第6章 动态规划-第3节
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
动态规划.pdf
第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
第6章-动态规划
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步 向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带 到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直 至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决 策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步 求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点 的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始 终盯住目标,不致脱离最终目标。 顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同， 求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算 后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段 的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
现代控制理论基础 第6章 线性系统的最优控制
7
方法的比较
总的来说，当控制量无约束时，‘采用“变分法” ；当控制量有 约束时，采用“极小值原理” 或“动态规划”；如果系统是线性的， 采用“线性二次型”方法最好，因为，一方面，二次型指标反映了大 量实际的工程性能指标的要求；另方面，理论上的分析及求解较简单、 方便、规范，而且还有标准的计算机程序可供使用；得到的控制器易 于通过状态反馈实现闭环最优控制，工程实现方便。在实际的工程控 制中，目前线性二次型最优控制己得到了广泛的成功应用。
J 值为极值 J （最大值或最小值），这种泛函求极值的方法，实际上 就是数学上的“变分”问题，须采用数学中的“变分法” 。
5
采用直接变分法求解最优控制率，难于甚至“无法解决容许控 制属于闭集”的最优控制问题，所以受到实际工程应用上的限制， 例如，每台电动机都有最大功率的限制；船舶或飞机的操纵舵面 也有最大偏转角的限制。况且采用直接变分法设计出的系统，其 抗参数变化的能力，即系统的鲁棒性也不强。因此，工程应用上 有较小的实用价值。
线性系统二次型的最化控制，因为其性能指标具有明确的物理 意义，在大量的工程实际中具有代表性，而且最优控制率的求解 较简单，并具有统一的解析表达式，构成的最优控制系统具有简 单的线性状态反馈的型式，易于工程实现，所以在国内外实际的 工程中目前己得到广泛应用。本章主要介绍其基本概念、基本原 理和设计方法。
下面只介绍线性二次型最优控制的基本概念、求解原理及设 计中的一些主要结论。
8
第三节 线性二次型最优控制
一、控制对象数学模型
线性系统的状态空间表达式
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t) C(t)x(t)
式中，
n x(t) 为 维状态向量；
（6-4）
马后炮化工论坛-第六章
6-1 阐述分离序列综合基本概念：简单塔、顺序表、分离子群、分离子问题等。
简单塔：①指一个进料分成两个产品；②每一个组分只出现在一个产品中，即锐分离；③塔顶设全凝器以及塔底设再沸器。
顺序表：将分离所涉及的各组分按关键物性数据大小排列形成的表。
分离子群：分离过程中产生的流股。
分离子问题：所有分离序列中不重样的分离问题。
6-2 分离序列综合有序直观推断规则有哪些？说明其含义？规则(1)在所有其分离方法中，优先采用能量分离剂分离方法（例如精馏）, 避免用质量分离剂分离方法（例如萃取）。
当关键组分间的相对挥发度小于1.05-1.10时，应该采用质量分离剂分离方法（例如萃取），此时质量分离剂应在下步立即分离。
规则(2)精馏分离过程尽量避免真空和制冷操作。
如需采用真空操作，则可考虑用萃取方案代替；如需采用制冷操作，则可考虑采用吸收方案代替。
由于真空和制冷操作能耗较大，有时即使在较高温度和压力下操作也会有利。
规则(3)当产品集中包括多个多元产品时，倾向于选择得到最少产品种类的分离序列。
相同的产品不要在几处分出。
因为产品集合越小，相应分离序列中的分离单元就越少，所以费用可能较低。
规则(4)首先安排除去腐蚀性组分和有毒有害组分，从而避免对后继设备苛刻要求，提高安全操作保证，减少环境污染。
规则(5)最后处理难分离或分离要求高的组分，特别是当关键组分间的相对挥发度接近1时，应当在没有非关键组分存在的情况下进行分离，这时分离净功耗可以保持较低水平。
