工科数学分析多元函数微分学-2多元函数的极限与连续性-2
多元函数的概念极限与连续性
§7.1多元函数的概念、极限与连续性一．多元函数的基本概念 1.引例在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系，比如：例1矩形面积S 与边长x ，宽y 有下列依从关系：)0,0(>>⋅=y x y x S ．其中，长x 与宽y 是独立取值的两个变量．在它们变化范围内，当x ，y 取定值后，矩形面积S 有一个确定值与之对应．例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：2222b y a x z +=，双曲抛物面的方程为2222by a x z -=，这里的z 坐标既跟x 有关，又跟y 有关，它是x ，y 的二元函数.2.多元函数的概念定义1设D 是R 2的一个非空子集，映射f ：D →R 称为定义在D 上的二元函数，记为z =f (x ，y ),(x ，y )∈D (或z =f (P ),P ∈D )其中，点集D 称为该函数的定义域，x ，y 称为自变量，z 称为因变量.上述定义中，与自变量x 、y 的一对值(x ，y )相对应的因变量z 的值，也称为f 在点 (x , y ) 处的函数值，记作f (x ，y )，即z =f (x ,y ).函数f (x ，y )值域：f (D )={z |z =f (x ，y )，(x ，y )∈D }. 函数的其它符号:z =z (x ，y )，z =g (x ，y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z )，(x , y , z )∈D 以及三元以上的函数. 一般地，把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f ：D →R 称为定义在D 上的n 元函数，通常记为u =f (x 1，x 2，...，x n )，(x 1，x 2，...，x n )∈D ，或简记为u =f (x )，x =(x 1，x 2，...，x n )∈D ，也可记为u =f (P )，P (x 1，x 2，...，x n )∈D .关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时，就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数,它的定义域不再特别标出. 例如：函数z =ln(x +y )的定义域为{(x ，y )|x +y >0}(无界开区域); 函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x ，y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形:点集{(x ，y ，z )|z =f (x ，y )，(x ，y )∈D }称为二元函数z =f (x ，y )的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.例如z =ax +by +c 是一张平面，而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面. 例1求二元函数229y x z --=的定义域． 解 容易看出，当且仅当自变量x ，y 满足不等式922≤+y x ,函数z 才有定义．其几何表示是xOy 平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界上点的全体，如图7.1.1所示．即函数z 的定义域为922≤+y x ．例2求函数)ln(y x z +=的定义域．解 函数的定义域为0>+y x ，其几何图形是xOy 平面上位于直线x y -=上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示．例3求函数2222arcsin arcsec()2x y z x y +=++的定义域． 解 函数z 是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部图7.1.1 图7.1.2分．函数的定义域由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+122222y x y x 构成，即2122≤+≤y x ．定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示．例5求函数2211yx z --=的定义域．解 函数的定义域为0)(122>+-y x ，即122<+y x .它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示． 二.多元函数的极限与一元函数的极限概念类似，如果在P (x ，y )→P 0(x 0，y 0)的过程中，对应的函数值f (x ，y ) 无限接近于一个确定的常数A ，则称A 是函数f (x ，y ) 当 (x ，y )→(x 0，y 0)时的极限.定义2设二元函数f (P )=f (x ,y )的定义域为D ，P 0(x 0，y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A ，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当0(,)(,)PxyD U P δ∈⋂时，总有|f (P )-A |=|f (x ,y )-A |<ε成立，则称常数A 为函数f (x ，y )当(x ，y )→(x 0，y 0)时的极限，记为00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=，或f (x ，y )→A ((x ，y )→(x 0，y 0)图7.1.3 图7.1.4也可简记为lim ()P P f P A →=或f (P )→A (P →P 0)上面定义的极限也称为二重极限. 