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贝叶斯统计-习题答案

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贝叶斯统计-习题答案)

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第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(63631171463163631533853381<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x e x x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<-（实质是新解当n=1的情形）】 （2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案之欧阳法创编

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案之欧阳法创编

2021.03.09 欧阳法创编2021.03.09习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X. 1.61.11由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀 分布50, &） 因为抽取3个样本，即X=（X“2，X3）,所以样本联合分 布为所以，利用样本信息得0的后验分布为 1.12样本联合分布为：因此&的后验分布的核为“严，仍表现为Pareto 分 布密度函数的核即得证。

时间：2021.03.09创作：欧阳法192/少, 又因为0、 <9>4 0<4于是\a + n)0^n !0a ^\0,0>0} 0<0x2021.03.09欧阳法创编可得后验分布为:龙(0|x)h2021.03.091.15二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2解：由题意，变量t 服从指数分布： 样本联合分布皿1刃"”厂》又已知n 二2()，厂=3・8 由于伽玛分布是指数分布参数的共辄先验分布，而且 后验分布 即后验分布为GW +心+») = S(20g76.2)0 = 2_,服从倒伽玛分布 ©(a+"，0+»)=心(20.04,76.2) 2.3可以算出&的后验分布为S(ll,4), &的后验期望估计的后验方差为16. 2.5 心 36.兀(&)= <2.7 &的先验分布为： aG=max{q,坷，•••，£}则&的后验期望估计为：'〃 + a TVar(0lx) = ------- S")竝 ---后验方差为：(“ + — 1)5 + —2)由伽玛分布性质知:= 20x3.8 = 76 n + a = 20.04,工人 + 0 =76.22021.03.09 欧阳法创编2021.03.09x〜~ IGa{a,p)2.8由2 2& 可以得出(1) &的后验分布为:>7 X/Ga(_ + z_ + 0)即为倒伽玛分布 2 2 的核。

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第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计习题答案

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贝叶斯统计习题答案第⼀章先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从⽽有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为⼀卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语⾔求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从⽽有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1）由题意知 ()1,01πθθ=<< 从⽽有)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语⾔求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1714631636315338533810<<-==-=--=--=----==--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语⾔求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<==<<=+<<-==+<<-=??θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=??θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝?∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ix e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝?∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==?∏∏?∏∏====θθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=?=-?因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2）由题意可知./(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{221221121212121 2122111<<∝===<<==<<<==?∏∏?∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x n ni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=?=?因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝?∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中⼈的⾼度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ∴2由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------∝?∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?222222251()()11252()1122525eσθθθσσσ+----+?--+∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++⼜由于21112525σ≤+ 所以θ的后验标准差⼀定⼩于151.11 解：设X 为某⼈每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(7687787321321321433213213321>?====≥=>=====<<=∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某⼈每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ从⽽有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从⽽有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝?00111n n n ααααθθθθθ++++∝?∝因此θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案word精品

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加 I —W)W j04/(l -疔36840 (1 ) ,011.6习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X. p(x 0.1) Cs *0.1 2 *0.960.1488 p(x 0.2) C ；*0.22*0.86 0.2936 后验分布: 0.1 x 0.2 x 0.1488*0.70.1488*0.7 0.2936*0.3 0.2936*0.30.1488*0.7 0.2936*0.30.5418 0.4582苴它1o<e<iJ n1 m x 0p(x| ) [2(1® aG<e<i其它1 d°C ； 3(1)5*2(1 )d1112 3(1 )6d12( X)i …氏 设辱心…血 是栗ri 泊松分布praj 的 个样本swe 匚此样木的似然函数为匕现収仙也［分•仃Ga(fiL Q 粹为泊松分巾均们A 的址验匕们•即―oo < a v +c©的后验分布为192/ 7 6 86 192—87参故久的百验分布为兀(几斗)板I A)^(Z)'X /J+M jA服从伽玛分布Go辽対+桟申一八r-1 1.11由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,)P(X )亠 0 X 0, 其它 因为抽取3个样本，即X (x 1,x 2, x 3)，所以样本联合分布为丄 p(X) 3,0, X i ，X 2,X 3其它又因为 192/ 0, 所以，利用样本信息得 h(X, ) p(X )() 1 ~3 192 ~4 192 (~7 (8,0 X i ,X 2,X 3 )于是 m(X) 8 h(X,)d192 , rdp(x\A) = —Xi—, -OC < XIX/ < +OCh(X,) m(X)21p(x )— ,0 x0,即(x) ( n)1/0,即得证。

