江苏省扬州市第一中学高一(下)第一次月考数学试卷
江苏省扬州大学附属中学东部分校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
江苏省扬州大学附属中学东部分校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{0，1}，则下列关系表示错误的是A ．0∈AB ．{1}∈AC ．∅⊆AD ．{0，1}⊆A 2．设集合{}{}3,5,6,8,4,5,8A B ==，则A B =U （ ）A ．{}3,6B ．{}5,8C ．{}4,6D ．{}3,4,5,6,8 3．设命题2:Z,31p x x x ∃∈≥+，则p 的否定为（ ）A ．2Z,31x x x ∀≠<+B ．2Z,31x x x ∃∉<+C ．2Z,31x x x ∀∈<+D ．2Z,31x x x ∃∈<+ 4．已知R x ∈，则0x >是1x >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数245y x x =--的零点为（ ）.A ．()5,0B ．()1,5-C ．1-和5D ．()1,0-和()5,0 6．设()0,m n ∈+∞,，且111m n +=，则2m n +的最小值为（ ）A．3+B ．C ．5 D ．47．对于实数,,a b c ，下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则2ab a <D ．若c a b >>，则a b c a c b >-- 8．已知命题p ：“[1,2]x ∀∈，20x a -≥”，命题q ：“x ∃∈R ，2240x ax ++=”．若命题p ⌝和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤-或1a =B ．2a ≤-或12a ≤≤C ．1a ≥D ．2a ≥二、多选题9．设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若A B B =I ，则实数a 的值可以为（ ）A ．15B ．0C ．3D ．1310．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>11．下列说法正确的是（ ）． A ．已知集合{}0,1M =，则满足条件M N M ⋃=的集合N 的个数为4B ．若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，则4a = C ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件D ．a b >的一个必要条件是1a b ->三、填空题12．某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为.13．关于x 不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围为．14．设常数a ∈R ，集合()(){}{}101A x x x a B x x a =--≥=≥-，．若A B =U R ，则a 的取值范围为．四、解答题15．已知集合{3A x x <-或x >2 ，{}422B x x =-≤-<．(1)求A B ⋂，()()R R A B ⋃痧；(2)若集合{}2121M x k x k =-≤≤+是集合A 的真子集，求实数k 的取值范围．16．已知正数x ，y 满足22x y +=.(1)求xy 的最大值；(2)求21x y+的最小值.17．已知集合{}2430A x x x =-+=，()(){}110B x x a x =-+-=，{}210C x x mx =-+=．（1）若A B A =U ，求实数a 的值；（2）若A C C ⋂=，求实数m 的取值范围．18．已知二次函数22()2(,)f x ax bx b a a b R =++-∈，当(1,3)x ∈-时，()0f x >；当(,1)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，()0f x <．（1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：2()20()ax b c x c c R +-+>∈；（3）若不等式()50f x mx +-<在[1,3]x ∈上恒成立，求m 的取值范围．19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．例如，1ab =，求证：11111a b+=++． 证明：原式111111ab b ab a b b b =+=+=++++． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．2a b +（0a >，0b >），当且仅当a b =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在0x >的条件下，当x 为何值时，1x x+有最小值，最小值是多少？ 解：0x Q >，10x >，12x x +∴1x x +≥12x x ∴+≥，当且仅当1x x =，即1x =时，1x x+有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知1a b ⋅=，求221111a b +++的值． (2)若1a b c ⋅⋅=，解关于x 的方程5551111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++． (3)若正数a ，b 满足1a b ⋅=，求11112M a b =+++的最小值．。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。
3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。
2022-2023学年江苏省扬州市高一年级上册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省扬州市第一中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．命题“2x ∃≤，2280x x +-≤”的否定是（ ） A ．2x ∀≤，2280x x +-> B ．2x ∀>，2280x x +-> C ．2x ∃≤，2280x x +-> D ．2x ∃>，2280x x +->【答案】A【分析】根据特称命题的否定方法进行否定.【详解】命题“2x ∃≤，2280x x +-≤”的否定是：2x ∀≤，2280x x +->. 故选：A2．设全集U 是实数集R ，{|2M x x =<-或2}x >，{}|13N x x =≤≤.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|21x x -≤≤C ．{}|21x x -<≤D ．{}|21x x -<< 【答案】A【分析】由韦恩图知阴影部分为U()M N ⋃，应用集合的并、补运算求结果.【详解】由图知：阴影部分为U()M N ⋃，而{|2M N x x ⋃=<-或1}x ≥，所以U(){|21}M N x x ⋃=-≤<.故选：A3．已知a ，b R ∈，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20222022a b ＋的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1±【答案】C【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解. 【详解】由集合相等可知0,,1b a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭且0a ≠，则0b a =，∴=0b ，于是21a =，解得=1a 或1a =-． 根据集合中元素的互异性可知=1a 应舍去， 因此1a =-， 故()2022202220222022101a b +=-+=．故选：C.4．集合论是德国数学家康托尔（G .Cantor ）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用()card A 表示有限集合中元素的个数，例如：{},,A a b c =，则()card 3A =.若对于任意两个有限集合,A B ，有card()card()card()card()A B A B A B ⋃=+-⋂.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）A ．28B ．23C ．18D ．16【答案】C【解析】设参加田赛、径赛的同学组成集合，再由集合论即可得解. 【详解】设参加田赛的学生组成集合A ，则card()14A =， 参加径赛的学生组成集合B ，则card()9B =， 由题意得card()5A B ⋂=，所以card()card()card()card()149518A B A B A B ⋃=+-⋂=+-=， 所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有18. 故选：C.【点睛】本题考查了数学文化与集合运算的综合应用，考查了转化化归思想，属于基础题.5．已知{}|12A x x =≤≤，命题“2,0x A x a ∀∈-≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤【答案】C【分析】首先求出命题为真时参数a 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件； 【详解】解：因为{}|12A x x =≤≤，2,0x A x a ∀∈-≤为真命题，所以()2maxa x≥，x A ∈，因为函数()2f x x =在[]1,2上单调递增，所以()2max4x=，所以4a ≥又因为[)[)5,4,+∞+∞所以命题“2,0x A x a ∀∈-≤，{}|12A x x =≤≤”是真命题的一个充分不必要条件为5a ≥ 故选：C【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.6．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅【答案】B【分析】因为集合A 仅有两个子集,可知集合A 仅有一个元素.对m 分类讨论,即可求得m 的值.【详解】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集 综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题. 7．已知0x >，0y >，且490x y xy +-=，求x y +的最小值为（ ） A ．25 B ．18 C ．13 D ．12【答案】A【分析】等式490x y xy +-=变形为491y x+=，则49()()x y x y y x +=++根据基本不等式即可得到答案．【详解】解：已知0x >，0y >，且490x y xy +-=．49x y xy +=，即491y x+=．则4949()()131325x y x y x y y x y x +=++=++≥+=， 当且仅当49x y y x=，即15,10x y ==时取等号. 所以x y +的最小值为25． 故选：A ．8．已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△P AB ，△P AC ，△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则1y z x y z+++的最小值是（ ）A B C ．13D ．3【答案】D【分析】由题意得出1x y z ++=，原式可化为1111111y z x x xx y z x x x x+--+=+=+++--，利用基本不等式求出最小值．【详解】解：因为三角形的面积为1S x y z =++=，且0x >，0y >，0z >，所以111111113111y z x x x x x x x y z x x x x x x +---+-+=+=+=++=+---≥， 当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号，即最小值为3． 故选：D ．二、多选题9．已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是（ ）A ．=AB B ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈【答案】CD【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∵{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∴2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∴(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误．故选：CD ．10．下列选项中p 是q 的必要不充分条件的有（ ） A ．p ：1a ≤，q ：1a <B ．p ：A B A ⋂=，q ：A B B ⋃=C ．p ：两个三角形全等，q ：两个三角形面积相等D ．p ：221x y +=，q ：1,0x y == 【答案】AD【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解．【详解】对于A ：11a a <⇒，而当1a 时，不一定有1a <，p ∴是q 的必要不充分条件，故A 正确； 对于B ：A B A A B ⋂=⇔⊆，A B B A B ⋃=⇔⊆，p ∴是q 的充要条件，故B 错误；对于C ：两个三角形全等⇒两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，p ∴是q 的充分不必要条件，故C 错误；对于D ：当1,0x y ==时，则221x y +=，反之，当221x y +=时，1,0x y ==不一定成立，p ∴是q 的必要不充分条件，故D 正确． 故选：AD ．11．下列结论中正确的是（ ）A ．若,R a b ∈，则2b aa b +≥B ．若0x <，则44x x +≥--C ．若0,0a b >>，则22b a a b a b+≥+D ．若0,0a b >>，则a b +≥【答案】CD【分析】由0ab <可判断A ；由基本不等式可判断B 、C 、D. 【详解】当0ab <时，0b aa b+<，故A 错误；当0x <时，0x ->，则()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故B 错误；当0a >，0b >时，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=，相加可得22b a a b a b+≥+，故C 正确；当0a >，0b >时，a b +≥D 正确. 故选：CD.12．已知x ，y 为正数，且1xy =，m x y =+，19n x y=+，下列选项中正确的有（ ） A ．m 的最小值为2 B ．n 的最小值为6 C ．mn 的最小值为16 D ．m n +的最小值为5【答案】ABC【分析】由x y +≥A 正确，B 不正确；由由910y xmn x y=++，利用基本不等式，可判定C 正确；由19210m n x x y xx y +=++=++，结合基本不等式，可判定D 不正确.【详解】由题意，实数x ，y 为正数，且1xy =，可得1y x=，可得2m x y =+≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，所以m 的最小值为2， 所以A 正确，由19196n x x y x =+=+≥=，当且仅当19x x =，即1,33x y ==时，等号成立，所以n 的最小值为6，所以B 正确；由199()()101016y x y x mn x y x y =+=++≥++，当且仅当9y xx y =时，即x y 时，等号成立， 即mn 的最小值为16，所以C 正确； 由1xy =，可得1y x=，则19129110m n x x x y x x y x x x +=++=++=+≥=++当且仅当x y ==m n +的最小值为D 不正确. 故选：ABC.三、填空题13．已知集合{(,)|2}A x y x y =-=，{(,)|0}B x y x y =+=，则A B =________. 【答案】(){}1,1-【分析】构造方程组解出集合的交集.【详解】解：联立20x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，则(){}1,1A B =-． 故答案为：(){}1,1-．14．已知条件p ：12x -≤，条件q ：x a >，且满足q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a <-【分析】解绝对值不等式求p 为真时x 范围，根据必要不充分条件即可确定a 的范围. 【详解】若p 为真，则13x -≤≤，而q 为真时x a >， 由q 是p 的必要不充分条件， 所以1a <-. 故答案为：1a <-15．已知1x >，0y >，且满足2x y +=，则1112x y+-的最小值为_______.【答案】32【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由11x y -+=，且1x >，0y >，所以31331)]1111()[2122(12122x y y x x y x y x y --+=++=++≥+=---，当且仅当1x -=，即3x =1y =时等号成立.所以1112x y+-的最小值为32故答案为：32四、双空题16．已知：命题p ：R x ∃∈，2+2+10ax x ≤，则命题p 的否定是_________；若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】 R x ∀∈，2+2+1>0ax x >1a【分析】写出特称命题的否定，根据命题为假，则其否定为真，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.【详解】由题设，命题p 的否定是x ∀∈R ，2+2+10ax x >；p 为假命题，即x ∀∈R ，2+2+10ax x >为真命题，所以>0Δ=44<0a a -⎧⎨⎩，可得1a >.故答案为：x ∀∈R ，2+2+10ax x >；1a >.五、解答题17．己知集合{}26|A x x =≤<，{}310|B x x =<<，{}|C x x a =>. (1)求A R，R ()A B ；(2)若A C ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)R{|2x x A =<或6}x ≥，()R {|610}B x x A ⋂=≤<，(2)[)6,+∞【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）由A C ⋂=∅，直接求出a 的取值范围即可．