定义用两个正数ε，δ和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为ε—δ语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.极限概念的推广：在定义2中将P (x ，y ) 改为P (x 1，x 2，…，x n )即可得到n 元函数的极限.多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似. 例5 设22221sin )(),(y x y x y x f ++=，求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-，可见∀ ε>0，取εδ=，则当δ<-+-<22)0()0(0y x , 即),(),(δO U D y x P⋂∈时，总有|f (x ,y )-0|<ε， 因此0),(lim)0,0(),(=→y x f y x .例6求极限22200sin()lim .x y x y x y →→+ 解 22200sin()lim x y x y x y →→+2222200sin()lim ,x y x y x yx y x y→→=⋅+令u =x 2y ，则 2200sin()lim x y x y x y →→=0sin lim u u u →1,=而222x y x y +22122xyx x y=⋅+12x ≤00,x →−−−→所以22200sin()lim 0.x y x y x y →→=+ 例7证明2200limx y xyx y →→+不存在.证取(y kx k =为常数)，则222222000limlim ,1x x y y kxxy x kx kx y x k x k →→→=⋅==+++易见，所要求的极限值随k 的变化而变化，故2200limx y xyx y →→+不存在.例8证明36200lim x y x yx y →→+不存在. 证取3,y kx =333362626000lim lim x x y y kxx y x kx x y x k x →→→=⋅=++2,1k k =+其极限值随k 的不同而变化，故极限不存在.例9证明10lim(1)x yx y xy +→→+极限不存在.证取10,n n x y n==(n 为自然数)，则当n →∞时，0,n y →且 1101/lim(1)lim(10)1.n nx y nn n n n x y ++→∞→∞+=+=取11,,1n n x y n n ==-+则当n →∞时，0,n x →0,n y →且(1)111lim(1)lim 1,(1)n nn n x y n n n n x y n n e++→∞→∞⎡⎤+=-=⎢⎥+⎣⎦因为对于不同的子列，所求得的极限的值不同，故100lim(1)x yx y xy +→→+不存在.三.多元函数的连续性 1.多元函数连续性概念定义3设二元函数f (P )=f (x ，y )的定义域为D , （1）P 0(x 0，y 0)为D 的聚点,且P 0∈D . 如果0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称函数f (x ，y )在点P 0(x 0，y 0)连续.（2）设D 内的每一点都是D 的聚点，如果函数f (x ，y )在D 的每一点都连续, 则称函数f (x ，y )在D 上连续, 或称f (x ，y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.一元基本初等函数可看成其中一个自变量不出现的二元函数，很容易证明，把一元基本初等函数看成二元函数时它们都是连续的.例10 设f (x ，y )=cos x ，证明f (x , y )是R 2上的连续函数. 证 对于任意的P 0(x 0，y 0)∈R 2，因为),(cos cos lim),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→,所以，函数f (x ，y )=cos x 在点P 0(x 0，y 0)连续，由P 0的任意性知, cos x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x ,y )的定义域为D , P 0(x 0,y 0)是D 的聚点.如果函数f (x ,y )在点P 0(x 0,y 0)不连续, 则称P 0(x 0，y 0)为函数f (x ,y )的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母不为零处的点仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如 2221x x y y +-+,cos(x +y +z ),222x y z e ++都是多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则0lim ()()p p f P f P →=.例11讨论二元函数3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在(0,0)处的连续性.解由(,)f x y 表达式的特征，利用极坐标变换：令cos ,sin ,x y ρθρθ==则33(,)(0,0)lim(,)lim (sin cos )x y f x y ρρθθ→→=+0(0,0),f ==所以函数在(0,0)点处连续.例12求极限01lim ln().x y y x →→⎡⎤-⎢⎣ 解01lim ln()ln(10)x y y x →→⎡⎤⎡-=-+⎢⎢⎣⎣ 1.= 例13求01lim .x x y e yx y →→++解 因初等函数(,)x e y f x y x y +=+在(0,1)处连续，故 0011lim 2.01x x y e y e x y →→++==++ 2.