1.151样本的似然函数：p(x )1e服从伽马分布Ga n, nx-0.00024,20000.0.000121.12样本联合分布为:(X)6 867~0, (x) p(x )()1/1max 0,%丄，人因此的后验分布的核为1/n 1,仍表现为Pareto 分布密度函数的核参数的后验分布 (x) p(x )()n 1( nx)enX in— i 1en nxe1,2,3,5,6,7,8,10,11,12 2乙11)讥刈8)二&(1一&)\兀(&) = 1p 何0)兀(0)= &(1—胖 〜尿(2,4)E(&|X )"E =±W2)讽申)=，(1 — &)叫兀(&) = 1二 诃x) * p(x 0)兀(8)=护(1 一 0)10 〜%(4,11)i ・44E(& x) = 3¥ = -------- =——E 11 + 4 152.2解：由题意，变量t 服从指数分布： p(t )由伽玛分布性质知:0.2nt i 20 3.8 76，所以 ni 1由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布0.04, 0.2又已知n=20,t 3.8(|t) P (T| )( )neti1en 1e (t i)即后验分布为Ga( n,t i ) Ga(20.04,76.2)E T() n t i20.0476.20.2631服从倒伽玛分布IGa(n,t i ) IGa(20.04,76.2)样本联合分布p(T )neti且~Ga(,)〒0 , E()0.2 Var (n20.04, t ii 176.2t-E T ( ) E |T (1) ---------- 4.002n 1n 12.8 由 x ~ Ga( , ), ~ IGa(,)可以得出(1}e(1) 的后验分布为:(3)样本分布函数为:的后验期望估计的后验方差为11 162.5 n 36.2.7的先验分布为：()/ 1, 0, 令1 max 0必丄,X -可得后验分布为：(x)(n) 1 n/0,后验方差为： Var( x)E( x)十, n 1 (n) 122(n 1) (n 2)(xpn -2n -2X1 xe 2 ,x 0(x)p(x 1)e^即为倒伽玛分布IGa(-,2所以的后验分布为IGa(n2 )的核。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案之欧阳数创编

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习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为x. 1.61.11 由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ因为抽取3个样本，即123(,,)Xx x x =，所以样本联合分布为又因为4192/,4()0,4θθπθθ⎧≥=⎨<⎩ 所以，利用样本信息得 于是788192()(,)m X h X d d θθθθ+∞+∞==⎰⎰θ的后验分布为1.12样本联合分布为： 因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩ 即得证。

1.15二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2 解： 由题意，变量t 服从指数分布：()tp t e λλλ-=样本联合分布()itn p T e λλλ-∑=且1~(,),0()Ga e ααβλβλαβλλα--=>Γ ，()0.2E λ=()1Var λ=由伽玛分布性质知： 又已知 n=20, 3.8t =120 3.876nii t==⨯=∑，所以120.04,76.2ni i n t αβ=+=+=∑由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布即后验分布为(,)(20.04,76.2)i Ga n t Ga αβ++=∑1θλ-=服从倒伽玛分布(,)(20.04,76.2)i IGa n t IGa αβ++=∑2.3可以算出θ的后验分布为(11,4)Ga ，θ的后验期望估计的后验方差为1116.2.536n ≥.2.7θ的先验分布为：1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩ 令{}101max ,,,n x x θθ=可得后验分布为：1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩ 则θ的后验期望估计为：1()()1n E x n αθθα+=+-，后验方差为：212()()(1)(2)n Var x n n αθθαα+=+-+-. 2.8由1~(,),~(,)22n x Ga IGa θαβθ可以得出（1）θ的后验分布为：即为倒伽玛分布(,)22n xIGa αβ++的核。

(完整版)贝叶斯统计-习题答案)

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第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案之欧阳家百创编

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案之欧阳家百创编

习题讲解欧阳家百(2021.03.07)一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为X.1.11由题意设X 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布〃（°&）因为抽取3个样本，即X=（X"2，®）,所以样本联合分布为又因为 所以，利用样本信息得。

的后验分布为1.12样本联合分布为：因此&的后验分布的核为1/严"：仍表现为Pnreto 分布密度函数 的核（0+町年+"/严吧6>0{0, 0<0}即得证O1.15二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2解：由题意，变量t 服从指数分布：〃（4刃=加" 样本联合分布〃们刃="『》192/伊, 6>>40,于是兀（&卜）= 即且八 G/(a.0) = w/ e 0 ,A >0 E (N )= o 2 = i由伽玛分布性质知: 又已知0=20/=3.8工-=20x3.8 = 76 n + a = 20.04,工人+“ = 76.2 I ,所以 j由于伽玛分布是指数分布参数的共轮先验分布，而且后验分布 即后验分布为E© +心+D )= S(20.04,76.2)0 = 2-1 服从倒伽玛分布 /G“(a + n,0+D )= ©(20.04,76.2)2.3可以算出&的后验分布为SZ4),&的后验期望估计的后验方11差为16.2.5 心 36.兀(&)= <2.7 &的先验分布为： 仝 =max{G )，i ，…,耳}0. 0<0.\a + n )e^lx !0a ^\ 0,则&的后验期望估计为：I n+Qj, 畑砂)=—竺泌— 后验方差为： (“ + ― 1)" + — 2).x ~ Gu(—,—),0 〜IGa(a, B) 2.8由 2 2& 可以得出7T (0\x) = <可得后验分布为：0>0}0<0}(1) &的后验分布为:1] x心(_ + 7_ + 0) 即为倒伽玛分布 2 2 P 的核。