规则(6)进料中含量最多的组分应该首先分离出去，这样可以避免含量最多的组分在后续塔中多次气化与冷凝，降低了后续塔的负荷。
规则(7)如果组分间的性质差异以及组分的组成变化范围不大，则倾向于塔顶和塔底产品量等摩尔分离。
精馏塔冷凝器负荷与再沸器负荷不能独立调节，塔顶和塔底产品量等摩尔分离时，精馏段回流比与提馏段蒸发比可以得到较好的平衡。
6-3 采用渐进调优进行分离序列综合时，调优规则与策略有哪些？其作用是什么？调优法则就是指产生与当前分离序列相容结构的变化机制① 相邻层次切分点序列位置变换可行分离序列就是历经各个切分点的某种切分顺序。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
第6章 动态规划
第6章动态规划判断06100011判断：在动态规划模型中，问题的阶段数等于问题中的子问题的数目；06100021判断：动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所作决策的相互独立性；06100031判断：）动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的决策；06100041判断：对一个动态规划问题，应用顺推或逆推解法可能会得出不同的最优解；06100051判断：动态规划计算中的“维数障碍”主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的；06100061判断：）假如一个线性规划问题含有5个变量和3个约束，则用动态规划方法求解时将划分为3个阶段，每个阶段的状态将由一个5维的向量组成；06100071判断：任何一个多阶段决策过程的最优化问题，都可以用非线性规划模型来描述。
06100081判断：动态规划问题如果按状态转移率区分,可分成确定性的与随机性的.简答06200011简答：一个N阶段的决策过程具有哪特征？06200021简答：试述动态规划的优点。
06200031简答：试述最优化原理的内容06200041简答：试述动态规划数学模型的四种类型.计算题最短路问题06301012设某厂自国外进口一步精密机器，由机器制造厂至出口港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，期间的运输成本如下图所示，试求运费最低的路线。
06301022、某工厂从国外引进一台设备，由A到G港口有多条通路可供选择，其路线及费用如下图所示。
现要确定一条从A到G的使总费用最小的路线。
请将该问题描述成一个动态规划问题，然后求其最优解。
资源分配06302012有一部货车每天沿着公路给四个零售店卸下6箱货物，如果各零售店出售该货物06302022设有某种肥料共6个单位重量，准备供给四块粮田用，其每块粮田施肥数量与增06302033某公司打算向承包的三个营业区增设六个销售店，每个营业地区至少增设一个，从各区赚取的利润与增设的销售店个数有关，其数据如下表所示。
《管理运筹学》第四版课后习题解析(下)
《管理运筹学》第四版课后习题解析（下）第9章目标规划1、解：设工厂生产A 产品1x 件，生产B 产品2x 件。
按照生产要求，建立如下目标规划模型。
112212121211122212min ()()s.t43452530555086100,,,0,1,2--+-+-+-++++-+=+-+==i i P d P d x x x x x x d d x x d d x x d d i ≤≤≥由管理运筹学软件求解得12121211.25,0,0,10, 6.25,0x x d d d d --++======由图解法或进一步计算可知，本题在求解结果未要求整数解的情况下，满意解有无穷多个，为线段(135/14,15/7)(1)(45/4,0),[0,1]ααα+-∈上的任一点。
2、解：设该公司生产A 型混凝土x 1吨，生产B 型混凝土x 2吨，按照要求建立如下的目标规划模型。
)5,,2,1(0,,0,014550.060.015550.040.030000100150100120275200.)()(min 2121215521442331222111215443322111Λ=≥≥≥≤+≤+=-++=-+=-+=-++=-++++++++-+-+-+-+-+----++-i d d x x x x x x d d x x d d x d d x d d x x d d x x ts d p d d p d p d d p i i 由管理运筹学软件求解得.0,0,20,0,0,0,0,35,40,0,120,120554433221121============+-+-+-+-+-d d d d d d d d d d x x3、解：设x 1,x 2分别表示购买两种基金的数量，按要求建立如下的目标规划模型。
