高数下期末复习内容

期末复习主要内容

第七章向量代数与空间解析几何

§7.1 向量代数

一、空间直角坐标系

二、向量概念：a →

＝x i →

+y j →

+z k → 坐标(),,x y z 模a →

＝222x y z ++ 方向角,,αβγ 方向余弦cos ,cos ,cos αβγ

cos α＝

x x y z

++ ； cos β＝

y x y z

++ ； cos γ＝

z x y z

三、向量运算：设a →

()1,11,x y z ； b →()2,22,x y z ；c →

()3,33,x y z 加（减）法 a →

±b →

＝()12,1212,x x y y z z ±±± 数乘 ()111,,a x y z λλλλ→

数量积（点乘）（ⅰ）定义a →

·b →

=a →b →

cos ,a b →→??∠ ???

（ⅱ）坐标公式a →·b →=12x x +12y y +12z z （ⅲ）重要应用a →·b →=0?a →⊥b →

4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义a →?b →

＝a b →→

sin ,a b →→

??∠ ??? a →

?b →与a →和b →皆垂直，且a →，b →，a →?b →

构成右手系

（ⅱ）坐标公式a →?b →

112

x y z x y z →

→

（ⅲ）重要应用a →?b →=0→?a →，b →

共线 5、混合积（ⅰ）定义（a →

，b →

，c →

）＝（a →

?b →

）·c →

（ⅱ）坐标公式（a →

，b →

，c →

）=1112

223

x y z x y z x y z （ⅲ）,,a b c →→→??

???

表示以a →，b →，c →

为棱的平行六面体的体积

§7.2 平面与直线

一、空间解析几何

1 空间解析几何研究的基本问题。

（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，

（2）已知坐标x ，y 和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。

2 距离公式空间两点()111,,A x y z 与()222,,B x y z 间的距离d 为

()()()222

212121d x x y y z z =

-+-+-

3 定比分点公式(),,M x y z 是AB 的分点：

λ=,点A,B 的坐标为()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则 121x x x λλ+=

+，121y y y λλ+=+，12

1z z z λλ+=+ 当M 为中点时， 122x x x +=，122y y y +=，122

z z

z += 二、平面及其方程。

1 法向量：与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，通常记成n 。对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。

2 点法式方程：已知平面π过()000,,M x y z 点，其法向量n ＝{A,B,C},则平面π的方程为 ()()()0000A x x B y y C z z -+-+-= 或 ()00n r r ?-= 其中 {}{}0000,,,,,r x y z r x y z ==

3 一般式方程：0Ax By Cz D +++=其中A, B, C 不全为零. x, y, z 前的系数表示π的法线方向数，n ＝{A,B,C}是π的法向量

特别情形： 0Ax By Cz ++=，表示通过原点的平面。 0Ax By D ++=，平行于z 轴的平面。 0Ax D +=，平行yOz 平面的平面。

x ＝0表示yOz 平面。

4 三点式方程：设()111,,A x y z ,()222,,B x y z ,()333,,C x y z 三点不在一条直线上。则通过

A,B,C 的平面方程为： 1

212131

0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 5 平面束：设直线L 的一般式方程为111122220

0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?，则通过L 的所有平面方

程为1K ()1111A x B y C z D ++++2K (

)2222

0A x B y C z D +++=，其中()()12,0,0k k ≠

6 有关平面的问题

两平面为 1π：11110A x B y C z D +++= 2π：22220A x B y C z D +++=

1π与2π间夹角()φ 121212

2222

222

cos A A B B C C A B C A B C φ++=

++?++

垂直条件 1212120A A B B C C ++= 平行条件 11112222A B C D A B C D ??==≠ ??? 重合条件

1111

2222

A B C D A B C D === 7 设平面π的方程为0Ax By Cz D +++=，而点()111,,M x y z 为平面π外的一点，则M 到平面π的距离d ： 1112

Ax By Cz D d A B C

+++=++

三直线及其方程

1 方向向量：与直线平行的非零向量S ，称为直线L 的方向向量。

2 直线的点向式方程（对称式方程）： 000

x x y y z z l m n ---==

其中()000,,x y z 为直线上的点，,,l m n 为直线的方向向量。

3 参数式方程： 000x x lt

y y mt z z nt

=+??