多元连续函数的性质性质1(有界性与最大值最小值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数，必定在D 上有界,且在D 上取得它的最大值和最小值.性质1表明：若f (P )在有界闭区域D 上连续，则必存在常数M >0，使得对一切P ∈D ，有|f (P )|≤M ，且存在P 1、P 2∈D ，使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }，f (P 2)=min{f (P )|P ∈D }性质2(介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.问题讨论：1.若点(,)x y 沿着无数多条平面曲线趋向于点00(,)x y 时，函数(,)f x y 都趋向于A ，能否断定00(,)(,)lim (,)?x y x y f x y A →=2.讨论函数2222422,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩的连续性.3.你能否用ε—δ语言证明22200sin()lim 0.x y x y x y→→=+本节引入了多元函数概念，给出了多元函数极限的定义和计算方法，通过例题介绍了根据定义证明极限存在（即ε-δ语言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后讨论了多元连续函数，给出了定义和它的基本性质.习题7.11.设22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭求(,).f x y2.已知函数22cot ),(yx xy y x y x f -+=，试求f (tx ，ty ).3.求下列各函数的定义域 (1) z =ln(y 2-5xy +1); (2) 2211yx y x z -++=;(3) y x z -=;(4) 222222221rz y x z y x R u -+++---=(R >r >0);(5) 22arcsinyx z u +=.4. 求下列各极限:(1)332)3,0(),(1lim y x yx y x +-→; (2)22)1,1(),()ln(limyx e y x y x ++→;(3)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→; (4)11lim)0,0(),(-+→xy xyy x ;(5)x xy y x )sin(lim)2,0(),(→;(6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 5.证明下列极限不存在: (1)y x yx y x +-→)0,0(),(lim;(2)y x y x yx y x -+→)0,0(),(lim.6.函数x y axe z y 2-+=（a 为常数）在何处间断？7.用 ε-δ 语言证明0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x .。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数的连续与极限
y
z 1 x y 又如， 的图形为上半单位球面。
2 2
z
z 1 x2 y2
O x
y
z
更一般地，F(x ,y,z)=0 的图形为空间曲面。
2 2 2 如： x y z 1 0 为单位球面。
O x z c
y
（即： x 2 y 2 z 2 1 ）
（横、纵、竖截距：a ,b,c）
第四节 多元函数的极限与连续
一、多元函数的概念 以前讨论过一元函数（含有一个自变量的 函数）。如果一个函数含有多个自变量，则称 为多元函数。严格地说，有
定义1 设有变量x1,x2, … ,xn,y，如果当变量 x1,x2, … ,xn在它们的变化范围D中任意取定一组值 时，变量y按照一定的法则f，总有唯一确定的数 值与它们对应，则称f是D上的n元函数，与变量 x1,x2, … ,xn对应的y值称为f在(x1,x2, … ,xn)的函数 值，记为y=f (x1,x2, … ,xn) ，其中x1,x2, … ,xn称为 自变量，y称为因变量，D称为函数f的定义域。
z f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
连续性的另一种刻划：lim z 0
P P0
函数在区域D上连续：函数在D上每一点都 连续。
间断点（不连续点） 例如，由例4知， xy , ( x, y ) (0,0) 2 2 f ( x, y ) x y ( x, y ) (0,0) 0,
点P0的去心邻域（在点P0的 邻域中挖去 点P0 ） 通常所谓“二元函数在点P0的附近有定义”， 就是指：该函数在点P0的某一 邻域内有定义。 开区域：平面上的连通开集D 。即：（1） D为开集：对于D中任意一点P0，P0附近的点均 在D中（即存在P0的 邻域U，使得U在D中）； （2）D为连通的：D中任意两个不同点均可用 完全在D中的一条折线连接起来。 闭区域：开区域与边界的并集。 区域：开区域与闭区域的统称。 有界域（含在某一圆域内）；无界域
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
多元函数的极限与连续性
的极限为A。记为
或
也可记为
或
设有二元函数 ，点
那么，就称当(x,y) → (x0,y0)时，二元函数f (x,y)在点(x0,y0)
的极限为A。记为
或
上述定义可以用“ ”语言精确描述如下：
由具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四
则运算和复合运算得到的二元函数，称为二元初等函数
一切二元初等函数在其定义区域内都是连续的。
例如, 函数ຫໍສະໝຸດ 上间断.例5 求下列极限
解：
(1) 因为 是初等函数，且在点
有定义，则
(2) 因为 而
例4 讨论极限 是否存在.