,,01250543504.07.0100004525.min 2,122211121212211≥≥=-++=-++≤+++-+-+--+i i d d x x d d x x d d x x x x ts d p d p用管理运筹学软件求解得，0,0,0,818.206,091.159,636.113221121======+-+-d d d d x x所以，该人可以投资A 基金113.636份，投资B 基金159.091份。
运筹学课程教学大纲
教学基本文件模板课程教学大纲：《运筹学》课程教学大纲课程编号：课程名称：运筹学/Operational Research课程总学时/学分：72/4 （其中理论60学时，实验12学时）适用专业：适用本科四年制信息管理与信息系统专业一、课程简介本课程的授课对象是信息管理与信息系统专业本科生，属管理类专业专业基础必修课。
《运筹学》是以定量分析为主来研究经济管理问题，将工程思想和管理思想相结合，应用系统的、科学的、数学分析的方法，通过建模、检验和求解数学模型获得最优决策方案。
本课程的主要内容包括线性规划、运输问题、整数规划、目标规划、动态规划、网络分析等与经济、管理和工程领域密切相关的运筹学分支的基本模型、方法和应用。
运用科学的模型化方法来描述、求解和分析问题，从而支持决策。
二、教学目的和任务本课程旨在使同学们正确、全面地掌握各级管理工作中已被广泛应用、发展比较成熟的最优化理论与方法，并能运用所学理论和方法解决管理工作中出现的各种优化问题，为后续课程奠定定量分析基础。
在已学过高等数学、微积分、线性代数等课程基础上学习本课程，通过教授、自学、复习、作业练习、辅导、上机等教学环节达到上述目的。
学习中要注意到学科系统性，数学概念和逻辑的严密性、准确性和完整性，但不偏重纯数学方法论证。
注重基本概念、基本思路、基本方法、算法步骤的掌握，了解各种方法特点和实用价值，提高建立模型、分析求解能力和技巧。
应注重实际应用中建立模型，选择可行求解的理论方法，运用计算机工具求解这三方面训练的有机结合。
三、教学基本要求信息管理与信息系统专业的学生应系统地学习《运筹学》的全部内容。
系统掌握线性规划、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划、图与网络分析的理论和方法；能借助Excel、Lingo等电子计算手段，运用所学理论和方法解决实际问题。
通过该课程的学习，进一步培养学生的分析问题和解决问题的能力。
四、教学内容与学时分配绪论（2学时）第一节运筹学的定义与发展简史1、运筹学名称的来历；2、运筹学的发展简史。
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
现代控制理论第六章
式中,δx(t) 为宗量函数x(t)的变分, L[x(t), δx(t)] 是 δx(t) 的线性连续泛函,o[ x(t), δx(t)] 是关于 δx(t) 的高阶无穷 小,则定义泛函增量的线性主部
δJ = L[ x(t), δ x(t)]
(6-19)
为泛函 J[ x(t)] 的变分，记作 δJ 。若泛函有变分，则 称该泛函可微。
物体的升降速度，则上式可写成状态方程
& x1 (t) = x2 (t)
& x2 (t) = u(t) − mg
x 其初始条件是 x1 (t0 ) = x10 ， 2 (t0 ) = x20 。现需寻找 一个能使物体以最短时间从初态 ( x10,x20 ) 到达终态 (0,0)的控制u(t)。定义系统的性能指标为
1. 始端时刻和终端时刻固定时的泛函极值问题
首先讨论不仅初始时刻 t0 、终端时刻 t f 固定,而 且初始状态 x(t 0 ) = x0 、终端状态 x(tf ) = xf固定这一最 简单情况下无约束条件的泛函极值问题(最优控制的 最优控制的 基本问题)。 基本问题
J = ∫ dt = t f − t0
tf t0
t 式中, t0为起始时刻， f 为终止时刻。要求时间最短， 即使性能指标J最小，这样求得的控制即为最优控制 u *(t) 。
2. 搅拌槽问题 设有一盛放液体的连续 搅拌槽，如图6-2所示。槽内 装有不停转动着的搅拌器S， 使液体经常处于完全混合状 态，槽中原放 0o C 的液体。 现需将其温度升高，为此在 入口处送进一定量的液体， 其温度为u(t)，出口处流出 等量的液体，以保持槽内液
由式(6-20)得
∂ (J[x(t) + εδx(t)]) = ∂ ∫tt0f [x(t) + εδx(t)]2 dt ∂ε ∂ε ε =0
王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)(2)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
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3） 哈密顿函数沿最优轨线随时间改变率
dH dt
H x
T
x
H u
T
u
H λ
T
λ
H t
在最优控制 u* 、最优轨线
x*
下，有
H u
0
和
H T x
x
H λ
T
λ
H T x
H λ
H λ
T
H x
0
（23）
（10）式哈密顿函数对
导，结果为 f ( x,u,t)
λ求x 偏
n (t)
将性能指标（8）式改写为其等价形式