=+??=+?

4 两点式：设()111,,A x y z ,()222,,B x y z 为不同的两点，则通过A 和B 的直线方程为 111

212121

x x y y z z x x y y z z ---==

--- 5 一般式方程（作为两平面的交线）：1111222200

A x

B y

C z

D A x B y C z D +++=??

+++=?{}{}

111222,,,,S A B C A B C =?

6 有关直线的问题两直线为1L :

111111x x y y z z l m n ---==2L :222

222

x x y y z z l m n ---==

()12l l θ与间夹角 121212

222

cos l l m m n n l m n l m n θ++++?++＝

垂直条件 1212120l l m m n n ++=

平行条件

111

222

l m n l m n == 四、平面与直线相互关系

平面π的方程为：0Ax By Cz D +++=

直线L 的方程为：000

x x y y z z l m n

---==

L 与π间夹角()α 2

sin ·Al Bm Cn A B C l m n

α++=

++++

L 与π垂直条件 l m n A B C == L 与π平行条件 0Al Bm Cn ++= L 与π重合条件

0Al Bm Cn ++= L 上有一点在π上

§7.3 曲面与空间曲线

一、曲面方程

1、一般方程 (),,0F x y z =

2、参数方程 ()()(),,,x x u v y y u v z z u v =??

=??=?

()(),u v D ∈平面区域

二、空间曲线方程

1、一般方程 ()()12,,0,,0F x y z F x y z ?=?=?

2、参数方程 ()

()()

x x t y y t z z t =??

=??=?

()t αβ≤≤

三、常见的曲面方程

1、球面方程：设()0000,,P x y z 是球心，R 是半径，P （x ，y ，z ）是球面上任意一点，则

0P P R =,即()()()2

2000x x y y z z R -+-+-=。

2. 旋转曲面的方程

（ⅰ）设L 是xOz 平面上一条曲线，其方程是(),0,

0.f x z y =??=? L 绕z

轴旋转得到旋转曲面，设P （x ，y ，z ）是旋转面上任一点，由点

()000,0,P x z 旋转而来（点()0,0,M z 是圆心）.

由22000,x MP MP x y z z ===+= 得旋转面方程是 ()

22,0;f x y z ±+=

（ⅱ）求空间曲线 ()()12,,0

,,0F x y z F x y z ?=?=? 绕z 轴一周得旋转曲面的方程

第一步：从上面联立方程解出()(),x f z y g z == 第二步：旋转曲面方程为()()2222x y f z g z +=+ 绕y 轴一周或绕x 轴一周的旋转曲面方程类似地处理 3、二次曲面

曲面名称

方程

曲面名称

方程

椭球面 222

221x y z a b c

++= 旋转抛物面 22(0)22x y z p p p +=> 椭圆抛物面

22(,0)22x y z p q p q +=> 双曲抛物面 22

(,0)22x y z p q p q

-+=> 单叶双曲面 222

2221x y z a b c +-=

双叶双曲面 222

2221x y z a b c

+-=-

二次锥面

222

x y z

a b c

+-=椭圆柱面

x y

a b

双曲柱面

x y

a b

-=抛物柱面

(0)

y p

四、空间曲线在坐标平面上的投影：曲线C的方程

() ()

,,0

F x y z

G x y z

?=?

曲线C在xy平面上的投影：先从曲线C的方程中消去Z得到(),0

H x y=，它表示曲线C

为准线，母线平行于Z轴的柱面方程，那么

(),0

H x y

就是C在xy平面上的投影曲线

方程。

曲线C在zx平面上投影或在yz平面上投影类似地处理

第八章多元函数微分学

§8.1 多元函数的概念、极限与连续性

一、多元函数的概念

1．二元函数的定义及其几何意义

设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按

照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。

二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。例如 22221,

:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的

上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2．三元函数与n 元函数：(,,),

(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数

12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意

00,

εδ>>存在只

要

2200()(),(,)x x y y f x y A δε

-+-<-<就有则，

000

(,)()

lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或

称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。否则，称为极限不存在。值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于

