数学：2.4《求曲线的方程》课件(新人教A版选修2-1)
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人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
人教A版高中数学选修2-1课件曲线和方程(2)
直线 BC 的斜率
kBC＝
x
y
5
（x≠5）；
由题意，得 kACkBC＝m，
所以， y × y ＝m（x≠±5）． x5 x5
写成
x2 － y2 ＝1（x≠±5）．
25 25m
一、转移代入法
这个方法又叫相关点法或坐标代换法．即利用动点 P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点，另一动点P(x，y) 依赖于P’(x’,y’)，那么可寻求关系式 x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程 F例(x1’: ,y’)=0中，得到动点P的轨迹方程 已知点A(3，0)，点P在圆x2+y2=1的上半圆周上(即y>0)， ∠AOP的Q平为分AP线中交点PA于Q，求点Q的轨迹方程．
求证：不论m取任何实数，方程 (3m＋4)x＋(5－2m)y＋7m－6＝0 所表示的曲线必经过一个定点，并求出 这一点的坐标。
8 是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点。
y2 x2
y x
已知ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(5,0),(5,0),
且AC, BC所在直线的斜率之积等于m(m 0),试探求
顶点C的轨迹方。程
解：设 C（x，y）．由已知，得 直线 AC 的斜率
kAC＝
x
y
5
（x≠－5）；
三、参数法
根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的 坐标x和y，间接地把坐标x和y联系起来，得到用参数表示 的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．
例3：在边长为a的正方形ABCD中，AB、BC边上各有一 个动点Q、R，且|BQ|=|CR|，试求直线AR与DQ的 交点P的轨迹方程．
1. 建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上
高二数学：《求曲线的方程》课件（新人教A版选修2-1）
引入 1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线
(1)曲线上的点的坐标都是这个方 程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点
引入
2．坐标法和解析几何的意义、基本问题． 对于一个几何问题，在建立坐标系的基
础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质， 这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门 科学称为解析几何．
变式：若上题中条件改为到点 A(0,2)的距离和它到x轴的距离之 和是2，则应如何求？
练习：已知定线段AB，且 |AB|=4，动点C满足ACBC0， 求动点C的轨迹方程。
变式：若为直角△ABC中， 斜边AB=4，求直角顶点C的 轨迹？
例3：已知O为直角坐标系原点， M为圆(x-2)2+y2=3上的动点,试 求MO中点的轨迹方程。
求解曲线方程的大体步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例 如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合：
PMpM;
（3）用坐标表示条件P(M)列出方程
fx，y0；
（4）化方程 fx， y0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标 的点都是曲线上的点．
例2：已知一条直线L和它上方的一 个点F，点F到L的距离是2，一条 曲线在L的上方，它上面的每一点 到F的距离减去到L的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求这条曲 线的方程。
谢谢观赏
You made my day!