【详解】(1)解：因为{}26|A x x =≤<，{}310|B x x =<<， ∴R{|2x x A =<或6}x ≥，()R {|610}B x x A ⋂=≤<，(2)解：∵{}26|A x x =≤<，{}=>C x x a ，A C ⋂=∅， ∴6a ≥，∴实数a 的取值范围[)6,+∞．18．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． （1）当m ＝－1时，求A ∪B ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -<<；（2）{|2}m m ≤- 【解析】（1）1m =-时，可得出{|22}Bx x，然后进行并集的运算即可；（2）根据“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，可得出A B ⊆且A B ≠，然后即可得出2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，然后解出m 的范围即可. 【详解】解：（1）1m =-时，{|22}B x x ，且{|13}A x x =<<，{|23}A B x x ∴⋃=-<<；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，A B ∴⊆，且A B ≠∴2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-， ∴实数m 的取值范围为{|2}m m ≤-.19．(1)解关于x 的不等式23520x x +->； (2)解关于x 的不等式2121xx ->-. 【答案】(1)2x -＜ 或13x ＞ ；(2)1142x ＜＜ .【分析】（1）根据二次函数的图像求解即可； （2）将分式不等式转化为一元二次不等式再求解.【详解】(1)由23+520x x -＞ 得()()+2310x x -＞ ，由二次函数2=3+52y x x - 的图像可知：2x -＜ 或13x ＞ ；(2)由2121xx --＞ 得：24+110,02121x x x x -----＞＞ ，41021x x --＜ ， 由于41021x x --＜ 与()()41210x x --＜ 同解，所以不等式2121xx --＞的解为1142x ＜＜ ； 综上，（1）2x -＜ 或13x ＞；（2）1142x ＜＜.20．给定两个命题：命题p ：对于任意的实数x ，都有20x ax a ++>恒成立：命题q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根． (1)若p 为真，求实数a 的取值范围；(2)如果p 、q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)()0,4(2)(]1,0,4 4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由一元二次不等式恒成立可得a 的范围；（2）由一元二次方程的判别式得q 为真时a 的范围，,p q 有且只有一个为真，即为一真一假，由此可得结论．【详解】(1)由题意2140a a ∆=-<，解得04a <<，故所范围是(0,4)；(2)命题q 为真时，2140a ∆=-≥，解得14a ≤． 如果p 与q 中有且仅有一个为真命题， ①如果p 真q 假，则由04a <<且14a >，得144a <<． ②如果p 假q 真，则由0a ≤或4a ≥且14a ≤，得0a ≤， 综上，a 的取值范围为(]1,0,4 4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．21．已知实数a ，b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（2）设012m <<，求1112m m+-的最小值． 【答案】（1）9；（2）13．【解析】（1）11111122a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭展开后利用基本不等式即可求解. （2）1211212m m -+=，11111212121212m m m m m m -⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭展开后利用基本不等式即可求解.【详解】已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<．（1）若1a b +=，11111122a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4419≥++=，当且仅当a b =成立，故最小值为9；（2）∵()1212m m +-=， ∴1211212m m-+=， ∴11111212121212m m m m m m -⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ ()1121116121212663m m m m -=++≥+=-， 当且仅当6m =时，取“=”， 综上所述，原式的最小值为13．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，关键在于将两个量转化为求一个量的最值，属于中档题.22．某市近郊有一块400m×400m 正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建一个总面积为30002m 的矩形场地（如图所示）．图中，阴影部分是宽度为2m 的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为2m S ．(1)求S 关于x 的关系式，并写出x 的取值范围；(2)当x 为何值时S 取得最大值，并求最大值．【答案】(1)1500030306S x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()7.5400x << (2)50x =m ，最大值为24302m【分析】（1）设矩形场地的另一条边的长为y ，可得300xy =，26a y +=，即可得出面积关系式．（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【详解】(1)解：（1）设矩形场地的另一条边的长为y ，则3000xy =，即3000y x=，且7.5400x <<，()()()46210S x a x a x a =-+-=-，∵26a y +=， ∴1500332ya x=-=-， ∴()150015000210330306S x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()7.5400x <<； (2)150001500030306303026303023002430S x x x x ⎛⎫=-+⋅-⋅=-⨯= ⎪⎝⎭≤， 当且仅当150006x x=，即50x =，满足7.5400x <<，等号成立， 故当50x =m 时，S 取得最大值，其最大值为24302m ．。
江苏省扬州市中学2022年高一数学理月考试卷含解析
江苏省扬州市中学2022年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数，又，且的最小值为，则正数的值是（）A．B．C．D．ω参考答案：B因为函数，因为，的小值为，即，那么可知ω=.2. 直线x－y+1=0的倾斜角为()参考答案：D略3. 函数定义域为，值域为，则的最大值与最小值之和为（）A． B． C． D．参考答案：D4. 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2}，则?U（A∪B）=( )A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}参考答案：B 【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】根据已知中集合U，A，B，结合集合的并集和补集运算的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2}，∴A∪B={1，2}，又∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={3，4}，故选：B【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．5. 已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为 B．C．D．参考答案：B6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：A【分析】根据,因此只需把函数的图象向左平移个单位长度。
【详解】因为，所以只需把函数图象向左平移个单位长度即可得，选A.7. cos120°= （）A. B. C. D.参考答案：C，故选C.8. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．9. 若函数和都是奇函数，且在区间(0,+∞)上有最大值5，则在区间(－∞,0)上（）A．有最小值-1 B．有最大值-3 C.有最小值-5 D．有最大值-5参考答案：A设，∵f(x),g(x)均为R上的奇函数，则h(?x)=?h(x).∴h(x)是奇函数,且它在(0,+∞)上有最大值5?2=3，根据对称性,它在(?∞,0)上有最小值：?3，则F(x)在(?∞,0)上有最小值：?3+2=?1.故选：A.10. 在△ABC中,若A=600,,则等于( )A、1B、C、4 D、参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数，则在区间上的值域为参考答案：略12. 已知复数z=a+bi（a、b∈R），且满足+=，则复数z在复平面内对应的点位于第象限．参考答案：四【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简式子，应用两个复数相等的充要条件求出a、b 的值，从而得到复数Z 在复平面内对应的点的位置．【解答】解：∵，∴=，即+ i=，∴=， =﹣，∴a=7，b=﹣10，故复数Z在复平面内对应的点是（7，﹣10），在第四象限，故答案为：四【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，复数与复平面内对应点之间的关系．化简式子是解题的难点．13. 已知，且是第二象限角，则．参考答案：14. 已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是．参考答案：[）【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知中函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则在两个分段上函数均为减函数，且当x=1时，按照x＜1得到的函数值不小于按照x≥1得到的函数值．由此关于a的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：∵数在（﹣∞，+∞）上单调递减，∴解得：故答案为：[）【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的性质，其中根据分段函数单调性的确定方法，构造出满足条件的关于a的不等式，是解答本题的关键．15. 已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是．参考答案：4考点：三角函数的最值；向量的模．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算得到2﹣的表达式，再由向量模的求法表示出|2﹣|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．解答：解：∵2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|==≤4．∴|2﹣|的最大值为4．故答案为：4点评：本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习．16. 设有数列，若存在，使得对一切自然数，都有|成立，则称数列有界，下列结论中：①数列中，，则数列有界；②等差数列一定不会有界；③若等比数列的公比满足，则有界；④等比数列的公比满足，前项和记为，则有界.其中一定正确的结论有_____________参考答案：_①③④略17. 在平面直角坐标系中，①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切，即圆x2+y2=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0，则b的值为；②若将①中的“圆x2+y2=4”改为“曲线x=”，将“恰有一个点”改为“恰有三个点”，将“距离为0”改为“距离为1”，即若曲线x=上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b 的取值范围是．参考答案：（﹣，﹣2]考点：直线和圆的方程的应用；类比推理．专题：直线与圆．分析：①利用直线和圆相切的关系进行求解．②曲线x=表示圆x2+y 2=4的右半部分，由距离公式可得临界直线，数形结合可得．解答：解：①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切，则圆心到直线的距离d=，即｜b｜=2，即b=，由x=得x2+y2=4（x≥0），则对应的曲线为圆的右半部分，直线y=x+b的斜率为1，（如图），设满足条件的两条临界直线分别为m和l，根据题意，曲线上恰好有三个点到直线y=x+b的距离为1，因此其中两个交点必须在直线m″（过点（0，﹣2））和直线l″之间，设（0，﹣2）到直线m的距离为1，可得=1，解得b=﹣2，或b=2+（舍去），∴直线m的截距为﹣2，设直线l″为圆的切线，则直线l″的方程为x﹣y﹣2=0，由l到l″的距离为1可得=1，解方程可得b=，即直线l的截距为﹣，根据题意可知，直线在m和l之间，∴b的取值范围为：（﹣，﹣2]故答案为：，（﹣，﹣2]．点评：本题主要考查直线和圆的综合应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年江苏省扬州市第一中学高一数学理月考试题含解析
2021-2022学年江苏省扬州市第一中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l?β且m∥β，则l∥m B．若l⊥m且l⊥n，则m∥nC．若m⊥n且m?α，n?β，则l∥α D．若m⊥α且m∥n，n∥β，则α⊥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l与m平行或异面；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，l与α相交、平行或l?α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若l?β且m∥β，则l与m平行或异面，故A错误；在B中，若l⊥m且l⊥n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥n且m?α，n?β，则l与α相交、平行或l?α，故C错误；在D中，若m⊥α且m∥n，n∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．2. 已知函数，正实数a、b、c是公差为正数的等差数列，且满足，若实数d是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中一定不成立的是（）A. ①B. ②③C. ①④D. ④参考答案：D【分析】先判断出函数的单调性，分两种情况讨论：①；②。
结合零点存在定理进行判断。
【详解】在上单调减，值域为，又。
（1）若，由知，③成立；（2）若，此时，①②③成立。
综上，一定不成立的是④，故选：D。
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，考查自变量大小的比较，解题时要充分考查函数的单调性，对函数值符号不确定的，要进行分类讨论，结合零点存在定理来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题。
3. 要得到函数y＝3cos x的图象，只需将函数y＝3sin(2x－)的图象上所有点的( ) A．横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，所得图象再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，所得图象再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移个单位长度参考答案：C略4. 已知函数f（2x）的定义域[1，2]，则f（log2x）的定义域是( )A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16]参考答案：D考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由函数f（2x）的定义域[1，2]，解得2≤2x≤4，由代换知，2≤log2x≤4求解即可．解答：解：∵函数f（2x）的定义域[1，2]，∴2≤2x≤4∴2≤log2x≤44≤x≤16∴f（log2x）的定义域是[4，16]点评：本题主要考查抽象函数的定义域，要注意理解应用定义域的定义，特别是代换之后的范围不变5. 已知向量，，，则m=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3参考答案：C【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用坐标运算以及向量共线列出方程求解即可．【解答】解：向量，，， =（2，m+1）可得：﹣m﹣1=2，解得m=﹣3．故选：C．6. 已知，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A. 7B. 6C. 5D. 9参考答案：C【分析】由,可得成等比数列，即有＝4；讨论成等差数列或成等差数列，运用中项的性质，解方程可得，即可得到所求和．【详解】由，可得成等比数列，即有＝4，①若成等差数列，可得，②由①②可得，5；若成等差数列，可得，③由①③可得，5．综上可得5．故选：C．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．7. 已知是上的增函数，那么实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C8. 若圆关于原点对称，则圆的方程是：A. B.C. D.参考答案：B略9. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．， B. ，C．， D. ，参考答案：D略10. 已知，，则（）A．B． C. 或D．或参考答案：B，则故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点（1，4）且与直线3x+2y=0平行的直线的方程为．参考答案：3x+2y﹣11=0【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设与直线3x+2y=0平行的直线的方程为3x+2y+m=0，把点（1，4）代入可得：3+2×4+m=0，解得m即可得出．【解答】解：设与直线3x+2y=0平行的直线的方程为3x+2y+m=0，把点（1，4）代入可得：3+2×4+m=0，解得m=﹣11．∴要求的直线方程为：3x+2y﹣11=0，故答案为：3x+2y﹣11=0．【点评】本题考查了相互平行的直线方程的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为。
