高级数理逻辑第8讲

模态逻辑汉语中“模态”是英语词Modal的音译。

英语词modality(模态性)源出于拉丁文modalitas，含形态、样式和形式的意思。

现代模态逻辑是现代逻辑的重要分支，它在科学和技术领域的应用越来越广泛，它的许多课题不仅受到逻辑学家的注意，而且也受到计算机科学家和计算机工程技术人员以及其他工程技术人员的关注。

因此，深入研究和发展这门科学，已成为逻辑工作者的一项重要任务。

逻辑学中在两种意义上，即在狭义和广义上使用“模态”这个术语。

涉及必然性，或然性（偶然性），遗传性和相容性等模态属于狭义模态。

从某种观点来看，它们表达的是命题的真假强度。

因此，也称为真值模态。

例如：“物体间存在着引力是必然的”；“到本世纪末我国国民生产总值翻两翻是可能的”等都属于这类模态命题。

我们这章的模态系统主要研究这类狭义模态性。

广义模态性是指命题本身所具有的非真值函项的（或非外延的）种种性质。

广义模态词较多，除了必然、可能之外，尚有必须（应该）、允许、禁止；知道、相信、可接受、可疑、可证；曾经、总是、将是、优先、中立等。

这些模态词分别是道义逻辑，认识逻辑，时态逻辑，和价值逻辑研究的对象。

还有希望、需要等尚未深入研究的模态词。

其例子为：“宇宙间存在着黑洞是可信的”；“在商品生产的社会中价值规律起着重要作用是众所周知的”；“子女赡养扶助父母是应该的”；“世界上还存在着野人是可疑的”等。

在这章，我们将讨论一些模态命题逻辑的系统，但首先将给出现代模态系统所要表达的某些模态概念的一般叙述。

6.1 模态逻辑介绍本章主要来介绍模态逻辑系统基本概念，然后，具体介绍命题模态逻辑和一阶谓词模态逻辑。

Modal logic6.1.1模态逻辑引入逻辑系统的发展从命题逻辑发展到了一阶谓词逻辑，主要是因为命题逻辑系统的描述能力有限。

模态逻辑的出现同样是为了扩充一阶谓词逻辑和命题逻辑的描述能力。

1、命题逻辑的缺陷：命题逻辑的原子命题不能细化，层次太高，而不能完全描述世界；例：所有实数的平方是非负的；-3是实数；-3的平方是非负的；一阶谓词逻辑，利用谓词，函词和量词来解决这样的问题；成立))3(()3())(()(--→∀f P R x f P x xR2、命题逻辑和一阶谓词逻辑的缺陷：这两种逻辑都不能描述有时间概念的变化。

任何一个命题都有一个适用的场合的问题；例命题A ：汽车是一个必备的生活工具；中国：假；美国：真－古代假，现代真；新加坡：假；例如命题B ：1＋1＝2命题B 在任何时间和任何地点都是成立的，不像命题A 只能在一定的时间和场合那成立。

因此，可以看出命题是否成立是与其所在的时间和场合有不同的关系。

为了表示这种时间与场合上的概念，我们引入了模态逻辑来描述这样的概念。

A 命题的真假与场合有关；A 在不同场合的值不同；因此，对于命题A 是否是真成立是不好确定。

为了解决这样的问题，对于在某些场合成立的命题，规定为可能真的；除此之外，对于在所有场合为真的命题，我们规定为必然真的。

{w1,w2…}为了解决这样命题的描述问题，在模态逻辑中，引入了对必然和可能的描述。

可能：◇A ，表示命题A ，至少有一个可以实现的场合中，成立。

必然：□A ，表示命题A ，在所有能够实现的场合中，成立。

3、模态逻辑的实质● 命题逻辑和一阶谓词逻辑的推广⏹ 对命题逻辑和一阶谓词逻辑，引入了两个符号－模态词；◆ 引入的模态词类似于量词⏹ 在不同场合中，分别是一阶谓词逻辑和命题逻辑；● 场合之间的关系⏹ 场合从目前所处的场合是否可以实现（达到）；⏹ 模态词□A ：表示在当前场合到以后可以达到的场合中都是成立的；⏹ 模态词◇A ：表示从当前场合到以后可以达到的场合中，至少有一个是成立的。

⏹ 与场合之间关系有着密切的联系。

● 场合与现实之间的关系⏹ 程序设计中的模块可以是不同的场合⏹ 时间段也可以是不同的场合● 这些不同的场合在模态逻辑中，成为可能世界 6.1.2 基本模态概念在真命题中，我们可以区分出那些仅仅偶尔(happen)是真的命题和那些必然(bound)是真的（或不可能是假的）命题。

同样，在假命题中，我们也可以区分出那些偶尔是假的命题和那些必然(bound)是假的（或不可能是真的）命题。

一个必然是真的命题我们称之为必真(necessary true)命题，或必然真理(necessary truth)，或简单的说是必然（necessary ）命题；一个必然为假的命题我们称之为不可能(impossible )命题；而既非必然又非不可能的命题则称为偶然(contingent)命题。

