二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计说明

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二倍角的正弦余弦正切公式教学设计

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计王祥教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.教学目标1.知识与技能：通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.情感态度价值观：通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.课时安排1课时教学过程导入新课(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉. sin(α+β)=sin （S 2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cosα,则2cos 2α-2cosα-1=0,即cosα=231-(cosα=231+舍去). 若ta n2α=2tanα,则aa 2tan 1tan 2-=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）例题讲解：例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由4π<α<2π,得2π<2α<π. 又∵sin2α=135, ∴cos2α=a 2sin 12--=1312)135(12-=--. 于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(1312-)=169120-; cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=129119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)×119169=119120-. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.课后作业课本习题3.1 A组15、16、17.课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.课后反思：1.新课改的核心理念是：以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程还是比较流畅的.2.纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣.。

二倍角的正弦余弦正切公式教案

过程与方法：
引导学生积极参与到推导过程当中
情感态度价值观：
树立辩证思维的能力，培养学生创新能力。
教学重点
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式
教学难点
二倍角的理解及其灵活运用
教学内容
操作细则
一、引入新课及学习目标展示［3分钟］
1.引入新课：一、复习准备：
大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
；
；
．
2.学习目标展示［2分钟］
1，会借助于两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式
2，灵活运用二倍角公式进行简单的恒等变换.
二、自学指导［30分钟］
我们已经知道两角和的正弦、余弦、正切公式
；
；
．
思考：当 = 这些公式会变成怎么样呢？
新课教学：
；
；
思考：把上述关于的式子能否化为只含有或形式的式子吗？；．
4．若cos2= ,则sin4– cos4=.
三、计算题
四、选做题
导入部分：
激发学生学习兴趣，使学生对本节课要学内容有大概了解
使学生对本节课所学内容和要达到的目标有清晰的了解
根据课本思考老师
提出的问题，
并积极回答。
指导学生归纳小结
并进行本章内容整体衔接
清学稿中的练习题应精选择，针对性要强，梯度要好，关键是做好引导，步步深入。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式清学稿
一、选择题
1．已知sin cos = ，且 < < ,则cos －sin 的值为（）
A． B． C． D．
2．函数是（）
A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数

高中数学必修4《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

课题: 二倍角的正弦、余弦、正切公式教材:人教A版高中数学必修4§3.1.3第一课时一、教学目标1.知识目标：以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。

2.能力目标：灵活运用二倍角公式，培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3.德育目标：激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，培养学生的发散性思维、创新意识，提高数学素养。

二、教学重点与难点重点：掌握二倍角公式，灵活运用二倍角公式解决有关问题。

难点：二倍角公式的灵活运用，培养学生的转化、化归的数学思想。

三、教学方法与手段教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学并通过多媒体辅助教学。

四、教学过程二倍角的正弦、余弦、正切公式教案说明在教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学，逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发现”。

