倍长中线法
5.倍长中线法
DC BA全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1:直接倍长，(图1)： 延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 方式2：间接倍长1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E , 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD【经典例题】例1已知，如图△ABC 中，AB =5，AC =3， 则中线AD 的取值范围是_________.（提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边）例2：已知在△ABC 中，AB =AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF =EF . 求证：BD =CE .（提示：方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEFEDFC BA方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ）例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小.变式：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F . 求证：EF CF BE >+（提示：方法1：在DA 上截取DG =BD ，连结EG 、FG ， 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE =EG 、CF =FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH =EF 、CH =BE ，利用三角形两边之和大于第三边）例4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF（提示：方法1：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。
倍长中线法经典例题
倍长中线法经典例题倍长中线法是三角形测量计算中常用的一种方法，可以应用于测量不同形状的三角形以及解决许多有关三角形的问题。
倍长中线法是一种快速计算三角形高度、底边长度以及其它三角形参数的有效方法，因此极为实用。
倍长中线法是一种利用中线与边长之比来计算三角形高度和底边长度的方法。
倍长中线法可以主要应用于以下几个方面：（1）由一闭合三角形的两条边和角度确定直角三角形的参数；（2）由一闭合三角形的两条边长和一劈裂角确定另一劈裂角，以及三角形的高度和底边长度；（3）由一开端三角形的一条边和另外两条边的夹角确定三角形的高度和底边长度。
目前市面上已经有很多关于倍长中线法的微机应用，几乎所有的计算机软件都涵盖这种方法。
而利用倍长中线法解决的一般问题基本上可以分为三类：（1）求解已知三角形的一边和另外两边的夹角的情况；（2）求解已知三角形的三边的情况；（3）求解已知三角形的两边和一劈裂角的情况。
下面将介绍关于倍长中线法的几个经典例题，以期能够让我们更好地理解使用这一方法的情况：（1）已知闭合三角形ABC，a = 4.6m，C = 25°，求AB的长度：解决这道问题的过程是，由AB和C的夹角可以求出AB的长度，首先可以使用倍长中线法求出三角形ABC的中线长度，即1.5a，由此可以求出AB夹角的正切，即tan(25°) = AB/1.5a，由此AB = 1.5a×tan(25°)=4.6×tan(25°)=2.7m。
（2）已知闭合三角形ABC，a = 4.6m，b = 3.4m，求C的度数：解决这道问题的过程是由AB和BC夹角，两条边长可以求出C 的度数，在这里我们可以使用倍长中线法求出三角形ABC的中线长度，即1.5a，由此可以求出AB的正切，即tanC = (1.5a-b)/a，由此可以求出C的度数，即C = arc tan（(1.5a-b)/a）=arc tan （0.7）=40.23°。
中线倍长法
中线倍长法
中线倍长法是指使用一组具备特定功能的几何形状，并把它们重复堆叠起来，形成空间结构的设计方式。
它是以传统中国建筑中拱形拱门为设计元素，融合了现代空间建筑技术，以达成建筑空间效果的独特技术。
它最初由中国老牌建筑设计师陆文厦在上世纪八十年代提出，他基于传统的中国建筑拱形结构，提出了一种使用若干倍长的中线构建空间结构的设计方案，以此来巧妙地解决复杂的建筑空间布局问题。
中线倍长法以中线作为基本框架，通过倍长来模拟建筑拱形结构，既可以满足复杂的建筑空间布局，又可以达到拱形的空间效果，使空间变得更加宽敞、完美，并使之有着舒适的感受。
中线倍长法在其设计方法上也有着一些特点，主要体现在通过中线的使用，可以实现把传统的圆形结构形状“堆叠”，从而形成一种
较为宽敞的“拱门”形状，使建筑空间布局更加自由，不受传统拱形结构的限制。
中线倍长法由于具有灵活、高效以及适用性强等特点，被广泛运用于现代建筑空间设计，尤其是在大型建筑中，由于高度和空间结构上的复杂，中线倍长法则成为解决空间布置问题的有效方式。
中线倍长法的应用也被越来越多的应用于工业制造和现代建筑
空间设计中，可以有效地降低工程施工时间，提高工作效率。
特别是在大型建筑项目中，则可以有效地使用中线倍长法的方式简化工作，提高建筑质量，节省建筑施工费用。
因此，中线倍长法在现代建筑空
间设计中，是一个非常有用的技术工具，可以帮助建筑设计师有效地实现空间效果。
总而言之，中线倍长法是一种特定的建筑空间设计方式，它既可以满足复杂的建筑空间布局，又可以实现空间效果的最佳展示，所以在现代建筑空间设计中，中线倍长法是非常有效的工具。
全等三角形辅助线之倍长中线法
