北邮版概率论答案(4)

习题四

1.设随机变量X 的分布律为

X -1 0 1 2 P

1/8 1/2 1/8 1/4

求E （X ），E （X 2），E （2X +3）. 【解】(1) 11111

()(1)012;8

2842

E X =-⨯+⨯

+⨯+⨯= (2) 22

22211115()(1)012;82844

E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=

(3) 1

(23)2()32342

E X E X +=+=⨯+=

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为 X 0 1

2

3

4

5

P

5905100C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 411090

5100C C 0C = 5

105

100

C 0C = 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,= 5

2

()[()]i

i

i D X x E X P ==

-∑

222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0

0.432.

=-⨯+-⨯++-⨯=

3.设随机变量X 的分布律为

X -1 0 1 P

p 1 p 2 p 3

且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,

又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,

2222

12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③

由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===

4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？

【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则

(){|}{}N

k P A P A X k P X k ===∑全概率公式

1{}{}

1().N

N

k k k P X k kP X k N N

n E X N N

=====

===∑∑

5.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,

10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）. 【解】1

2

2

1

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞

-∞

=

=+-⎰

⎰⎰

2

1

3

32011 1.33x x x ⎡⎤

⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

1

2

2

2

3

20

1

7

()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞

-∞

==+-=

⎰

⎰⎰ 故 2

2

1()()[()].6

D X

E X E X =-=

6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .

【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=

(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立

1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），

D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.

E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=

(2) 2

2

(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<<.,

0,

0,10,其他x y x k

试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因

1001

(,)d d d d 1,2

x f x y x y x k y k +∞+∞

-∞

-∞

===⎰⎰

⎰⎰故k =2

10

()(,)d d d 2d 0.25x

E XY xyf x y x y x x y y +∞

+∞

-∞

-∞

===⎰

⎰

⎰⎰.

9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,

10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,

.

y y --⎧>⎨

⎩其他

求E （XY ）.

【解】方法一：先求X 与Y 的均值 1

2

()2d ,3

E X x x x ==⎰ 5

(5)5

()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y y

z z z +∞

+∞+∞

=-----=

+=+=⎰

⎰⎰

令

由X 与Y 的独立性，得

2

()()()6 4.3

E XY E X E Y ==⨯=

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为

(5)2e ,01,5,

(,)()()0,

,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨

⎩其他 于是

1

1

(5)

2

(5)5

5

2

()2e

d d 2d

e d 6 4.3

y y E XY xy x x y x x

y y +∞

+∞

----===⨯=⎰

⎰

⎰⎰

10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为

f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,

0,

0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨

⎧≤>-.

0,0,

0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-20

()()d 2e d [e ]e d x x x

X X xf x x x x x x +∞

+∞

+∞

--+∞-∞

==-⎰

⎰

⎰

201

e d .2x x +∞

-==⎰

40

1

()()d 4e dy .4

y Y E Y yf y y y +∞

+∞--∞

=

=⎰

⎰

2

2

242021()()d 4e d .48

y Y E Y y f y y y y +∞

+∞

--∞=

==

=⎰⎰

从而(1)113

()()().244

E X Y E X E Y +=+=+=