贝叶斯统计第二版第四章答案

贝叶斯统计第二版第四章答案

第四章决策者的收益、损失与效用4.1 解：令123::θθθ畅销，:一般，滞销；123::a a a 大批生产，:中批生产，小批生产（1）3121231005010(,)3040960206a a a Q a θθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭（2）1,2,360,1min (,)20,26,3i j i j Q a j j θ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=⎩1,2,31,2,3max min (,)6i j j i Q a θ==∴= 因此，在悲观准则下，最优行动为3a（3）1,2,3100,1max (,)50,210,3i j i j Q a j j θ==⎧⎪==⎨⎪=⎩1,2,31,2,3max max (,)100i j j i Q a θ==∴= 因此，在乐观准则下，最优行动为1a（4）1()0.81000.2(60)68H a =⨯+⨯-=23()0.8500.2(20)36()0.8100.269.2H a H a =⨯+⨯-==⨯+⨯=因此，在乐观系数为0.8时，最优行动为1a4.2（1）1,2,335,1max (,)30,2i j i j Q a j θ==⎧=⎨=⎩1,21,2,3max max (,)35i j j i Q a θ==∴= 因此，在乐观准则下，最优行动为1a（2）1,2,317,1min (,)13,2i j i j Q a j θ==⎧=⎨=⎩1,21,2,3max min (,)17i j j i Q a θ==∴= 因此，在悲观准则下，最优行动为1a（3）1()0.7350.31729.6H a =⨯+⨯=2()0.7300.31324.9H a =⨯+⨯=因此，在乐观系数为0.7时，最优行动为1a4.3解：由题可知()11000.6300.3(60)0.163Q a =⨯+⨯+-⨯=()()23500.6400.3(20)0.140100.690.360.19.3Q a Q a =⨯+⨯+-⨯==⨯+⨯+⨯=因此，在先验期望准则下，最优行动为1a4.4解;(1) {}:510θθΘ=∈≤≤A =Θ(2)()5,(,)5,a a Q a a a θθθθθ⎧--<=⎨≥⎩356124123456252423222120253029282726253035343332253035403938253035404544253035404550a a a a a a Q θθθθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (3)1,2,...,625,124,223,3min (,)22,421,520,6i j i j j j Q a j j j θ==⎧⎪=⎪⎪==⎨=⎪⎪=⎪=⎩ 1,2,...,61,2,...,6max min (,)20i j j i Q a θ==∴=因此，在悲观准则下，最优行动为6a(4)()1()2512525H a αα=⨯+-⨯=()2()30124246H a ααα=⨯+-⨯=+()3()351232312H a ααα=⨯+-⨯=+()4()401222218H a ααα=⨯+-⨯=+()5()451212124H a ααα=⨯+-⨯=+()6()501202030H a ααα=⨯+-⨯=+4.5解：3561241234560123455012341050123151050122015105012520151050a a a a a a L θθθθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()[]11(,)50.09100.15150.4200.2250.114.45L a E L a θθ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()[]22(,)10.0650.15100.4150.2200.19.81L a E L a θθ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 同理可得()()()()34565.71, 2.51, 1.71, 2.11L a L a L a L a ====因此，在该先验分布之下5a 为最优行动。

贝叶斯统计第二版第二章答案

贝叶斯统计第二版第二章答案
（1） 由题意可知 因此 又 所以
（2） 由题意可知且 因此 所以 2.5 解:设，则 令 设，则，且 其中
2.6 解：设X为1000名成年人中投赞成票的人数，则 （1）由题意可知 a. b. （2）a.
b. （3）由题意可知 a. b. -=-= 2.7 解：由题意可知 令，则 从而有 2.8 解： （1）由题意可知 因此 所以 （2）
（3） 由题意可知第二章 贝 Nhomakorabea斯推断2.1 解：由题意可知 设是从随机变量X中抽取的随机样本，则 从而有 所以
（1） 由题意可知 n=1,x=3 （2） 由题意可知 2.2 解：设X为银行为顾客服务的时间，则 设的先验分布为，则 由题意可知 从而有
因此有 所以有 2.3 解：设X为磁带的缺陷数，则 由题意可知 从而有 因此 2.4 解：设X为n个产品中不合格数，则 由题意可知