整个教学过程的设计主要体现以下五点：第一、提出问题，纠正学生常犯直觉性错误,激发学生新的求知欲。

引导学生自主探究二倍角公式，让学生亲身经历公式的“发现”过程。

这样设计突出学生的主体地位，能够让学生明白知识的来龙去脉，加深对知识的理解，培养学生的探究意识和丰富的联想能力。

第二、在学生推导出二倍角公式后，立即让学生做些简单练习，目的是为了使学生更好的理解、运用和记忆二倍角公式，以及让学生感到找出C公式变形的必要性。

2第三、在解题教学过程中，启发学生先分析条件与求解目标之间的差异，然后选择适当的公式，明确解题思路，最后严格规范解答过程，培养逻辑思维能力。

通过一题多解训练学生发散性思维，培养学生创新意识，提高学生的数学素养。

第四、为巩固所学知识，本设计通过设置多重练习，让学生能更深刻的认识公式特点，感受公式的各种形式运用，提高灵活运用公式的能力。

二倍角的正弦余弦正切公式教学设计

二倍角的正弦余弦正切公式教学设计一、教学目标：1.理解二倍角的概念及其在三角函数中的应用。

2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

3.能够灵活运用二倍角公式解决相关的三角函数题目。

二、教学重点：1.二倍角的概念及应用。

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式。

三、教学难点：1.理解并应用二倍角公式解决复杂的三角函数问题。

四、教学过程：Step 1：导入引入（10分钟）1.利用平时学过的知识，复习一下三角函数的基本概念和公式，引导学生回忆起正弦、余弦、正切的定义。

2.提问：二倍角是什么？它在三角函数中有什么应用？Step 2：引出二倍角公式（15分钟）1.导入：给学生出示一道题目：已知角A的正弦值是0.5，求角2A 的正弦值。

学生尝试解答，引导他们思考角2A和角A之间的关系。

2.引导发现：令角2A为B，可知2A=B，角A=A/23. 定义：将A/2称为角A的二倍角（denote：2A）。

4.解题思路：利用三角函数的定义，将角A的正弦值解析成二倍角的正弦值，然后求解。

Step 3：二倍角正弦公式的推导和应用（25分钟）1. 推导：由三角函数的定义，我们可以得到正弦的二倍角公式：sin(2A)=2sinAcosA。

通过几何分析和三角函数的性质，可以推导出该公式。

2.例题：给学生出示几道题目，要求用二倍角公式计算正弦的值。

让学生在计算过程中理解公式的应用和意义。

3.错题讲解：对学生在计算过程中容易出错的题目进行整理和讲解，加深学生对二倍角公式的理解和应用能力。

Step 4：二倍角余弦公式的推导和应用（25分钟）1. 推导：利用三角函数的关系，可以推导出余弦的二倍角公式：cos(2A)=cos2A-2sin²A。

2.例题：给学生出示几道题目，要求用二倍角公式计算余弦的值。

让学生在计算过程中理解公式的应用和意义。

3.错题讲解：对学生在计算过程中容易出错的题目进行整理和讲解，加深学生对二倍角公式的理解和应用能力。

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》微格教案

微格教学教案
设计者：
教学对象：高中一年级
科目：数学
课题：二倍角的正弦、余弦、正切公式
主要教学技能：导入技能、讲解技能、提问技能、评价技能。

教学目标：
知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形。

过程与方法：经过观察、探索过程，体会类比推理的数学思想。

情感态度与教学观：通过学习，使学生进一步掌握辩证唯物主义联系的观点。

教学重点：以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式以及二倍角公式的运用。

教学难点：二倍角公式的证明及运用。

教学过程
备注：教学技能要素填写：综合技能、导入技能、讲解技能、提问技能、演示技能、提问技能、评价技能等。

设计时间一般不超过十五分钟。

第9课二倍角的正弦、余弦和正切

合作探究的
= −
=
1 例题分析
例1
能力

.
−
学生积极思考，认真
求值.
听讲，积极回答问题
(1)15° 15° ；(2) 2
(3)

− 2 ；
8
8
215°
1 − 2 15°
例 1 当发现三
角式的形式
与二倍角公
的值.
解
1
已知2 = 2 2 − 1 = − 2
1
求得 2 = 4

1
又因为 ∈ ( 2 ，) ，所以 = − 2.
练习 3
1

已知 − = 2 , 且 ∈ ( 2 ，)，
求2.
解已知
1
− = 2
1
两边平方，得2 − 2 + 2 = 4
1
即1 − 2=4
3
所以2 = 4
通过学生小
通过学生小结，梳理结，梳理所学
所学内容提升对本节内容提升对
四、归纳小结
知识的学习理解。
本节知识的
本节课学习了正弦、余弦、正切的二倍角
学习理解，回
公式，并运用此公式求解某些具体问题，对于
顾本节课重
二倍角变形公式，根据具体情况需要灵活使用。
30°
√3
= .
3
4

已知 = 5, 且 ∈ ( 2 ，)，求
例2
4
角的三个公
式，正切的值
直接由同角
三角函数的
2,2,2的值.
解
例 2 熟练二倍

因为 = 5,且 ∈ (2 ，)，
3
所以 = − .