江苏省扬州市第一中学2020-2021学年第一学期教学质量调研评(2) 高三月考数学(艺术班)
扬州市第一中学2020—2021学年第一学期教学质量调研评估（2）高三艺术班数学（满分： 150 分 时间： 120 分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．将答案填在答题卡上)1．已知集合{}2340x x A x --≤=，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．()1,1- B ．()1,2- C ．[)1,2 D ．()1,22．“x=3”是“2230x x --=”的（ ）条件A ． 充分不必要B ．必要不充分C ． 充要D ． 既不必要也不充分3．若110a b〈〈，则下列不等式中错误的是（ ）． A ．a+b<abB ．∣a ∣> ∣b ∣C ． 3a > 3bD ．2a > 2b 4．若12x <，则1221x x +-的最大值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-25．下列求导运算正确的是（ ）A.211）x 1x （x+='+ B.2ln 1）log （2x x =' C ．e x 3x log 3）3（=' D ．x x x sin 2）cos x （2-=' 6．函数()441x x f x =-的图象大致是（ ） A.B. C. D.7．已知函数()()()14log 323x x x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．98．某公司安排甲乙丙丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都要安排人出差.甲不去北京，不同的安排方法共有（ ）A.18种B.20种C.24种D.30种二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上)9．下列说法正确的是（ ）A ．不等式21131x x ->+的解集是1(2,)3-- B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件C ．命题:p x ∀∈R ，20x >，则命题:p x ∃∈R 的否定，20x <D ．“5a <”是“3a <”的必要条件10．下列结论正确的是（ ）A. 正弦曲线sin y x =在6x π=处的切线的斜率为12. B. 若函数2()f x x ax =- 在[),1+∞上单调递增, 则实数a 的取值范围是2a ≥C 若2()()21x f x a x R =-∈+为奇函数，则a =1. D ．将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为12. 11．已知25a b m ==，现有下面四个命题中正确的是（ ）A ．若a b =，则1m =B ．若10m =，则111a b += C ．若a b =，则10m = D ．若10m =，则111+2a b = 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的有（ ）A.平面1PB D ⊥平面1ACDB.1A P ∥平面1ACDC.异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D.三棱锥1D APC -的体积不变三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上)13．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ．14.12ln y x x=+的单调减区间为_________________. 15．已知且，则=______． 16．在区间[]0,3π上，函数sin 2y x =与cos y x =的图象的交点个数是 .三、解答题(17题10分，18---22每小题12分，共70分．将答案填在答题卡上)17.已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1) 当a=0时，求f (x )在点 (－1，-2)处的切线方程.(2) 若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围.18．设命题p ：函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R ；命题q ：函数2()21f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减．若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围。
江苏省扬州市高邮市第一中学2024-2025学年高一上学期十月质量检测数学试题
江苏省扬州市高邮市第一中学2024-2025学年高一上学期十月质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{|212}M x x =-??，{|21N x x k ==-，*N }k ∈．如图，则阴影部分所表示的集合的元素共有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个 2．已知“()2160x a +->”的必要不充分条件是“3x ≤-或2x ≥”，则实数a 的最大值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．23．已知a ，b 为实数，则“1a >”是“2a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） A ．0a < B ．||||a b > C ．32a b > D ．2b a a b+≥ 5．已知00a b >>，且1ab ＝，不等式11422m a b a b ++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ≥4C ．m ≥6D ．m ≥86．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b c c>，则a b > C ．若0a b ab >⎧⎨<⎩，则11a b > D ．若0ab a b>⎧⎨>⎩，则11a b > 7．若由a ，b a，1组成的集合A 与由2a ，a b +，0组成的集合B 相等，则20212021a b +的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．28．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理､定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字”证明.如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是AB 上一点(不同于A ，B ，O )，点D 在半圆O 上，且CD ⊥AB ，CE ⊥OD 于E .设AC =a ，BC =b ，则该图形可以完成的“无字”证明为（ ）A 2a b +(a >0，b >0)B ．22a b ab a b +<+(a >0，b >0，a ≠b )C ．2ab a b+a >0，b >0)D ．22ab a b a b +<+(a >0，b >0，a ≠b )二、多选题9．设P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意,a b P ∈，都有,,a b a b ab P +-∈，且若0b ≠，则a P b∈，则称P 是一个数域．例如，有理数集Q 是数域．下列命题正确的是（ ） A ．数域必含有0，1两个数B ．整数集是数域C ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 一定是数域D ．数域中有无限多个元素10．下列说法正确的是（ ）A ．任何集合都是它自身的真子集B ．集合{},a b 共有4个子集C ．集合{}{}31,Z 32,Z x x n n x x n n =+∈==-∈D ．集合{}{}221,N 45,N x x a a x x a a a **=+∈==-+∈11．已知a ，b 为正实数，且1,1,(1)(1)1a b a b >>--=，则（ ）A ．ab 的最大值为4B ．2a b +的最小值为3+C．a b +的最小值为3-D ．1111a b +--的最小值为2三、填空题12．已知集合{}1,2A ＝，}0{2|B x ax -＝＝，若B A ⊆，则实数a 的值为. 13．若x ∈R ，则21x x +与12的大小关系为. 14．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为．四、解答题15．已知{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >． (1)若A B =∅I ，求a 的取值范围；(2)若A B =R U ，求a 的取值范围．16．已知集合()(){}20A x x a x a =--<，集合211x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，命题:P x A ∈，命题:q x B ∈. (1)当实数a 为何值时，p 是q 的充要条件；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17．某市近郊有一块400m×400m 正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建一个总面积为30002m 的矩形场地（如图所示）．图中，阴影部分是宽度为2m 的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为2m S ．(1)求S 关于x 的关系式，并写出x 的取值范围；(2)当x 为何值时S 取得最大值，并求最大值．18．（1）已知,,a b c 为正数，且满足1abc =.证明：222111a b c a b c++≤++.（2）若m =n =0a ≥，试比较,m n 的大小. 19．设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有||x y k -≠，则称A 具有性质()P k ．(1)试判断集合{1,2,3,4}B =和{1,4,7,10}C =是否具有性质(2)P ？并说明理由．(2)若{}1212,,,{1,2,,20}A a a a =⋯⊆⋯．证明：A 不可能具有性质(3)P ．(3)若{1,2,,2023}A ⊆⋯且A 具有性质(4)P 和(7)P ．求A 中元素个数的最大值．。
江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期第一次月考高一数学
江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期第一次月考高一数学（本卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、集合{}Z x x x A ∈<<-=,12中的元素个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、42、已知集合{}{}3,1,4,3,2,1==A U ，则U A =（ ）A 、{}4,2B 、{}2,1 C 、{}3,2 D 、{}4,2,1 3、“1>x ”是“2>x ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、下列命题中，是假命题的是（ ）A 、0,=∈∃x R xB 、1102,=-∈∃x R xC 、0,3>∈∀x R x D 、01,2>+∈∀x R x5、函数1322+-=x x y 的零点是（ ）A 、()0,1,0,21-⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 、1,21-C 、()0,1,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛ D 、1,21 6、已知1,22,22-+=+=∈x x B x x A R x ，则A ，B 的大小关系是（ ）A 、B A = B 、B A >C 、B A <D 、无法判定7、如果0<<b a ，那么下列不等式成立的是（ ）A 、b a 11<B 、2b ab <C 、2a ab -<-D 、ba 11-<- 8、若不等式012≥--bx ax 的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31，则不等式02<--a bx x 的解集是（ ） A 、()3,2 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 C 、()2,3-- D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131,二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、若C C B A B A == ,，则集合A ，B ，C 之间的关系必有（ ）A 、C A ⊆B 、C A = C 、B A ⊆D 、B A =10、已知q p ,都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则（ ）A 、p 是q 的既不充分也不必要条件B 、p 是s 的充分条件C 、r 是q 的必要不充分条件D 、s 是q 的充要条件11、下列说法正确的是（ ）A 、xx 1+的最小值是2 B 、223x x +的最小值是32 C 、2322++x x 的最小值是2 D 、x x 1+的最小值是2 12、已知函数()02>++=a b ax x y 有且只有一个零点，则（ ）A 、422≤-b aB 、412≥+b a C 、若不等式02<-+b ax x 的解集为()21,x x ，则021<x xD 、若不等式c b ax x <++2的解集为()21,x x ，且421=-x x ，则4=c 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是 .14、某班共30人，其中15人喜爱篮球，10人喜爱乒乓球，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球但不喜爱乒乓球的人数是 .15、设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合{}Q b P a ab z z Q P ∈∈==*,,，若{}{}2,2,1,0,1-=-=Q P ，则集合Q P *有 个子集.16、已知0,0>>y x ，且114=+yx ，则y x +的最小值为 . 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本题满分10分）已知全集{}{}{}22,3,23,21,2,5U U a a A a A =+-=-=，求实数a 的值.18、（本题满分12分）求下列不等式的解集.（1）0432≤--x x （2）1342>-+x x19、（本题满分12分）已知命题:p “关于x 的方程012=++mx x 有两个不相等的实数根”是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）若{}2+<<=a m a m N ，且“N m ∈”是“M m ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20、（本题满分12分）已知集合{}(){}0112,04222=-+++==+=a x a x x B x x x A .（1）若B A B A =，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.21、（本题满分12分）为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定: 若提前完成，则每提前一天可获2万元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则将被罚款. 追加投入的费用按以下关系计算:11837846-++x x （万元），其中x 表示提前完工的天数（附加效益=所获奖金-追加费用）. （1）求附加效益y （万元）与x 的函数关系式；（2）提前多少天，能使公司获得最大的附加效益? 并说明理由.22、（本题满分12分）已知二次函数()()m x m x y -+-+-=222. （1）若“0,<∈∀y R x ”为真命题，求实数m 的取值范围；（2）是否存在小于4的整数a ，使得关于x 的不等式()()4222≤-+-+-≤m x m x a 的解集恰好为[]4,a ? 若存在，求出所有可能的a 的取值集合；若不存在，说明理由.。