完整版贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案

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加 I —W)W j04/(l -疔36840 (1 ) ,011.6习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X. p(x0.1) Cs *0.1 2 *0.960.1488 p(x 0.2) C ；*0.22*0.86 0.2936 后验分布: 0.1 x 0.2x0.1488*0.70.1488*0.7 0.2936*0.3 0.2936*0.3 0.1488*0.7 0.2936*0.30.5418 0.4582苴它1o<e<iJ n[2(1® a G<e<i其它1m x 0p(x| ) 1d°C ； 3(1 )5 *2(1 )d1 0112 3(1 )6d12i…氏设辱心…血是栗ri泊松分布praj的个样本swe匚此样木的似然函数为匕现収仙也［分•仃Ga(fiL Q 粹为泊松分巾均们A的址验匕们•即―oo < a v+c©的后验分布为192/ 7 6 86192 —8 7参故久的百验分布为兀(几斗)板I A)^(Z)'X /J+M j A服从伽玛分布Go辽対+桟申一八r-11.11由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布U(0,)P(X)亠0 X0, 其它因为抽取3个样本，即X (x1,x2, x3)，所以样本联合分布为丄p(X) 3,0, X i，X2, X3其它又因为192/0, 所以，利用样本信息得h(X, ) p(X )() 1~3192~4192 (~7(8,0 X i,X2,X3 )于是 m(X) 8 h(X, )d 192 , rdp(x\A) =——, -OC < XIX/ < +OCh(X,)m(X)( X)21,2,3,5,6,7,8,10,11,121p(x ) — ,0 x0,即(x) ( n)1/0,即得证。

1.151样本的似然函数：p(x )1e服从伽马分布Ga n, nx-0.00024,20000.1.12样本联合分布为:(X)6 867~0,(x) p(x )()1/1max 0,%丄，人因此的后验分布的核为1/n 1,仍表现为Pareto 分布密度函数的核参数的后验分布 (x) p(x )()n 1( nx)enX in— i 1n nxe0.0001221,2,3,5,6,7,8,10,11,12乙11)讥刈8)二&(1一&)\兀(&) = 1p 何0)兀(0)= &(1—胖 〜尿(2,4)E(&|X )"E =±W2)讽申)=，(1 — &)叫兀(&) = 1二 诃x) * p(x 0)兀(8)=护(1 一 0)10〜%(4,11)i ・44 E(& x) = 3¥ = ---- =——E 11 + 4 152.2解：由题意，变量t 服从指数分布：p(t )由伽玛分布性质知:0.2nt i 20 3.8 76，所以 ni 1由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布又已知n=20,0.04, 0.2t 3.8(|t) P(T| )( )neti1en 1e (ti )即后验分布为Ga( n,t i ) Ga(20.04,76.2)E T() n t i20.04 76.2 0.2631服从倒伽玛分布IGa(n ,t i ) IGa(20.04,76.2)样本联合分布p(T )neti且~Ga(,)〒0 , E()0.2 Var (n20.04, t76.2t-E T ( ) E |T (1) ----- 4.002n 1n 12.8 由 x ~ Ga( , ), ~ IGa(,)可以得出(1}e(1) 的后验分布为:(3)样本分布函数为:的后验期望估计的后验方差为11 162.5n 36.2.7的先验分布为：()/ 1,0, 令1 max 0必丄,X -可得后验分布为：(x)(n) 1 n/0,后验方差为： Var( x)E( x)十, n 1 (n) 122(n 1) (n 2)(xpn -2n -2X1 xe 2 ,x 0(x)p(x 1)e^即为倒伽玛分布IGa(-,2所以的后验分布为IGa(n2 )的核。