全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AC BE∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线D CB AEAD ABC ∆为的中线DC BAEAD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似； 当连接、，则为平行四边形M ABCDEMD E MD=DE CE BDM CDE BM CE∆≅∆延长至，使，连接可证，举例：FE G FE=GE EGC ()EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F EDCBA G如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中D CB AEAD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中，，故即２８１４654321FAB C DE如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB=AC ． 求证：△CE=2CD ；△CB 平分△DCE ．E DCB A如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：△AEF=△EAF ．F EDCBA321MA BCD EF如图，在正方形ABCD 中，CD=BC ，△DCB=90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF △BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG=CG 且EG △CG ．GF EDCB AM2134GFDA1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCB AE DCB AF E DBAGFEDCBAFED CBA6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ）GF EDCBA➢ 典型题型1. 解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线21EDCBA 21EBCDA在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点 ∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3321MA BCDEF∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点 ∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90°321MABCD EFG∴CE =EG -CG=5-2.7 =2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3G FEAD BC三角形全等之倍长中线（作业）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A D CE FA B DCE FGFE CD B A FE CD B AA B DCE FG在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为D CBAF E DCBAFED CBA G FE D CBA∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF⊥EF ．➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中FE DB CA21ECDB A 21ECDBA DBA2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ．【参考答案】➢ 巩固练习 1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） ➢ 思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略DCB A。
倍长中线法口诀用法
倍长中线法口诀用法
倍长中线法是一种用于解决数学中直角三角形中线问题的方法，它的口诀用法可以帮助我们更快速地应用该方法。
倍长中线法的口诀用法如下：
首先，我们需要了解倍长中线法的原理。
直角三角形中，以直角边为底，连接斜边的中点，并向斜边的另一侧延长，再连接直角边与延长线的交点，得到一条中线。
倍长中线法的核心思想是，通过延长中线，将三角形转化为四边形，借助四边形的性质求解。
接下来，我们通过口诀用法来应用倍长中线法。
口诀为“倍中长乖隔离，解四算九找斜。
”下面逐句解释该口诀的用法：
1. 倍中长：将直角边向两侧延长成等长线段。
2. 乖隔离：将延长线与中线进行乖离，使它们不重合。
3. 解四：将四边形的四个顶点标记为A、B、C、D。
4. 算九：计算四边形的两个对角线之和AB+CD的数值。
5. 找斜：找到线段AC或BD上的交点E，该点即为直角三角形斜边的中点。
通过以上步骤，我们成功应用了倍长中线法，并求解出直角三角形中线问题。
总结起来，倍长中线法是一种能够帮助我们解决直角三角形中线问题的方法。
它的口诀用法通过清晰的步骤让我们能够更加快速准确
地使用该方法。
无论是解题还是应用倍长中线法，理解口诀的用法都是非常重要的。
倍长中线法总结
倍长中线法总结1. 引言倍长中线法（The Doubling Midline Method）是一种用来解决数学问题的方法，它主要应用于图形和数列的问题。
该方法通过找出中线并将其倍增来寻找问题的解。
本文将详细介绍倍长中线法的思想和应用，并通过示例展示其实际运用。
2. 思想和原理倍长中线法的思想源于对图形和数列的观察和分析。
当遇到需要找到图形或数列的某个特定点或者结果时，我们可以通过找出中线并将其倍增来逐步逼近目标。
该方法的原理是基于中线的特性，即中线两侧长度相等。
通过不断倍增中线的长度，我们可以逐步逼近目标点或结果。
3. 应用步骤倍长中线法的应用可以分为以下几个步骤：步骤一：观察问题首先，我们需要观察和分析问题，确定需要找到的目标点或结果。
这可以帮助我们确定使用倍长中线法的运算方式和步骤。
步骤二：确定初始中线然后，我们需要确定初始中线。
中线的选择要尽可能接近目标点或结果，以提高计算的准确性和效率。
步骤三：倍增中线长度接下来，我们将中线的长度倍增。
具体的倍增倍数可以根据实际情况而定。
每次倍增后，我们检查新的中线是否更接近目标点或结果。
如果是，我们继续倍增中线的长度，直到达到预定的精度要求。
步骤四：确定最终结果最后，我们确定最终结果。
根据具体的问题，我们可以根据中线的位置和长度计算出目标点的坐标或者得出数列的结果。
4. 实际应用示例为了更好地理解倍长中线法的应用，以下是一个实际示例：问题描述在平面直角坐标系中，有一条直线L通过点A(2, 3)和点B(5, 9)。
现在需要确定直线L和Y轴的交点C的坐标。
解决步骤1.观察问题，确定需要找到交点C的坐标。
2.初始中线的选择可以是线段AB的中点M，即M(3.5, 6)。
3.根据倍长中线法，将线段AM的长度倍增，得到线段CM。
4.假设线段CM的长度为d，当d接近垂直距离MC时，我们可以认为目标点C的坐标已经确定。
5.通过不断倍增线段AM的长度，我们最终确定了线段CM的长度为2.5，即MC的长度为2.5。
