常规弯矩剪力图

（Q） ）
－ 3kN 1.8kNm 1.2kNm
－
MD＋ ＝－ ＝－1.2kNm 、 MD－ ＝2.4kNm 的对应值便可作 5kN 出图(c)所示的弯矩图。 (c)所示的弯矩图 出图(c)所示的弯矩图。由图可 梁上点D 见，梁上点D左侧相邻的横截面 上弯矩最大， 上弯矩最大，
（M） ）
－ ＋ 2。4kNm 。 ＋ 1.25kNm
DB段:q<0, 段 剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物线。
Q = Q = −P = −3kN
+ C − A
M C= 0 MA = −P ×a = −1.8kN
AD段:q=0, :q=0,剪力图为水平直线；
弯矩图为斜值线。
Q = −RB = −5kN Q(x) = −RB + qx (0 < x ≤ 2a)
在集中力作用处， 图发生转折。如果集中力向下， (3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。 图向下转折；反之，则向上转折。 在集中力偶作用处， 图产生突变， (4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。 中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系 (1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力 图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ 图为平行于x轴的直线时， 图为斜直线。 图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之， (3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有 极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、 极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、 负号的截面，弯矩也具有极值。 负号的截面，弯矩也具有极值。
FQ ( x) = FAy Fb = l
Fb l
（0<x<a） 0<x<a） (0≤x≤a) (a<x<l) (0≤x≤l)
M ( x ) = FAy x =
CB段 CB段：
Fb Fa −F = l l Fa M ( x) = FAy x − F ( x − a ) = (l − x ) l FQ ( x ) = F Ay − F =
二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系 剪力图与荷载的关系
（１）在均布荷载作用段， FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同 在均布荷载作用段， 图是斜直线， (2)无荷载作用区段 无荷载作用区段， q(x)=0， 图为平行x轴的直线。 (2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处 FQ图有突变 突变方向与外力一致， 在集中力作用处， 图有突变， (3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等 于该集中力的大小。 于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处 其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。 在集中力偶作用处， FQ图是连续无变化 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。
例题５ 简支梁如图所示，试用荷载集度、 例题５ 简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分 关系作此梁的剪力图和弯矩图。 关系作此梁的剪力图和弯矩图。 解： 1. 求约束反力
FAy = 15kN, FBy = 15kN
2. 画FQ图 各控制点处的FQ值如下： FQ值如下 各控制点处的FQ值如下： FQA右=FQC左=15kN QA右 QC左 FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN QC右 FQD=5kN F QB左=－15kN QB左 3. 画M图 =15kN× MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m 15kN×4m－ MD = 15kN×4m－ 10kN× 10kN×2m=40kN.m 15kN×4m－ MD右= 15kN×4m－ 5kN×4m× 5kN×4m×2m=20 kN.m MB=0
2.弯矩图与荷载的关系 2.弯矩图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段， 图为抛物线。 (1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。 在均布荷载作用的区段
d 2M(x) 图为上凹下凸。 (2)当q(x)朝下时 朝下时， (2)当q(x)朝下时， 2 = q(x) < 0 M图为上凹下凸。 dx 2 d M(x) q(x)朝上时 朝上时， 图为上凸下凹。 当q(x)朝上时， dx2 = q(x) > 0 M图为上凸下凹。
例7
外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。 外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。
m=3.6kNm P＝3kN ＝ q=10kN/m
x C
A RA
解得 B
D E
2a=1。2m 。
RB = P + 2qa −RA = 5kN
由
a=0.6m
a=0.6m
RB
∑Y = 0
解： （1）求梁的支座反力 ） 由 mA = 0
2.画内力图 2.画内力图 (1)剪力图 剪力图。 (1)剪力图。 ACB段 ACB段： FQ图为一水平直线 FQA右=FQC=FQB左=－5kN QA右 QB左 BD段：FQ图为右下斜直线。 BD段 FQ图为右下斜直线。 图为右下斜直线 FQB右＝ FQB左+13=8kN FQD=0 QB左 (2) 弯矩图 AC段 <0， AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线 =0， 5kN×2m=－ MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m CB段 F <0,故 图为一右上斜直线， CB段： Q<0,故M图为一右上斜直线， BD段 段内有向下均布荷载， BD段： 段内有向下均布荷载，M图为下凸 处弯矩有突变。 在C处弯矩有突变。 抛物线， 抛物线， 5kN× MC右=－5kN×2m+12kN.m 4kN/m×2m×1m=－ 8KN.m， MB=－8KN.m，MD=0 MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m