湖南长郡卫星远程学校
我们，还在路上……
制作 06
2009年下学期
解析几何的两大基本问题就是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的 方程． （2）通过方程，研究平面曲线的性质．
(1)曲线上的点的坐标都是这个方 程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点
引入
2．坐标法和解析几何的意义、基本问题． 对于一个几何问题，在建立坐标系的基
础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质， 这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门 科学称为解析几何．
变式：若上题中条件改为到点 A(0,2)的距离和它到x轴的距离之 和是2，则应如何求？
练习：已知定线段AB，且 |AB|=4，动点C满足ACBC0， 求动点C的轨迹方程。
变式：若为直角△ABC中， 斜边AB=4，求直角顶点C的 轨迹？
例3：已知O为直角坐标系原点， M为圆(x-2)2+y2=3上的动点,试 求MO中点的轨迹方程。
求解曲线方程的大体步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例 如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合：
PMpM;
（3）用坐标表示条件P(M)列出方程
fx，y0；
（4）化方程 fx， y0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标 的点都是曲线上的点．
例2：已知一条直线L和它上方的一 个点F，点F到L的距离是2，一条 曲线在L的上方，它上面的每一点 到F的距离减去到L的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求这条曲 线的方程。
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解析几何的两大基本问题就是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的 方程． （2）通过方程，研究平面曲线的性质．
高二数学选修2-1 求曲线的方程(一) ppt
课堂练习: 课堂练习: 1.已知点 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等, 的轨迹方程. 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
的坐标为( 解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM = x + ( y − 4)
2 2
建立坐标系 设点的坐标
由上面过程可知, ⑴ 由上面过程可知 , 垂直平分线上的任一点 的解; 的坐标都是方程 x + 2 y − 7 = 0 的解;
∴ x + 2 y − 7 = 0 ( Ⅰ)
证明
是方程( 的解, ⑵设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 + 2 y1 − 7 = 0 ∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 +1)2 +(y1 +1)2 = (x1 −3)2 +(y1 −7)2 上面变形过程步步可逆, M 1 A = M 1B
(1)
由上可知，动点 的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 ）；容易证明 （1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨 ）；容易证明，以方程（ ） 迹上。所以，方程（ ）就是动点M的轨迹方程 的轨迹方程。 迹上。所以，方程（1）就是动点 的轨迹方程。 8
M .
.
.
B
A
是轨迹上的任意一点， 设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则 是轨迹上的任意一点 y y k MA = ,k MB = , ≠ ± a) (x x+a x−a 1 y y 1 Q k MA ⋅ k MB = − , ∴ ⋅ =− . 2 x+a x−a 2 化简， 化简，得 :x 2 + 2y 2 = a 2 (x ≠ ± a)
高二数学选修2-1_求曲线的方程(一)_ppt
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2 y 7 8 . 0 1 方法小结
求曲线方程的基本步骤:
1.建立适当的直角坐标系，并用坐标表示点；
2.设出曲线上任意一点M的坐标；
3.写出适合条件p的点M的集合P={M/p(M)}；
4.用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0
5.化方程f(x,y)=0为最简形式；
解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线
为y轴,建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。
M .
.
.
B
A
设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则 y y kMA ,k M B , a) (x xa xa 1 y y 1 kMA kMB , . 2 xa xa 2 化 简 ， 得:x2 2y2 a2 (x a)
y 5 5 y y 5 -5 -5 x -5 5 5x y
-5
0
5 x -5
0
5 x
5
条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0 的解”， 条 件 乙 ： “ 曲 线 C 是 方 程 f (x ， y)=0 的 曲 线 ” ， 则 甲 是B 的 乙 ( ) (A)充分非必要条件 (C)充要条件 (B)必要条件 (D)非充分也非必要条件
6
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
1 7 (1) 解:∵ k AB 2 ,∴所求直线的斜率 k = 3 (1) 2 1 3 1 7 又∵线段 AB 的中点坐标是 ( , ) 即(1,3) 2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 ( x 1) . 2 法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0
人教A版高中数学选修2-1课件 求曲线的方程课件
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
→· → 已知两个定点 A、 B 的距离为 6， 动点 M 满足条件MA MB ＝－1，求点 M 的轨迹方程．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
[解析]
以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立直角坐标
系如图，则 A(－3,0)，B(3,0)， → → 设 M(x，y)，则由MA· MB＝－1 得，(－3－x，－y)· (3－x， －y)＝－1， ∴x2＋y2＝8 为所求．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
பைடு நூலகம்
课前自主预习
1．解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出 表示曲线的方程 ； (2)通过曲线的方程，研究 曲线的性质．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
2．求曲线的方程的步骤
4x 4y 2 上，∴ 3 ＋ 3 2＝4.
[答案]
9 2 2 x ＋y ＝ 4
∵点 P 在⊙O
9 故所求轨迹方程为 x2＋y2＝4.