2022-2023学年江苏省扬州市高一下学期5月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省扬州市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．若复数12iz i+=(i 为虚数单位)，则z =（）.A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】根据题意先求出z ，然后再求出模.【详解】因为12i z i +=，化简得()212122i i i z i i i ++===-，故2z i =+，所以22215z =+=故选：D2．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题正确的是（）A ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥B ．若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，n β∥，则m n ⊥D ．若αβ⊥，m αβ= ，n m ⊥，则n α⊥【答案】C【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.【详解】对于A ，若m n ∥，n ⊂α，则m α∥或m α⊂，故A 错误；对于B ，若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥或,αβ相交，故B 错误；对于C ，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C 正确；对于D ，若αβ⊥，m αβ= ，n m ⊥，当n β⊄，n 不一定垂直于α，故D 错误.故选：C.3．在ABC 中，若3AB =，4BC =，30C = ，则此三角形解的情况是（）A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定【答案】B【分析】由sin BC C AB BC <<，根据作圆法结论可得结果.【详解】sin 4sin 302BC C == ，sin BC C AB BC ∴<<，ABC ∴ 有两解.故选：B.4．设平面向量a ，b 满足12a = ，()2,5b = ，18a b ⋅= ，则b 在a 上投影向量的模为（）.A ．32B ．332C ．3D ．6【答案】A【分析】表示出b 在a上投影向量，结合已知条件12a = 即可求得答案.【详解】由题意可知：b 在a 上投影向量为18||||a b a a a a ⋅⋅=，故b 在a 上投影向量的模为113||12882a =⨯= ，故选：A5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为23的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A ．16B ．163C ．183D ．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解.【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故()1122113363123232133222V S S S S h ⎛⎫=++=⨯++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D6．已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（）A ．3-B ．33-C ．33D ．3【答案】A【分析】利用和差角公式展开，得到2cos 40cos cos80cos sin 80sin 0θθθ︒+︒+︒=，即可得到2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin80sin 0θθθθθθ︒+︒+︒-︒+︒+︒=，所以2cos 40cos cos80cos sin 80sin 0θθθ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80sin 80tan 0θ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒()2cos 12080cos80sin 80︒-︒+︒=-︒()2cos120cos80sin120sin 80cos803sin 803sin 80sin 80︒︒+︒︒+︒︒=-=-=-︒︒.故选：A ．7．已知四边形ABCD 中，,1,32BDAC BD AB BC AC CD ⊥=====，点E 在四边形ABCD 的边上运动，则EB ED ⋅的最小值是（）A ．34B ．14-C ．34-D ．-1【答案】C【分析】由题意分析可知四边形ABCD 关于直线BD 对称，且BC CD ⊥，只需考虑点E 在边,BC CD上的运动情况即可，然后分类讨论,求出EB ED ⋅最小值.【详解】如图所示，因为AC BD ⊥，且AB BC =，所以BD 垂直且平分AC ，则ACD 为等腰三角形，又3AC CD ==，所以ACD 为等边三角形,则四边形ABCD 关于直线BD 对称，故点E 在四边形ABCD 上运动时，只需考虑点E 在边,BC CD 上的运动情况即可，因为12BDAB BC ===，3CD =，知222BC CD BD +=，即BC CD ⊥，则0CB CD ⋅=，①当点E 在边BC 上运动时，设(01)EB CB λλ=≤≤ ，则(1)EC CB λ=-，则22()(1)(1)(1)EB ED EB EC CD CB CB CB λλλλλλλλ⋅=⋅+=⋅-=-=-=- ,当12λ=时，EB ED ⋅ 最小值为1–4；②当点E 在边CD 上运动时，设(01)ED kCD k =≤≤ ,则(1)EC k CD =- ,则2()(1)EB ED EC CB ED EC ED CB ED k k CD kCD CB⋅=+⋅=⋅+⋅=-+⋅ 233k k =-，当12k =时，EB ED ⋅ 的最小值为34-；综上，EB ED ⋅ 的最小值为34-；故选：C ．【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形ABCD 的几何性质，即要推出0CB CD ⋅=，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出EB ED ⋅，结合二次函数性质即可求解.8．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos c b b A -=.若()sin cos 2A C B λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．(,22⎤-∞⎦B ．(),22-∞C ．53,3⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦D ．53,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得sin()sin A B B -=，推出2A B =，则π3C B =-,结合锐角三角形确定B 的范围，继而将不等式恒成立转化为12sin 2sin 2B Bλ<+恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.【详解】由2cos c b b A -=可得sin sin 2sin cos C B B A -=，结合sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,可得sin cos sin sin cos A B B B A -=，即sin()sin A B B -=，由于在锐角ABC 中，ππ22A B -<-<，故,2A B B A B -=∴=，则ππ3C A B B =--=-,则ππππ2(0,),π3(0,),(,)2264A B C B B =∈=-∈∴∈,又sin 0A >，所以()sin cos 2A C B λ--<恒成立，即2cos()2cos 4sin sin 2C B BA Bλ+--<=恒成立，即212sin 212sin 2sin 2sin 2B B B B λ+<=+恒成立，因为ππ(,)64B ∈，故3sin 2(,1)2B ∈，令3sin 2,(,1)2t B t =∈，则函数1()2g t t t =+在3(,1)2内单调递增，故3()g 53(23)g t >=，即12sin 25sin 233B B +>，故533λ≤，故选：C【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.二、多选题9．下面是关于复数202321i z =--（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A ．z 的虚部为i-B ．z 在复平面内对应的点在第二象限C ．z 的共轭复数为1i-+D ．若01z z -=，则0z 的最大值是21+【答案】CD【分析】利用复数的四则运算化简复数z ，利用复数的概念可判断A 选项；利用复数的几何意义可判断B 选项；利用共轭复数的定义可判断C 选项；利用复数模的三角不等式可判断D 选项.【详解】因为2023450533i i i i ⨯+===-，则()()()202321i 221i 1i 1i 1i 1i z --====-----+-+--.对于A 选项，z 的虚部为1-，A 错；对于B 选项，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，B 错；对于C 选项，z 的共轭复数为1i -+，C 对；对于D 选项，因为01z z -=，()()22112z =-+-=，由复数模的三角不等式可得00012z z z z z z z =-+≤-+=+，当且仅当022i 22z z -=--时，等号成立，即0z 的最大值是21+，D 对.故选：CD.10．关于函数()23sin cos 3sin 1,R f x x x x x =-+∈,下列说法正确的有（）A ．()f x 的最大值为132-，最小值为132--B ．()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 的对称中心为ππ1,,Z622k k ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据三角函数恒等变换化简()f x ，结合正弦函数的性质可求得()f x D..D..A ；同理结合正弦函数的单调性、周期以及对称中心可判断B ，C ，D..【详解】由题意得()()231cos233sin cos 3sin 1sin2122x f x x x x x -=-+=-+331π1sin2cos23sin 222232x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，则()f x 最大值为132-，最小值为132--，A 正确；令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，即5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，故()f x 单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，B 正确；()f x 的最小正周期为2ππ2=，C 错误；令πππ2π,Z,,Z 326k x k k x k +=∈∴=-∈，故()f x 的对称中心为ππ1,,Z 622k k ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，D 正确，故选：ABD.11．如图，已知O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==，下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为73B ．该外接圆的半径为2213C ．4BO CD ⋅=-D ．过D 作DF BC ⊥交BC 于F 点，则10DO DF ⋅=【答案】BCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出1cos 7D =-，1cos 7B =，进而求出sin ,sin B D ，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接AC ，在ACD 中，21616cos 32AC D +-=，2436cos 24AC B +-=，由于πB D +=，所以cos cos 0B D +=，故22324003224AC AC --+=，解得22567AC =，所以1cos 7D =-，1cos 7B =，所以143sin sin 1497B D ==-=，故1143243sin 262277ABC S AB BC B =⋅=⨯⨯⨯=，1143323sin 442277ADC S AD DC D =⋅=⨯⨯⨯=，故四边形ABCD 的面积为2433238377+=，故A错误；对于B ，设外接圆半径为R ，则25642172sin 3437AC R B ===，故该外接圆的直径为4213，半径为2213，故B 正确；对于C ，连接BD ，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：122CG CD ==，由于πA C +=，所以cos cos 0A C +=，即22416163601648BD BD +-+-+=，解得27BD =，所以1cos 2C =，所以π3C =，且1cos 632CE BC C =⋅=⨯=，所以321EF =-= ，即BO 在向量CD 上的投影长为1，且EG 与CD反向，故4BO CD EG CD ⋅=-⋅=-，故C 正确；对于D ，由C 选项可知：π3C =，故3sin 604232DF CD =⋅︒=⨯= ，且30CDF ∠=︒，因为AD CD =，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故1302ODF ADC ∠=∠-︒，由A 选项可知：1cos 7ADC ∠=-，显然12ADC ∠为锐角，故11cos 21cos 227ADC ADC +∠∠==，1327sin 1277ADC ∠=-=，所以1cos cos 302ODF ADC ⎛⎫∠=∠-︒ ⎪⎝⎭1157cos cos 30sin sin 302214ADC ADC =∠⋅︒+∠⋅︒=，所以22157cos 2334101DO DF DO ODF DF ∠=⨯⨯=⋅=⋅ ，故D 正确.故选：BCD12．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于点S ，得到四面体S AEF -（如图2）.下列结论正确的是（）A ．平面AEF ⊥平面SAFB ．四面体S AEF -的体积为13C ．二面角A EF S --正切值为2D ．顶点S 在底面AEF 上的射影为AEF △的垂心【答案】BD【分析】（１）作辅助线，证SNO ∠为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，从而判断A 选项．（２）先证SO ⊥平面AEF ，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可．（３）证SMA ∠为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角，计算SMA ∠的正切值．（４）先证O 为S 在平面AEF 上的射影，由于AM EF ⊥，只需证OE AF ⊥，OF AE ⊥即可．【详解】如图，作EF 的中点M ，连结AM 、SM ，过S 作AM 的垂线交AM 于点O ，连结SO ，过O 作AF 的垂线交AF 于点N ，连结SN由题知AE =AF =5，所以AM EF ⊥，SE =SF =1，所以SM EF ⊥，SMA ∴∠为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角又SM AM M ⋂=EF ∴⊥平面ASM ，SO ⊂平面ASM ，EF ∴⊥SO ，作法知SO AM ^，AM EF M = ，SO ∴⊥平面AEF ，所以SO 为锥体的高．所以O 为S 在平面AEF 上的射影.AF ⊂平面AEF ，所以SO AF ⊥，由作法知ON AF ⊥，SO NO O⋂=AF ∴⊥平面SON ，SN ⊂平面SON ，SN AF∴⊥SNO ∴∠为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，故A 错．由题知AS SE AS SF AS SEF SE SF S ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面，SM SEF ⊂平面，AS SM∴⊥又AS ＝２，1222EM EF ==，SE ＝１，2223222SM AM AE EM ∴==-=，22223322AS SM SO AM ⨯⨯===，四面体S −AEF 的体积为1132133233AEFV S SO =⨯=⨯⨯= ，故B 正确．在直角三角形ASM 中：2tan 2222AS SMA SM ∠===故C 不正确．因为2226OM SM SO =-=，423AO AM OM =-=，2253OE OM EM =+=所以2224cos 25OE OF EF EOF OE OF +-∠==-⋅，22210cos 210OE OA AE EOA OE OA +-∠==-⋅()cos cos OE AF OE OF OA OE OF EOF OE OA EOA⋅=⋅-=∠-∠554542103353310⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44099=-+=OE AF ∴⊥，由对称性知OF AE ⊥，又AM EF⊥故D 正确．故选：BD ．三、填空题13．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为π3，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为．【答案】6π【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得π2π13l =⨯，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.【详解】设圆锥的母线为l ,则π2π13l =⨯,所以6l =,则圆锥的侧面积为π6πrl =.故答案为：6π.14．已知tan 2θ=，则1sin 2cos 2θθ+的值是．【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将tan 2θ=代入即可.【详解】因为tan 2θ=，所以2211sin 2cos 22sin cos cos sin θθθθθθ=++-2222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ+=+-221tan 2tan 1tan θθθ+=+-221252212+==⨯+-，故答案为：5.15．已知函数()21,02log ,2x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨⎪≥⎩，且关于x 的方程()f x t =有且仅有一个实数根，那实数t 的取值范围为．【答案】[)1,2【分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.【详解】作出()y f x =的图象，如下图所示：∵关于x 的方程()f x t =有且仅有一个实数根，∴函数()y f x =的图象与y t =有且只有一个交点，由图可知12t ≤<，则实数t 的取值范围是[)1,2.故答案为：[)1,2.四、双空题16．