【贝叶斯统计答案】第五章

【贝叶斯统计答案】第五章

2,3,7,11,18,21,225.2(2)(4)()()()22~,12xx N p x θθθπ--=由可得()()()()()212222222ln ln 1ln 2222ni i x nn x n c n x n c B p X en x ee d E e x c n d x cn c ccx nθθθθθππθπθπ=----⎛⎫+-- ⎪+∞ ⎪⎝⎭-∞∑= ⎪⎝⎭=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦==+++=+⎰样本的似然函数为：后验分布则附：用R 软件作图程序：y<-function(x){exp(0.1*x)-0.1*x-1}; plot(y,xlim=c(-20,20),type="l",lty=1);lines(x,exp(0.5*x)-0.5*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=2); lines(x,exp(1.2*x)-1.2*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=3); s<-c("c=0.1","c=0.5","c=1.2"); legend(locator(1),s,lty=c(1,2,3));5.3()23,.23ln B xx c e cθδ=<-可以求得的贝叶斯估计为 5.7()()()()()()()()()()()()()2222225.2:,122112B x eL E x E x E x x d x d eθμδδμπθπθδλθθδλθθθδθλθλθθωθπθθωθπθθωμπ--+∞-∞-∞--==-⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦-+=+⎰⎰后验分布：根据定理在加权平方损失函数下,的贝叶斯估计为：通过计算可得：5.11()()()()()()()()()()()()()()()()()121122,1111111;2102n x x n x x B B Be x n x n E x d x n x n E x d x n x E x x x n a x n E x x a x n βαβαθαβλθθθαβλθθθθθαβαβλθθθθαβλθθαθαβλθαααβα+--+-+--+-++-=-Γ++⎡⎤=-⎣⎦Γ+Γ+-Γ++⎡⎤=-⎣⎦Γ+Γ+-⎡⎤+-⎣⎦≤≤-==++-⎡⎤⎣⎦-==++-≤⎰⎰的后验分布为时,的贝叶斯估计为时,若>1,若0<()()()()()()()()()()()()()()()2111011122212200001112111,000;,n n n n B n a R a x d n n d a d a d n a R a x a x x n βαβββααααβθθθθαβθθαβθθθθθθθθθαβαβ+--+-+-+---Γ++-==-ΓΓ+-Γ++⎡⎤=---+-⎢⎥⎣⎦ΓΓ+≤====⎰⎰⎰⎰1,考虑后验风险0<上式中括号内前两项积分都是有限的,而第三个积分是趋于无穷大的,从而当时,达到最小值,即类似地，时若>()()121.B B n a x n a x ααββ+-=++-≤=1,若0<1,5.18(1)121210075100150a a W θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭支付矩阵1212250050a a L θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭损失矩阵1a 与2a 下的先验期望损失为()()12,17.5,,15E L a E L a θθθθ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故2a 是最优行动，先验()15EVPI =元.(2){}{}()120,1,2,a a x δ从到上的任一个映射都是该问题的决策函数. (3)、(4)()()()()21~2,,,00.87475,10.1205,20.00475,i i i x b m x p x m m m θθπθ=====∑边缘概率可得：后验分布为：()21,0,1,2a x x a x δ=⎧'=⎨=⎩()()()()()()(),13.89*0.8747513.7975*0.12059.21*0.0047513.8566,1513.8566 1.14342 1.14340.20.9434xx xx EVPI E EL x EVSI EVPI E EL x ENGS EVSI C θθθδθδ⎡⎤'==++=⎣⎦⎡⎤'=-=-=⎣⎦=-=-=后验先验元元5.21 (1)210216b b m m θ-==-()()()()()21221200000~10,4,10,,5,4,10,61,10.08332**0.08332*5*4 1.6664N N N N E m m a t m m D L D L EVPI L D t θθτμθθμττ=>=-====-=======最优行动为 (2)0003**=0.04270*5*3=0.64052**=0.008491*5*2=0.084911**=0.000007145*5*1=0.000035725N N N EVPI L t EVPI L t EVPI L t θμτττθμτττθμτττ⎛-⎫==⎪⎝⎭⎛-⎫== ⎪⎝⎭⎛-⎫== ⎪⎝⎭类似可得，，， (3)由上先验EVPI 中有相当一部分是由于先验分布估计得不够精确引起的，随着标准差τ的减小，用来描述状态θ的先验分布愈精确，增加了先验信息，从而减少了先验完全信息及其期望值。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案

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习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为x. 1.61.11 由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ因为抽取3个样本，即123(,,)X x x x =，所以样本联合分布为又因为 4192/,4()0,4θθπθθ⎧≥=⎨<⎩所以，利用样本信息得 于是788192()(,)m X h X d d θθθθ+∞+∞==⎰⎰θ的后验分布为1.12样本联合分布为：1(),0np x x θθθ=<<1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩{}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x αααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>=因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩即得证。

1.15()()()111()1()()()()(),.nii x nn n x n n x p x ee ex p x e Ga n nx λλααβλαβλλλλβπλλαλπλλπλλαβ=----+--+∑===Γ∝∝++样本的似然函数：参数的后验分布服从伽马分布220.0002(2)4,20000.0.0001αβαβαβ⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪=⎪⎩二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2 解： 由题意，变量t 服从指数分布：()t p t e λλλ-=样本联合分布()itn p Te λλλ-∑=且1~(,),0()Ga e ααβλβλαβλλα--=>Γ ，()0.2E λ= ()1Var λ= 由伽玛分布性质知：20.20.04,0.21αβαβαβ⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪=⎪⎩又已知 n=20, 3.8t =120 3.876nii t==⨯=∑，所以120.04,76.2ni i n t αβ=+=+=∑由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布()11()()()t t n n i i t p T ee eλλββλααπλλπλλλλ--+∑∑--+-∝∝= 即后验分布为(,)(20.04,76.2)iGa n t Ga αβ++=∑|20.04()0.26376.2T i n E t λαλβ+===+∑1θλ-=服从倒伽玛分布(,)(20.04,76.2)i IGa n t IGa αβ++=∑||1()() 4.0021iT T t E E n λλβθλα-+===+-∑2.3可以算出θ的后验分布为(11,4)Ga ，θ的后验期望估计的后验方差为1116. 2.5 36n ≥.2.7θ的先验分布为：1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩令{}101max ,,,n x x θθ=可得后验分布为：1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩则θ的后验期望估计为：1()()1n E x n αθθα+=+-，后验方差为：212()()(1)(2)n Var x n n αθθαα+=+-+-.2.8由1~(,),~(,)22n x Ga IGa θαβθ可以得出211221()2(),0()2nn xp x x e x n θθθ--=>Γ (1)(),0()e βααθβπθθθα--+=>Γ （1）θ的后验分布为：2(1)22()()()x nx p x eβαθπθθπθθ+--++∝∝即为倒伽玛分布(,)22nxIGa αβ++的核。

