江苏省赣榆县厉庄高级中学 两条直线的位置关系 教案

基础梳理:

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔______.特别地，当直

线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2都与x 轴________．

(2)两条直线垂直

如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔________.

2. 三种距离

(1)两点间的距离

平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式

P 1P 2＝________________________.

特别地，原点(0,0)与任一点P (x ，y )的距离OP ＝_________________.

基础达标：

1. (2011·西安调研)已知两条直线y ＝ax －2和 y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于

________.

解析：∵两条直线互相垂直，∴a (a +2)=-1，∴a =-1.

2. (必修2P84习题2.1(2)第1题改编)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则

l 的方程是________________.

解析：由题意知，直线l 的斜率为- ，

因此直线l 的方程为y -2=32

- (x +1)，即3x +2y -1=0. 3. (2011·苏州质检)直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是a ＝

________.

解析：由两条直线平行可知

24063a a

⎧-=⎨≠⎩ ∴a =-2.

4. 若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平

面区域内，则实数a 的值为________.

解析：由 4915

a -+=4得a =7或-3，又2a +3-3<0，得a <0，∴a =-3. 5. (必修2P94习题2.1(3)第6题改编)若点P (a ，

b )在直线x -y +2=0上，则的最小值是

________．

解析：

O 到直线x -y +2=0的距离d =

= 经典例题：

题型一 两条直线位置关系的判定和应用

【例1】 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)．

(1)若l 1∥l 2，求实数a 的值；

(2)若l 1⊥l 2，求实数a 的值．

分析：由C ，D 两点的横坐标可知l 2的斜率一定存在，由A ，B 两点的横坐标可知l 1的

斜率可能存在也可能不存在，因此要注意对a 的取值进行讨论．在(1)中首先考虑斜率是否

存在，还要排除两直线重合的情况；在(2)中，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否

为0.

解：设直线l 2的斜率为k 2 ，则k 2＝ 2(2)1(2)3

a a -+=--- . (1) 若l 1∥l 2，则l 1的斜率存在，且k 1＝k 2＝ 3a -

. 又k 1 22(1)34a a a a --==--- ，所以 243

a a a -=-- 解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时， l 1∥l 2

都成立．

(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时k 1也存在，且a ＝0，k 1＝12-

，当k 1＝0时，a ＝2，k 2＝23

-，均不符合题意；

变式1－1：

已知直线l 1：3mx ＋8y ＋3m －10＝0和l 2: x ＋6my －4＝0，问：m 为何值时，

(1)l 1与l 2相交；(2)l 1与l 2平行；(3)l 1与l 2垂直．

解：当m ＝0时，l 1：8y －10＝0，l 2：x －4＝0，l 1与l 2垂直；

当m ≠0时，l 1：310388

m m y x -=-

+ l 2：1263y x m m =-+ 由312103228,8638333

m m m m m m --=-⇒=±=⇒=或 而 31()186m m

--=- 无解． 综上所述，(1)m ≠± 23 时，l 1与l 2相交；(2)m ＝－ 23时，l 1与l 2平行； (3)m ＝0时，l 1与l 2垂直．

题型二 距离问题

【例2】 (2011·江苏镇江模拟)已知两条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，直线

l 2：－4x ＋2y ＋1＝0，且l 1与l 2的距离是

.求a 的值． 分析：直接利用两平行直线间的距离公式求解即可．

解：∵l 2：－4x ＋2y ＋1＝0，∴l 2：2x －y 12-

＝0，∴l 1与l 2距离为d ＝

=

，解得a ＝3或a ＝－4.又a ＞0，

∴a ＝3.

变式2－1: 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P 使|PA |＝|PB |，且点P 到l 的

距离等于2.

解：设点P 的坐标为P (a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴AB 的中点M 的坐标为(3，－2)，

AB 的斜率

3142

AB k --=-＝－1， 所以AB 的中垂线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.

而点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，故a －b －5＝0.①又已知点P 到l 的距离为2，得

2.②解①，②组成的方程组，