解：让点 沿着直线 趋于原点，这时有
显然，当k取不同的值时，上式右端的结果不同，所以该
极限不存在！
二重极限
二、多元函数的连续性
定义2 设函数 的定义域为D,点 ,如果
证明：函数f (x,y)的定义域为
当 时，显然
故 必无限
接近于0，因此，由定义1，有
二重极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的某些性质和运算法则，可以直接类推到二重极限。
例2 求极限
解： 例3 求极限 解：
在原点连续，故
有界闭区域上的连续多元函数具有以下性质：
01
性质1 (最值性定理) 有界闭区域上的多元连续函数存在最大值和最小值。
02
推论 (有界性) 有界闭区域上的多元连续函数是有界函数。
03
性质2 (介值性定理) 有界闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
04
内容小结
在讨论二重极限时，如果点P(x,y)仅以某些特殊方式( 例如，沿着某定直线或某定曲线 ) 趋于P0(x0 ,y0)时，即使函数 f (x,y) 趋于某一确定的值，我们仍不能确定函数的极限存在。但反之，如果当P(x,y)以不同方式趋于P0 (x0 ,y0)时， f (x,y) 趋于不同的值，则可断定函数的极限不存在。
数学分析第十五章课件多元函数的极限与连续性
P0 x0, y0 R2
圆邻域 o( p0, ) {p r p0, p } {(x, y) 2}
方邻域 k( p0, ) {(x, y) | x x0 , y y0 }
易知: 任一点 p0 的任一方邻域必包含一个 p0
（或沿某条不存在）则可断定 lim f x, y 不存在。 x x0 y y0
例5.设
f
x,
y
xy x2 y2
，证明
lim
x0
f
x,
y
y0
不存在。
证明：当 x, y 沿直线 y kx 趋于0,0点时，极限为
lim f ykx
x, y lim f x0
x, kx
lim x0
4、 设
(x)
x, x
4
,
x 1 x 1
讨论复合函数
的连续性 .
解:
2 (x), (x) 1
x2, x 1
2 (x), (x) 1 2 x , x 1
x 1时 f [ (x)] 为初等函数 , 故此时连续; 而
lim f [ (x)] lim x2 1
x1
x1
lim f [ (x)] lim (2 x) 3
x0 yx2
x0
x0 2x4 2
故 lim f x, y 不存在。 x0 y0
但特别强调：绝不能根据沿某些特殊的路径 趋于某点时函数的极限存在。就断定函数在 该点的极限存在。（例如上面例6）
小结
• 一元连续函数 • 多元函数连续与极限及其几何意义
习题
1. 证明： lim sin x 0. x x
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要第十六章多元函数的极限与连续性是数学分析中的重要概念之一、多元函数与一元函数不同，它们的自变量可以是多个变量。
因此，多元函数的极限与连续性的讨论需要引入多元的概念和方法。
本章主要分为三个部分：多元函数的极限、多元函数的连续性、多元函数的一致连续性。
接下来，将对这三个部分进行详细的概要分析。
1.多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量自一些点无限接近于给定点时，函数值接近于一些常数。
与一元函数类似，多元函数的极限也需要满足极限存在性和极限唯一性两个条件。
首先，要讨论多元函数的极限，需要引入点列的概念。
点列是指给定一个序列$x_n$，其中每个$x_n$均为函数的自变量，如果$x_n$收敛于给定点$(a,b)$，则函数$f(x_n)$在点$(a,b)$处的极限就是函数在该点的极限。
此外，还需要讨论曲面函数在特殊方向上的极限。
当自变量沿着特定方向逼近给定点时，函数的极限是否存在，如果存在则是多少。
2.多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在其中一点处的极限等于函数在该点的函数值。
与一元函数类似，多元函数的连续性也需要满足三个条件：函数在该点处定义、函数在该点处极限存在、函数在该点处极限等于函数值。