贝叶斯统计第二版第二章答案

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第二章 贝叶斯推断2.1 解：由题意可知 ()1,01πθθ=<<设12,,...,n X X X 是从随机变量X 中抽取的随机样本，则11()()(1)nii nx ni i p x p x θθθθ==∑==-∏从而有 ()()1()(1),01nii x nx p x πθθπθθθθ=∑∝∙∝-<<所以 1(1,1)ni i xBe n x θ=++∑（1） 由题意可知 n=1,x=3 ∴(2,4)xBe θ∴21ˆ243Eθ==+ （2） 由题意可知 1233,3,2,5n x x x ====∴(4,11)x Be θ∴44ˆ41115Eθ==+ 2.2 解：设X 为银行为顾客服务的时间，则()x p x e λλλ-=设λ的先验分布为(,)Ga αβ，则20.20.040.21ααβαββ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 由题意可知 3.8x =从而有 ()()()x p x πλλπλ∝∙ ()11111n ni ii i x x nx n n n e e eeλβλλβαλβααλλλλ==⎛⎫⎪-+- ⎪-+--+-+-⎝⎭∑∑∝∙==因此有 (,)(20.04,76.2)xGa n nx Ga λαβ++=所以有 20.04ˆ()0.2676.2E x λλ=== ()()()1110ˆ() 4.0021nnx n nx nx E x e d n n αλβαββθλλλλαα++∞-+--+-++==∙==Γ++-⎰ 2.3 解：设X 为磁带的缺陷数，则()Xp θ∴3133311()()!ii x i i ii e p x p x x θθθθ=-==∑==∏∏由题意可知 ()21,02e θπθθθ-=>从而有 ()()3132104()ii x x p x e e e θθθπθθπθθθθ=---∑∝∙∝= 因此 (11,4)xGa θ11ˆ()()16EMSE Var x θθ== 2.4 解：设X 为n 个产品中不合格数，则(,)X bin n θ由题意可知 ()49(1),01πθθθθ∝-<< （1） 由题意可知(20,)Xbin θ∴317()(1)p x θθθ∝-∴()()()x p x πθθπθ∝∙31749726(1)(1)(1)θθθθθθ∝-∙-=-因此 (8,27)x Be θ又626725()7(1)26(1)0x πθθθθθ'∝---所以 7ˆ33MDθ= （2） 由题意可知(20,)Xbin θ且()726(1)πθθθ=-∴20()(1)p x θθ∝-∴()()()x p x πθθπθ∝∙72620746(1)(1)(1)θθθθθ∝-∙-=-因此 (8,47)x Be θ所以 78ˆˆ,5355MD Eθθ== 2.5 解:设2(,2)X N θ，则222σ=令2204nnσσ==设(,1)N u θ，则1τ=，且211(,)xN u θτ其中 2201222200u x u στστστ------=+++2221111τστ=+214ˆ()()0.14E MSE Var x n θθτ===≤+ 2.6 解：设X 为1000名成年人中投赞成票的人数，则(1000,)Xbin θ（1）由题意可知 7107102901000(710)(1),01p C θθθθ=-<<a.()()710290711290710(710)(1)(1)A p πθθπθθθθθθ∝∙∝-∙=-∴710(712,291)Be θb.()()7102903713290710(710)(1)(1)B p πθθπθθθθθθ∝∙∝-∙=-∴710(714,291)Be θ（2）a.712ˆ(710)0.7098712291EE θθ===+b. 714ˆ(710)0.7104714291EE θθ===+ （3）由题意可知10001000()(1),01xx x p x C θθθθ-=-<<a.()()100011000()(1)(1)x x x x A x p x πθθπθθθθθθ-+-∝∙∝-∙=-∴(2,1001)xBe x x θ+-∴2ˆ()1003EAx E x θθ+== b.()()1000331000()(1)(1)x x x x B x p x πθθπθθθθθθ-+-∝∙∝-∙=-∴(4,1001)xBe x x θ+-∴4ˆ()1005EBx E x θθ+==∴ˆEA θ-ˆEB θ=21003x +-41005x +=2.7 解：由题意可知 1(),0p x x θθθ=<<1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ∴=<<=令{}1012max ,,,...,n x x x θθ=，则()101()()()n m x p x d n ααθαθθπθθαθ+∞+=∙=+⎰从而有 ()()111()(),()n n p x n x m x ααθπθαθπθθθθ++++==>11111()1ˆ()(1)n E n n n E x d n αααθαθθθθθθαθ++∞+++-+===+-⎰ 1221121()1()(2)n n n n E x d n αααθαθθθθθαθ++∞+++-+==+-⎰22222(1)1111ˆ()()()()(2)(1)En n MSE Var x E x E x n n ααθθθθαθαθ+-+-==-=-+-+- 2.8 解：（1）由题意可知 21221()2n x n p x x e θθθ--⎛⎫∝ ⎪⎝⎭()(1)e βαθπθθ--+∝因此 ()221(1)(1)22212xnx nn x x e e eββααθθθπθθθθ+-----++-+⎛⎫∝∝ ⎪⎝⎭所以 (,)22n xx IGa θαβ++（2）222()1222x Var x n n βθαα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()12x E x nβθα+=+-（3） 由题意可知 2221()n nx p x eθθθ-⎛⎫∝ ⎪⎝⎭()22(1)2nx n x eβαθπθθ+--++∝2(,)22n nx xIGa θαβ∴++22ˆ12MDnx n βθα+∴=++ 22ˆ12E nxn βθα+=+-。