00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的

讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三、二元函数的连续性 1．二元函数连续的概念

若0

0000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续

若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。 2．闭区域上连续函数的性质

定理1 （有界性定理）设(,)f x y 在闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上一定有界定理2 （最大值最小值定理）设(,)f x y 在闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上一定有最大值和最小值(,)(,)max (,)(),min (,)()x y D

x y D

f x y M f x y m ∈∈==最大值最小值

定理 3 （介值定理）设(,)f x y 在闭区域D 上连续，M 为最大值，m 为最小值，若

,m c M ≤≤则存在00(,),x y D ∈使得00(,)f x y C =

§8.2 偏导数与全微分

一、偏导数与全微分的概念 1．偏导数二元：设(,)z f x y =

0(,)(,)

(,)lim

x x z f x x y f x y f x y x x ?→?+?-'==??， 0(,)(,)(,)lim y y z f x y y f x y f x y y y ?→?+?-'==??

三元：设(,,)u f x y z =，(,,);(,,);(,,)x y z u u u

f x y z f x y z f x y z x y z

???'''===??? 2．二元函数的二阶偏导数：设 (,),z f x y =

(,)()xx z z

f x y x x x ???''==???， 2(,)()xy z z f x y x y y x ???''==???? 2(,)()yx z z f x y y x x y ???''==????， 22(,)()yy z z

f x y y y y

???''==???

3．全微分：设 (,),z f x y = 增量(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-若

22(()())z A x B y o x y ?=?+?+?+? 当 00x y ?→?→时则称 (,)z f x y =可微，而全微

分dz A x B y =?+?

定义：,

dx x dy y =?=?

定理：可微情况下，(,),(,)x y A f x y B f x y ''== (,)(,)x y dz f x y dx f x y dy ''∴=+ 三元函数 (,,)u f x y z = 全微分 (,,)(,,)(,,)x y z du f x y z dx f x y z dy f x y z dz '''=++

4．相互关系：(,)(,)x y f x y f x y ''连续(,)df x y ?存在 (,),(,)(,)x y

f x y f x y f x y ''存在

连续

5．方向导数与梯度

二、复合函数微分法——链式法则

三、隐函数微分法：设 (,,)0(,)F x y z z z x y ==确定则

;(0)y x z z z F z F z

F x F y F ''??'=-=-≠''

??要求偏导数连续且四、几何应用

1．空间曲面上一点处的切平面和法线 2．空间曲线上一点处的切线和法平面

§8.3 多元函数的极值和最值

一、求(,)z f x y =的极值

第一步 (,)0(,)

(1,2,,)(,)0

x k k y f x y x y k l f x y '=?=?'=?求出驻点

第二步 2

(,)(,)(,)k xx

k k yy k k xy k k f x y f x y f x y ''''''???=-??令

0(,)00

(,)k k k k k k k f x y f x y ?若则不是极值

若则不能确定（有时需从极值定义出发讨论）若则是极值

进一步

(,)0(,)(,)0(,)xx

k k k k xx

k k k k f x y f x y f x y f x y ''>''<若则为极小值若则为极大值

二、求多元（2n ≥）函数条件极值的拉格朗日乘子法

求 1(,,)n u f x x =的极值

约束条件 11m 1

(,,)0

()(,,)0

n n x x m n x x φφ=??

?=?

1111111

111(,,,,,)(,

,)(,

)

0(,,)0(,,)0

n m m

n m n i i n i x x n m n F F x x f x x x x F F F x x F x x λλλλλφφφ===+'=???

?'=??

'==???'==??∑令

求出 1(,,)(1,2,,)k k

n x x k l =是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确

定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。

三、多元函数的最值问题（略）

第九、十章多元函数积分学

§9.1 二重积分

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题 X 型区域：设有界闭区域 {}12(,),()()D x y a x b x y x φφ=≤≤≤≤ 其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，(,)f x y 在 D 上连续，则

21()

()

(,)(,)(,)x b

x f x y d f x y dxdy dx f x y dy φφσ==??????