如果函数在定义域的每一个点均满足连续性条件，则称函数在定义域连续。
为了判断多元函数的连续性，可以通过分量函数的连续性进行判断。
具体来说，若多元函数的每个分量函数都是连续的，则多元函数在该点连续。
此外，还可以通过间断点的分类来分析函数在特定点的连续性。
3.多元函数的一致连续性一致连续性是连续性的一种更强的条件。
在多元函数中，一致连续性要求函数在整个定义域内的每一点都连续。
为了判断多元函数的一致连续性，可以使用函数值在一个闭区域上的上确界和下确界的性质进行证明。
在具体分析中，多元函数的一致连续性还可以通过函数的偏导数和导数的连续性来判断。
若函数的偏导数和导数均连续，则函数是一致连续的。
数学分析第十六章多元函数的极限与连续
数学分析第十六章多元函数的极限与连续数学分析第十六章介绍了多元函数的极限与连续的概念。
多元函数是指有多个自变量的函数，比如二元函数，有两个自变量，三元函数，有三个自变量，以此类推。
多元函数的极限与连续是研究多元函数性质的基础，对于优化理论、微分方程等领域都具有重要的应用价值。
本文将详细讨论多元函数的极限与连续的概念及其性质。
1.多元函数的极限：多元函数的极限与一元函数的极限类似，都是研究函数自变量趋于一些点时函数值的趋近情况。
对于二元函数f(x,y)，当点(x,y)趋于(x0,y0)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-L，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限为L，记为lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=L。
类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=L。
2.多元函数的极限的性质：与一元函数类似，多元函数的极限也具有唯一性、局部有界性和四则运算等性质。
具体而言，如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该极限唯一；如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该函数在以点(x0,y0)为中心的邻域上有界；对于两个多元函数f(x,y)和g(x,y)，如果它们在点(x0,y0)处的极限分别存在，则它们的和、差、积和商（除数不为0）的极限也存在且相等。
3.多元函数的连续：多元函数的连续是指函数在各点的极限与该点的函数值相等。
对于二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-f(x0,y0)，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=f(x0,y0,z0)，则函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)处连续。
多元函数的极限与连续性
(3) D {( x, y) | 2x x2 y2 4}
y
o
x
(4) D {( x, y) | 2 x2 y2 4, x y2 }
2009年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
7
二元函数 z=f (x,y) 的图象 当把 ( x, y) D 和它所对应的 z f ( x, y) 一起组成 三维数组 ( x, y, z ) 时, 三维点集
2.1 多元函数的概念
引例: 圆柱体的体积
r
h
一定质量的理想气体，其体积V与压强p均 与气体所受的温度T(绝对温度)有关，其关系
式为： p=RT/V R-气体常数 (V>0, T>0oK)
1
三角形面积的海伦公式
ba c
• 温度是时空的函数： T= T(x,y,z,t)
一个变量依赖于二个或二个以上变量的情形！
（2）z 1 ( x2 y2 )
D {( x, y) x2 y2 1} f (D) [0,1]
（3）z x y
表示上半球面.
D {( x, y) R2} f (D) R
它的图象是过原点的马鞍面.