贝叶斯统计第二版第三章答案

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第三章 先验分布的确定3.1 大学生中戴眼镜的比例是0.7 3.6 （1）由题意可知因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。

（2）由题意可知令 ，则因此，该密度是尺度密度。

（3）由题意可知令 ，则因此，该密度是尺度密度。

3.8 解：（1）由题意可知设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则对上式分别求一阶导、二阶导得（2）由题意可知 设,,...,X X X 是来自X 的简单随机样本，则1,11()20x p x θθθ⎧-<<+⎪=⎨⎪⎩ 其他2221111()1p x x x βθπβπββ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭2111x x ϕβπβ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭1()x p x θϕββ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1000(),a a x p x x x x x θ-+⎛⎫=> ⎪⎝⎭()100a x x a x x ϕ-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0001(),x p x x x x x θϕ⎛⎫=> ⎪⎝⎭()!x e p x x θθθ-=()11111ln ()lnln ln !!nii x n nnn i i i ni i i ii e l x p x x n x x θθθθθθ=-====∑===--∑∏∏∏11n i i l x n θθ=∂=-∂∑22211n i i l x θθ=∂=-∂∑22211()nx x i i l nI E E x θθθθθθ=⎡⎤∂⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦∑()πθ=()(1)x xn xn p x C θθθ-=-()21111ln ()ln ln ()ln(1)i n n n nx i ni i i i i i l x p x C x n x θθθθ======++--∑∑∑∏对上式分别求一阶导、二阶导得（3）由题意可知 1()(1)x m x x m p x C θθθ+-=- 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则()1111ln ()ln ln ln(1)ii nnnx i x m i i i i l x p x Cnm x θθθθ+-=====++-∑∑∏对上式分别求一阶导、二阶导得（4）由题意可知 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则()()()111ln ()ln ln 1ln nnni i i i i i l x p x n n x x αθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏对上式分别关于α求一阶导、二阶导得(5)设,,...,X X X 是来自X 的简单随机样本，则21111ni n i i i n x l x θθθ==-∂=-∂-∑∑()221222111nini i i n x l x θθθ==-∂=--∂-∑∑()222122211()(1)1ni nx x i i i n x l n I E E x θθθθθθθθ==⎡⎤-⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥=-=+=⎢⎥∂--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑()πθ=111n i i l nm x θθθ=∂=-∂-∑()212221n i i x l nm θθθ=∂=--∂-∑()212222()(1)1ni x x i x l nm nm I E E θθθθθθθθ=⎡⎤⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥=-=+=⎢⎥∂--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑()πθ=1()ln ln ()nii l n n x αλαα='∂Γ=-+∂Γ∑()()()()()222l n αααααα''''ΓΓ-ΓΓ∂=-∂Γ()1(),0xp x x e x ααλλαα--=>Γ()()()()()()()()()()2222()x x l I E E n n αααααααααααααα⎡⎤''''''''ΓΓ-ΓΓΓΓ-ΓΓ⎡⎤∂=-==⎢⎥⎢⎥∂ΓΓ⎣⎦⎣⎦()πα=,0xe x λ->()()()111ln ()ln ln 1ln n n ni i i i i i l x p x n n x x λθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏对上式分别关于λ求一阶导、二阶导得（6）由题意可知 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则()()()111,ln ()ln ln 1ln nnni i i i i i l x p x n n x x αλθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏对上式分别关于λ求导得令(),θαλ=，则3.9 证明：由题意可知 ()()ln i i i i i l x p x θθ=()i i πθ=1nii l n x αλλ=∂=-∂∑222l n αλλ∂=-∂2222()x x l n n I E E λλααλλλλ⎡⎤∂⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦()πλ=222l n αλλ∂=-∂()()()()()()()()()()()22222det 1nn n I nn αααααααααλθαλααλλ''''ΓΓ-ΓΓ-⎡⎤''''ΓΓ-ΓΓΓ==-⎢⎥Γ⎣⎦-()1(,),0xp x x e x ααλλαλα--=>Γ()()()()()222l n αααααα''''ΓΓ-ΓΓ∂=-∂Γl n αλλ∂=∂∂()()()()()()()()()()2222l E E n n ααααααααααα⎡⎤''''''''ΓΓ-ΓΓΓΓ-ΓΓ⎡⎤∂-==⎢⎥⎢⎥∂ΓΓ⎣⎦⎣⎦2222l n n E E ααλλλ⎡⎤∂⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦()l n E αλλ∂-=-∂∂()2n πθα⎡=⎢()()22i i i i l x I E θθθ⎛⎫∂=- ⎪ ⎪∂⎝⎭由于各i X 独立，因此有()()1211(,,...,)ln ln kkk i i i i i i i i l x x x p x p x θθθ====∑∏由上式可得出因此有 ()()1d e t ki i I I θθ==∏所以3.10 解: 由题意可知 ()0.0120.01,0e θπθθθ--=>因此有 所以有3.11解：由题意可知所以有 ()(,)()h x p x θθπθ= 进而有()()2222i i i i i l x l x θθθθ∂∂=∂∂()20i i j l x θθθ∂=∂∂()()()()11det k k kiii i I I πθθθπθ======∏∏()0.010.01123(,)()e0.010.01e,0x xh x p x e x θθθθθπθθθθθ+------===>>0.010.010.01300111()0.01eee 0.010.01x x x xx x m x d x x θθθθθθ+++----⎡⎤==+=⎢⎥++⎣⎦⎰121211(,,...,,,...,)()!iix n ni n n i i i i i e p x x x p x x θθθθθθ-====∏∏()()()11112111,,...,()niii n nnnn i i i n i i i e eαααβθβθαββπθθθπθθθαα=----===∑⎛⎫=== ⎪ΓΓ⎝⎭∏∏∏()12121212(0,)()(,,...,,,...,),,...,...n n n nm x p x x x d d d θθθπθθθθθθ+∞=⎰。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案之欧阳音创编