Y 型区域：设

有

界

闭

区

域

{}12(,),()()D x y c y d y x y φφ=≤≤≤≤

其中12(),()y y ??在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则

21()

()

(,)(,)(,)y d

y f x y d f x y dxdy dy f x y dx ??σ==??????

关于二重积分的计算主要根据X 型区域或Y 型区域I ，把二重积分化为累次积分从

而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合X 型区域中关于D 的要求，又不符合Y 型区域中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合X 型区域或Y 型区域中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体

做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域{}

12(,),()()D γθαθβ?θγ?θ=≤≤≤≤

其中12(),()?θ?θ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。则

21()

(

)

(,)(cos ,sin )(cos ,sin )D

f x y d f d d d f d ?θβ

α?θ

σγθγθγγθθγθγθγγ==??????

模型II 设有界闭区域{}(,),0()D γθαθβγφθ=≤≤≤≤其中

()?θ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。

则

()

(,)(cos ,sin )(cos ,sin )D

f x y d f d d d f d φθβ

ασγθγθγγθθγθγθγγ

==??????

§9.2 三重积分

一、三重积分的计算方法

1、直角坐标系中三重积分化为累次积分（1）设Ω是空间的有界闭区域

{}

12(,,)(,)(,),(,)x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈

其中D 是xy 平面上的有界闭区域，12(,),(,)z x y z x y 在D 上连续函数(,,)f x y z Ω在上

连续，则

21(,)

(,)

(,,)(,,)z x y D

z x y f x y z dv dxdy

f x y z dz Ω

=??????

（2）设{}(,,),(,)()x y z z x y D z αβΩ=≤≤∈其中D(z)为竖坐标为z 的平面上的有界闭区

域，则

()

(,,)(,,)D z f x y z dv dz f x y z dxdy β

αΩ

=??????

2、柱坐标系中三重积分的计算

(,,)(cos ,sin ,)f x y z dxdydz f r r z rdrd dz θθθΩ

=??????相当

于把(x,y)化为极坐标（,r θ）而z 保持不变 3、球坐标系中三重积分的计算

sin cos 0sin sin 0cos 02x y z ρθ?

ρρθ?θπρθ?π=≥????

?=≤≤? ?? ?=≤≤?

2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dxdydz f d d d ρθ?ρθ?ρθρθρθ?Ω

=???

???

§9.3 曲线积分

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

参数计算公式：只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间曲线L 的参数方程 (),(),(),()x x t y y t z z t t αβ===≤≤ 则 []

[][][]222

(,,)f x(t),y(t),z(t)x (t)y (t)z (t)L

f x y z ds dt β

'''=++??

（假设()(,,)(),,()f x y z x t y t z t '''和皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

参数计算公式：只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间有向曲线L 的参数方程(),(),(),x x t y y t z z t A ===起点对应参数为

[]{[][]},(:)(,,),(,,

),(,,),(),(),(),(,,)(,,)(,,)(),(),()()(),(),()()(),(),()()L AB

B P x y z Q x y z R x y z x t y t z t P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt

αβαβαβ=<'''++'''=++?

始点对应参数为注意现在和的大小不一定如果皆连续又也都连续则

这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。三、两类曲线积分之间的关系

空间情形：设L=AB 为空间一条逐段光滑有定向的曲线，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在L 上连续，则

[](,,)(,,)(,,)(,,)cos (,,)cos (,,)cos cos ,cos ,cos (,,).

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

P x y z Q x y z R x y z ds

AB x y z A B αβγαβγ++=++?

其中为曲线弧上上点处沿定向到方向的切线的方向余弦

四、格林公式

关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线之间的关系有一个十分重要的定

理，它的结论就是格林公式。定理1、（单连通区域情形）

设xy 平面上有界闭区域D 由一条逐段光滑闭曲线L 所围的单连通区域，当沿L 正定向移动时区域D 在L 的左边，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上有连续的一阶偏导数，则有

(

Q P

dxdy Pdx Qdy x y

??-=+?????

五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件

设P (,)x y ，Q (,)x y 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价 1．任意曲线L=AB 在D 内 (,,)(,)L

P x y dx Q x y dx +?与路径无关

2．D 内任意逐段光滑闭曲线C ，都有(,)(,)0C

p x y dx Q x y dy +=?