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
命题方向
定义法求曲线方程
[例 3]
设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意
弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
解法二： 设 M(x， y)， 则易知 A、 B 两点的坐标分别是(2x,0)， 1 (0,2y) ， 连 结 PM. 因 为 l1 ⊥ l2 ， 所 以 |PM| ＝ |AB|. 而 |PM| ＝ 2 x－22＋y－42， |AB|＝ 2x2＋2y2， 所以 2 x－22＋y－42＝ 4x2＋4y2， 化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
人教A版高中数学选修1-1课件2.5.2《求曲线的方程》(新)
4 2 y1 2 y1 72 5 y12 6y1 13 .
所以| M1 A || M1B |, 即点M在线段AB的垂直平分线上.
由1、2可知,方程①是线段AB的垂直平分线
的方程.
由上述例子,以及建立椭圆、双曲线、抛物
线标准方程, x 32 y 72 . ①
上式两边平方,并整理得x 2y 7 0.
我们证明方程① 是线段AB
y B
的垂直平分线的方程.
1由求方程的过程可知, 垂 Mx,y
直平分线上每一点的坐标都
O
1
x
是方程①的解;
A
2设点M1的坐标x1, y1 是方
由两点间的距离公式, 点M适合的条件可表
示为 x2 y 22 y 2, ①
y
将 式移项后两边平方,得
x2 y 22 y 22,
化简得
y
1 8
x2.
因为曲线在x轴的上方, 所以
M
F
O
Bx
y 0.虽然原点O的坐标0,0
图2.5 5
是这个方程的解, 但不属于已知曲线, 所以曲
过研究方程的性质间接地来 研究曲线的性 质.这就是我们反复提到的坐标法.数学中, 用 坐标法 研 究几何图形的知识形成的学科叫 做 解 析 几 何.
从前面的学习中可以看到, 解析 几何研究的主要问题是:
1根据已知条件, 求出表示曲线的方程; 2通过曲线的方程, 研究曲线的性质.
下面我们讨论求曲线方程的问题.
线 上.
一般地, 化简前后的方程的解集是相同的,步骤
5可以省略不写, 如有特殊情况, 可以适当说明.
另外, 也可以根据情况省略步骤 2,直接列出曲
所以| M1 A || M1B |, 即点M在线段AB的垂直平分线上.
由1、2可知,方程①是线段AB的垂直平分线
的方程.
由上述例子,以及建立椭圆、双曲线、抛物
线标准方程, x 32 y 72 . ①
上式两边平方,并整理得x 2y 7 0.
我们证明方程① 是线段AB
y B
的垂直平分线的方程.
1由求方程的过程可知, 垂 Mx,y
直平分线上每一点的坐标都
O
1
x
是方程①的解;
A
2设点M1的坐标x1, y1 是方
由两点间的距离公式, 点M适合的条件可表
示为 x2 y 22 y 2, ①
y
将 式移项后两边平方,得
x2 y 22 y 22,
化简得
y
1 8
x2.
因为曲线在x轴的上方, 所以
M
F
O
Bx
y 0.虽然原点O的坐标0,0
图2.5 5
是这个方程的解, 但不属于已知曲线, 所以曲
过研究方程的性质间接地来 研究曲线的性 质.这就是我们反复提到的坐标法.数学中, 用 坐标法 研 究几何图形的知识形成的学科叫 做 解 析 几 何.
从前面的学习中可以看到, 解析 几何研究的主要问题是:
1根据已知条件, 求出表示曲线的方程; 2通过曲线的方程, 研究曲线的性质.
下面我们讨论求曲线方程的问题.
线 上.
一般地, 化简前后的方程的解集是相同的,步骤
5可以省略不写, 如有特殊情况, 可以适当说明.