二倍角的正弦、余弦、正切公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式第一课时教学设计一、教材分析《二倍角的正弦、余弦、正切公式》是《普通高中课程标准实验教科书·数学（4）》（人教A版）的3.1.3节，本节作为第一课时，主要是围绕二倍角公式的推导及初步应用展开学习研究。

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

通过《三角恒等变换》这一章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。

二倍角公式是三角函数中一组非常重要的公式，它是在学习完两角和与差的三角公式的基础上，通过联系研究推理得到的一组公式。

首先，二倍角公式是两角和的三角公式的特殊形式，可以看作是其的推论，同时，二倍角公式又为研究三角函数的图象与性质等问题提供了又一必备的重要的工具。

其次，二倍角公式的应用也比较广，在三角函数式的计算、化简、证明等简单应用中都会涉及到。

本节课的教学重点是通过探索和讨论交流，导出二倍角的正弦、余弦和正切公式，了解它们与两角和公式的联系，并能应用这些公式进行一些应用。

教学难点是在三角变换中，“倍”的相对性、“换元”以及公式反用等对思维灵活性要求较高，对公式理解和掌握要求更全面和深刻。

二、目标分析1、知识与技能（1）通过复习回顾，让学生熟知两角和与差的三角公式；（2）通过探索研究，使学生掌握二倍角公式与和角公式的关系；（3）通过深入学习，使学生掌握二倍角公式在三角变换中的简单应用。

2、过程与方法（1）通过二倍角公式的导出过程，领悟一般到特殊的思想方法，掌握类比方法及理解三角公式间的内在联系；（2）应用二倍角等公式解决三角恒等变换中的一些问题，寻求常规通性解法和切入点，并掌握这类方法，从而体会合作学习的过程；（3）体会数学思想，特别是换元和转化与化归等数学思想。

3、情感态度价值观（1）通过本节内容的学习，培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物间的联系及相互转化的辩证唯物主义观点；（2）培养学生的分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，要求考生具有较强的知识迁移能力，通过学习体验多种数学思想在解题中的应用；（3）通过设置多层次问题系列，培养学生的数学解题意志、习惯和个性素养，激发学生学习兴趣和热情。

二倍角正弦、余弦、正切公式教案

二倍角正弦、余弦、正切公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。

2. 使学生能够灵活运用二倍角正弦、余弦、正切公式解决相关问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

二、教学内容：1. 二倍角正弦公式：sin2α= 2sinαcosα2. 二倍角余弦公式：cos2α= cos^2αsin^2α= 2cos^2α1 = 1 2sin^2α3. 二倍角正切公式：tan2α= (tanα+ tan(α+π))/(1 tanαtan(α+π)) = (tanα+ tanα)/(1 tan^2α) = 2tanα/(1 tan^2α)三、教学重点与难点：1. 教学重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程及应用。