(4)
z
x2
y2
D={(x, y) R2}, f (D) N
2009年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
4
二元函数z f ( x, y)的定义域D求法：
一切使算式有意义的自变量x, y所确定的 点的集合为这个二元函数的自然定义域. 例1 求下列函数的定义域
(1) z 1 x2 y2
(2) z 1 ln x y
多元函数极限和连续性 共13页
例5 求函数 u ta x 2n y 2 的不连续点。
四、有界闭区域上连续函数的性质
定义 设多元函数 fM 在某个开区域 D内有定义， 并且对 D 内任何一点 M 0 ，fM在 M 0 连续，则称 fM
在 D内连续。
有界性定理 若 fx,y在有界闭区域 D 上连续，则它
高 r所决定h，即
V，r2是h 由两V个自变量所确定
的。这些都是多元函数的例子。
二元函数的定义
设 E是平面点集，R是实数集，f 是一个规律，如果对E
中的每一点 x, y ，通过规律 f ，在 R中存在唯一一 个实数 u和此 x, y相对应，我们就称 f 是定义在 E上
的一个二元函数， x和 y是函数 f 的两个相互独立的自
R
例2 理想气体的状态方程
pV RT R是常 数
二、二元函数的极限
二元函数极限的定义 设二元函数 fM fx,y 在点M 0x0,y0 附近有定义。如果对人以给定的0 ，
总存在 0 ，当 0 rM ,M 0 时恒有 fM A
我们就称 A是二元函数fx,y在 M 0 点的极限，记为
limf x, yA
xx0 yy0
定义 若对 0 ，存在 0 ，使当 x x 0 ,yy0
且 x, y 不与 x0,y0 重合，亦即 x x 0 2 y y 0 2 0
时，恒有 fx,yA
那么称 A 为 fx,y 在点 M 0 的极限。
2多元函数的极限和连续性
一、多元函数的概念
不论在数学的理论还是实际问题中，许多量的变化，
不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平
行四边形的面积 由它A的相邻两边的长 和 x以及y夹
多元函数的极限与连续
由于向量不能比较大小，也不能相除，所以数列 极限中的单调性，保序性，确界，商不能推广。 但闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass定理， Cauchy收敛原理在Rn中仍然成立。
3. Rn中的开集与闭集
定义1.2 设A是Rn中的一个点集，a Rn .若存在 A中的点列{xk} ， xk a(k=1,2,…),使得 xk a(k),则称a为A 的一个聚点。 A 的所有的聚点构成的集合称为A的导集，
3. 多元连续函数的性质
(1)有界性: 若函数f在紧集A上连续,则f在A上有界， 即存在M >0, 使得x A, 有| f(x)| M.
(2) 最值: 若函数f在紧集A上连续,则f 在A上必能 取到最大值M与最小值m。
( x, y )( x0 , y0 )
或
lim f ( x, y) a.
x x0
y y0
这个极限常称为二重极限.
否则，称(x,y) (x0,y0)时，f (x,y)没有极限。
二重极限的定义与一元函数极限的定义无 多大差别，因此一元函数极限的许多性质 （如：唯一性，局部有界性，局部保号性， 夹逼准则，heine定理，有理运算法则等） 可推广到二重极限上来。
( x, y) || x y ||
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
2. Rn中点列的极限。
定义1.1 (点列的极限） 设{xk}是Rn中的一个点列， a是Rn中的一点，若当k时，(xk,a) 0,即：
0,N N，使得k N,恒有 xk a ,
时, 恒有| f(x, y)0|<.
故
lim
x0
xysinx x2 y2
2 多元函数的极限与连续性-2
lim
( x x y y ) 7.
2 2
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
例2 设
2 2 x y ， ( x , y ) ( 0 , 0 ), xy 2 2 f (x, y) x y 0, ( x , y ) ( 0 , 0 ),
证明
lim f ( P ) A .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
3
简记为
当 P,
P0
P P0
lim f ( P ) A .
( x , y ), ( x 0 , y 0 ) 表示时,
分别用坐标
上式也
常写作
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x, y) A.