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习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为x. 1.61.11 由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ因为抽取3个样本，即123(,,)X x x x =，所以样本联合分布为又因为4192/,4()0,4θθπθθ⎧≥=⎨<⎩ 所以，利用样本信息得 于是788192()(,)m X h X d d θθθθ+∞+∞==⎰⎰θ的后验分布为1.12样本联合分布为： 因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto分布密度函数的核即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩ 即得证。

1.15二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2 解： 由题意，变量t 服从指数分布：()tp t e λλλ-=样本联合分布()itn p T e λλλ-∑=且1~(,),0()Ga e ααβλβλαβλλα--=>Γ ，()0.2E λ=()1Var λ=由伽玛分布性质知： 又已知 n=20, 3.8t =120 3.876nii t==⨯=∑，所以120.04,76.2ni i n t αβ=+=+=∑由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布即后验分布为(,)(20.04,76.2)i Ga n t Ga αβ++=∑1θλ-=服从倒伽玛分布(,)(20.04,76.2)i IGa n t IGa αβ++=∑2.3可以算出θ的后验分布为(11,4)Ga ，θ的后验期望估计的后验方差为1116.2.536n ≥.2.7θ的先验分布为：1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩令{}101max ,,,n x x θθ=可得后验分布为：1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩ 则θ的后验期望估计为：1()()1n E x n αθθα+=+-，后验方差为：212()()(1)(2)n Var x n n αθθαα+=+-+-. 2.8由1~(,),~(,)22n x Ga IGa θαβθ可以得出（1）θ的后验分布为：即为倒伽玛分布(,)22n xIGa αβ++的核。

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第一章 先验分布与后验分布解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ:∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ΛΛΛΛΛΛΛ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰v从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<<v vv】证明：设随机变量()X P λ:，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni iiΛΛΛΛ 【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++:】 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n ΛΛΛΛΛΛΛΛ【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n ΛΛΛΛΛΛΛΛ【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)X N θ:∴25(,)10X N θ:∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•v222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θv:证明：设22(,),,N u u θσσ:其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•v222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x x N σθσσ+++v :又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于15解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ:.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ:∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=v43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰v从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==vvv, 计算错误】 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i n p x x i n θθθ=<<=v从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•v v00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

解：由题意可知()()213316451ααβααββαβαβ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪+++⎩ 解：（1）设λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知 由题意可知.0,)()|,,(),,|(.0,)()(.,2,1,0,)|()|,,()(121211112111>∑∝•∝>Γ==>∑===+--+---=-===∏∏λλλπλλπλλαβλπλλλλλβαβλααλλni i ni iix n n n i x nni x ni i n ex x x p x x x e n i x eex p x x x p ΛΛΛΛ所以(,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布。

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