2. 教学难点：二倍角正切公式的推导过程及应用。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。

2. 运用例题，让学生在实践中掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。

3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。

五、教学步骤：1. 导入新课，回顾一倍角正弦、余弦、正切公式。

2. 引导学生利用已知公式，推导二倍角正弦、余弦、正切公式。

3. 通过例题，演示二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。

4. 组织学生进行练习，巩固所学知识。

六、课后作业：（1）已知sinα= 1/2，求sin2α的值。

（2）已知cosα= √2/2，求cos2α的值。

（3）已知tanα= 1，求tan2α的值。

七、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程，培养学生逻辑思维能力和运算能力。

针对不同学生的学习情况，给予适当的辅导，提高教学质量。

注重培养学生的合作学习意识，提高课堂参与度。

六、教学拓展：1. 引导学生探讨二倍角公式的推广，例如三倍角、四倍角公式。

2. 分析二倍角公式在实际问题中的应用，如测量、导航等领域。

七、课堂小结：2. 强调二倍角公式在解决实际问题中的重要性。

(完整版)二倍角正弦、余弦、正切公式教案

二倍角的正弦、余弦、正切王业奇sin sin αtan tan 1tan tan αβαβ±提出问题:若β=α，则得二倍角的正弦、一、例题:例一、（公式巩固性练习)求值: 1．sin2230'cos2230’=4245sin 21=2．=-π18cos 22224cos =π 3．=π-π8cos 8sin 22224cos -=π- 4．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sincos )(sin cos )12121212ππππ+- 225553sin cos cos 121262πππ=-=-=2．=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3．=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 224．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+例三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值.解：sin2cos2=57tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 2222222=θ+-θ+θ=θ+θθ-θ+θ例四、条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ+θ2cos 2sin ，那么甲是乙的什么条件？解:=θ+sin 1a =θ+θ2)2cos 2(sin即a =θ+θ|2cos 2sin |当在第三象限时，甲乙；当a > 0时,乙甲∴甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.例五、(P43 例一）已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2，cos2，tan2的值。

解：∵),2(,135sin ππ∈α=α∴1312sin 1cos 2-=α--=α∴sin2 = 2sin cos = 169120-cos2 = 169119sin 212=α-tan2 = 119120-∵1)42sin(1≤π+≤-x ∴]221,221[+-∈y例二、求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与无关的定值。

(二倍角的正弦·余弦·正切公式)教学设计

“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。

发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。

阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。

皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。

教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。

“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。

2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。

3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。

学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。

从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。

二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案教学设计：二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.知识目标：1)理解两角和的正弦、余弦和正切公式，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。

2)通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2.能力目标：通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3.情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。

在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键1.教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式。

2.教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。

3.关键：二倍角的理解。

三、学法指导学法：研讨式教学。

四、教学设想1.问题情境复回顾两角和的正弦、余弦、正切公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。

思考：在这些和角公式中，如果令β=α，会有怎样的结果呢？2.建构数学公式推导：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα；cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα的式子呢？cos2α=cos2α-sin2α=1-si n2α-sin2α=1-2sin2α；cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1.以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看，倍角公式给出了α与2α的三角函数之间的关系。

既公式中等号左边的角是右边角的2倍。

所以，确切地说，这组公式是二倍角的正弦、余弦、正切公式，这正是本节课要研究的内容。

“二倍角的正弦、余弦、正切”的教学设计共3页

“二倍角正弦、余弦、正切”教学设计三角函数是中学数学重要内容之一，它基础主要是几何中相似形与圆，研究方法主要是代数中式子变形与图像剖析，因此，三角函数研究已经初步把几何与代数联系起来了，高等数学、物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科，都要经常用到三角函数及其性质，所以，这些内容既是解决生产实际问题工具，又是学习高等数学学科基础。

“二倍角正弦、余弦、正切”课堂教学内容较多，分三课时，主要公式有倍角公式、半角公式、与差化积公式、积化与差公式，以下是对第一课时教学设计。

以往对于本节课教学感觉是公式多、逻辑性强，但并不难讲，往往是把公式在黑板上给学生推导出来，让学生强化记住，然后会用公式解决问题就达到目了，结果教师与学生都感到很枯燥乏味。

按照《数学课程标准》要求，学生数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿与练习，还应倡导自主剖析、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学方式，使学生学习过程成为在教师引导下“再创造”过程．那么，如何在教学中体现这个过程，怎样才能使学生积极主动地学习，让学生养成独立思考、积极剖析习惯呢?一、创设问题情境，激发学生学习兴趣以本章引言中与学生生活直接相关绿地面积问题引入新课，培养学生数学建模思想，激发学生学习兴趣。

