2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散

设问题满足一维随流扩散方程
C C C u D 2 t x x
2
令 x u t, C C , t ，其中u为常数。
1, u x t
于是ຫໍສະໝຸດ Baidu
C C C 2C 2C , 2 2 x x x
t
m
令
则
r x y z
2 2
2
r 4 D(t )
（2-93）
r2 r2 r2 t , t , d d 2 2 3 4 D 4 D 2 D
且当
0 t
代入：
时 r 4 Dt 时
[ x u (t )]2 y 2 z 2 C ( x, y, z, t ) exp d 3 0 4 D(t ) 4 D(t )
代入一维随流扩散方程
C C C 2C u u D 2 t C 2C D 2 t
（2-85）
(2-85)式表明，如果站在速度为 u 的动坐标 上观察，则一维随 流扩散问题变为在静止水体中的扩散问题，这些扩散问题已在前 在这些解式中，以 x ut 转换 之后，就是问题的解，该方法 称为置换解法。
C C C C C u t t t t
（2-83） （2-84）
C C C , x x
2C 2C 2 2 x
C C C C C u t t t t
2C 2C 2C C C u D 2 2 2 t x x y z
（2-82）
上式就是一维恒定均匀流场三维扩散的随流扩散方程。
用解析法求解三维随流扩散方程很困难，一般情况 下只考虑一维随流扩散方程，下面就讨论一维流场三维 扩散的随流扩散方程的几种解答。
u x 0 t
u x 0 x
外，一般
，亦即认为u也不随t而变化。以下只
讨论在恒定均匀流的条件（u=常数）下的情况。
对于三维情形， 按照物质质量守恒原理，从微分六 面体流进与流出的含有物质量值之差应当与同时段内微 分六面体质量的增量相等，从而可导出三维问题，移流 扩散方程： F v c Dc
（3-22）
在推导上述移流扩散方程的时候，仅仅是把问题限 制为层流运动，因而没有考虑流场和浓度场脉动的存 在。如果把该移流扩散方程中流速u和浓度C作为瞬时 量，并引入时均量及脉动分量，则可将其转换为适合 紊流情况的移流扩散方程。
令
ux ux u x u y u y u y uz uz u z C C C













xi
i x, y , z
根据脉动连续性方程
ui' 0 则有： xi
uiC ui C ui C xi xi xi
C uiC ui xi xi
i x, y , z
将上式
面分子扩散问题中按照若干初始条件和边界条件得出了解析解答。


将置换解法应用到二维、三维扩散问题中来，一维流
场二维和三维移流扩散方程分别为：
2C 2C C C u D 2 2 t x x y
2 2 2 C C C C C u D 2 2 2 t x x y z
M C 4D 3 / 2 r2 d 0 t 3/ 2 exp 4 Dt
t
1
[ x u (t )]2 y 2 z 2 C ( x, y, z, t ) exp d 3 0 4 D(t ) 4 D(t )
加。由于假定流体作层流运动，无论是流速或浓度都是
不考虑脉动的存在。
类似于分子扩散方程推导，设从三元流场中取微分六面 体，其形心点上流速分量为ux、uy、uz，在垂直于三个 坐标方向的单位面积上含有物质通量分别为：
C ) x C Fy u yC ( D ) y C Fz u zC （-D ） z Fx u xC ( D
。
图2-13时间连续点源移流扩散沿纵剖面等浓度分布
图2-14时间连续点源移流扩散近源区纵向等浓度分布
m u（y 2 z 2） C ( x, y, z ) exp[ ] 4 Dx 4 Dx
时间连续点源二维移流扩散的解为：
y 2u C ( x, y ) exp( ) 4 Dx u 4 D x u m
（2-78）
显然，上面三式中右端第一项为移流输送引起的物质通量， 第二项为分子扩散所引起的物质通量。
按照物质质量守恒原理, 得：
C uxC 2C D 2 t x x C C 2C ux D 2 t x x
将上式代入
（2-79）
（2-80）
上式为一维随流扩散方程。为了求得一定的初始条件 和边界条件下该方程的解析解，除了有 都补充假定
（2-91）
对三维问题的解为：
2 M x u t y 2 z 2 exp 3/ 2 4 Dt 4Dt
C