（9）
由（6）式可知 f ( x,u,t) x
为零
J [ x(t f )] t f {L( x, u,t) λT (t)[ f ( x, u,t) x ]}d t t0
定义哈密顿函数 H ( x, u, λ,t) L( x, u,t) λT (t) f ( x, u,t)
T
tf
x(t
f
)
L x
T
t0
x(t0 ) 0
注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。
10/88
6.2 用变分法求解最优控制问题
6.2.1 末值时刻固定、末值状态自由情况下最优控制
非线性时变系统状态方程为
x f ( x,u,t)
（6）
初始状态
x(t) tt0 x(t0 )
（7）
其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数。
T
δ
J
x
(t
f
)
δ x(t f ) λT (t f ) δ x(t f )
高等教育《最优控制理论》课件 第六章
W1 ( x) = d ( x, F )
最优性原理 一个多级决策过程的最优策略具有这样的性质：不管其初始状态和初始决策如 何，其余的决策必须根据第一个决策所形成的状态组成一个最优策略。
6-2 离散最优控制问题
设控制系统的状态方程为
x ( k + 1) = f [x ( k ), u ( k )]
cx(1) 1 x 2 (1) x(1) * u (1) = − ，J 1 = c ，x ( 2 ) = 1+ c 2 1+ c 1+ c
再考虑从x(0)到x(1)的情况，控制为u(0)
1 c 2 1 1 * J 2 [x(0)] = min u 2 (0) + J1* = min u 2 (0) + ⋅ x (1) u (0) 2 u (0) 2 2 1+ c 1 1 c J 2 [x(0)] = u 2 (0) + [x(0) + u (0)]2 2 2 1+ c ∂J 2 =0 ∂u (0) cx(0) u ( 0) = − 1 + 2c cx 2 (0) * J2 = 2(1 + 2c) 1+ c x(1) = x(0) 1 + 2c cx(0) cx(0) , u * (1) = − 最优控制序列为 u * (0) = − 1 + 2c 1 + 2c
最优性能指标为
cx 2 (0) J = 2(1 + 2c)
*
6.3 连续动态规划
设连续系统动态方程为
& x(t ) = f ( x(t ), u (t ), t )
x(t ) ∈ R n , u (t ) ∈ R p
运筹学第6章：图与网路分析
13
6.3 最短路问题
6.3.1 狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959)
• 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路
令 dij 表示 vi 到 vj 的直接距离(两点之间有边)，若两点之间 没有边，则令 dij = ，若两点之间是有向边，则 dji = ； 令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点
10 16 11 10 17 10 9.5 19.5 16 9.5 7 12 7 8 7 11 10 8 9 17 19.5 12 7 9
• • • • •
Prim算法是多项式算法 Prim算法可以求最大生成树 网路的边权可以有多种解释，如效率 次数受限的最小生成树—尚无有效算法 最小 Steiner 树—尚无有效算法
j dij i dik djk k
17
6.3.2 Floyd-Warshall 算法 (1962)
for i=1 to n do dii=; for all eij=0; for j=1 to n do for i=1 to n do if ij then for k=1 to n do if kj then begin dik=min{dik, dij+djk}; if dik>dij+djk then eik=j end;
7
6.2 树图与最小生成树
• 一般研究无向图 • 树图：倒臵的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下 • 多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分 类学、组织结构等都是典型的树图
C1
根
C2
C3
C4
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
第六章 城市地下公共设施规划
通过对地下空间的开发，对公共设施进行补强
与城市交通及规划特点相结合
以商养人、以人养商的原则
要充分考虑防灾要求
2011/12/27 (13)
§6-2 城市地下公共设施的规划
2 城市地下公共设施在地下空间中的适应程度
有利因素
封闭空间
体育馆、礼堂，监狱
隔声
教室、图书馆、剧院、礼堂
安全
博物馆、监狱、银行
2011/12/27 (8)