已知锐角ABC 的内角A B C 、、所对的边分别a b c 、、，角π=3A ．若AM 是CAB ∠的平分线，交BC 于M ，且=2AM ，则+3AC AB 的最小值为；若ABC 的外接圆的圆心是O ，半径是1，则()OA AB AC ⋅+ 的取值范围是．【答案】8343+53,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.【分析】(1)由已知利用ABC CAM BAM S S S =+△△△，可得1132b c +=，然后利用“1”的代换，基本不等式即可得出结果.(2)根据锐角三角形的角度范围，表示出()OA AB AC ⋅+ π=cos 223B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，进而得出结果.【详解】(1)由AM 是CAB ∠的平分线，得=30CAM BAM ∠=∠︒，又ABC CAM BAM S S S =+Q △△△，即1π1π1πsin 2sin 2sin 232626bc b c =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，化简得1132b c +=，()211233=+33433c b AC AB b c b c b c b c ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23834+2+433c b b c ⎛⎫≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当3c b b c =，即22333c =+，2323b =+时，取等号．(2)π2π=33A B C +=，Q ，∴()()2=22OA AB AC OA OB OC OA OA OB OA OC OA ⋅+⋅+-=⋅+⋅-uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur =cos cos 2=cos 2cos 22AOB AOC C B ∠+∠-+-2π=cos 2cos 223B B ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭13=cos 2sin 2222B B --π=cos 223B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，ABC 是锐角三角形，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，2π4π,2+62333πππB B ∴<<<<π11cos 232B ⎛⎫∴-≤+<- ⎪⎝⎭，()532OA AB AC ⎡⎫∴⋅+∈--⎪⎢⎣⎭,uur uuu r uuu r ．故答案为：8343+；53,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.五、解答题17．已知复数2121im z =-，()()22i 312i z m =+-+，R m ∈，i 为虚数单位．(1)若12z z +是纯虚数，求实数m 的值；(2)若120z z +>，求12z z ⋅的值．【答案】(1)1m =(2)2012i-【分析】（1）根据复数的运算法则求出12z z +，根据复数的概念列式可求出m ；（2）根据120z z +>求出2m =，再根据复数的乘法法则求出结果即可.【详解】（1）22212(1i)i (1i)(1i)m z m m +==+⋅-+，()2236i z m m =-+-⋅，所以()2212236i z z m m m m +=+-++-，因为12z z +是纯虚数，所以2223060m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩，得1m =.（2）由（1）知，()2212236i z z m m m m +=+-++-，因为120z z +>，所以2223060m m m m ⎧+->⎨+-=⎩，得2m =，所以144i z =+，214i z =-，所以12(44i)(14i)z z ⋅=+-2012i =-.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AC ，11AC 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求点D 到平面ABE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)63【分析】（1）通过证明AC DB ⊥，AC DE ⊥，得证AC ⊥平面BDE ．（2）由D ABE E ABD V V --=，利用体积法求点D 到平面ABE 的距离．【详解】（1）证明：∵AB BC =，D ，E 分别为AC ，11AC 的中点，∴AC DB ⊥，且1//DE AA ，又1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AC DE ⊥，又AC DB ⊥，且DE DB D ⋂=，,DE DB ⊂平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）∵AC DB ⊥，5AB =，22AC AD ==，∴222AB BD AD -==，∴2222BE DE BD =+=，225AE DE AD =+=，11212ABD S =⨯⨯=△．在ABE 中，5AB AE ==，22BE =，∴BE 边上的高为()()22523-=．∴122362ABE S =⨯⨯=△．设点D 到平面ABE 的距离为d ，根据D ABE E ABD V V --=，得1161233d ⨯⨯=⨯⨯，解得63d =，所以点D 到平面ABE 的距离为63．19．在ABC 中，2CA =，3AB =，2π3BAC ∠=，D 为BC 的三等分点（靠近C 点）．(1)求AD BC ⋅ 的值；(2)若点P 满足CP CA λ= ，求PB PC ⋅ 的最小值，并求此时的λ．【答案】(1)23(2)4916-【分析】（1）将AD BC ⋅ 化为AB 和AC 表示，利用AB 和AC 的长度和夹角计算可得结果；（2）用AB 、AC 表示PB PC ⋅ ，求出PB PC ⋅ 关于λ的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为D 为BC 的三等分点（靠近C 点），所以11()33CD CB AB AC ==- ，所以1133AD AC CD AC AB AC =+=+- 1233AB AC =+ ，所以AD BC ⋅ 12()()33AB AC AC AB =+⋅- 22121||||333AB AC AB AC =-+-⋅ 1212π9432cos 3333=-⨯+⨯-⨯⨯⨯23=.（2）因为CP CA λ= ，所以PC AC λ= ，因为PB PC CB PC AB AC =+=+- (1)AB AC λ=+- ，所以PB PC ⋅ (1)AB AC AC λλ⎡⎤=+-⋅⎣⎦2(1)||AB AC AC λλλ=⋅+- 22π||||cos (1)||3AB AC AC λλλ=+- 34(1)λλλ=-+-247λλ=-27494()816λ=--，所以当78λ=时，PB PC ⋅ 取得最小值4916-.20．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 1sin tan A A B=+.(1)若A B =，求C ；(2)求sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围.【答案】(1)2π3C =(2)()0,1【分析】（1）先由题给条件求得A B =π6=，进而求得2π3C =；（2）先利用正弦定理和题给条件求得π22A B =-和π04B <<，再构造函数122,12y t t t =-<<，求得此函数值域即为sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围【详解】（1）由A B =，cos 1sin tan A A B=+可得cos 1sin tan A A A=+，则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10A A +-=，解之得1sin 2A =或sin 1=-A 又π02A <<，则π6A =，则π6B =，则2π3C =（2）A ，B 为ABC 的内角，则1sin 0A +>则由cos 1sin tan A AB =+，可得cos 0tan A B>，则A B 、均为锐角222cos sin 1tan cos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan 222A A A A AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又πππ0,02424A B <<<-<，则π42A B =-，π04B <<则π22A B =-，则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则2sin sin 2sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos 2cos cos cos a B b A b A b B B B b B b B b B B B+-====-令cos t B =π04B ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则212t <<又1()2f t t t =-在2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，2()02f =，(1)1f =可得1021t t <-<，则12cos cos B B-的取值范围为()0,1，则sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围为()0,121．如图所示，在平行四边形ABCD 中，283AB BC ==，π3DAB ∠=，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折为A DE ' ，若F 为线段A C '的中点．在ADE V 翻折过程中，(1)求证：//BF 平面A DE ¢；(2)若二面角60A DE C '--=︒，求A C '与面A ED '所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)31010【分析】（1）取CD 的中点G ，通过证平面//A DE '平面BFG ，可得//BF 面A DE '.（2）利用二面角的平面角的定义先找出二面角A DE C '--的平面角即为A OG ∠'，再利用面面垂直的性质定理找到平面A DE '的垂线，从而作出A C '与面A ED '所成的角，计算可得答案.【详解】（1）证明：取CD 的中点G ，连接FG BG ，，F 为线段A C '的中点，//GF A D ∴'，FG ⊄ 平面A DE '，A D '⊂平面A DE '，//GF ∴平面A DE '，又//DG BE ，DG BE =，∴四边形BEDG 为平行四边形，则//.BG DE BG ⊄平面A DE '，DE ⊂平面A DE '，可得//BG 平面A DE '，又BG GF G = ，BG ，GF ⊂平面BFG ，可得平面//A DE '平面BFG ，BF ⊂平面BFG ，则//BF 面A DE '.（2）取DC 中点G ，DE 中点O ，连接OG ，A O '，A G '，由283AB BC ==，3DAB π∠=，E 为边AB 的中点，得43AE AD ==，所以ADE V 为等边三角形，从而43DE =，60EDC ︒∠=，又43DG =，O 为DE 的中点所以OG DE ⊥，又A DE '是等边三角形，所以A O DE '⊥，所以A OG ∠'为二面角A DE C '--的平面角，所以60A OG ︒∠'=，过点E 作//EM OA '，过A '作//A M OE '交于M ，连接CM ，A DE ' △是等边三角形，所以可求得6A O '=，23OE =，所以6EM =，23A M '=，DE A O ⊥' ，DE OG ⊥，//OG CE ，//EM A O '，所以DE EM ⊥，DE EC ⊥，又EC EM E = ，EC ，EM ⊂面EMC ，所以DE ⊥面EMC ，又//A M DE '，所以A M '⊥面EMC ，A M '⊂ 平面A DE '，所以面A DE '⊥面EMC ，由6ME =，在CBE △中易求得12CE =，又60MEC A OG ︒∠=∠'=，所以MC EM ⊥，63MC =，面A DE ' 面EMC EM =，MC ⊂面EMC ，所以MC ⊥面A DE '，所以MA C ∠'为A C '与平面A DE '所成的角，在Rt A MC ' 中可求得230A C '=，所以63310sin 10230MA C ∠'==，A C ∴'与面A ED '所成角的正弦值为310.1022．已知向量()3cos ,cos a x x ωω=- ，()()sin ,cos 0b x x =< ωωω，若函数()12f x a b =⋅+r r 的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间：(2)若关于x 的方程25π2π5ππ22330123126a f x f x f x f x a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦有实数解，求a 的取值范围.【答案】(1)()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)1a ≥或372a +≤-【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到ω，然后求解函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数()f x 的单调递增区间；（2）化简方程为：()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=，令[]π2sin 21,14t x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，原方程化为()2222330a t t a ---+=，整理22230at t a +--=，等价于22230at t a +--=在[]1,1-有解，利用参变量分离法可知212132t a t -=-在[]1,1-上有解，利用双勾函数的单调性可求得实数a 取值范围.【详解】（1）解：因为()3cos ,cos a x x ωω=- ，()()sin ,cos 0b x x =< ωωω，()21131π3sin cos cos sin 2cos 2sin 222226f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅+=-+=-=- ⎪⎝⎭ωωωωωω，因为0ω<且函数()f x 的最小正周期为π，则2πππ2T ===-ωω，解得1ω=-，所以，()ππsin 2sin 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()ππ3π2π22π262k x k k +≤+≤+∈Z 可得()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z ，所以，函数()f x 的单调递增区间为()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）解：()5π5ππsin 2sin 2πsin 212126f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2π2ππ3πsin 2sin 2cos 23362f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππsin 2sin 2cos 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，方程25π2π5ππ22330123126a f x f x f x f x a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即方程()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=，因为π04x ≤≤，则πππ2444x -≤-≤，设[]πsin 2cos 22sin 21,14t x x x ⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭，()()22sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x ++-= ，()22sin 2cos 22x x t ∴+=-，原方程化为()2222330a t t a ---+=，整理22230at t a +--=，方程等价于在22230at t a +--=在[]1,1-有解，设()2223g t at t a =+--，当0a =时，方程为230t -=得[]31,12t =∉-，故0a ≠；当0a ≠时，()221230a t t -+-=在[]1,1-上有解212132t a t -⇔=-在[]1,1-上有解，问题转化为求函数()2211132t y x t-=-≤≤-上的值域，设32u t =-，则23t u =-，[]1,5u ∈，()232117622u y u u u --⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭，设()7h u u u =+，任取1u 、[]21,5u ∈且12u u <，则()()()1212121212171717766222h u h u u u u u u u u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()()12121212121277122u u u u u u u u u u u u ---⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦，当1217u u ≤<<时，120u u -<，1207u u <<，则()()12h u h u >，当1275u u <<≤时，120u u -<，127u u >，则()()12h u h u <，所以，函数()h u 在)1,7⎡⎣上单调递减，在(7,5⎤⎦上单调递增，所以，y 的取值范围是73,1⎡⎤-⎣⎦，212132t a t -⇔=-在[]1,1-上有实数解173,11a a ⎡⎤⇔∈-⇔≥⎣⎦或372a +≤-.。
江苏省扬州市新华中学2024-2025学年高一上学期第一阶段自主练习(10月)数学试题