初中数学倍长中线法课件模板
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实战演练——证明角相等
例二：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
实战演练
解：延长中线AE，使EF=AE，连接BF,DF,可知ABFD为平行四边形，故AB=DF，DF=CD∵∠BAD+∠ABD=∠ADC（邻角和=外角） ∠BDA +∠EDF=∠ADF且∠BDA=∠BAD（已知） ，∠ABD=∠EDF（内错角相等）∴∠ADC=∠ADF∵ AD=AD ∠ADC=∠ADF DC=DF∴△ADC≌△ADF（SAS），∠C=∠BAE
倍长中线法
——基本要点与应用
试讲人：
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授课对象：初二年级学生基本掌握三角形、全等三角形知识后学习本课内容
主要内容
学习导入
在△ABC中，D是BC的重点，延长AD至E，使DE=AD
你能得出哪些结论呢？
△ ACD≌ △ BDE △ ABD≌ △ ECD ABEC是平行四边形,AC=BE AB=EC ，AC∥BE AB∥BC
G
小结：倍长中线法只是解题的第一步！注重把握中点与直角三角形相关定理的结合，以及等边等角、对顶角相等相互转化的应用。
实战演练—— 一题多解
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
例二：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
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倍长中线法(初二)
全等三角形的机关办法---经常使用帮助线之五兆芳芳创作弄清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要机关适合的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种罕有的机关办法，供同学们参考．(一)倍长中线法:题中条件若有中线，可延长一倍，以机关全等三角形，从而将分离条件集中在一个三角形内.例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ．求证：AC=BF 证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ，∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ，∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE=图（1）∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．小结：涉及三角形中线问题时，常采取延长中线一倍的办法，即倍长中线法.它可以将分家中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以E A BCD F H利于问题的获解.中线一倍帮助线作法△ABC中方法1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，接BE方法2：直接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD例2、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值规模例3、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF例4、已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE 于点F，DF=AC.求证：AE平分课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE作业：1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，ABC中，C=90，CM AB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB 交BC于E，求证：CT=BE.4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。
倍长中线最全总结。例题+练习(附答案)
倍长中线最全总结。
例题+练习(附答案)中线是三角形中的重要线段之一。
在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
倍长中线指的是延长三角形中线，使得延长后的线段是原中线的2倍。
其目的是为了构造一对8字型全等三角形（SAS），从而实现边角的转移。
以三角形ABC为例，延长中线AD至点E，使得DE=AD，连接BE。
根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△ACD≌△BED，AC=BE，∠CAD=∠BED，AC∥BE。
同样地，延长中线CD至点F，使得DE=DF，连接CF。
根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△BED≌△CFD，CF=BE，∠CFD=∠BED，CF∥BE。
在利用倍长中线法时，需要注意延长哪一条线段或者类中线。
倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。
举例来说，如图所示，在三角形ABC中，需要证明AB+AC>2AD。
延长中线AD至点E，使得DE=AD，构造△ADC和△EDB，根据三角形的三边关系可得AB+AC>2AD。
另外，还有一道题目是需要求解AD的取值范围。
在三角形ABC中，D为BC的中点。
根据三角形的三边关系可得5-3<2AD<5+3，即AD的取值范围为1<AD<4.证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图）。
因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。
由三角形的三边关系，在三角形ABF中，有AB+BF>AF，即2AD<AB+AC，证毕。
2）因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。
由相似三角形ADC和FDB，得到∠CAD=∠F，由边的大小关系可得到∠BAD>∠DAC，证毕。
