线性代数(课后习题)

(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； 的行向量组线性相关， 的行向量组线性相关 的行向量组线性相关； 的行向量组线性相关 (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。 的行向量组线性相关， 的列向量组线性相关 的列向量组线性相关。 的行向量组线性相关 3. 设A为n×m矩阵 B为m×n矩阵 其中 矩阵, 矩阵, 为 × 矩阵 为 × 矩阵 其中n<m, I为n阶单 为 阶单 的列向量线性无关。 位阵 , 若AB=I, 则B的列向量线性无关。 的列向量线性无关 4. 求下列向量组α1, α2, α3, α4的极大无关组。 的极大无关组。
第五章 相似矩阵
1. 设A为准对角阵 为准对角阵
A1 A= A2 O , Ak
证明： ,k的特征值为 的特征值为A的特征值。 证明：Ai ,i=1,2, …,k的特征值为A的特征值。 2. 已知三阶方阵 的特征值为 已知三阶方阵A的特征值为 的特征值为1,2,3，求(2A)−1及A*的 ， 的 特征值。 特征值。
解：令A= (α1, α2, α3,α4)，把矩阵 化为行标准形 ，把矩阵A化为行标准形
1 2 A= −1 2 −1 1 0 − 2 0 1 → 0 0 1 −2 −2 1 4 1 0 0 2 4 2 4
1 0 − 1 =B 0 0 0 0 2
2 −1 2 8. 设 A = 5 b 3 ， 已知 | A |= −1, A的伴随矩阵A* −1 0 − 2 的特征值λ0 对应的特征向量为α = (−1,−1,1)T , 求b与λ0。
9. 设n阶方阵A的秩为r且 A2 = A， (1) 求A的特征值； (2) 证明I − A的秩为n − r； (3) 证明A相似于对角阵，并写出 对角阵。
1 1 2 2. 设 A = 2 2 4 ， 求一个秩为2的矩阵B使得AB = O。 3 3 6
3. 设n阶方阵A的列向量组为α1 , α 2 , L , α n , 它的极大无 关组为α1 , α 2 , L , α n −1 , 又α n = −α1 − α 2 − L − α n −1， 求齐次线性方程组 Ax = 0的通解。
2 γ1 − γ 2 (c) k1α1 + k 2 (γ 1 + γ 2 ) + 2 (a ) k1α1 + k 2 (α1 + α 2 ) +
γ1 − γ 2
2 γ1 + γ 2 (d ) k1α1 + k 2 (γ 1 − γ 2 ) + 2
(b) k1α1 + k 2 (α1 − α 2 ) +
6. 设三阶方阵A的特征值为1,2,3， 所对应的特征向量 分别为α1 = (1,1,1)T , α 2 = (1,2,4)T , α 3 = (1,3,9)T ， 设β = (1,1,3)T 。 (1) 将β 用α1 , α 2 , α 3线性表出； (2) 求An β ( n为正整数)。
7. 设n阶方阵A ≠ O，且存在m ≥ 2使得Am = O, (1) 证明A的所有特征值为0； (2) 证明A不能相似于对角阵。
5. 集合 1={x=(x1, x2 ,…,xn)T|x1,x2,…, xn∈R且 集合V 且 x1+x2+…+xn=0}是向量空间； 是向量空间； 是向量空间 集合V 集合 2={x=(x1, x2 ,…,xn)T|x1,x2,…, xn∈R且 且 x1+x2+…+xn=1}不是向量空间。 不是向量空间。 不是向量空间
− 3 2 , 求 Ak . 3. 设 A = − 2 2
4.已知三阶方阵A的特征值为1,0,−1, 所对应的特征向量 分别为α1 = (1,2,2)T , α 2 = (2,−2,1)T , α 3 = (−2,−1,2)T , 求 A.