（2-92）
（2）时间连续点源的移流扩散
恒定点源=瞬时点源叠加 时间连续源仍然可以看作是无限多瞬时点源md 的迭 加，m为单位时间投放物质的强度，同样采用动坐标系， 引用纯扩散的时间连续源的积分式的浓度分布函数式：
（2-92）
第一章
迁移扩散理论
一、分子扩散
二、移流扩散及紊动扩散 三、剪切流动的分散
紊动扩散欧拉（Euler）法
我们在上一节研究费克第二定律的过程中，就其分
析方法而言，实质上就是采用的欧拉法，即
对流场中给定的微小空间考察各种物理量的变化，
从“场”的角度来分析问题，从而得出微分方程。 在研究移流扩散方程的时候，仍然采用的欧拉方法，
t
m
得
（2-94）
又令
ru 1 4D
代入积分式（2-94）
转化得
（2-95）
若时间的积分限 t ，则
r 0，故(2-95)式转化为 4 Dt
xu m exp( ) 2 2 1 2 D C ( x, y , z ) ( 2 ) d 3 0 exp 2 2 Dr
（2-88）
2C 2C 2C C D 2 2 （2-89） 2 t y z 因此，根据一维随流二维和三维扩散问题的具体情况，也有可
能利用二维和三维扩散方程的某些解析解，以 x ut 置换其中


的 x ，然后检查该解是否满足一维随流扩散问题给定的初始条件
（2-86）
（2-87）
C C C 2C 2C , 2 2 x x x C C C u t t
对上两式分别按（2-83）和（2-84）进行变化，得：
2C 2C C D 2 2 t y
和边界条件，如果满足，这就是所求的解。
对于一维扩散问题的解：
M C x, t e 4 Dt
x2 4 Dt
( x ut )2 M C exp 4 Dt 4 Dt
（2-90）
C的分布见图。
对二维问题的解为：
2 2 M x u t y C exp 4Dt 4 Dt
式中 u、C 代表任意空间点上的流速与浓度的时间平均
u、C 代表脉动值。将以 值，u、C代表相应的瞬时值，
上表达式代入方程（3-22）且各项取时间平均，可得
出紊流的移流扩散方程。
2C 2C 2C C C C C ux +u y +u z D 2 2 2 t x y z y z x
（2-96）
可以证明，当
时
（2-97）


0
2 2 1 2 1 exp ( 2 ) d e 2
于是得时间连续点源三维移流扩散的浓度公式为：
m u (r x) C ( x, y, z ) exp[ ] 4 Dr 2D
（2-98）
在源下游较远的区域，（2-89）式中r值可以下列近似 关系代替：
C C t



u x u x

C C x

+ u
y uy

C C y C C
2

+ u
y uy

C C z


2 C C 2 C C 2 C C D 2 2 x y z 2 C C C C 2 u i ui D t xi
（1）瞬时点源的移流扩散
一维流场的三维扩散的随流扩散方程为：
2C 2C 2C C C u D 2 2 2 t x x y z
为了利用静止水域分子扩散方程的瞬时点源的解，
可以建立运动坐标（令坐标系以速度随流移动），将
随流扩散方程变成分子扩散方程。
m u（y 2 z 2） C ( x, y, z ) exp[ ] 4 Dx 4 Dx
（2-91）
图2-13及图2-14画出了在均匀流场中仅有x方向纵 向流速 u 的等浓度线分布，纵横坐标是采用无量纲坐
u 2 u 4 CD 标 y 及 x 。浓度值是采用无量纲浓度 C * D D mu
现在我们以移流扩散方程为基础，采用欧拉法来建立
紊动扩散方程。
已经讨论过流动水体中的扩散—移流扩散问题，
并且得出了移流扩散方程为：
2C 2C 2C C C C C ux +u y +u z D 2 2 2 t x y z y z x
2 2 y x r x 2 y 2 z 2 (1 )x 2 2x
（2-90）
或
y2 z2 rx 2x
以及
rx
从而时间连续点源三维移流扩散的浓度公式（2-89） m u (r x) C ( x, y, z ) exp[ ] 可以由下面简化公式代替： 4 Dr 2D
C r C D 2C t
从而可导出三维问题，移流扩散方程：
C C C C 2C 2C 2C ux uy uz D( 2 2 2 ) t x y z x y z
（2-81）
对大多数实际问题，水流具有明显的主流方向，其uy、 uz可以忽略不计，并且设沿主流x方向的流速 ux u ，u 为纵向平均流速。
C C t



u i ui

C C xi

D C C
2
xi 2
i x, y , z
代入并展开，因为
ui C uiC xi xi
涉及的项很多，用下标表示如下：
2 C C C C C C C 2C ui ui ui ui D t t x i x i x i x i xi xi xi xi
第一章
迁移扩散理论
一、分子扩散
二、移流扩散和紊动扩散 三、剪切流动的分散
移流扩散方程
本章前面所讨论的都是环境液体处于静止状态下含 有物质的分子扩散问题。
如果环境水体处在流动状态，水体中不仅因分子扩
散而产生物质迁移，同时含有物质随水质点一起流动也
要产生迁移作用，把这种随流迁移现象称为移流输送。
一般假定扩散输送和移流输送可以分别计算而后迭