3）同（2），由相似三角形ADC和FDB，得到AE/AD=BF/BD<1，即AE<AD，证毕。
13.13专题11：--倍长中线法
13.13专题11：--倍长中线法一．【知识要点】1.倍长中线法:通过将中线或类似于中线的线段向中点方向延长，使延长的部分线段与中线相等，俗称中线倍长.二．【经典例题】1．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是__________.2.如图,在△ABC中,点E为BC的中点,CF∥AB且∠BAE=∠EAF,求证:AF+CF=AB.3.如图,点D为BC的中点,DE⊥DF交AB于E,交AC于F,连EF,若BE=5,CF=3,求EF 的取值范围.4．如图，在△ABC中，CE为△ABC的角平分线，AD⊥CE交BC于点D，垂足为点F，且∠ACB ＝2∠B．（1）当∠B＝31°时，求∠BAD的度数；（2）求证：BE＝EC；（3）求证：AB＝2CF．5.如图,△ABC为等边三角形,EC=ED,∠CED=120°,P为BD的中点.求证:AE=2PE.三．【题库】【A】1. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是 .2.如图,△ABC中,D为BC的中点.(1)求证:AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.【B】1.已知,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AC=5,AD=4,则AB的取值范围是( )A. 1<AB<9B. 3<AB<13C. 5<AB<13D. 9<AB<132.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是____________；中线AD的取值范围是_________________．3.如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证:AE=2AD.【C】1.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，过B点作直线分别交AC，AD于点E，F,当AE=EF 时，图中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由。
倍长中线法
拓展学生的解题思路
倍长中线法在数学教育中的价值
培养学生的数学思维和创新能力
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提高学生分析问题和解决问题的能 力
促进数学教育的改革和发展
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证明倍长中线法的推论
推论：倍长中线法可以证明三角形 中线定理
应用范围：适用于所有三角形包括 等腰三角形、直角三角形等
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证明过程：通过倍长中线法将三角 形分为两个小三角形然后利用相似 三角形的性质进行证明
注意事项：在应用倍长中线法时需 要保证中线的长度足够长以便进行 倍长操作
倍长中线法的几何意义
倍长中线法是利用中线的性质来证明线段相等的方法 倍长中线法的几何意义在于将线段延长一倍从而证明线段相等 倍长中线法在几何证明题中应用广泛是解决线段相等问题的重要方法之一 倍长中线法可以通过构造辅助线来证明线段相等使证明过程更加简洁明了
倍长中线法的应用场景
定义：倍长中线法是一种几何证明方法通过延长线段来证明线段相等或三角形全等 应用场景：证明线段相等、三角形全等、平行四边形性质等 适用范围：适用于各种几何图形如三角形、四边形、圆等 注意事项：在应用倍长中线法时需要仔细分析图形确定是否适用该方法
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倍长中线法
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 倍长中线法的定义
03 倍长中线法的证明
04 倍长中线法的应用
05 倍长中线法的拓展
添加章节标题
倍长中线法的定义
倍长中线法的概念
倍长中线法求解题技巧
倍长中线法求解题技巧倍长中线法是一种求解数学题的技巧，主要适用于问题中涉及到线段或者比例关系的题目。
下面将介绍一下倍长中线法的求解步骤和技巧。
倍长中线法的基本思想是通过将线段的长度放大一定倍数，以便更方便地计算问题中涉及到的比例关系。
具体的求解步骤如下：步骤一：根据问题中给出的已知条件，标出所需求解的线段。
步骤二：使用倍长中线法，将线段的长度放大一定倍数。
根据问题的要求，选择合适的倍数。
通常选择的倍数是使得计算更加方便，同时保证结果仍能保持原问题的比例关系。
步骤三：计算放大后的线段长度。
根据放大倍数，将原线段的长度乘以对应的倍数，得到放大后的线段长度。
步骤四：利用放大后的线段长度和原线段的比例关系，推导出所需求解的线段长度。
步骤五：根据放大后的线段长度，还原回原问题的线段长度。
如果题目要求的是放大后的线段长度，则直接得到结果；如果题目要求的是原问题的线段长度，则将放大后的线段长度除以放大倍数，得到结果。
下面以几个例子来说明倍长中线法的应用技巧：例题一：已知一个线段的长度为2cm，要将其放大10倍，求放大后的线段长度。
解析：根据步骤二，选择倍数为10。
根据步骤三，放大后的线段长度为2cm * 10 = 20cm。
根据步骤五，所以放大后的线段长度为20cm。
例题二：已知三个线段的比例为1:2:3，其中最短线段的长度为4cm，求最长线段的长度。
解析：根据步骤二，选择倍数为3。
根据步骤三，放大后最短线段的长度为4cm * 3 = 12cm。
根据步骤四，最长线段的长度为放大后的最短线段的长度乘以比例关系的最大值，即12cm * 3 = 36cm。
根据步骤五，所以最长线段的长度为36cm。
例题三：已知一个线段的长度为6cm，要将其缩小到原来的1/4，求缩小后的线段长度。
解析：根据步骤二，选择倍数为1/4。
根据步骤三，缩小后的线段长度为6cm * (1/4) = 1.5cm。
根据步骤五，所以缩小后的线段长度为1.5cm。
倍长中线法
倍长中线法
知识网络详解：
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
经典例题讲解：
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF
例4：已知：如图，在ABC 中，ACAB ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE 于点F，DF=AC.