西湖博物馆
四分之三隐于地下，大面 积采用钢架玻璃结构
2011/12/27 (9)
台北捷运地下街
台北捷运系统的地下 街地点分布主要集中 在台北火车站周边,其 中的4条地下街：台 北捷运大街 (EasyMall)、台北地 下街(TaipeiCityMall)、 站前地下街与忠孝西 路站前地下街以台北 火车站或台北火车站 捷运站为主互相连通。
2011/12/27 (7)
④轨道交通R1线地下二层车站（16 730平米）、R2线地下三层车站（33 000平米）以及正在建设M8线地下二层车站（16 230平米）。 ⑤地下商场：地下一层香港名店街（1 140平米）、地下一层迪美广场 （22 000平米）、地下一、二层华盛商场（6 460平米）及R2线车站地下 一层作商业开发用（7 820平米）。
环境控制
较地面建筑优势大
2011/12/27 (14)
§6-2 城市地下公共设施的规划
2 城市地下公共设施在地下空间中的适应程度
局限因素
天然光线
办公室、医院、教室、图书馆
人员、车辆出入
商店、教室、图书馆、剧院、礼堂
高大空间
礼堂、剧院、体育设施
大通风量
商店、教室、剧院、礼堂、体育馆
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第3节 资源分配问题
• 所谓分配问题，就是将数量一定的一种或若干种资 源（例如原材料，资金，机器设备，劳力，食品等 等），恰当地分配给若干个使用者，使效益函数为 最优。 • 资源分配问题：离散、连续。
（1）资源离散分配问题
• 例1 某工业部门根据国家计划的安排，拟将某种高 效率的设备五台，分配给所属的甲、乙、丙三个工 厂，各工厂获得这种设备，可以提供的期望盈利如 下表所示。
• 动态规划的逆推关系方程为：
f n ( sn ) max {g (un ) h( sn un )} 0u n sn f k ( sk ) max {g (uk ) h( sk uk ) f k 1 (auk b( sk uk ))} 0u n sn k n 1,,2,1
建立动态规划模型的一般步骤
1 划分阶段。即按时间和空间的先后顺序适当地划分为 满足递推关系的若干个阶段。
2 正确选择状态变量。（可知性和无后效性） 3 根据状态变量和决策变量的含义，正确写出状态转移 方程 sk+1=Tk(sk,uk)
4 明确指标函数Vk.n、最优指标函数fk(sk)及k阶段指标 Vk(sk,us)的含义。
• 最后求得的f1(s1)即为所求问题的最大收入。
例2 机器负荷分配问题
• 某种机器可在高低两种不同负荷下进行生产，设 机器在高负荷情况下的产量函数为g=8u1，其中u1 是投入生产的机器数量，年完好率为 a=0.7，在低 负荷情况下的产量函数为h=5y，其中y是投入生产 的机器数量，年完好率为b=0.9。 • 假定开始生产时完好机器的数量为1000台，试问 每年如何安排机器在高低两种负荷下的生产，可 使5年内生产的产品总产量最高。
j 1 j 1
k
k
基本方程为
f k ( S k ) max{g k ( xk ) f k 1 ( S k X k )} 0 xk S k 1 f n 1 ( S n 1 ) 0 (k 1,2,, n)
f k ( S k ) max{g k ( S k 1 ) f k 1 ( S k 1 )} 0 xk S k 1 f 0 (S 0 ) 0 (k 1,2,, n)
如此进行n年，如何确定投入A的资源量u1、…、un，使总收入最大？
（2）资源连续分配问题
• 此类问题的静态规划模型为：
n
max Z {g (ui ) h( si ui )}
i 1
s2 au1 b( s1 u1 ) s au b( s u ) 2 2 2 3 s.t. s n 1 aun b( s n u n ) 0 ui si , i 1,2,, n
f n ( sn ) max {g (un ) h( sn un )} 0u n sn f k ( sk ) max {g (uk ) h( sk uk ) f k 1 (auk b( sk uk ))} 0u n sn k n 1,,2,1
S1 X1(S1) g2(S1X1)+f2(s2) f1(s1) x1* 0 0+21* 1 3+16 2 7+14* 5 21 0或2 3 9+10 4 12+5 5 13+0
按计算表格的顺序反推，得最优分配方案有两个：
第一方案：x1*=0 x2*=2 x3*=3 第二方案：x1*=2 x2*=2 x3*=1 它们所得的总盈利都为21（万元）。 本例若设Sk表示分配给从第1个工厂到第k个工厂的设 备台数，即S3=5，因此，本例还可用顺序法求解，其 结果完全一致。 思考题：如果原设备台数是4台，求最优分配方案？
S2 X2(S2) g2(S2, X2)+f3(s3) f2(S2) X2*(S2) 0 0+12 1 5+11* 4 2 10+6* 16 1或2 3 11+4 4 11+0 0 0+12 1 5+12 2 10+11* 5 21 2 3 11+6 4 11+4 5 11+0
k=1，0≤X1≤S1，S2=S1-X1
