大学物理习题答案19氢原子与量子力学

大学物理练习题十八

一、选择题

1．关于不确定关系η≥∆⋅∆x P x )2/(πh =η有以下几种理解

（1）粒子的动量不可能确定。

（2）粒子的坐标不可能确定。

（3）粒子的动量和坐标不可能同时确定。

（4）不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。 其中正确的是：

（A ） （1），（2） （B ） （2），（4）

（C ） （3），（4） （D ） （4），（1） [ C ]

2. 如图所示，一束动量为p 的电子，通过缝宽为a 的狭缝，

在距离狭缝为R 处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大

的宽度d 等于

(A) 2a 2/R (B) 2ha/p

(C) 2ha/(Rp) (D) 2Rh/(ap) [ D ]

解：中央明纹的边界是第一暗纹λθ=1sin a 代入图中几何关系11sin 2θθR Rtg d ≈=， 则得ap Rh a p h R a R R d 2/22sin 21====λ

θ 中央明纹实际小于d ，所求是最大宽度。

3．一个氢原子处于主量子数n=3的状态，那么此氢原子

（A ）能够吸收一个红外光子.

（B ）能够发射一个红外光子.

（C ）能够吸收也能够发射一个红外光子.

（D ）不能够吸收也不能够发射一个红外光子 [ A ]

解：n=3对应帕邢系，从n>3能级向

n=3能级跃迁发射的都是红外光子，所

以氢原子在n=3能级只能吸收红外光

子。

在n=3能级原子向n=2、n=1能级跃迁分别发射可见光子与紫外光子。

4．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )(23cos 1

)(a x a a

x a x ≤≤-⋅=πψ 那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为 [ A ]

(A) 1/(2a) (B) 1/a (C) a 21 (D) a /1

解：()a a a a x 21)6523cos(12

2=⨯==πψρ 5．一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a ，应用不确定关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为（取估计式η≥∆⋅∆p x ）：

(A) )/(2ma η (B) )2/(22ma η

(C) )2/(2ma η (D) )2/(2ma η [ B ]

解：a x =∆max ，p p x =∆，

取η≥∆∆x p x ，a x p ηη=∆=max

min ，

最小能量（零点能）22

2min 022ma m p E η==

注意： 此题容易受《大学物理学习指导》中一个相似例题影响，如取2/η≥∆∆x p x ，则零点能与上面给出的四个结果都不符合。

*6．下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？

(A) n = 2，l = 2，m l = 0，2

1=s m (B) n = 3，l = 1，m l =-1，2

1-=s m (C) n = 1，l = 2，m l = 1，2

1=s m (D) n = 1，l = 0，m l = 1，2

1-=s m [ B ] 二、填空题

1. 设描述微观粒子运动的波函数为),(t r ϖψ，则*ψψ表示粒子t 时刻在(x,y,z)

处出现的概率密度；),(t r ϖψ须满足的标准条件是单值、有限、连续，其归一化条件是⎰⎰⎰

=1||2dxdydz ψ。 2．波长为40000A 的平面光波朝X 轴正方向传播。若波长的相对不确定量（精确度）610/-=∆λλ，则光子动量数值的不确定量=∆x p kg ﹒m/s ，而光子坐标的最小不确定量x ∆= m 。（π2/,h p x x =≥∆⋅∆ηη） 解：由λh

p =可得

6734101041063.6---⨯⨯⨯=∆=∆λλλh p =331066.1-⨯（kg ﹒m/s ） 由η≥∆⋅∆x p x 可得=∆=∆p

x ηmin 21036.6-⨯)(m 3．氢原子的部分能级跃迁示意如图。在这些能级跃迁中，

（1）从n= 4 的能级跃迁到n= 1 的能级时所发射的光子的波长最短；其波长为975O

A 。 （2）从n= 4 的能级跃迁到n= 3 的能级时所发射的光子的频率最小；其频率为

Hz 14106.1⨯。 解：由λνc

h E n =∆=可判断（1）与（2）的跃迁能级

)(1004.21615106.16.1311416.1318192214J eV E --→⨯=⨯⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆ )(1006.19167106.16.1331416.1318192234J eV E --→⨯=⨯⨯⨯⨯=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=∆ =⨯=∆=-→→)(1075.981

414m E hc λO A 975 =∆=→→h

E 3434ν)(106.114Hz ⨯ 4．氢原子基态的电离能是 13.6 eV 。电离能为+0.544eV 的激发态氢原子，其电子处在n= 5 的轨道上运动。

解：基态电离能=eV eV E 6.131116.13221=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-=∆∞→ 激发态电离能=eV n eV 544.0116.1322=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，解得5=n

5．在氢原子光谱中，赖曼系（由各激发态跃迁到基态所发射的各谱线组成的谱线系）的最短波长的谱线所对应的光子的能量为 13.6 eV ；巴耳末系的最短波长的的谱线所对应的光子的能量为 3.4 eV 。

解：（1）辐射光频率最高时即波长最短，此时光子的能量最大。eV eV 6.131116.13221=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∞-=ε （2）同理可得eV eV 4.32116.13222=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∞-=ε *6

电子轨道角动量最小值为 0 。实验证明 量子力学 理论的结果是正确的。 *7．多电子原子中，电子的排列遵循泡利不相容原理和能量最小原理。 *8．主量子数n=4的量子态中，角量子数l 的可能取值为0,1,2,3；磁量子数l m 的可能取值为3,2,1,0±±±。

*9．原子内电子的量子态由n 、l 、m l 及m s 四个量子数表征。当n 、l 、m l 一定时，

不同的量子态数目为 2 ；当n 、l 一定时，不同的量子态数目为 2(2l+1) ；当

n 一定时，不同的量子态数目为22n 。