0 0 1 5. 设 A = x 1 y ， A相似于对角阵， x, y满足的条件。 若 求 1 0 0
第一章 行列式
1. (1) 设α1, α2, α3, β1, β2均为 维列向量，且|α1 α2 均为4维列向量 维列向量， α3 β1|=m，|α1 α2 β2 α3|=n，求|α3 α2 α1 β1+β2 |。 ， 求 。 (2) 设α1, α2为2维列向量，矩阵Α=(2α1+α2 α1− α2 ) ， 维列向量， 维列向量 Β=(α1 α2 )，若|Α|=6，求|Β|。 ， 求 。 2. 设A为n阶矩阵 为奇数 满足 TA=I, |A|>0，求 阶矩阵(n为奇数 为 阶矩阵 为奇数), 满足A ， |I−A|。 。
6. 设n阶方阵 的各行元素之和均为零，且r(A)=n-1， 阶方阵A的各行元素之和均为零 阶方阵 的各行元素之和均为零， 求线性方程组Ax=0的通解。 的通解。 求线性方程组 的通解 7. 设γ1,γ2为非齐次线性方程组 为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解， 的两个不同的解， 的两个不同的解 α1, α2为它的导出方程组 为它的导出方程组Ax=0的基础解系，则Ax=b的 的基础解系， 的基础解系 的 通解为( ) 通解为
10. 设α为方阵A的特征向量且B = P −1 AP, 则下列向量 哪些是B的特征向量 ( ( A) α ( B ) Pα ). (C ) P −1α ( D) PT α
第四章 线性方程组
1. 设线性方程组Ax = b的增广矩阵对应的行标 准型为 1 2 0 1 5 0 0 1 3 4 , 求方程组的通解。
α1 = (2, 3, 4, 5) , α2 +α3 = (1, 2, 3, 4) ,
T T
求方程组的通解。 求方程组的通解。
第三章 向量空间
1. 设向量组α,β,γ 线性无关,向量组α,β,δ 线性相关， 线性无关, 线性相关， 则( ) (A) (B) (C) (D)
α必可由β,γ,δ 线性表出； 线性表出； β必不可由α,γ,δ 线性表出； 线性表出； δ必可由α,β,γ 线性表出； 线性表出； δ必不可由α,β,γ 线性表出。 线性表出。
γ1 + γ 2
8. 设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组 矩阵， 为 × 矩阵 则齐次线性方程组Ax=0仅有零解 仅有零解 的充要条件为( ) 的充要条件为 (A) A的列向量组线性无关； 的列向量组线性无关； 的列向量组线性无关 (B) A的列向量组线性相关； 的列向量组线性相关； 的列向量组线性相关 (C) A的行向量组线性无关； 的行向量组线性无关； 的行向量组线性无关 (D) A的行向量组线性相关。 的行向量组线性相关。 的行向量组线性相关 9. 设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 ，α1, 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3， 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 α2, α3是它的三个解向量，且 是它的三个解向量，
分别为m阶和 阶可逆矩阵， 设A,B分别为 阶和 阶可逆矩阵，则： 分别为 阶和n阶可逆矩阵
A O A = O B O
−1
−1
O ; B−1
O A O B−1 = −1 B O A O
−1
1 2 2 −1 2 4 4 − 2 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = −1 1 −2 −2 2 1 4 1
3. 设A,B,A+B及A−1+B−1均为 阶可逆矩阵 则 均为n阶可逆矩阵 阶可逆矩阵，则 及 (A−1+B−1)−1=( ) (A) A−1+B−1 (C) A(A+B)−1B (B) A+B (D) (A+B)−1
4. 设A3 = 2 I , 求( A + 2 I ) −1.
5. 设A为3阶可逆方阵，将A的第一行与第三行互换 后得矩阵B, 证明B可逆, 并求AB −1.
)Baidu Nhomakorabea
2. 设A,B为非零矩阵且满足 为非零矩阵且满足AB=O，则( ， 为非零矩阵且满足
(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； 的列向量组线性相关， 的行向量组线性相关 的行向量组线性相关； 的列向量组线性相关 (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； 的列向量组线性相关， 的列向量组线性相关 的列向量组线性相关； 的列向量组线性相关
− (A) (A*)* = |A|n−1A − (C) (A*)* = |A|n−2A
(B) (A*)* = |A|n+1A (D) (A*)* = |A|n+2A
2. 设A,B均为 阶方阵 若AB=A+B，证明 均为n阶方阵 均为 阶方阵，若 ，证明A−I 可逆且AB=BA。 可逆且 。 阶方阵， 可逆的充要条件有： 设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件有： 为 阶方阵 可逆的充要条件有 (1) 存在 阶方阵 ，使得 存在n阶方阵 阶方阵B，使得AB=I(或BA=I)； 或 ； (2) |A|≠0； ； (3) r(A)=n； ； (4) n元齐次线性方程组 仅有零解； 元齐次线性方程组Ax=0仅有零解； 仅有零解 (5) A的行 列)向量线性无关 的行(列 向量线性无关 向量线性无关； 的行 (6) A可以表示为一些初等矩阵的乘积； 可以表示为一些初等矩阵的乘积； 可以表示为一些初等矩阵的乘积 (7) A的特征值均不为零。 的特征值均不为零。 的特征值均不为零 求逆矩阵的方法有： 求逆矩阵的方法有： (1) 伴随矩阵法；(2) 初等变换法；(3) 分块矩阵法。 伴随矩阵法； 初等变换法； 分块矩阵法。
6.已知r (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3, r (α1 , α 2 , α 3 , α 5 ) = 4, 证明 r (α1 , α 2 , α 3 , α 5 - α 4 ) = 4。
第二章 矩阵
阶方阵， 设A为n阶方阵，则： 为 阶方阵 (1) AA* = A*A= |A|I； A可逆当且仅当 *可逆。 可逆当且仅当A ； 可逆当且仅当 可逆。 − (2) |A*|=|A|n−1； A* =|A|A−1； (A* )−1 = |A|−1A； (A−1)* = |A|−1A ； 1. 设A为n阶可逆方阵 则： 阶可逆方阵，则 为 阶可逆方阵
4. 设A为n阶方阵, | A |= 0 且A* ≠ O，证明A*的任一非零 的列都构成齐次线性方 程组Ax = 0的基础解系。
5. 设β 为非齐次线性方程组 Ax = b的一个解, α1 , α 2 , L , α r 为Ax = b的导出方程组Ax = 0的基础解系，证明
β , α1 + β , α 2 + β ,L , α r + β为Ax = b的r + 1个线性无关的解。