3．()()(),,,p x y dx Q x y dy du x y +=成立

4．D 内处处有Q P

x y

??=

?? §9.4 曲面积分

一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

基本计算公式：设曲面S 的方程 ()(),,,z z x y x y D =∈，(),z x y 在D 上有连续偏导数，

(),,f x y z 在S 上连续，则()()2

,,,,,1S D

z z f x y z ds f x y z x y dxdy x y ??

????=++?? ? ???

??????????这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

基本计算公式：如果曲面S 的方程 ()(),,,xy z z x y x y D =∈()xy ,Z x y D 在上连续，(),,R x y z 在S 上连续，则 ()(),,,,,xy

D R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±????????

若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲

面积分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。三

、

两

类

曲

面

积

分

之

间

的

关

系

：

[]cos cos cos S

pdydz Qdzdx Rdxdy p Q R dS αβγ++=++????

其中()cos ,cos ,cos ,,S x y z αβγ为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦

{}{}00,,,cos ,cos ,cos S

F P Q R n Pdydz Qdzdx Rdxdy F n ds αβγ==++=????令

四、高斯公式

定理设Ω是由分块光滑曲面S 围成的单连通有界闭区域，()()()

,,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在Ω上有连续的一阶偏导数，则S

P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω??

???++=++ ??????????? []cos cos cos S

P Q R dS αβγ=++??

其中cos ,cos ,cos αβγ为S 在点(),,x y z 处的法向量的方向余弦五、斯托克斯公式

定理：设L 是逐段光滑有向闭曲线，S 是以L 为边界的分块光滑有向曲面，L 的正向与S 的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在包含S 的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有 L S

dydz dzdx dxdy

Pdx Qdy Rdz x y z P Q R

???

++=??????S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y ????????????

=-+-+- ? ? ??????????????? 也可用第一类曲面积分 cos cos cos L S

Pdx Qdy Rdz dS x y z P

Q R

βγ?

++=?????? (外侧)

六、梯度、散度和旋度

1、梯度设(),,,,,u u u u u x y z gradu x y z ?????== ??????则称为u 的梯度，令,,x y z ??

????= ??????是

算子则 gradu u =?

2、散度设()()()(),,,,,,,,F P x y z Q x y z R x y z =则 P Q R

divF F x y z

???=++=????? 称为F 的散度

高斯公式可写成0S

divFdv F n dS Ω

=?????

（外侧）其中()0cos ,cos ,cos n αβγ=为外侧单位法向量 3、旋度

()()()(),,,,,,,,,i

j k F P x y z Q x y z R x y z rotF F x y z P

???==??=

???设 R Q P R Q P i j k y z z x x y ????????????-+-+- ? ? ?????????????

＝，称为F 的旋度。斯托克斯公式可写成 ()

F d r rotF n dS ?=????

其中()()0,,,cos ,cos ,cos dr dx dy dz n αβγ==

第十一章无穷级数 § 11.1

常数项级数

一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数123,,,

n u u u u 依次相加所得到的表达式1231

n n n u u u u u ∞

==+++

∑称为

数项级数（简称级数）。 1n

n k k S u ===∑123n u u u u +++

（1,2,3,n =）称为级数的前n 项的部分和，

{}(1,2,3,

)n S n =称为部分和数列。

lim (),,n n n n n n S S u S u S ∞

∞

→∞

====∑∑若存在则称级数是收敛的,且其和为记以

lim n n S →∞

若不存在，则称级数1

n n u ∞

=∑是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊

含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2．基本性质

（1）如果1

,()n n n n n n n n n n n u v a b au bv a u b v ∞

∞

=====++∑∑∑∑∑和皆收敛,为常数,则收敛,且等于

（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。

（4）级数1

n n u ∞

=∑收敛的必要条件是lim 0n n u →∞

（注：引言中提到的级数11

(1),n n ∞

+=-∑具有lim n →∞

()

1n +-不存在，因此收敛级数的必要条件不

满足，1

n ∞

=∑

()