另外, 也可以根据情况省略步骤 2,直接列出曲
数学第二章2.1曲线与方程课件(人教A版选修2-1)
【名师点评】 利用直接法求轨迹方程，即 直接根据已知等量关系，列出x、y之间的关 系式，构成F(x，y)＝0，从而得出所求动点的 轨迹方程．要注意轨迹上的点不能含有杂点, 也不能少点．
互动探究 2.若本例中的等式关系改为Q→P·F→P＝O→P·Q→F， 其他条件不变，动点 P 的轨迹 C 的方程．
名师微博 用x、y表示x0、y0是代入法求方程的关键. 【名师点评】 代入法的定义及求解步骤 (1)定义：若动点M依赖于已知曲线上的动点P, 求点M的轨迹方程的方法通常叫代入法，又 叫相关点法(动点P叫相关动点)，也叫坐标转 移法．
(2)求解步骤： ①设动点 M(x，y)，相关动点 P(x0，y0)； ②利用条件求出两动点坐标之间的关系 yx00＝＝gf（（xx，，yy））； ③代入相关动点的轨迹方程； ④化简、整理，得所求轨迹方程．
直接法求曲线方程
例2 如图，已知点 F(1，0)，直线 l：x＝－ 1，P 为平面上的一动点，过点 P 作 l 的垂线， 垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q. 求动点 P 的轨迹 C 的方程．
【解】 设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)． 由Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， 得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)， ∴2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2， 化简得 y2＝4x. 即轨迹 C 的方程为 y2＝4x.
【解】 设 P(x，y)，M(x0，y0)，(1 分) ∵P 为 MB 的中点， ∴x＝x0＋2 3，(4 分)
y＝y20 即yx00＝＝22yx－3.(5 分) 又∵M 在曲线 x2＋y2＝1 上， ∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，(7 分) ∴P 点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.(8 分)
高中数学选修2-1人教A版：2.4.2抛物线的简单几何性质课件(1)
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
三、典例精析
例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在
直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 16
.
例 2.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛解物法线1相交F1于(1 ,A0,)B, 两点,求线段 AB 的长.
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点. （0,0）
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距 离和它到准线的距离 之比，叫 做抛物线的离心率，由抛物线 的定义，可知e=1。
y
P(x0 , y0 )
A
OF
x
B
（5）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线
段叫做抛物线的焦半径。PF
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F (0, p ) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p ) 2
x0
p 2
（6）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与
抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物
线的通径。通径长为2p A( p , p)、B( p , p)
P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
三、典例精析
例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在
直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 16
.
例 2.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛解物法线1相交F1于(1 ,A0,)B, 两点,求线段 AB 的长.
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点. （0,0）
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距 离和它到准线的距离 之比，叫 做抛物线的离心率，由抛物线 的定义，可知e=1。
y
P(x0 , y0 )
A
OF
x
B
（5）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线
段叫做抛物线的焦半径。PF
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F (0, p ) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p ) 2
x0
p 2
（6）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与
抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物
线的通径。通径长为2p A( p , p)、B( p , p)
高中数学2.1曲线与方程课件新人教A版选修2-1
2.求轨迹方程
[典例] (12 分)在 Rt△ABC 中，斜边长是定长 2a(a＞0)，求直角 顶点 C 的轨迹方程．
[解题流程]
[随堂即时演练]
1．方程 x2＋xy＝x 表示的曲线是
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
()
解析：由 x2＋xy＝x，得 x(x＋y－1)＝0，即 x＝0 或 x＋y－1＝0. 由此知方程 x2＋xy＝x 表示两条直线． 答案：C
曲线与方程的关系 [例 2] 下列方程分别表示什么曲线： (1)(x＋y－1) x－1＝0； (2)4x2－y2＋6x－3y＝0.
[解] (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0，可得源自x－1≥0， x＋y－1＝0
或 x－1＝0，即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1.
故方程表示一条射线 x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线 x＝1.
(2)方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即 2x－y＝0 或 2x＋y＋3＝0.
故原方程表示的是两条直线 2x－y＝0 和 2x＋y＋3＝0.