2 2
可知
2 , 当 0
x y
2
2 2
2
时, 便有
xy
x y
2
x y
2
0 ,
故
( x , y ) (0, 0)
lim
f ( x , y ) 0.
注意 不要把上面的估计式错写成：
xy x y
2 2 2
x y
2
0
xy
x y
2
2
1 2
lim
x y x y
6 2
3
x 0 y 0
不存在.
播放
2007年8月
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21
二、累次极限
在上面讨论的
( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
多元函数的极限和连续性
不存在，即关于双重变量不连续.
y0
2021/3/10
14
皮肌§炎13图.2. 片多—元—函皮数的肌极炎限的和症连状续性表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
f x ', y ' f x '', y '' .
2021/3/10
16
§13.2. 多元函数的极限和连续性
（3）最大值和最小值定理 若f ( x, y)在有界闭区域D上连续，则它在D上必有
最大值和最小值,即在D上存在点M1 x1, y1 和 M2 x2, y2 ,使对D上任意的点 x, y ,恒有
:
设f
(
M
)在M0有定义，并且
lim
M M0
f (M)
f (M0 ),
则称f (M )在M0点连续.
即f（M）在 M0 极限值等于函数值。
f
在M
点连续
0
如果
>0,
>0,
当r(M , M0 ) 时,恒有 f (M ) f (M0)
2021/3/10
11
§13.2. 多元函数的极限和连续性
例5
1 x sin
1 y sin
x
y
.
y
x
故二重极限 lim f x, y 0. x0 y0
2021/3/10
22
§13.2. 多元函数的极限和连续性
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学分析中，多元函数的极限与连续性是十分重要的概念，它们在研究函数性质和解决实际问题时起到了关键作用。
本文将对多元函数的极限与连续性进行详细探讨，并给出相应的定义和性质。
一、多元函数的极限对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，当自变量(x1, x2, ..., xn)接近某一点(a1, a2, ..., an)时，如果函数值f(x1, x2, ..., xn)趋于某个常数L，那么我们就说f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处收敛于L，记作：lim(f(x1, x2, ..., xn)) = L (当(x1, x2, ..., xn) → (a1, a2, ..., an))多元函数的极限与一元函数的极限类似，但需要考虑多个自变量同时趋于某个特定值。
在计算多元函数极限时，可以使用极限的定义、夹逼定理、两个变量夹逼定理等方法。
多元函数的极限性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性、极限的四则运算等。
这些性质的证明与一元函数类似，但需要注意多个变量同时进行推导。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在该点处的函数值相等。
具体而言，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处连续，需要满足以下条件：1. 函数在点(a1, a2, ..., an)存在；2. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限存在；3. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限等于函数在该点的函数值。
在多元函数中，我们可以使用分量函数的连续性来判断函数的连续性。
分量函数是将多元函数中的每个自变量固定，其他自变量视为参数得到的一元函数。
如果分量函数都连续，那么多元函数在该点处连续。
多元函数的连续性性质包括局部连续性、全局连续性、复合函数的连续性等。
这些性质的证明需要使用到一元函数连续性的基本性质，并进行适当的推导和运算。
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大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
多元函数的极限与连续性
二重极限 累次极限
2021/3/18 2
与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数 的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的.
f(x ,y ) 0 ， 其 余 部 分 .
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如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 f (x, y) 都趋于 0, 但这并不表明此函数在
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15
(x,y) (0,0)时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线
ykx2(0k1)趋于点 O 时, f (x, y)将趋于1. 所
2021/3/18
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因为 (x,y) (0,0)的过程只要求 (x,y)(0,0),即
x2 y2 0,而并不要求 xy 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r c o s,y r s i n .这时
(x,y) (0,0)等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
x2y2 | f(x,y)0| xyx2y2
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5
|(x2)(x2)(x2)y2(y1)(y1)(y1)|
| x 2 | | x y 2 | | y 1 | | y 3 | . 不妨先限制在点(2, 1)的方邻域
( x ,y )|x 2 | 1 ,|y 1 | 1
内来讨论, 于是有 | y3|| y14|| y1|45, |x y 2 | | ( x 2 ) ( y 1 ) 5 | | x 2 | | y 1 | 5 7 .