当k=5时
f 5 ( s5 ) max {8u5 5( s5 u5 ) f 6 ( s6 )}
0 u 5 s5
max {3u5 5s5 )
0 u 5 s5
u s5 ,
* 5
f 5 ( s5 ) 8s5
当k=4时 f 4 ( s4 ) max {8u4 5( s4 u4 ) f 5 (0.7u4 0.9( s4 u4 ))}
（4）状态转移方程：Sk+1=Sk-dk=Sk-xk (Sk=Sk+1+xk) （5）由于阶段指标vk(Sk, xk)=gk(xk)，所以指标函数：
Vk ,n v j (S j , x j ) g j ( x j )
j k j k n n
V1k v j ( S j x j ) g j ( x j )
一般有 （1）阶段划分：通常把资源分配给一个或几个使用者 的过程作为一个阶段。即把问题中变量的个数作为阶 段数，k=1, 2, …n。 （2）状态变量SK的含义：SK表示分配用于生产第k种 产品至第n种产品的资源数。显然S1=a，所以该类问题 可用逆序法求解。（也可用顺序法，Sn=a） （3）决策变量dk的选定：dk=xk，含义为分配给生产第 k种产品的资源数。允许决策集合为：Dk(Sk)={dk| 0≤dk=xk≤Sk}。
（2）资源连续分配问题
第一年 资源数量 s1
A种生产 数量u1投入;收益g(u1);年终资源回收率a
B种生产 数量s1-u1;收益h(s1-u1);年终资源回收率b
第二年 资源数量 s2=au1+b(s1-u1) 到n年
A种生产 数量u2投入;收益g(u2);年终资源回收率a B种生产 数量s2-u2;收益h(s2-u2);年终资源回收率b
x1 x2 x3 5 x1 , x2 , x3 0, 且皆为整数
其中g1(x1)，g2(x2)，g3(x3)分别对应表中甲、乙、丙 厂的期望盈利数。
先考虑构成动态规划模型的条件： 1、按工厂将问题划分为三个阶段，并将工厂编号为 k=1,2,3。 2、设状态变量Sk表示为分配给第k个工厂至第3个工厂 的设备台数。（显然S1=5，所以可考虑用逆序法。） 3、决策变量Xk，表示为分配给第k个工厂的设备数。 0≤Xk≤Sk。 4、状态转移方程为Sk+1=Sk-Xk 5、阶段指标gk(sk,xk)表示Xk设备分配到第k个工厂所得 的期望盈利值。
因此基本方程为：
f k ( sk ) maxg k ( sk , xk ) f k 1 ( sk xk ) 0 xk sk (k 3,2,1) f (s ) 0 4 4
下面用逆序法采用表格形式进行求解。 k=3，0≤X3≤S3 ，S4=S3-X3 S3 X3(S3) g3(S3，X3)+f4(S4) f3(S3) X3*(S3) 0 0 0+0* 0 0 1 1 4+0* 4 1 2 2 6+0* 6 2 3 3 11+0* 11 3 4 4 12+0* 12 4 5 5 12+0* 12 5
0u 4 s4
max {13.6u4 12.2( s4 u4 )}
0u 4 s4 0u 4 s4来自 max {1.4u4 12.2s4 }
* u 4 s4 ,
f 4 ( s4 ) 13.6 s4
* u3 s3 相应的 * u2 0 相应的 * u1 0 相应的
即前两年应在年初把全部完好的机器投入低负荷生 产，后三年应在年初把全部完好的机器投入高负荷 生产。最高产量为23700（台）。 每年年初的机器状态：S1=1000
S2=0.7u1+0.9(s1-u1)=0.9s1=900
S3= 0.7u2+0.9(s2-u2)=0.9s2=810
S4= 0.7u3+0.9(s3-u3)=0.7s3=567
• 设sk为状态变量，它表示在第k阶段（第k年）可投 入A、B两种生产的资源量； • uk为决策变量，它表示在第k阶段（第k年）用于A 生产的资源量，则sk-uk表示用于B生产的资源量； • 状态转移方程为：sk+1=auk+b(sk-uk) • 最优值函数fk(sk)表示有资源量sk从第 k阶段至第n 阶段采取最优分配方案进行生产后所得到的最大 总收入。
S5= 0.7u4+0.9(s4-u4)=0.7s4=397 S6= 0.7u5+0.9(s5-u5)=0.7s5=278
习题
• 6.2 某种机器可在高低两种不同的负荷下进行生产 。设机器在高负荷下生产的产量为g=8u，其中u为 投入生产的机器数量，年终机器的完好率为a=0.7； 在低负荷下生产的产量函数为 h=5y,其中y为投入生 产的机器数量，年终机器的完好率为b=0.9。 • 假定开始生产时完好的机器数量为s1=1000台，试问 企业每年年初应如何安排机器在高、低两种负荷下 的生产，使在第5年年末完好的机器数量 s6=500台 ，并且5年内生产的产品总产量最高。
依次类推可得，
f 3 ( s3 ) 17.52 s3 f 2 ( s2 ) 20.8s2 f1 ( s1 ) 23.7 s1
因为S1=1000，所以f1(s1)=23700
因此最优策略为
* * * * * u1 0, u2 0, u3 s3 , u4 s4 , u5 s5
• 问如何分配这五台设备给各厂，才能使国家得到的 期望盈利最大？