江苏省扬州市新华中学2024-2025学年高一上学期第一阶段自主练习（10月）数学试题一、单选题1．已知集合{|5A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为（ ） A ．14 B ．15 C ．30 D ．312．集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,4B =，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,2B ．{}1,0,1,2,4-C ．{}1,0,2,4-D ．{}1,1,4-3．设集合{}|1{22}A x x B xx =>=-<<，∣，则()R A B ⋂=ð（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1]- C ．(,2)-∞ D ．(1,2]4．若命题“2, 1x R x m ∀∈+>”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ． −∞,1B ．(),1∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞ 5．设命题2p :,25n n n ∃∈>+N ，则p ⌝为（ ）A ．2,25n n n ∀∈≤+NB ．2,25n n n ∀∈<+NC ．2N,25n n n ∃∈≤+D ．2,25n n n ∃∈>+N6．一元二次方程2210ax x ++=，（0a ≠）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1a >7．若关于x 的不等式2420x x a ---≥在{}|14x x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}|2a a ≤- B ．{}|2a a ≥- C ．{}|6a a ≥- D ．{}|6a a ≤- 8．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，4a =，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．D ．二、多选题9．若22ac bc >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a b >B ．22a b >C ．33a b >D ．11a b< 10．命题2{|12},0x x x x a ∀∈≤≤-≤“”为真命题的一个充分条件是（ ）A ．4a ≤B ．4a ≥C ．5a ≤D ．5a ≥11．已知,a b 为正实数，且216ab a b ++=，则（ ）A ．ab 的最大值为8B ．2a b +的最小值为8C ．1112+++a bD ．19b a +-三、填空题12．已知集合{}{}24,4,4,A m B m =-=，且A B =，则m 的值为．13．“不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立”，则k 的取值范围为. 14．对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{}1,1,2,3,4,5,6B =-，则B 的“小和数”为，B 的“大和数”为.四、解答题15．设全集R U =，集合6|05x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2|560B x x x =+-≥，求： (1)U A B ⋂ð；(2)()()U U A B ⋃痧.16．设全集R U =，集合{}15A x x =≤≤，集合{}122B x a x a =--≤≤-.(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.17．命题2:,230p x R x mx m ∀∈-->成立；命题2000:,410q x R x mx ∃∈++<成立.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(3)若命题p ，q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围.18．某市近郊有一块400m×400m 正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建一个总面积为30002m 的矩形场地（如图所示）．图中，阴影部分是宽度为2m 的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为2m S ．(1)求S 关于x 的关系式，并写出x 的取值范围；(2)当x 为何值时S 取得最大值，并求最大值．19．已知集合{}2221,,Z M x x a a b a b ==+-=∈. (1)证明：若x M ∈，则1x x +是偶数； (2)设m M ∈，且132m <<，求实数m 的值； (3)若n M ∈是否属于集合M ，并说明理由.。
江苏省扬州市第一中学2018-2019学年高一(上)第二次月考数学试卷(无答案)
江苏省扬州市第一中学2018-2019学年高一（上）第二次月考数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共有6小题，每题4分，共24分）1、已知全集}3,1{},3,2,1,0{==A U ，则集合U A =ð（ ）A 、}0{B 、}2,1{C 、}2,0{D 、}2,1,0{2、函数)2lg(1)(++-=x x x f 的定义域为（ ）A 、)1,2(-B 、]1,2[-C 、),2(+∞-D 、]1,2(-3、已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点)3,1(-P ，则=αcos （ ）A 、23-B 、21-C 、21D 、23 4、已知,为任意两个非零向量，且)(3,82,5-=+-=+=，则（ ）A 、B ，C ，D 三点共线 B 、A ，B ，C 三点共线 C 、A ，B ，D 三点共线 D 、A ，C ，D 三点共线5、为了得到函数)42sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin =的图象（ ） A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π个长度单位 C 、向左平移8π个长度单位 D 、向右平移8π个长度单位 6、已知41)3cos(=-x π，则=++-)6(cos )65sin(2ππx x （ ） A 、1611 B 、165 C 、1613- D 、1619 二、填空题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）7、65sin π的值为 . 8、函数]43,3[,sin 21)(ππ∈+=x x x f 的最大值为 .9、在△ABC 中，已知21cos =A ，则=A sin . 10、已知向量)1,1(),4,2(-==b a ，则=-2 .11、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(，则=)1(f .12、设向量b a ,不平行，向量b a +λ与b a 2+平行，则实数=λ .13、扇形的周长为8cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角（正角）的弧度数是 .14、在△ABC 中，点M ，N 满足NC BN MC AM ==,2. 若AC y AB x MN +=，则=+y x .15、函数x x f sin 2)(=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为 .16、给出下列五个命题: ①函数)32sin(2π-=x y 的一条对称轴是125π=x ； ②函数x y tan =的图象关于点)0,2(π对称；③正弦函数在第一象限为增函数； ④若)42sin()42sin(21ππ-=-x x ，则πk x x =-21，其中Z k ∈； ⑤函数]2,0[,sin 2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为（1，3）.以上五个命题中正确的有 .（填写所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共有6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、（10分）求下列各式的值:（1）)210sin()60cos(︒--︒-；（2）)611sin()310cos()631sin(πππ----.18、（12分）已知集合}821|{≤<=x x A ，集合}1log |{2≥=x x B .（1）求B A ；（2）若全集R U =，求()()U U A B痧.19、（12分）已知54sin =α，且α是第二象限角. （1）求αtan 的值；（2）求)2cos()2sin()sin()2cos(απαπαπαπ-++++-的值.20、（12分）已知51cos sin -=+αα. （1）求)2cos()2sin(απαπ-⋅-的值；（2）若παπ<<2，求)cos(1)sin(1απαπ-+-的值.21、（15分）已知函数)2lg()2lg()(x x x f +--=.（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）用定义判断函数)(x f 的单调性.22、（15分）已知函数)2sin()(ϕω+=x A x f （其中20,0,0πϕω<<>>A ）的周期为π，其图像上的一个最高点为)2,6(πM .（1）求)(x f 的解析式，并求其单调减区间；（2）当]4,0[π∈x 时，求出)(x f 的最值及相应的x 的取值，并求出函数)(x f 的值域.。
江苏省扬州市宝应县氾水高级中学2022-2023学年高一下学期3月第一次月考数学试题
] ，故q
=
p 4
r a ，即
r b 与
45o 的夹角为
.
故选：C.
答案第21 页，共22 页
6．C
【解析】根据向量平行可求得
x
，利用坐标运算求得
ar
+
r b
=
(
-3,
6)
，根据模长定义求得结
果.
【详解】Q
ar
/
r /b
\-4 - 2x = 0
\ x = -2
r
\b = (-2, 4)
\
ar
+
r b
-¥,
1 2
ö ÷ø
4．设点
A，B，C
uuuv 不共线，则“ AB
uuuv 与 AC
的夹角为锐角”是“
uuuv AB
+
uuuv AC
>
uuuv BC
”的
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
r 5．已知向量 a
r 和b
满足
r a
=1，
r b
=
r rr
rr
=
1 3
SV
AB1C1
，
答案第31 页，共22 页
uuur 由 OB1
uuur uuuur = 3OB ， OC1
=
uuur -lOC
，知 SVOAB
=
1 3
SVOAB1
， SVOBC
=
1 3
´
1 -l
SVOB1C1
=
-
1 3l
SVOB1C1
，
SVOAC
江苏省扬州中学2020学年第一学期高一数学月考试卷 苏教版
江苏省扬州中学2020学年第一学期高一数学月考试卷2020-9-22一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 全集U ＝{x |x ≤4，x N }，集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{y |y ＝x －1,x A }，则（ ）A ．A C UB ＝{0，3} B ．A B ＝UC ．C U (A B )＝{4}D ．C U (A B )＝{3，4}2. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a ·b ·c ＜0，则其图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知函数y ＝f (x )(a ≤x ≤b )，则集合{(x ,y )| y ＝f (x ),a ≤x ≤b } {(x ,y )|x ＝2}中含有元素的个数为 （ ）A ．0B ．0或1C ．1D ．1或24. 已知集合A ＝{1,2,3,4}，A B ＝{1,2,3,4,5,7,9,10}，则集合B 可能的个数为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．16 5. 已知f (1－x 1＋x )＝1－x21＋x2，则f (x )的解析式可取为（ ）A ．x1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2C ．2x 1＋x2D ．－x1＋x26. 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若A B ＝A ，则函数m 的取值范围是（ ）A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ＜4D ．m ≤4 7. 若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x －1)＞1的解集是（ ）A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |x ＜－1或x ＞3}C ．{x |x ＞2}D ．{x |x ＞3}8. 关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正实根，则（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－19. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)2 (x ＞0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 解的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．410. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．若f (1)＝2，则f (2020)等于（ ） A ．2020 B ．2C ．1D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 函数y ＝－x 2＋8x －15|x －2|－1的定义域为__________________．12. 已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在x [0,3]上的图形如图所示，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是_____________． 13. 有下列命题：①函数y ＝|x |（x {－2,－1,0,1,2,3}）的值域为{y |y ≥0}； ②函数y ＝x 2（x ≠2,x R ）的值域为{y |y ≥0，且y ≠4}；③函数y ＝x 2－1x －1的值域为R ；④函数y ＝x －1的值域为{y |y ≥0}． 其中正确命题的序号为_______________．14. 集合A ＝{x |x ＝5k ＋1，k N }，集合B ＝{x |x ≤6，x Q }，则A B ＝_____________． 15. 方程x 2－2－1＝a （a R ）最多有____________个解． 16. 定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≥b )b 2(a ＜b )，则函数f (x )＝(1*x )·x －(2*x )在区间[－2,2]的最大值等于 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17. （本题满分12分）已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋a －2＝0}，若B ⊆ A ，C ⊆ A ，求实数a 、b 的值或取值范围．18. （本题满分14分）（1）已知函数f (x )＝px 2＋2q －x是奇函数，且f (2)＝－5．求函数f (x )的解析式；（2）已知函数g (x )＝ax ＋1x ＋2是(－2,＋∞)上的单调递增函数，试利用单调性的定义求实数a 的取值范围．19. （本题满分14分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G (x )（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本＋生产成本），销售收入R (x )（万元）满足： R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x ＋4.2x －0.8 (0≤x ≤5)10.2 (x ＞5)假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律．（1）若利润函数f (x )的解析式；（注：利润＝收入－成本） （2）要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？并求此时每台产品的售价．20. （本题满分14分）已知函数f (x )对任意x ,y R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )―2，当x ＞0时，f (x )＞2．（1）求证：f (x )是增函数；（2）若f (3)＝5，解不等式f (a 2―2a ―2)＜3．21. （本题满分16分）已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，令F (x )＝⎩⎨⎧f (x ) (x ＞0)－f (x ) (x ＜0)（1）若b ≥0，且当f (x )的定义域为[－1,0]时，值域也为[－1,0]．求f (x )表达式； （2）设m ·n ＜0，m ＋n ＞0，且f (x )为偶函数，试比较F (m )＋F (n )的值与0的大小；（3）若函数|f (x )|在区间[―1,1]上的最大值为M ，求证：M ≥12．[参考答案]1～10． CBBDC DBDCB 10．【分析】：令x ＝－2，∴f (－2)＝0，又f (x)是偶函数，即f (2)＝0∴f (x ＋4)＝f (x)，故f (x)的周期为4，∴f (2020)＝f (4×501＋1)＝f (1)＝2． 11．(3,5] 12．(－1,0) (1,3) 13．④ 14．{1,4,6} 15．8 16．6⎩⎨⎧≤<-≤≤--=21,212,2)(3x x x x x f ．17．解：A ＝{1,2}，∵B ⊆A ，∴x2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]＝0． ∴a －1＝1或a －1＝2∴a ＝2或a ＝3①当a ＝2时，C ＝{x|x2－bx ＝0}，C ⊆ A ，不可能； ②当a ＝3时，C ＝{x|x2－bx ＋1＝0}∵C ⊆ A ∴C ＝∅∴△＝b2－4＜0∴－2＜b ＜2 或C ≠∅，由韦达定理得：C ＝{1}∴b ＝2 综上：a ＝2或a ＝3，－2＜b ≤2． 18．解：（1）f (x)＝－2x2＋2x ；（2） (12,＋∞)19．解：（1）依题意，G(x)＝x ＋2．设利润函数为f (x)，则f (x)＝⎩⎨⎧－0.4x ＋3.2x －2.8 (0≤x ≤5)8.2－x (x>5)（2）要使工厂有赢利，即解不等式f (x)＞0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x －2.8＞0，即x2－8x ＋7＜0，∴1＜x ＜7．∴1＜x ≤5；当x ＞5时，解不等式8.2－x ＞0，得x ＜8.2，∴5＜x ＜8.2．综上，1＜x ＜8.2，即产品应控制在大于100台且小于820台的范围．（3）0≤x ≤5时，f (x)＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f (x)有最大值3.6， 而当x ＞5时，f (x)＜8.2－5＝3.2．此时售价为R(x)4＝2.4（万元/百台）＝240元/台．所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多 20．解：（1）略（2）由f (0)＝2，f (3)＝5∴f (x)＝3的解可能为x ＝1或2． ∵⎩⎨⎧f (3)＝f (1)＋f (2)―2＝5f (2)＝f (1)＋f (1)―2∴f (1)＝3，f (2)＝4 （3）∴f (a2―2a ―2)＜3＝f (1)∵f (x)是增函数∴a2―2a ―2＜1∴－1＜a ＜3 21．解：（1）讨论f (x)在[－1,0]上的最值，（过程略）得：f (x)＝x2＋2x（2）∵f (x)为偶函数，∴b ＝0，∴f (x)在[0，＋∞)为增函数． 可证F(x)是奇函数，且F(x)在[0，＋∞)上为增函数由mn ＜0，不妨设m ＞0，n ＜0且m ＞－n ＞0 F(m)＋F(n)＞0（3）依题意，M ≥|f (－1)|， M ≥|f (0)|， M ≥|f (1)| 又|f (－1)|＝|1－b ＋c|；|f (1)|＝|1＋b ＋c ；|f (0)|＝|c|∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－b ＋c|＋2|c|＋|1＋b ＋c|≥|(1－b ＋c)－2c ＋(1＋b ＋c)|＝2∴M ≥12。
