用下能够保持布尔代数的所有运算,且 常数相对应,亦即对于任何a,b∈A有:
f(a*b)=f (a)∩f(b) f(a⊕b)=f (a)∪f(b) f(a′)=f(a) f(0)=α f(1)=β 则称映射f:A→B是一个布尔同态。
三、有限布尔代数的结构
定理2: 设a, b为布尔代数<B,∨,∧,′,0,1>中任意两个原子且a≠b, 则 a∧b=0。
定理2的证明: (反证法) 假如a∧b≠0, 令a∧b=c, 若a, b是原子且a∧b≠0, 则 0<c≤ a 0<c ≤ b c < a 时与a为原子相矛盾. c=a时, 结合0 < c ≤ b 得0 < a< b,与b为原子相矛盾.所以a∧b=0.
一、布尔代数两个定义
例1 (1) <B1,∧,∨, ', 0, 1> (2) <B2,∧,∨, ', 0, 1> (3) <B4,∧,∨, ', 0, 1> (4) S={a1,…,an}, |ρ(S)|=2n, <ρ(S),∩,∪>为布尔代数. (5) X={A|A是由变元p1,p2,…,pn,﹁,∧,∨,→,构成的合式公 式集}。等价公式视为同一公式，最小项有2n个, X共2^(2n) 个命题公式,< X,∧,∨, ┒, F, T >为布尔代数.
一、布尔代数两个定义
(3)结合律: 要证明 (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c) (i)首先证明a*c=b*c, a*c'=b*c',则a=b. a=a*1=a*(c⊕c')=(a*c)⊕(a*c')=(b*c)⊕(b*c')=b*(c⊕c')=b (ii)现证明[(a⊕b)⊕c]*a=[a⊕(b⊕c)]*a, [(a⊕b)⊕c]*a'=[a⊕(b⊕c)]*a'. [(a⊕b)⊕c]*a=[(a⊕b)*a]⊕(c*a)=a⊕(c*a)=a. [a⊕(b⊕c)]*a=a, 所以[(a⊕b)⊕c]*a=[a⊕(b⊕c)]*a. [(a⊕b)⊕c]*a'=[(a⊕b)*a']⊕(c*a')=(a*a')⊕(b*a')⊕(c*a') =0⊕(b*a')⊕(c*a')=(b*a')⊕(c*a'), [a⊕(b⊕c)]*a'=(a*a')⊕(b*a')⊕(c*a')=(b*a')⊕(c*a'). 所以, [(a⊕b)⊕c]*a'=[a⊕(b⊕c)]*a'.
定义5 设<L, ≤> 是一个格，且具有全下界0，如果有元素a盖住0，则称 元素a为原子。原子：与0相邻且比0“大”
例子(参见右图) d, e均是原子。实际上，在布尔代数中， 原子是B-{0}的极小元，因为原子与0之 间不存在其他元素。
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三、有限布尔代数的结构
布尔代数的原子有以下性质: 定理1:设<B,∧,∨, ′,0,1>是布尔代数, a∈B是原子的充分必要条件
是a≠0且对B中任何元素x有 x∧a=a 或 x∧a=0
定理2: 设a, b为布尔代数<B,∨,∧,′,0,1>中任意两个原子且a≠b, 则 a∧b=0。
三、有限布尔代数的结构
定理1:设<B,∧,∨, ′,0,1>是布尔代数, a∈B是原子的充分必要条件 是a≠0且对B中任何元素x有 x∧a=a 或 x∧a=0 (I)
a*a′=0 和 a⊕a′=1
一、布尔代数两个定义
定义1→定义1′, 显然。下面证明定义1←定义1′:
(1) 交换律:运算*和⊕是可交换的 (2) 吸收律 :要证明 a*(a⊕b)=a 和 a⊕(a*b)=a
a *(a⊕b)=(a⊕0)*(a⊕b)=a⊕(0*b)=a⊕0=a 同理可证 a⊕(a*b)=a
三、有限布尔代数的结构
引理1: 设<B,∨,∧, ′, 0, 1>是一有限布尔代数, 则对于B中任一非 零元素b, 恒有一原子a∈B, 使a≤b。
证明: 任取b∈B且b≠0. 若b为原子, 有b≤b, 则命题已得证。 若b不是原子, 则必有b1∈B, 使得0 < b1 < b。 若b1不是原子,存在b2使0<b2<b1<b,对b2重复上面的讨论。 因为B有限,这一过程必将中止,上述过程产生的元素序列满足 0 < …<b2 < b1 < b 即存在br, br为原子,且0 < br < b, 否则此序列无限长。
定理1的证明: 先证必要性. 设a是原子,显然a≠0. 另设x∧a≠a, 由于x∧a ≤ a, 故x∧a < a. 据原
子的定义和0 ≤ x∧a,可得x∧a＝0. 再证充分性. 设a≠0, 且对任意x∈B, 有x∧a=a或x∧a=0成立. 若a不是原子, 那
么必有 b∈B, 使0 < b < a. 于是, b∧a＝b. 因为b≠0, b≠a, 故b∧a＝b 与式(I)矛盾. 因此, a只能是原子.
离散数学（二）
1
布尔代数
主要内容:
11 布尔代数两个定义 2 布尔同态 3 有限布尔代数的结构
重点和难点:
重点: 布尔代数的定义 难点: 有限布尔代数的结构
一、布尔代数两个定义
布尔代数的定义：
定义1 布尔代数：有界有补的分配格<L,∧,∨, ', 0, 1>. 定义1′ <B,*,⊕>是代数系统, *和⊕是B上的二元运算，如果对任意
结论:
(1)每一正整数n∈N,一定存在2n个元素的布尔代数。 S={a1,…,an}, |ρ(S)|=2n, <ρ(S),∩,∪, ¯, Ø, S>;
(2) 反之, 对于任一有限布尔代数L, 总存在自然数n∈N,使得|L|=2n (它的元素个数必为2的幂次)。
二、布尔同态
定义2 具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数.