当然某些偶然命题将是真的，某些偶然命题将是假的。

如果一个命题不是不可能的，则称为可能(possible)命题。

这里的“可能”并不意味着“仅仅可能（merelypossible）”，如果说p是仅仅可能的，则意指尽管它可能已经是真的，但它实质上是假的。

在我们的意义下，可能命题包含着所有的真命题（更不必说包含着所有的必然命题）。

事实上，它们包含着除不可能命题以外的所有命题。

在当前的上下文中，我们意指的“必然性（necessity）”通常称为逻辑必然性（logical necessity）。

我们无意在此详细叙述逻辑必然性的实质——总之，这个问题充满着许多哲学上的困难。

我们所用的术语“必然（necessary）”的含义通过当我们说某个命题是必然的时候大概就可以得到充分的说明。

我们的意思并不是：因为事物是怎样的，或者世界是怎样的，所以这个命题不可能不真；而是，无论事物是怎样的，也无论世界的结果象什么，它都不可能不真。

例如，尽管命题：没有物体比光速更快是由很重要的科学证据所支持的，但是我们还是倾向于说在某个重要的意义下，一个物体不可能比光速更快这个命题在我们的意义下仍然不被看作是一个必然命题；因为它的支持是由物质世界是怎样的事实组成，而物质世界推测起来它可能是而事实上它不是。

而命题：所有的未婚男子都是独身的，没有任何余地，不管今天是不是“星期四”，在我们的意义下它都被看作是必然真理。

类似地，我们意指的“不可能性”称为“逻辑”不可能性；我们意指的“偶然性”称为“逻辑”偶然性；我们意指的“可能性”称为“逻辑”可能性；对于这些说法的含义，我们从刚说过的必然性的情况应该是完全清楚了。

这四个概念：必然性、不可能性、偶然性、可能性，称为“模态”概念。

它们显然注：在中世纪，逻辑必然性等概念被认为是一个命题可能是真的或假的方式。

是彼此密切相关的；事实上我们可以根据它们中的任一个概念来解释其余三个概念。

特别重要的是下列必然性和可能性之间的联系：称一个命题，p，是必然真的，等价于称p是假的是不可能的；称p是可能的（或者可能是真的）等价于称p是假的不是必然为真的。

另一个重要的模态概念是“遗传（entailment）”。

我们把它理解为“逻辑源于（following logically from）”关系的逆( converse)：即，称命题p遗传（entails）命题q，仅仅是q逻辑源于p的一种替换方法，或者说从p到q的推论是逻辑有效的。

“相容(consistence)”也是和“逻辑源于”关系（从而和遗传模态）相关联的一种重要的模态概念。

称命题p和命题q是相容的当且仅当它们中任何一个的否定都不逻辑源于另一个，或者说它们中的任何一个都不遗传另一个的否定。

直观上，命题p和命题q相容，就是它们中任何一个的真都不会妨碍另一个是真的。

任意给定命题p，我们当然可以形成命题：p是必然的，即我们表述为：必然p（It is necessary that p）的命题。

这个命题当p本身是必然的时为真。

而当p不是必然的时为假。

因此“必然”是一个作用于命题上的（一元（monadic））命题形成算子（operator）。

无论怎样，它不是一个真值函项（truth-functional）算子；因为虽然从p的假性可得出p不是必然的（即，“必然p”是假的），但仅给出p是真的，我们不能确定p是否是必然的——即，从p的真性，我们既不可能演绎出“必然p”的真性，也不可能演绎出它的假性。

同样地，“可能（It is possible that）”也是一个作用于命题上的一元命题形成算子，当p 是可能的时，命题“可能p”应是真的；当p是不可能的时，命题“可能p”应是假的。

它也不是真值函项。

事实上，在讲真值函项算子时曾引导我们的注意力到“逻辑源于”（因而“遗传”和“相容”）的非真值函项性。

我们把这些算子称作模态算子（modal operator）。

这些即将要考虑的逻辑系统称为模态系统或模态逻辑。

这些系统将都基于我们在第二章所建立的那样的命题演算上；也就是说，它们将包括所有PC的wff，其解释和以前一样（故PC的有效wff在这些模态系统中仍保留有效性），以及包括PC的初始变形规则，即一致代入规则和分离规则、定义置换规则。

但我们已经知道模态算子不是真值函项算子，这意味着它们不可能由PC的算子（诸如⌝，∨及它们的复合）来表达，这是因为PC的算子都是真值函项。

所以要得到一个模态逻辑（在它里面我们可以表达诸如“必然p”这样的命题），为此，我们不得不增加进一步的算子到PC，并扩张我们的公式的种类。

我们将引进符号☐（L）和 （M）（作为一元算子），符号⊰（作为二元算子），并分别解释它们的意义为“必然”、“可能”和“遗传”，并允许它们把任何公式作为自变元。

这样我们就有了诸如下列这样的wff：☐p∨q（意思是“或p是必然的或q（是真的）”）， (p∧q)⊰ q（意思是“命题‘q是可能的’逻辑源于命题‘p 且q是可能的’”），等等。

按照预定的解释，我们将称☐是必然性算子（necessity operator）和称 是可能性算子（possibility operator）。

6.1.3模态逻辑系统特性我们认为什么样的模态公式是有效的？很容易给出一个一般的、直观的有效性的描述。

恰与我们当初为PC给出的描述一样，称一个公式是有效的，当且仅当对于它的变项们的所有取值它皆为真。

在PC中，因为算子的本质是真值函项，这个最初的描述直接导致了一个十分简单的有效性的形式定义。

接下来我们就能够建立起一个公理化系统，并检查它是否符合命题类应该与已定义的有效公式类恰好一致的标准。

然而，由于模态算子的非真值函项特性，最初的描述并不能为我们给出一个总能给予一个清楚结果的模态公式有效性的显而易见的形式定义。

但是，有某些条件，如果它有将系统解释为模态系统的能力，那么我们要求系统满足这些条件，从直观上来说是合乎情理的。

这些条件，我们随后将列出。

它们将要求某些公式被看作是有效的（或是命题，如果这个系统是用公理化表示的），同时要求另外一些公式不被看作是有效的；但对于某些公式其有效性和无效性的未确定性将遗作一个问题。