江苏省扬州市新华中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
江苏省扬州市新华中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．64m B．74m C．52m D．91m四、解答题15．已知向量()()()1,2,2,1,3,OA OB OC m =-==uuu r uuu r uuu r .(1)若向量//OA OC uuu r uuu r ，求向量AB uuu r 与向量OC uuu r 的夹角的大小；(2)若向量OB OC ^u u u r u u u r ，求向量AB uuu r 在向量OC uuu r 上投影向量的坐标.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，1CC 的中点．(1)证明：直线DE ∥平面11AB C ；(2)若AB BC ^，12AB BC BB ===，求1A BDE -的体积．17．在ABC V 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A a c -=--.(1)求B；故答案为：1:314．5π【分析】根据题意求得而利用侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球的性因为D为AB的中点，所以DF ∥1BB ，且又直三棱柱111ABC A B C -，E为1CC 的中点，所以所以DF ∥1EC ，且1DF EC =，所以四边形又DE Ë平面111,AB C FC Ì平面11AB C ，所以直线又由//BC AE 且BC AE =，所以四边形BCEA 为平行四边形，则//AB EC ，所以BD AB ^， 又,PA AB A Ç= ,PA AB Ì平面PAB ，所以BD ^平面PAB ，由BD Ì平面PBD ，所以平面PBD ^平面PAB ；（2）由PA ^平面ABCD ，CD Ì平面ABCD ，所以PA CD ^，又CD AD ^，,PA AD A =I ,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又PD Ì平面PAD ，所以CD PD ^，故PDA Ð为二面角P CD A --的平面角，即45PDA °Ð=， 在Rt PAD △中，2PA AD ==，作AM PB ^，垂足为M ，由（1）知，平面PBD ^平面PAB ，平面PBD I 平面PAB PB =，AM Ì平面PAB ，所以AM ^平面PBD ，则PM 为直线AP 在平面PBD 上的投影，所以APM Ð为直线AP 与平面PBD 所成的角，又因为函数()()10lg u x y h x =+的最大值为10，所以()()1,1u x h x ==同时取得最大值1，所以*022π,N k k j =Î，所以*0π,N k k j =Î，所以满足条件的0j 的最小值为π．【点睛】关键点点睛：根据()()1,1u x h x ££，可得()()10lg 10u x y h x =+£，当且仅当()()1,1u x h x ==时取等号，是解决第三问的关键.答案第161页，共22页。
江苏省扬州市第一中学高一数学文月考试题含解析
江苏省扬州市第一中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，府视图均为全等的等腰直角三角形；如直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的体积为（）A. B. C. D.1参考答案：A略2. 下列各组函数为相等函数的是（）A．f（x）=x，g（x）= 2 B．f（x）=1与g（x）=（x﹣1）0C．f（x）=，g（x）=D．f（x）=，g（x）=x﹣3参考答案：C【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】运用定义域和对应法则完全相同的函数，才是相等函数，对选项一一判断，即可得到所求答案．【解答】解：A，f（x）=x，g（x）==x（x≥0），定义域不同，故不为相等函数；B，f（x）=1（x∈R），g（x）=（x﹣1）0=1（x≠1），定义域不同，故不为相等函数；C，f（x）===1（x＞0），g（x）===1（x＞0），定义域和对应法则相同，故为相等函数；D，f（x）==x﹣3（x≠﹣3），g（x）=x﹣3（x∈R），定义域不同，故不为相等函数．故选：C．3. 函数的的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：C4. 若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 把的图象按向量平移得到的图象，则可以是（）A． B． C． D．参考答案：D6. 函数的值域是，则此函数的定义域为（）A、B、C、 D、参考答案：D7. 设a，b为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A．若则 B．若则C．若则 D．若则参考答案：C8. 已知，则=( )A. B. C. D.参考答案：B9. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则△ABC的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角参考答案：C【分析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．则：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sin B sin C＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC为等边三角形．故选：C．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10. 若，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知△ABC的一个内角为120°，且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC最大边长为_____。
2022-2023学年江苏省扬州市高一下册3月月考数学模拟试题(含解析)
2022-2023学年江苏省扬州市高一下册3月月考数学模拟试题（含解析）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2sin cos 3αα+=，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.13B.23C.12D.2【正确答案】A【分析】直接根据两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为2sin cos 3αα+=，所以()π1sin sin cos sin cos 4222233ααααα⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.2.下列不能化简为PQ的是（）A.QC QP CQ-+ B.()AB PA BQ ++C.()()AB PC BA QC++- D.PA AB BQ+- 【正确答案】D【分析】根据向量的加减法以及运算性质，可得答案.【详解】对于A ，QC QP CQ PC CQ PQ -+=+=，故A 不符合题意；对于B ，()AB PA BQ AB PA BQ PB BQ PQ ++=++=+=，故B 不符合题意；对于C ，()()AB PC BA QC AB PC BA CQ PQ ++-=+++=，故C 不符合题意；对于D ，PA AB BQ PB BQ +-=-，故D 符合题意.故选：D.3.若向量i ，j为互相垂直的单位向量，2a j i =- ，m b j i =+ ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.(－∞，－2)∪12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.222,,33⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由a 与b 夹角为锐角，可得0a b ⋅ ＞且b a，不共线，再代入向量解不等式即可得到答案．【详解】由题意可得：∵a 与b夹角为锐角，∴⋅= a b （2i j - ）()m i j ⋅+= 1-2m ＞0，且b a ，不共线∴12m ＜当a b时，可得m ＝﹣2所以实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，12）．故选B ．本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当a 与b的夹角为锐角可得，0a b ⋅ ＞且b a，不共线，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况.4.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“AB AC BC +> ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC|>|BC|⇔|AB +AC |>|AB -AC|⇔|AB +AC |2>|AB -AC|2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC|>|BC |”的充分必要条件,故选C.本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.5.已知向量a 和b 满足1a =，b = ()a a b ⊥- ，则a 与b的夹角为（）A.135B.75C.45D.30【正确答案】C【分析】先利用()a a b ⊥- ，可得()0⋅-= a a b ，求得a b ⋅，再代入向量夹角公式即得结果．【详解】1a =，b = ()a a b ⊥- ，则()0⋅-= a a b ，即21a b a ⋅== ，设a 与b 的夹角为θ，则2cos 2a b a b θ⋅===⋅ ，而[]0,θπ∈，故4πθ=，即a 与b 的夹角为45 .故选：C.6.已知向量()1,2a =- ，(),4b x = 且//a b ，则+=a b A.5B.C.D.【正确答案】C【分析】根据向量平行可求得x ，利用坐标运算求得()3,6a b +=-，根据模长定义求得结果.【详解】//a b420x ∴--=2x ∴=-()2,4b ∴=-()3,6a b ∴+=-a b ∴+=本题正确选项：C本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.7.cos350sin 70sin170sin 20-= （）A.2B.2C.12D.12-【正确答案】B【分析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=- ，再利用和差公式计算得到答案.【详解】3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos302-=-==．故选：B本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.8.已知点O 为ABC 内一点，满足3OA OB OC λ+=，若13AOB ABC S S =△△，则λ=（）.A.2-B.12-C.12D.2【正确答案】A【分析】利用数乘的定义作图，作13OB OB = ，1OC OC λ=-，构造出O 是11AB C △的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．【详解】∵点O 为ABC 内一点，满足3OA OB OC λ+=，∴0λ<，如图，作13OB OB = ，1OC OC λ=- ，则110OA OB OC ++=，∴O 是11AB C △的重心，∴11111113OAB OB C OAC AB C SSSS ===，由13OB OB = ，1OC OC λ=- ，知113OABOAB SS =，111111133OBCOB C OB C SS S λλ=⨯=--，11OACOAC SS λ=-，∴111:::():()33OAB OBC OCASS Sλλ=--，∴113111333OABABCS Sλλ==--，解得2λ=-．故选：A．本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以O 为重心的11AB C △，然后利用面积比得出结论．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知,a b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（）A.a 与b 相等B.如果a 与b 同向，那么a 与b 相等C.2a b +=D.||||a b = 【正确答案】BD【分析】根据单位向量的概念和向量的模、向量的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，向量,a b为两个单位向量，但方向不一定相同，所以A 错误；对于B 中，因为向量,a b 为两个单位向量，即a b =r r ，若a 与b 同向，则向量a 与b相等，所以B 正确；对于C 中，向量,a b 为两个单位向量，根据向量的加法，可得a b +为向量，所以C 错误；对于D 中，向量,a b为两个单位向量，即a b =r r ，所以D 正确.故选：BD.10.下面各式化简正确的是（）．A.cos80cos 20sin 80sin 20cos 60︒︒+︒︒=︒B.cos 45cos30sin 45sin 30cos15︒︒-︒︒=︒C.()()sin 45sin cos 45cos cos 45αααα+︒++︒=︒D.π1cos cos sin 622ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】根据两角和与差的正、余弦公式一一判断求解.【详解】cos80cos 20sin80sin 20cos(8020)cos60+=-= ，A 正确；()cos 45cos30sin 45sin 30cos 4530cos 75cos15-=+=≠ ，B 错误；()()()()sin 45sin cos 45cos cos 45cos sin 45sin αααααααα+++=+++ ()c cos 455o 4s αα=⎡⎤-=⎣⎦+，C 正确；πππ1cos cos cos sin sin cos sin 66622ααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭，D 错误；故选:AC.11.图（1）是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的，如图（2）所示，其中()111,2,3,4,5,6,7i i A A i +==，1245A OA ∠=，则（）A.561OA OA -=B.12232A A A A ⋅=-C.3OA 与4OA的夹角为30D.1n n OA OA +⋅=【正确答案】AC【分析】根据向量的减法运算可判断A ；利用数量积的定义计算可判断B ；求出3OA 、4OA和34A A 即可求34A OA ∠可判断C ；计算()11n n n n n n OA OA OA OA A A ++⋅=+可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：56651OA OA A A -==，故选项A 正确；对于B ：1245A OA ∠= ，21OA A 是直角三角形，所以2145OA A ∠=，所以()1223122322cos 180********A A A A A A A A ⋅=⋅--=⨯⨯=，故选项B 不正确；对于C ：2OA == 3OA == ，42OA == ，在34OA A △中，3OA = 42OA = ，341A A = ，所以3430A OA ∠=，即3OA 与4OA 的夹角为30 ，故选项C 正确；对于D ：由勾股定理以及选项C 可知：11OA = ，2OA = ，3OA =，42OA ==L可得：n OA =()221110n n n n n n n n n n OA OA OA OA A A OA OA A A n +++⋅=+=+⋅=+= ，故选项D 不正确；故选：AC.12.对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A.212AO AB AB⋅= B.OA OB OA OC OB OC⋅=⋅=⋅uu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu rC.