FQ ( x) = − F M ( x ) = − Fx
(0＜ (0＜x＜l ) (0≤x＜ (0≤x＜l)
2.作剪力图和弯矩图 2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知： 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
=F = Fl
例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。 例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 1.求约束反力 由对称关系，可得： 由对称关系，可得：
一、根据内力方程作内力图
剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置 而变化的函数关系； 表示横截面上剪力 随横截面位置x而变化的函数关系 而变化的函数关系； 剪力方程 表示横截面上剪力 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置 而变化的函数关系。 表示横截面上弯矩 随横截面位置 而变化的函数关系。 弯矩方程 表示横截面上弯矩 随横截面位置x而变化的函数关系 例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此 梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程 1.列剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标， 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方 向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示F (x)和M(x)的图线 的图线。 向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ (x)和M(x)的图线。 这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称F 图和M 这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。 绘图时一般规定正号的剪力 画在x轴的上侧 轴的上侧， 画在 轴的上侧，负号的剪力画 轴的下侧； 在x轴的下侧； 轴的下侧 正弯矩画在x轴下侧， 正弯矩画在 轴下侧，负弯矩 轴下侧 画在x轴上侧 轴上侧， 画在 轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。 拉的一侧。
M = −P × 2a + RA × a = 2.4kN ⋅ m
− D
MB = 0
m=3.6kNm P＝3kN ＝ q=10kN/m
x C
A RA
D E
2a=1。2m 。
a=0.6m
a=0.6m 7kN ＋
根据 ＝－5 ＝－3 QB－ ＝－5kN QC＋ ＝－3kN 、 ＝－3 B QA ＋ ＝ 7kN 、 QA － ＝－ 3kN 、 kN的对应值便可作出图 的对应值便可作出图(b) QD ＝ 7kN 的对应值便可作出图 (b) 可见， 所示的剪力图 。可见， 在AD段 剪力最大， Q max = 7 kN RB 剪力最大， 根据 MC ＝0、 MA ＝－ ＝－1.8kNm 、 MB ＝0 、ME ＝1.25kNm、 、
3.作剪力图和弯矩图 3.作剪力图和弯矩图
例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。 例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 1.求约束反力
Me Me , FBy = FAy = l l 2.列剪应力方程和弯矩方程 2.列剪应力方程和弯矩方程
− M max = M D = 2.4kN ⋅ m
例8 试画出图示梁的内力图。 试画出图示梁的内力图。
q＝5kN/m A
19.75kN
2kN
C
8m
B
1m 2kN
+
（Q） ）
+
x=3.95m
20.25kN 2kNm
（M） ）
-
+
39kNm
M
E
= 15 kN × 3 m − 5 kN / m × 3 m ×
3 m 2
= 22 . 5 kN · m
例题6 一外伸梁如图示。试用荷载集度、 例题6 一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关 系作此梁的FQ、M图。
解：1.求约束力 1.求约束力
FAy = 5kN, FBy = 13kN
1 FAy = FBy = ql 2
Leabharlann Baidu2.列剪力方程和弯矩方程 2.列剪力方程和弯矩方程 1 FQ ( x) = FAy − qx = ql − qx 2
1 2 1 1 2 M ( x) = FAy x − qx = qlx − qx 2 2 2
3.作剪应力图和弯矩图 3.作剪应力图和弯矩图 最大剪力发生在梁端， 最大剪力发生在梁端，其值为
− B
令： Q( x) = 0
x = R q = 0.5m
B
MA = −P ×a = −1.8kN
Q = QD = −P + RA = 7kN
+ A
+ MD = −P × 2a + RA × a − m
ME = RB × 0.5 − q × 0.52 / 2 = 1.25kN ⋅ m
= −1.2kN ⋅ m
− P + RA + RB − 2qa = 0
解得
1 m RA = 4P + + 2qa = 10kN 3 a
∑
1 2 P × 5a − RB × 3a + m + q(2a) = 0 2
（2）画内力图： ）画内力图： CA段: q=0， q=0， 剪力图为水平直线； 剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。 弯矩图为斜值线。
AB段 AB段：
Me FQ ( x) = 0<x<l） l （0<x<l） AC段 AC段：
Me M ( x ) = F Ay x = x (0≤x≤a) l
CB段 CB段：
M ( x) = FAY x − Me = Me x − M e (a<x≤l) l
3.绘出剪力图和弯矩图 3.绘出剪力图和弯矩图
F Q max =
1 ql 2
最大弯矩发生在跨中，它的数值为M 最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax
1 2 = ql 8
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。 例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 1.求约束反力
Fb Fa FAy = , FBy = l l 2.列剪力方程和弯矩方程 2.列剪力方程和弯矩方程 AC段 AC段：