朱建国版固体物理习题答案
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答：
（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为
同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是
于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数
由此而引起晶体熵的增量为
设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变
序号
1
2
3
4
5
θ/（°）
19.611
28.136
35.156
41.156
47.769
已知钽为体心立方结构，试求：
（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；
（2）上述各晶面族的面间距；
（3）利用上两项结果计算晶格常数.
答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：
考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式
3.2求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为
式中 是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N
解：对一维单原子链，
所以 （1）
由色散关系 求得
（2）
而 ， 则由（1）式可得
由于 ，则总的振动模数为
令 ，则积分限为0到 ， 故
3.3设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为
解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，
原子的运动方程应是
即
求格波解，令
，
代入运动方程，可导出线性方程组为：
令 ，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得
可解出
色散关系见下图
时， ， ，
时， ， ，
3.6．在一维双原子链中，如 ，求证
[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支
（2）晶胞的体积= = =27*10-30(m3)
原胞的体积= = =13.5*10-30(m3)
1.7六方晶胞的基失为： ， ，
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积Ω=a·（b*c）=
那么，倒格子的基矢为 ， ，
其第一布里渊区如图所示：
1.8若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为
4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。
答：由公式
可得：对于铜
对于硅
4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。
答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为 ， ， 。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是
这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。
由|n|=1得到
故
1.9用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下
答：
4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿 方向滑移、位错线和 平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。
（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
答：由公式
可得
=2*1015*0.02=4*1013
4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。
（1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；
（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。
《固体物理学》习题参考
第一章
1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：
答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么
1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：
1.4在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001） （100）（010）
θ= =
（4）对于六方密堆积
一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此
θ= =
（5）对于金刚石结构
Z=8 那么 = .
1.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf= a
对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb= a
那么， = =
1.2晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？
，
由于 ，
3.13已知三维晶体在 附近一支光学波的色散关系为
，试求格波的频谱密度
解：
则
这是q空间的一个椭球面，其体积为 ，而
， ，
q空间内的状态密度 ，故椭球内的总状态数N为
故Baidu Nhomakorabea
第四章
4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？
答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。
证明：此题可推广到任意维m，由于
而德拜模型中 ，故
令 ，则上式变为
在低温时
则积分 为一个于T无关的常数
故 对三维m＝3
对本题研究的二维m＝2
对一维m＝1
3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为 ，b为待定常数，平衡间距 ，求线膨胀系数。
解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数
其中： ，
由平衡条件
1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方： （2）体心立方： （3）面心立方： （4）六方密堆积： （5）金刚石： 。
答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：
解：一维单原子链的解为
据周期边界条件 ，此处N=5,代入上式即得
所以 ＝2 （ 为整数）
由于格波波矢取值范围： 。 则
故 可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢： , ,0, ,
由于 ，代入 ，m及q值
则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）
8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
用正交关系式
求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设
由
得到下面四个方程式
（1）
（2）
（3）
（4）
由（1）式可得：
由（2）式可得：
由（3）式可得：
由（4）式可得：
于是得出倒易点阵基矢
第三章习题答案
3.1试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10－27kg，恢复力常数β＝15N·m－1
边长为a的立方晶胞中堆积比率为
假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意
（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：
θ= =
（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为 ，那么：
θ= =
（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为 r，那么：
得
同法得
应用立方晶系面间距公式
可得晶格常数
把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10-10m为
3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897
取其平均值则得
1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.
答：参看下图，晶体点阵初基矢量为
答：证明
设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此
………(1)
由于a3=–（a1+ a2）
把（1）式的关系代入，即得
根据上面的证明，可以转换晶面族为
（001）→（0001）， → ， → ， → ，（100）→ ，（010）→ ， →
4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.