求曲线的方程
[例 3] 过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴 于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．
[解] 法一：设点 M 的坐标为(x，y)． ∵M 为线段 AB 的中点． ∴A 点坐标是(2x,0)，B 点坐标是(0,2y)． ∵l1，l2 均过点 P(2,4)，且 l1⊥l2， ∴PA⊥PB，当 x≠1 时，kPA·kPB＝－1. 而 kPA＝24－－20x＝1－2 x，kPB＝42－－20y＝2－1 y，∴1－2 x·2－1 y＝－1，
[导入新知]
高二数学人教A版选修2-1 第二章 第一节 第二课时 曲线与方程 (共22张PPT)
上式两边平方，并整理得 x+2y－7=0. ①
第五页，编辑于星期一：点 五十九分。
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一 点的坐标都是方程①的解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即
x1+2y1－7=0, x1=7－2y1. 点M1到A，B的距离分别是
4.注意:(1)建系要适当； (2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的
完备性和纯粹性).
第二十二页，编辑于星期一：点 五十九分。
问题1：解析几何与坐标法.
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫 做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识
形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方 法研究几何问题的一门数学学科.
问题2：平面解析几何研究的两个基本问题. （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
探究 求曲线的方程的步骤
上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的概
念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐
标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，
用曲线上点的坐标（x, y）所满足的方程f(x, y)=0表示曲 线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.
第三页，编辑于星期一：点 五十九分。
第六页，编辑于星期一：点 五十九分。
M1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2 5( y12 6 y1 13);
M1B ( x1 3)2 ( y1 7)2 (4 2 y1 )2 ( y1 7)2
5( y12 6 y1 13).
3
解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点对称，得B点坐 标为(1，－1)． 设 P 点坐标为(x，y)，则 kAP＝yx－＋11，kBP＝xy－＋11，
第五页，编辑于星期一：点 五十九分。
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一 点的坐标都是方程①的解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即
x1+2y1－7=0, x1=7－2y1. 点M1到A，B的距离分别是
4.注意:(1)建系要适当； (2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的
完备性和纯粹性).
第二十二页，编辑于星期一：点 五十九分。
问题1：解析几何与坐标法.
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫 做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识
形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方 法研究几何问题的一门数学学科.
问题2：平面解析几何研究的两个基本问题. （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
探究 求曲线的方程的步骤
上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的概
念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐
标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，
用曲线上点的坐标（x, y）所满足的方程f(x, y)=0表示曲 线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.
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M1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2 5( y12 6 y1 13);
M1B ( x1 3)2 ( y1 7)2 (4 2 y1 )2 ( y1 7)2
5( y12 6 y1 13).
3
解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点对称，得B点坐 标为(1，－1)． 设 P 点坐标为(x，y)，则 kAP＝yx－＋11，kBP＝xy－＋11，
高二数学 求曲线的方程课件 人教版
⒊用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0
⒋化方程f (x，y)＝0为最简形式；
⒌证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相 同的，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可 适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步 骤2，直接列出曲线方程.
一、直接法:
ak
由AM , BM分别为x轴,y轴的垂线得M
x a b , y b ak k
消去参数k
a
b k
,b
ak
M的轨迹方程为x a• y b ab
四、几何法:
例4：已知VABC的顶点A是定点，边BC在定直线l上滑动， BC 4，BC边上的高为3，求VABC外心M的轨迹方程。
y A
M
CN B o
例1：在正三角形 ABC内有一动点
P，已知 P到三个顶点的距离分别为
PA ，PB ，PC且, 有 PA 2 PB 2 PC 2 ，
求 P 点轨迹方程．
y
A
P
B
Cx
o
解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，
BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。
设点M x, y是轨迹上的任意一点，B、C的坐标
E的轨迹方程为x2 y2 1 y 0
三、参数法:
例3：已知定点Q a, b 不在坐标轴上，动直线l过点Q
并分别交x轴,y轴于点A, B,过A, B作坐标轴的垂线交
于M，求点M的轨迹方程。
解：设M x, y并设直线l : y b k x a
由题意知k存在且k
0则得A
a
b k
,0
,
B
0,
b
轨迹方程为y 1 x2 3 3
⒋化方程f (x，y)＝0为最简形式；
⒌证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相 同的，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可 适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步 骤2，直接列出曲线方程.
