15年高考真题——理科数学(湖北卷)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(湖北卷)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.i 为虚数单位,607
i
=( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石
3.已知()1n
x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A )12
2 (B )11
2 (C )10
2 (D )9
2
4.设()211,X
N μσ,()2
22,Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结
论中正确的是( ) (A )()()21P Y P Y μμ≥≥≥ (B )()()21P X P X σσ≤≤≤
(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥
5.设12,,
,n a a a R ∈,3n ≥,若p :12,,
,n a a a 成等比数列;
q :()()()2
22
222
2
1212312231n n n n a a a a a a a a a a a a --++
+++
+=++
+,则( )
(A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件
(B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件
(D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件
6.已知符号函数()()()
10sgn 0010x x x x >⎧⎪
==⎨⎪
-<⎩,()f x 是R 上的增函数,()()()g x f x f ax =-,
其中1a >,则( ) (A )()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦ (B )()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦ (C )()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (D )()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
7.在区间[]0,1上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“1
2
x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤
”的概率,3p 为事件“12
xy ≤1
2xy ≤”的概率,则( )
(A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p <<
8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加()0m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( ) (A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < (C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 9.设集合(){}2
2,|1,,A x y x
y x y Z =+≤∈,(){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈,
定义集合()()(){}1
2
1
2
1
1
2
2
,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=
++∈∈,
则A B ⊕中元素的个数为( ) (A )77 (B )49 (C )45 (D )30
10.设x R ∈,[]x 表示不超过x 的最大整数。若存在实数t ,使得[]1t =,2
2t ⎡⎤=⎣⎦,…,n
t n ⎡⎤=⎣⎦同时成立
....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6
二.填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分。请将答案填
在答题卡对应题号.......
的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 (一)必考题
11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ⋅= 。 12.函数()()2
4cos
cos 2sin |ln 1|22x f x x x x π⎛⎫
=---+ ⎪⎝⎭
的零点个数为 。
13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北0
30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北075的方向上,仰角为0
30,则此山的高度CD = m 。
14.如图,圆C 与x 轴相切于点()1,0T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且||2AB =。⑴圆C 的
标准..
方程为 ;⑵过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①||||||||NA MA NB MB =;②||||
2||||NB MA NA MB -=;
③
||||
||||
NB MA NA MB +=。其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号)。
(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你