S＝a2?2sinθcosθ这是以θ为自变量函数，当θ取什么值时使s达到最大呢?在上节课基础上，提问正弦、余弦、正切与角公式，欲扬先抑，温故而知新。

二、公式推导在正弦、余弦、正切与角公式基础上请学生推导出：循序而渐进，在已有知识基础上将一般化归为特殊，新知识提出与学习符合学生认知规律。

提出问题：除以上用单角三角函数表示倍角三角函数公式外，你还能够写出更多公式吗?给学生充分自由，引导学生去剖析，对于倍角余弦、正切，学生一定能写出更多公式，教师给予鼓励。

(学生很可能会发现万能公式与二倍角余弦公式其他形式。

)让学生体验数学公式发现与创造历程，发展他们创新意识．三、例题剖析给学生时间阅读教材中例题，培养学生阅读自学能力，发现问题、解决问题能力与数学应用意识。

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计一、教学目标1.知识与技能：掌握二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，能够运用这些公式进行计算和化简。

2.过程与方法：通过探究、讨论、练习等方式，培养学生的数学思维能力，提高解题技巧。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

二、教学重点与难点1.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切函数公式的推导与应用。

2.教学难点：二倍角公式的推导过程及运用过程中的符号变化。

三、教学过程1.导入新课（1）复习回顾：引导学生回顾初中阶段学习的正弦、余弦、正切函数的定义及性质。

（2）提出问题：如何利用已知的三角函数公式来推导二倍角的三角函数公式？2.探究新知（1）引导学生利用正弦、余弦、正切的定义，结合三角形的面积公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切函数公式。

（2）教师引导学生进行推导，并解释推导过程中的关键步骤。

3.应用练习（1）教师给出一些简单的二倍角问题，让学生运用新学的公式进行解答。

（2）学生互相交流，分享解题过程和心得。

（3）教师点评，指出学生解题过程中的优点和不足。

4.拓展延伸（1）引导学生探讨二倍角公式在解三角形、化简三角函数表达式等方面的应用。

（2）学生举例说明，教师点评。

（2）学生反馈学习过程中的疑问和收获。

6.作业布置（1）教材P页习题1、2、3。

（2）思考：如何利用二倍角公式化简三角函数表达式？四、教学反思1.本节课通过引导学生探究二倍角公式的推导过程，让学生体会到了数学的严谨性和美感，提高了学生的学习兴趣。

2.在应用练习环节，学生能够积极参与，互相交流，提高了解题技巧。

3.在拓展延伸环节，学生能够将二倍角公式应用于实际问题，培养了学生的数学思维能力。

4.教学过程中，部分学生对二倍角公式的符号变化掌握不够熟练，需要在课后加强练习。

5.教师在课堂上要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，提高教学效果。

五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度、合作交流情况等。

【新课标必修】《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学案例

课题 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学目标：知识目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.能力目标：培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；情感态度与价值观：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.教学重点难点：1．重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；2．难点：二倍角的理解及其灵活运用。

教法与学法：1．教法选择：研究性学习方式——“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。

教学过程：一、设置情境，激发探索二、归纳总结，变式演练三、归纳小结，课堂延展教学设计说明1．教材地位分析：本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.2．学生现实分析：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律3.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法。

课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法。

本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够更好地开展研究性学习活动4．让计算机和多媒体真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用。

