15年高考真题——理科数学(湖北卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．i 为虚数单位，607

i

=（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-

2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石

3．已知()1n

x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）12

2 （B ）11

2 （C ）10

2 （D ）9

2

4．设()211,X

N μσ，()2

22,Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结

论中正确的是（ ） （A ）()()21P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）()()21P X P X σσ≤≤≤

（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥

5．设12,,

,n a a a R ∈，3n ≥，若p ：12,,

,n a a a 成等比数列；

q ：()()()2

22

222

2

1212312231n n n n a a a a a a a a a a a a --++

+++

+=++

+，则（ ）

（A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

（B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件

（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

6．已知符号函数()()()

10sgn 0010x x x x >⎧⎪

==⎨⎪

-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()g x f x f ax =-，

其中1a >，则（ ） （A ）()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦ （B ）()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦ （C ）()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ （D ）()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

7．在区间[]0,1上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1

2

x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤

”的概率，3p 为事件“12

xy ≤1

2xy ≤”的概率，则（ ）

（A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p <<

8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加()0m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） （A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 9．设集合(){}2

2,|1,,A x y x

y x y Z =+≤∈，(){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，

定义集合()()(){}1

2

1

2

1

1

2

2

,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=

++∈∈，

则A B ⊕中元素的个数为（ ） （A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30

10．设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数。若存在实数t ，使得[]1t =，2

2t ⎡⎤=⎣⎦，…，n

t n ⎡⎤=⎣⎦同时成立

．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

二．填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填

在答题卡对应题号．．．．．．．

的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 （一）必考题

11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= 。 12．函数()()2

4cos

cos 2sin |ln 1|22x f x x x x π⎛⎫

=---+ ⎪⎝⎭

的零点个数为 。

13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北0

30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北075的方向上，仰角为0

30，则此山的高度CD = m 。

14．如图，圆C 与x 轴相切于点()1,0T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且||2AB =。⑴圆C 的

标准．．

方程为 ；⑵过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①||||||||NA MA NB MB =；②||||

2||||NB MA NA MB -=；

③

||||

||||

NB MA NA MB +=。其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）。

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你