求证：AE平分∠BAC
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE
在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
.。
倍长中线法结论
倍长中线法结论
倍长中线法是一种用于确定地震震源位置和震级的方法。
它基于地震波的传播速度和到达时间差异来计算震源位置。
该方法假设地震波以同一速度在地球内部传播，通过测量不同地震台站上地震波到达的时间差来确定震源位置。
倍长中线法的结论是根据多个地震台站上的观测数据进行计算得出的。
通过对不同台站上到达时间差的测量值进行分析和计算，可以确定出最有可能的震源位置和震级。
这个结论是以数学模型和统计学方法为基础的科学推导，可以提供较准确的震源位置和震级估计。
需要注意的是，倍长中线法是一种近似方法，它假设地震波在地球内部传播速度均匀且恒定，但实际情况可能存在复杂的地质结构和速度变化，因此计算结果可能存在一定的误差。
此外，由于地震波在传播过程中受到多种因素的影响，如介质非均匀性、波形变形等，也可能对结论产生一定影响。
因此，在使用倍长中线法进行地震定位和震级估计时，需要综合考虑多个因素，并结合其他方法和数据进行验证和修正，以提高结果的准确性和可靠性。
倍长中线法结论
倍长中线法结论一、什么是倍长中线法倍长中线法是一种用于技术分析的方法，主要应用于股票和期货市场。
它是通过绘制一条连接两个重要低点或高点的中线，然后将该中线延长一段距离，从而预测未来价格走势的方法。
二、倍长中线法的原理倍长中线法的原理基于市场走势的波动性和趋势延续性。
它假设市场的趋势会在未来继续延续，并且波动的幅度也会相应增加。
通过绘制中线并将其延长一段距离，倍长中线法试图预测未来价格的上升或下降趋势，并且给出相应的交易信号。
三、倍长中线法的操作步骤1.选择两个重要的低点或高点：在分析一只股票或期货合约的走势时，首先需要选择两个重要的低点或高点。
这些低点或高点应该是市场的转折点，并且具有一定的代表性。
2.绘制中线：通过连接这两个低点或高点，可以得到一条中线。
这条中线代表了市场的趋势，并且可以作为未来价格走势的参考线。
3.延长中线：将中线延长一段距离，通常可以选择延长中线的长度为两个低点或高点之间的距离。
延长后的线段代表了未来价格的预测区间。
4.观察价格走势：在延长中线的区间内观察价格的走势。
如果价格在该区间内上升，那么可以认为市场的趋势是向上的；如果价格在该区间内下降，那么可以认为市场的趋势是向下的。
5.交易信号：根据价格走势给出相应的交易信号。
如果价格在延长中线的区间内上升，可以考虑买入；如果价格在延长中线的区间内下降，可以考虑卖出。
四、倍长中线法的优点和局限性优点：1.简单易懂：倍长中线法的原理和操作步骤相对简单，即使对于初学者来说也比较容易理解。
2.预测性强：倍长中线法通过绘制中线并延长它来预测未来价格走势，具有一定的预测性。
3.适用性广：倍长中线法可以应用于各种市场，包括股票和期货市场。
局限性：1.主观性较强：选择低点或高点以及延长中线的长度都需要一定的主观判断，容易受到个人情绪和偏见的影响。
2.无法适应市场变化：倍长中线法基于市场趋势的延续性，但市场是随时变化的，趋势有可能突然逆转，导致预测失效。
倍长中线法
几何模型02——倍长中线法当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法：△ABC 中AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE例1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB +AC ＞2AD ．证明：延长AD 到M ，使DM ＝AD ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ，∵AD ＝DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM ＝AC ，在△ABM 中，AB +BM ＞AM ，即AB +AC ＞2AD ．例2.已知，如图△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，则中线AD 的取值范围是 ． 解：延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝EC ，在△AEC 中，AC +EC ＞AE ， 且EC ﹣AC ＜AE ，即AB +AC ＞2AD ，AB ﹣AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4．E D A B C练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．证明：方法一：如右图1，取AC的中点H，连接BH，∵BD＝BA，∴BH是△ACD的中位线，∴CD＝2BH，又∵E是AB的中点，AB＝AC，∴AE＝AH＝AB，在△ABH和△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴CE＝BH，∴CD＝2CE．方法二：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证：CD＝2CE练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD 交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接P A交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN例7.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ≌△ECF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．练习9.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，DP ∥AE 交BC 于点P ，求证：AB ＝AC ．F E D C B A N D C B A M课后练习1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：AM⊥CD．7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．。