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返3回
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 DR2上, P 0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0 , 0 ,使得当
P U (P 0 ;) D 时, 都有
|f(P )A|,
则称 f 在 D 上当 PP0时以 A 为极限, 记作
lim f (P) A.
PP0 P D
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4
简记为
lim f(P)A.
PP0
当 P, P 0 分别用坐标 (x,y),(x0,y0)表示时, 上式也
常x0,y0)
例1 依定义验证 lim(x2xyy2)7. (x,y) (2,1)
证 因为
x2xyy27 (x 2 4 ) x y 2 (y 2 1 )
以极限 lim f(x,y)不存在. (x,y)(0,0)
例5 讨论 f (x, y) xy 在 (x,y) (0,0)时不 x y
存在极限． 解 利用定理 1的推论 2, 需要找出两条路径, 沿
着此二路径而使 (x,y) (0,0)时, 得到两个相异 的极限．
2021/3/18
16
P P0 PD
推论2 若 E 1 ,E 2 D ,P 0是它们的聚点，使得
P l im P 0f(P )A 1与 P l im P 0f(P )A 2
P E 1
P E 2
都存在，但
A1 A2
,
则
lim
P P0
f
(P)
不存在．
PD
2021/3/18
12
推论3 极限 lim f ( P ) 存在的充要条件是：D 中任 P P0 PD
这就证得 lim(x2xyy2)7.
(x,y) (2,1)
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7
例2 设
f(x, y)xyxx22 yy22，(x, y)(0,0),
0,
(x, y)(0,0),
证明 lim f(x,y)0. (x,y) (0,0)
证 (证法一) 0, 由
xyx x2 2 y y2 20x2 2y2
x2y2 x2y2
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8
1x 2y21(x 2y2),
2
2
可知 2 ,当 0 x 2 y 2 时 ,便 有
x2 y2 xy x2 y2
0
,
故 lim f(x,y)0. (x,y) (0,0)
注意 不要把上面的估计式错写成：
xyx x 2 2 y y2 2 0xyx 2 2 xy y21 2(x 2y2),
结原则(而且证明方法也相类似).
定理1
lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的
PP0 PD
任一子集 E,只要 P 0 仍是 E 的聚点,就有
lim f (P) A.
PP0 PE
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推论1
若
E1D, P0
是 E1 的聚点, 使
lim
P P0
f (P)
PE1
不存在, 则 lim f ( P ) 也不存在．
1r2|sin4|1r2,
4
4
因此， 0 ,只 须 r x 2 y 2 2,对任何
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10
都有
|f ( x ,y ) 0 | 1 r 2 ,即 l i m f ( x ,y ) 0 .
4
( x ,y ) ( 0 ,0 )
下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归
一满足条件 P n P 0 且 n l i m P n P 0 的 点 列 { P n } ,它所 对应的函数列 {f(Pn)}都收敛．
下面三个例子是它们的应用．
例3
讨论
f (x,
y)
xy x2 y2
当
(x,y) (0,0)时是否
存在极限．( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. )
解 当动点 (x, y) 沿着直线 ymx而趋于定点 (0, 0)
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6
所以 x 2 x y y 2 7 7 |x 2 | 5 |y 1 |
7 ( | x 2 | | y 1 | ) .
0,取 m in(1,1 4),当 |x 2 | ,|y 1 |
且 (x,y)(2,1)时, 就有
x 2 x y y 2 7 7 2 1 4 .
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时，由于
m f(x,y)f(x,m x)1m 2,
因此有
m (x,yl)i m (0,0)f(x,y)x li m 0f(x,m x)1m 2.
ym x
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应
的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．
例4 设 1 ， 0 y x 2 , x ,