4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？
答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式
可得
=5.682*10-12
4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。
且对光学支， ，代入上式即得
故B＝0， 重原子静止
3.8设固体的熔点 对应原子的振幅等于原子间距 的10％的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的振动频率 ，其中M是原子质量。
[解] 当质量为M的原子以频率 及等于原子间距 的10％的振幅振动时，其振动能为： 在熔点 时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为 ，于是有 ，由此得
3.9按德拜近似，试证明高温时晶格热容
证明：由书（3.73）式可知
在高温时， ，则在整个积分范围内 为小量，因此可将上式中被积函数化简为
将上式代入 的表达式，得
3.10设晶格中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能
解：由（3－69）式知，状态密度
则
3.11在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于
， 由近似式 ，
得
，
对 ，由于 ，
3.7在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界 处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。
[证] 由（3－18）第一式得 ，当 时 且对声学支 ，代入上式即得：
，故A＝0， 轻原子静止
再由（3－18）第二式得 ，当 时
（1）
热平衡时， ，并应用斯特令公式 ，从（1）式得
因为实际上N»n，于是得
n/N=Bexp（-W/2kBT）
（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是
式中a为离子最近邻距离。因为 为晶体原有的体积，有上式可得
解：由书上（3－69）式可得 （1）
由（3－71）可得
由此可得 ，代入（1）式得
3.4对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10－27kg，另一种原子的质量M＝4m，力常数β＝15N·m－1，试求
（1）光学波的最高频率和最低频率 和 ；
（2）声学波的最高频率 ；
（3）相应的声子能量（以eV为单位）；
（4）在300K可以激发频率为 ， 和 的声子的数目；
（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。
解：（1）
（2）
（3）
， ，
（4） 光速 ，
3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于 和10 ， 且最近邻的距离为 ，试画出色散关系曲线，并给出 和 处的 。
4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：
下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：
T/K
878
1007
1176
1253
1322
D/m2·s-1
1.6*10-20
4.0*10-18
1.1*10-18
4.0*10-17
1.0*10-16
试确定常数Do和扩散激活能EA.
答：由公式 ，可得
当T=878，D=1.6*10-20时，D01=
（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为
同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是
于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数
由此而引起晶体熵的增量为
设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变
序号
1
2
3
4
5
θ/（°）
19.611
28.136
35.156
41.156
47.769
已知钽为体心立方结构，试求：
（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；
（2）上述各晶面族的面间距；
（3）利用上两项结果计算晶格常数.
答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：
考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式
3.2求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为
式中 是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N
解：对一维单原子链，
所以 （1）
由色散关系 求得
（2）
而 ， 则由（1）式可得
由于 ，则总的振动模数为
令 ，则积分限为0到 ， 故
3.3设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为
解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，
原子的运动方程应是
即
求格波解，令
，
代入运动方程，可导出线性方程组为：
令 ，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得
可解出
色散关系见下图
时， ， ，
时， ， ，
3.6．在一维双原子链中，如 ，求证
[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支
（2）晶胞的体积= = =27*10-30(m3)
原胞的体积= = =13.5*10-30(m3)
1.7六方晶胞的基失为： ， ，
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积Ω=a·（b*c）=
那么，倒格子的基矢为 ， ，
其第一布里渊区如图所示：
1.8若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为
4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。
答：由公式
可得：对于铜
对于硅
4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。
答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为 ， ， 。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是
这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。
由|n|=1得到
故
1.9用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下
答：
4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿 方向滑移、位错线和 平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。
（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
答：由公式
可得
=2*1015*0.02=4*1013
4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。
（1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；
（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。
《固体物理学》习题参考
第一章
1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：
答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么
1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：
1.4在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001） （100）（010）
θ= =
（4）对于六方密堆积
一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此
θ= =
（5）对于金刚石结构
Z=8 那么 = .