二倍角的正弦余弦正切公式教学设计

二倍角的正弦余弦正切公式教学设计教学设计：二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导和应用。

2.能力目标：能够运用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决与角的问题相关的实际问题。

3.情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习的主动性，增强学生解决数学问题的能力和自信心。

二、教学重点和难点1.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导和应用。

2.教学难点：如何合理组织教学过程，使学生能够深入理解和掌握推导的过程。

三、教学准备1.教学工具：教学投影仪、电脑等。

2.教学材料：教材、课件、作业等。

四、教学过程步骤一：导入与激发兴趣（5分钟）通过呈现一个有趣的问题或实例，引导学生思考与角度相关的问题，如：正方形的对角线与边的关系。

步骤二：引入新知识（10分钟）1.提问：角的划分方式有哪些，我们平时常用到哪些角？2.引导学生探讨正弦、余弦、正切函数的定义、性质及其在解决实际问题中的应用。

3.引出二倍角的概念，引导学生思考二倍角的特点和应用场景。

步骤三：推导公式（15分钟）1.通过图形、实例等方式，引导学生发现二倍角的公式特点。

2.带领学生一起推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并将推导过程记录在板书或课件上。

3.解释推导过程中的关键步骤和思路，确保学生理解推导的逻辑性和连贯性。

步骤四：应用与实践（25分钟）1.师生共同解答一些典型的二倍角问题，通过这些问题巩固学生对二倍角公式的理解和应用。

2.引导学生合作解决一些与角度相关的实际问题，如海上航行问题、建筑物的阴影问题等，通过应用二倍角公式解决实际问题。

3.教师还可以设计一些拓展问题，让学生自主思考，并分享解题思路和方法。

步骤五：巩固与拓展（15分钟）1.出示一些相关的练习题，让学生独立或小组完成，拓展学生对二倍角公式的应用能力。

2.引导学生总结二倍角的相关知识点和公式，整理笔记，加深理解。

步骤六：课堂小结与反思（5分钟）对本堂课的重点内容进行小结，并提问学生是否有任何疑问或不明白的地方。

二倍角的正弦余弦正切公式教学设计

二倍角的正弦余弦正切公式教学设计教学设计：二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.掌握二倍角的概念和性质。

2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程。

3.能够灵活运用二倍角的公式求解相关题目。

二、教学内容1.二倍角的概念和性质。

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程。

3.二倍角公式的应用。

三、教学过程步骤一：导入与引入1.导入通过展示一道简单的题目引入二倍角的概念。

例如：已知角α的弧度为π/6，求角2α的弧度。

2.引入引导学生思考，当已知一些角的弧度时，如何求解其二倍角的弧度。

步骤二：二倍角的定义与性质1.定义向学生阐述二倍角的概念：设θ为任意角，则它的二倍角记作2θ。

2.性质向学生介绍二倍角的几个重要性质：(1) 正弦：sin2θ = 2sinθcosθ(2) 余弦：cos2θ = cos²θ - sin²θ(3) 正切：tan2θ = (2tanθ)/(1-tan²θ)步骤三：二倍角公式的推导1.正弦二倍角公式的推导(1)推导思路：利用三角函数的和差化简公式进行推导。

(2)按照推导步骤依次进行：a. sin2θ = sin(θ+θ)b. 根据和差化简公式 sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB，展开得到sin(θ+θ) = sinθcosθ + cosθsinθc. 化简得sin2θ = 2sinθcosθ2.余弦二倍角公式的推导(1)推导思路：同样利用三角函数的和差化简公式进行推导。

(2)按照推导步骤依次进行：a. cos2θ = cos(θ+θ)b. 根据和差化简公式 cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB，展开得到cos(θ+θ) = cos²θ - sin²θc. 化简得cos2θ = cos²θ - sin²θ3.正切二倍角公式的推导(1)推导思路：利用相除消去的方法进行推导。

二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计说明

二倍角的正弦余弦正切公式教学设计

二倍角的正弦余弦正切公式教案

高中数学必修4《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

二倍角的正弦余弦正切公式教学设计

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》微格教案

第9课 二倍角的正弦、余弦和正切

二倍角的正弦、余弦、正切公式

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(完整版)二倍角正弦、余弦、正切公式教案

(二倍角的正弦·余弦·正切公式)教学设计

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“二倍角的正弦、余弦、正切”的教学设计共3页

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计

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