一、直接法:
ak
由AM , BM分别为x轴,y轴的垂线得M
x a b , y b ak k
消去参数k
a
b k
,b
ak
M的轨迹方程为x a• y b ab
四、几何法:
例4：已知VABC的顶点A是定点，边BC在定直线l上滑动， BC 4，BC边上的高为3，求VABC外心M的轨迹方程。
y A
M
CN B o
例1：在正三角形 ABC内有一动点
P，已知 P到三个顶点的距离分别为
PA ，PB ，PC且, 有 PA 2 PB 2 PC 2 ，
求 P 点轨迹方程．
y
A
P
B
Cx
o
解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，
BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。
设点M x, y是轨迹上的任意一点，B、C的坐标
E的轨迹方程为x2 y2 1 y 0
三、参数法:
例3：已知定点Q a, b 不在坐标轴上，动直线l过点Q
并分别交x轴,y轴于点A, B,过A, B作坐标轴的垂线交
于M，求点M的轨迹方程。
解：设M x, y并设直线l : y b k x a
由题意知k存在且k
0则得A
a
b k
,0
,
B
0,
b
轨迹方程为y 1 x2 3 3
高中数学2.1曲线与方程(第1课时)课件新人教A版选修2-1
思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？
以方程|x|＝|y|的解为坐标的点都在曲线C上吗？
y
O
x
C
思考6:曲线C上的点的坐标都是方程 x y的解吗？
以方程 x y的解为坐标的点都在曲线C上吗？
圆与方程的关系
设曲线C表示直角坐标系中以点 （1，2）为圆心，3为半径的圆.
y
说明:
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲 线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的
点都符合这个条件而毫无例外.（纯粹性）
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合
条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）
本节课设置了大量的讨论问题，让学生在合作讨论的过程 中逐渐体会方程与图像对应关系的严格性---纯粹性和完备性.
导入一： 11月７日８时３４分，嫦娥一号卫星顺利完成第３次近月制动， 成功进入经过月球南北两极，轨道周期１２７分钟的圆轨道。 通过 ３次制动，嫦娥一号相对月球的速度共减小约８４８米每秒，从近 月点高度２１２公里、远月点高度８６１７公里的椭圆轨道调整为 轨道高度约为２００公里的圆形轨道.
定义:
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点 的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个 二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: y
f(x,y)=0
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
0
x
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程;
这条曲线ห้องสมุดไป่ตู้做方程的曲线.
最新高中数学人教a版选修(2-1)2-1-2《求曲线的方程》ppt课件
4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨 迹方程是________．
解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线． 答案：x＋y－1＝0
5．动点P在曲线y＝2x2＋1上运动，求点P与定点 (0，－1)连线的中点M的轨迹方程．
解：设 M(x，y)，P(a，b)，则xy＝＝a2b，－2 1.
[点评] (1)解本题的关键是建立适当的直角坐标系， 充分利用三角形外心的性质．易错处是用|BM|＝|CM| 列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式．原因 是在求|BM|的长时已利用了|BM|＝|CM|这个等量关 系．(2)对于本题，在建立直角坐标系时，也可以把BC 边所在的定直线作为y轴，过A点与定直线垂直的直线 作为x轴，此时方程将有所变化．
答案：B
2．已知在直角坐标系中一点A(－3,1)，一条直线l： x＝1，平面内一动点P，点P到点A的距离与到直线l的 距离相等，则点P的轨迹方程是( )
A．(y＋1)2＝8(x－1) B．(y－1)2＝8(x＋1) C．(y＋1)2＝－8(x－1) D．(y－1)2＝－8(x＋1)
解析：设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋(y－1)2 ＝(x－1)2，化简整理，得(y－1)2＝－8(x＋1)，故应选 D.