倍长中线法(加倍法)
A
例1：△ABC中，AB=5B，AC=3，求中线C
AD的取值范围。
D
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC 的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF， 求证：BD=CE
A
D
B
F
C
E
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上 一点，且BE=AC，延长BE交AC于F， 求证：AF=EF
A
F
B
D
E
C
第 1 题图
A
F E
B
D
C
例4：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分 交AC于F.
求证：
BE + CF > EF
A
E F
B
C
D
第 14 题图
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE
A
B
ED
C
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证， AD平分∠BAE。
倍长中线法（加倍法）
知识网络详解：
中线是三角形中的重要线段之一，在利பைடு நூலகம்中线解决几 何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以 便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识 来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某 某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等 （对顶角）
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
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倍长中线法的初步应用
例题2 ：在△ABC, △A B C ,中 ,AD、A D 分别是BC、B C 边的中线， , , , , , , , , AB=A B ，AC=A C ，AD=A D ，请证明△ABC ≌ △A B C 。
证明：
分别延长AD至E、A D 至E 使得DE=AD、D E =A D ， 连结B,E、B ,E 。可以证明： △ADC ≌ △EDB，△A D C ≌ △E D B （SAS）。 故有BE=CA，B E =C A ，∠1=∠E，∠2=∠E 。 由于CA=C A ，故BE= B E 。进而可证明△ABE ≌ △A B E （SSS），因此∠E= ∠E 且∠BAD= ∠B A D 故∠1= ∠2，∠BAC= ∠BAD+ ∠1= ∠B A D + ∠2= ∠B A C 。 进而可证△ABC ≌ △A B C （SAS）。
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
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倍长中线法的进阶应用
例题3：如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且 AC=AB。求证：CE=2CD。
小论倍长中线法及其应用
郑贤镇
本讲的主要内容
• 何为倍长中线法 • 倍长中线法的初步应用
• 倍长中线法的进阶应用
• 小结
何为倍长中线法？
• 倍长中线法：将某个三角形的某条中线延长一倍，之后将新构造
所得的端点与该三角形顶点连结，进而构造出一对全等三角形。
利用全等三角形的相关知识来证明所给的几何命题。
倍长中线法的初Leabharlann 应用例题1：如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边的中线。则 2AD的取值范围是_________.
解：不妨延长AD至E，使得DE=AD，连结B,E。则 显然AE=2AD，又易证△ADC ≌ △EDB（SAS）。 故AC=EB，在△ABE中，利用三边的不等关系， AB-BE<AE<AB+BE,可知2<2AD<12.
证明：
延长CD至点F，使DF=CD，连接B,F。 则由△ADC≌△BDF，可得AC=BF，∠1=∠A， 由AC=AB得∠ACB=∠2 因为∠3=∠A+∠ACB，故∠3=∠CBF。 再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF， 即CE=2CD。
小结
实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过SAS的全等
模型构造全等三角形。之后便能将一些看似“分散”的条件聚集于
同一个三角形中，从而将问题明晰。