1.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf= a
对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb= a
那么， = =
1.2晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？
，
由于 ，
3.13已知三维晶体在 附近一支光学波的色散关系为
，试求格波的频谱密度
解：
则
这是q空间的一个椭球面，其体积为 ，而
， ，
q空间内的状态密度 ，故椭球内的总状态数N为
故Baidu Nhomakorabea
第四章
4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？
答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。
证明：此题可推广到任意维m，由于
而德拜模型中 ，故
令 ，则上式变为
在低温时
则积分 为一个于T无关的常数
故 对三维m＝3
对本题研究的二维m＝2
对一维m＝1
3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为 ，b为待定常数，平衡间距 ，求线膨胀系数。
解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数
其中： ，
由平衡条件
1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方： （2）体心立方： （3）面心立方： （4）六方密堆积： （5）金刚石： 。
答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：
解：一维单原子链的解为
据周期边界条件 ，此处N=5,代入上式即得
所以 ＝2 （ 为整数）
由于格波波矢取值范围： 。 则
故 可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢： , ,0, ,
由于 ，代入 ，m及q值
则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）
8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
用正交关系式
求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设
由
得到下面四个方程式
（1）
（2）
（3）
（4）
由（1）式可得：
由（2）式可得：
由（3）式可得：
由（4）式可得：
于是得出倒易点阵基矢
第三章习题答案
3.1试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10－27kg，恢复力常数β＝15N·m－1
边长为a的立方晶胞中堆积比率为
假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意
（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：
θ= =
（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为 ，那么：
θ= =
（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为 r，那么：
得
同法得
应用立方晶系面间距公式
可得晶格常数
把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10-10m为
3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897
取其平均值则得
1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.
答：参看下图，晶体点阵初基矢量为
答：证明
设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此
………(1)
由于a3=–（a1+ a2）
把（1）式的关系代入，即得
根据上面的证明，可以转换晶面族为
（001）→（0001）， → ， → ， → ，（100）→ ，（010）→ ， →
4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.
4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？
答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式
可得
=5.682*10-12
4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。
且对光学支， ，代入上式即得
故B＝0， 重原子静止
3.8设固体的熔点 对应原子的振幅等于原子间距 的10％的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的振动频率 ，其中M是原子质量。
[解] 当质量为M的原子以频率 及等于原子间距 的10％的振幅振动时，其振动能为： 在熔点 时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为 ，于是有 ，由此得
3.9按德拜近似，试证明高温时晶格热容
证明：由书（3.73）式可知
在高温时， ，则在整个积分范围内 为小量，因此可将上式中被积函数化简为
将上式代入 的表达式，得
3.10设晶格中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能
解：由（3－69）式知，状态密度
则
3.11在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于
， 由近似式 ，
得
，
对 ，由于 ，
3.7在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界 处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。
[证] 由（3－18）第一式得 ，当 时 且对声学支 ，代入上式即得：
，故A＝0， 轻原子静止
再由（3－18）第二式得 ，当 时
（1）
热平衡时， ，并应用斯特令公式 ，从（1）式得
因为实际上N»n，于是得
n/N=Bexp（-W/2kBT）
（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是
式中a为离子最近邻距离。因为 为晶体原有的体积，有上式可得
解：由书上（3－69）式可得 （1）
由（3－71）可得
由此可得 ，代入（1）式得
3.4对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10－27kg，另一种原子的质量M＝4m，力常数β＝15N·m－1，试求
（1）光学波的最高频率和最低频率 和 ；
（2）声学波的最高频率 ；
（3）相应的声子能量（以eV为单位）；
（4）在300K可以激发频率为 ， 和 的声子的数目；
（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。
解：（1）
（2）
（3）
， ，
（4） 光速 ，
3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于 和10 ， 且最近邻的距离为 ，试画出色散关系曲线，并给出 和 处的 。
4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：
下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：
T/K
878
1007
1176
1253
1322
D/m2·s-1
1.6*10-20
4.0*10-18
1.1*10-18
4.0*10-17
1.0*10-16
试确定常数Do和扩散激活能EA.
答：由公式 ，可得
当T=878，D=1.6*10-20时，D01=