类型二 定义法求曲线方程 [例2] 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程． [分析] 关键是寻找Q点满足的几何条件．可以考 虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中 点．
[解] 法一：(直接法) 如图 2，因为 Q 是 OP 的中点，所以∠OQC＝90°. 设 Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即 x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9， 所以 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．
高二数学选修2-1课件抛物线及其标准方程新人教A版1.ppt
例1. 若点M到定点F(5，0)距离和它到
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴
高二数学选修2-1 求曲线的方程(一) ppt
√
以上过程可以概括为一句话: ．．． ． ．． 以上过程可以概括为一句话:建设现(限)代化. ． ．
课本例
5
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l , 2.一条曲线也在 的上方,它上面的每 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程 当的坐标系 求这条曲线的方程. 求这条曲线的方程
活用几何性质来找关系
y
B
思维漂亮!
M
0
( x, y ) C
A
⋅
x
8
x 2 + y 2 = 1. 和圆O: 例2、已知直角坐标平面上点 、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆
动点M到圆 的切线长与 动点 到圆O的切线长与 到圆 的切线长与|MQ|的比等于常数 的比等于常数
λ (λ > 0),
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 求动点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 的轨迹方程
则 |MA|=|MB| |
2 2
需要尝试、 需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2
坐标化 坐标化 ∴ ( x + 1) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( y − 7) 2 2 2 2 ∴ x + 2x +1+ y + 2y +1 = x − 6x + 9 + y −14y + 49 化简
2
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 、 - - 、 的垂直平分线的方程. 求线段 AB 的垂直平分线的方程
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5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的
点都是曲线上的点。
发散2：△ABC顶点B、C的坐标分别是（0、0）和 （4、0），BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹 方程。
(x－2)2+y2=9 (x≠5且x ≠-1)
y
A
以这个方程的解 为坐标的点是否 都在曲线上？
BCxຫໍສະໝຸດ 求曲线方程的一般步骤：1.建系设点－－ 建立适当的直角坐标系，用有
(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)
思考：1如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？
4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
测试评价
已知点C到直线L的距离为8，若动点P到点C 和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。
你能说出它的轨迹吗？ 思考1.与例1相比，有什么显著的不同点？ 2.你准备如何建立坐标系，为什么？ 3.比较所求的轨迹方程有什么区别？ 从中得到什么体会?
（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系；
（2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程； （3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也 比较简单。
厦门第六中学
数学组
台风移动 示意图
引例：在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海
里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上 看甲乙两岛，保持视角为直角，你认为军舰巡逻的 路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个方程吗？
例1、设A、B两点的坐标是（－1，－1）和 （2，3），求线段AB的垂直平分线的方程？
如何建立适当的直角坐标系？
建立坐标系的原则:
一、建立的坐标系有利于求出题目的结果； 二、尽可能多的使图形上的点（或已知点）， 落在坐标轴上； 三、充分利用图形本身的对称性； 若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称轴为坐标轴, 也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点. 四、保持图形整体性.
测试评价
已知点C到直线L的距离为8，若动点P到点 C和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。
y
B
o
A
x
思考：①如果把这条垂直平分线看成是动点 运动的轨迹，那么这条垂直平分线上任意一 点应该满足怎样的几何条件？ ②几何条件能否转化为代数方程？用什么方 法进行转化？ ③用新方法求得的直线方程，是否已符合要 求？为什么？(提示:方程与曲线构成对应关 系,必须满足什么条件?)
发散1：已知线段AB长为5，动点P到线段AB两 端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。
小结：
1.知识方面： 2.能力方面： 3.数学思想方法： 4.由本节课的学习得到的体会和想法。
作业：
必做题：P72 4、5 在上两题的基础上编题，并写出解题过程。 选做题：过点P(2，4)做两条互相垂直的直线，若 交x轴于A点，交y轴于B点，求线段AB的 中点M的轨迹方程。
求曲线方程的一般步骤：
1.建系设点－－ 建立适当的直角坐标系，用有
序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；
（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）
2.寻找条件－－ 写出适合条件P的点M的集合 3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0； 4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；
序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；
（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）
2.寻找条件－－ 写出适合条件P的点M的集合 3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出
方程f(x,y)=0； 4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的
点都是曲线上的点。