1n +-发散。调和级数1

n ∞

=∑

1n 满足lim n →∞10,n =但1

n ∞

=∑1

n 却是发散的，所以满足

收敛级数的必要条件lim n →∞

0n u =，而1

n ∞

=∑n u 收敛性尚不能确定。）

3．两类重要的级数

（1）等比级数（几何级数）：0

n n ar ∞

=∑

()0a ≠

当1r <时，0n

n ar ∞

=∑1a

r =-收敛；当1r ≥时，0

n n ar ∞

=∑发散

（2）p--级数：11p n n ∞

=∑ 当p>1时，11p n n ∞=∑收敛，当p ≤1时11

p n n ∞=∑发散

（注：p>1时，11p n n ∞=∑的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知1

n ∞

=∑2

216n π=）

二、正项级数敛散性的判别法

()01,2,3,

n u n ≥=若则1

n n u ∞

=∑称为正项级数，这时(){}11,2,3,n n n S S n S +≥=所以是单调

加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此1

n ∞=∑n n u S ?收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。 1. 比较判别法

0,0n n c n N cv u >≥≥>设当时,皆成立,如果1

n n v ∞=∑收敛，则1

n n u ∞=∑收敛；如果1

n n u ∞

=∑发散，则

n v

∞

=∑发散。

2. 比较判别法的极限形式：设0,0,(1,2,3,)n n u v n ≥≥= 若lim n →∞n

u A v =

当0

n n u ∞=∑与1

n n v ∞

=∑同时收敛或同时发散。

当A=0时，若1

n n v ∞=∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛。

当A=+∞时，若1

n n u ∞=∑收敛，则1

n n v ∞

=∑收敛。

3．比值判别法（达朗倍尔）：设n u >0，而lim

n →∞

n n

u u ρ+= 当ρ<1时，则1

n n u ∞

=∑收敛

当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则1

n n u ∞

=∑发散

当ρ=1时，此判别法无效（注：如果lim

n →∞

n n

u u +不存在时，此判别法也无法用） 4．根值判别法（柯西）：设n u ≥0，而lim n →∞

n n u ρ=

当ρ<1时，则1

n n u ∞

=∑收敛

当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则1

n n u ∞

=∑发散

当ρ=1时，此判别法无效

事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念：若n u >0,

n ∞

=∑

1(1)n n u +-称为交错级数。

2．莱布尼兹判别法：设交错级数1

n ∞

=∑1(1)n n u +-满足：

1）1n u +≤n u

(1,2,3,)n = 2) lim n →∞

n u =0

，则1

n ∞=∑1

(1)n n u +-收敛，且0<1

n ∞

=∑1(1)n n u +-<1u

四、绝对收敛与条件收敛

1．定理：若1

n ∞

=∑n u 收敛，则1

n ∞

=∑n u 一定收敛；反之不然。

2．定义：若1

n ∞=∑n u 收敛，则称1

n ∞

=∑n u 为绝对收敛；

若1

n ∞=∑n u 收敛，而1

n ∞=∑n u 发散，则称1

n ∞

=∑n u 为条件收敛。

3．有关性质

1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。

2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即1n ∞

=∑

12（n u +n u ）或1

n ∞

=∑12（n u —n u ）一定是发散的。

4．一类重要的级数：设1n ∞

=∑

(1)n n

+- 当ρ>1时，1

n ∞

=∑

(1)n n

+-是绝对收敛的当0<ρ≤1时，1

n ∞

=∑

(1)n n

+-是条件收敛的当ρ≤0时，1

n ∞

=∑

(1)n n

+-是发散的 §11.2 幂级数

一、函数项级数及其收敛域与和函数 1．函数项级数的概念

设()n u x (1,2,3,)n =皆定义在区间I 上，则1n ∞

=∑()n u x 称为区间I 上的函数项级数。

2．收敛域

设0x ∈I ，如果常数项级数1

n ∞

=∑0()n u x 收敛，则称0x 是函数项级数1

n ∞

=∑()n u x 的收敛点，如

果1

n ∞=∑0()n u x 发散，则称0x 是1

n ∞=∑()n u x 的发散点。函数项级数1

n ∞

=∑()n u x 的所有收敛点构

成的集合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。