过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ= ，AF AC μ= ，则113λμ+=D.AH 与cos cos AB AC AB B AC C+ 共线【正确答案】ACD【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC ⋅=⋅即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos AB AC AB B AC C+与BC垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM∴∠=()21·cos cos ·22AB AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确；··OA OB OA OC = 等价于()·0OA OB OC -= 等价于·0OA CB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确；cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B AC Cπ⋅-⋅=+0BC BC =-+=,∴cos cos AB AC AB B AC C + 与BC垂直,又AH BC ⊥ ,∴cos cos AB AC AB B AC C+ 与AH 共线，故D 正确.故选：ACD.本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（第16题2+3）.13.已知4sin 5A =，且3,22A ππ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭，则sin 3A π⎫⎛+= ⎪⎝⎭___________.【正确答案】43310-【分析】由已知条件求出cos A ，利用两角和的正弦公式，即可求解.【详解】因为4sin 5A =，且3,22A ππ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5A ==-，因此sin sin cos cos sin 333A A A πππ⎫⎛+=+ ⎪⎝⎭4133433525210-=⨯-⨯=.故答案为.14.已知1cos 3α=，3cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.【正确答案】9【分析】根据题意，可知02παβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为02πβα<<<，所以02παβ<-<，因为1cos 3α=，所以sin 3α==，又cos()3αβ-=，所以sin()3αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦132265333339=⨯+⨯=.故答案为.915.在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=︒，2CE EB = ，则AE BD ⋅=uu u r uu u r___________.【正确答案】3-【分析】利用向量加减法的几何意义可得13AE AB AD =+ 、BD AD AB =-，再应用向量数量积的运算律及已知条件求AE BD ⋅即可.【详解】由题意，()221129333333AE BD AB AD AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=-++⋅=-++=- ⎪⎝⎭.故3-16.如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，,E F 分别是边,AB BC 上的点，且AE EB =，2BF FC =，连接,ED AF ，交点为G ．设AG t AF =，则（1）t =_____；（2）cos EGF ∠=________．【正确答案】①.38②.19-【分析】（1）223AG t AF t E t A AD ==+ ，由,,D G E 三点共线得DG DE λ=，(1)AG AE AD λλ=+-，结合平面向量基本定理可求得t ；（2）取,AB AD 作为平面的一组基底，用基底表示出向量,DE AF uuu r uu u r ，求出DE AF ⋅ ，DE，AF，由向量夹角公式即可求得答案.【详解】()23322AG t AF t AB t AB AD t A t E A t BF D ==+=+=+，又,,D G E 三点共线，则DG DE λ=，()(1)AG AD AD DE AD AE AD AE D AD G λλλλ=+=+=+-=+- ，因为,AD AE不共线，由平面向量基本定理，得2t λ=且213t λ=-，解得38t =．（2）取,AB AD作为平面的一组基底，则12DE AE AD AB AD =-=- ，23B AF AB AB AD F =+=+，不妨设2AB =，则22cos 602AB AD ︒⋅=⨯⨯=，221222323132DE AF AB AD AB AD AB AB AD AD⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222122233=⨯-⨯-⨯=-，DE ====，3192AF ====，cos cos ,19||||57DE AF EGF DE AF DE AF ⋅∠====-．故38，19-．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.平面内给定两个向量(3,2)a = ，(1,2)b =-（1）设a 与b的夹角为θ，求cos θ；（2）求|2|a b -.【正确答案】（1）65；（2【分析】（1）根据已知条件分别求出a 与b的数量积及模长，利用向量的夹角公式直接代入求解即可；（2）根据向量的坐标运算以及模长公式求解即可.【小问1详解】因为(3,2)a = ，(1,2)b =-，所以()31221a b ⋅=⨯-+⨯=，a ==，b == ，所以cos 65a b a bθ⋅=== ；【小问2详解】因为(3,2)a = ，(1,2)b =-，所以()()()223,21,27,2a b -=--=，所以|2|a b -==.18.已知1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭.（1）求πcos 3α⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）若()πsin ,0,142αββ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，求β的值.【正确答案】（1）1114-（2）π3【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得sin 7α=-，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得()13cos ,14αβ+=再进行角的转化即()βαβα=+-，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出π3β=.【小问1详解】由22sin cos 1αα+=，1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭可得sin 7α=-；所以πππ1134311cos cos cos sin sin 333272714ααα⎛⎫⎛⎫-=+=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；即π11cos 314α⎛⎫-=-⎪⎝⎭【小问2详解】由ππ,0,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得ππ,22αβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又()()22sincos 1αβαβ+++=，()sin ,14αβ+=-所以()13cos ,14αβ+=()()()13133431cos cos cos cos sin sin 1471472βαβααβααβα⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=+++=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得π3β=.即β的值为π319.已知向量(1,3)a =- ，(1,2)b =．（1）求a b ⋅；（2）求2a b - 及a 在b上的投影向量的坐标；（3）()a mb a -⊥，求m 的值．【正确答案】（1）5（2）25a b -= ，a 在b上的投影向量的坐标为()1,2（3）2m =【分析】（1）根据数量积的坐标运算即可；（2）根据向量坐标的线性运算求解2a b -的坐标，即可得2a b - ；按照投影向量的定义列式求解即可；（3）由向量垂直得数量积为零，进行计算即可得m 的值．【小问1详解】已知向量(1,3)a =- ，(1,2)b = ，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=；【小问2详解】()()()221,31,23,45a b -=--=-=，又a 在b 上的投影向量的坐标为()()225cos ,1,21,2b a b a a b b b b⋅⋅=⋅=⋅= 【小问3详解】因为()a mb a -⊥ ，所以()222()1350a mb a a ma b m -⋅=-⋅=-+-= ，解得2m =.20.在平面直角坐标系xOy 中，锐角,αβ的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆O 交于A ，B 两点，且5cos()13αβ+=.（1）求sin()αβ+的值；（2）若点A 的纵坐标为45，求点B 的纵坐标.【正确答案】（1）1213；（2）1665.【分析】（1）根据给定条件，确定αβ+的范围，再利用平方关系求解作答.（2）利用三角函数的定义，结合差角的正弦公式求解作答.【小问1详解】因为,αβ都是锐角，则0παβ<+<，而5cos()13αβ+=，所以12sin()13αβ+===.【小问2详解】因为角α终边与单位圆交点纵坐标为45，则4sin 5α=，又因为角α为锐角，因此3cos 5α===，所以12354sin sin[()]sin()cos cos()sin 135135βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯1665=，所以B 点的纵坐标为1665.21.如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD = .（1）求AD BC ⋅的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=，求实数t 的值.【正确答案】（1）83-（2）1514t =【分析】（1）将,AD BC 都转化为用,AB AC为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅= 转化为2AB CD t CD⋅=，同（1）的方法，将CD 转化为用,AB AC为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值.【详解】（1）D 是边BC 上一点，2DC BD= ()1133BD BC AC AB∴==- ()121333AD AB AC AB AB AC=+-=+()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22121333AC AB AB AC=-+⋅18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=- （2）()0AB tCD CD -⋅= ，2AB CDt CD⋅∴=()2233CD CB AB AC ==- ，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒= 2222839CD CB ⎛⎫==⎪⎝∴⎭2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭ 22233AB AC AB =-⋅ 821012cos120333=-⨯⨯⨯︒=1514t ∴=本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.在直角梯形ABCD 中，已知ABDC ，ADAB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且BE BC λ=，()1DF DC λ=-，R λ∈．（1）当0AE BC ⋅=时，求λ的值；（2）当23λ=时，求DMMB的值；（3）求12AF AE +的取值范围．【正确答案】（1）34；（2）56；（3）102⎡⎢⎣⎦﹒【分析】(1)在直角梯形ABCD 中，根据几何关系求出∠ABC 和BC 长度，当AE ⊥BC 时，求出BE 长度，从而可得BEBC λ=；(2)设AM xAE = ，DM yDB = ，以,AB AD 为基底用两种形式表示出AM，从而可得关于x 、y 的方程组，解方程组可得1DM yMB y=-；(3)以,AB AD 为基底表示出A E、AF ，从而表示出12AF AE + ，求出212AF AE + 的范围即可求出12AF AE +的范围．【小问1详解】在直角梯形ABCD 中，易得4ABC π∠=，BC =∵0AE BC ⋅=，∴AE BC ⊥，∴ABE 为等腰直角三角形，∴322BE =，故34BE BC λ==；【小问2详解】()3AE AB BE AB BC AB BA AD DC AB AB AD ABλλλλλ=+=+=+++=-++ 213AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当23λ=时，5293AE AB AD =+ ，设AM xAE = ，DM yDB =，则5293AM xAE xAB xAD ==+ ，())(1AM AD DM AD yDB AD y D B y AB y A A A D =+=+=++-+= ，∵,AB AD 不共线，∴59213x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得516y y =-，即56DM MB =；【小问3详解】∵1(1)3AF AD DF AD DC AD AB λλ-=+=+-=+ ，213AE AD AB λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴15212263AF AE AD AB λλ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222222152|521||4192263263|AF AE AD AB λλλλ⋅⎛+=++-⋅=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝222541(2)25624λλλλ⎛⎫++-=-+ ⎪⎝⎭，由题意知，[]0,1λ∈，∴当35λ=时，AE AF +13510，当0λ=时，AE AF + 取到最大值412，∴12AF AE+的取值范围是13541,102⎡⎢⎣⎦．。
江苏省扬州中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题
江苏省扬州中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞D ．(),1-∞2．已知向量(1,2)=-a ，(,4)b m =，且//a b ，那么a b -等于（ ） A ．(4，0)B ．(0，4)C ．(3，－6)D ．(－3，6)3．已知π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A BCD 4．已知a ，b 满足：3a =，2b =，4a b +=，则a b -=（ ）AB C D 5．若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD AB AD ==⊥，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则()PA PC PB +⋅的最小值是（ ）A ．58-B ．12-C ．38-D ．14-7．若ABC 的外接圆半径为2，且2AB =，则AB AC ⋅的取值范围是（ ） A ．[]2,6-B ．[]2,6C ．[]22-,D ．[]2,48．已知函数()221,0143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，若方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有4个实根，则实数a的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．5,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．()51,0,24⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭D ．()51,0,24⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭二、多选题 9．（多选）下列结论中错误的是（ ） A ．两个向量的和仍是一个向量B ．向量a 与b 的和是以a 的始点为始点，以b 的终点为终点的向量C ．0a a +=D ．向量a 与b 都是单位向量，则||2a b +=10．如果定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”.下列函数为“H函数”的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()33f x x x =-D ．()f x x x =11．已知函数f(x )＝cos(ωx －6π)＋sin ωx (0<ω<10)，且f (x )过点(6π则下列说法正确的是（ ） A ．f (x )关于直线x ＝12π对称 B ．f (x)在(π，32π)上单调递减 C ．f (x )的最小正周期为π D ．为了得到g (x )x 的图象，只需把y ＝f (x )的图象向右平移12π个单位长度12．一般的，,a b 的夹角可记为,a b ，已知同一个平面上的单位向量,,a b c 满足,,,a b b c c a π++=，则a b c +-的取值可以是（ ）.A1 B ．1C ．2D 1三、填空题 13．已知12,e e 是夹角为23π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+.若0a b ⋅=，则实数k 的值为________．14．已知函数()()2ln 23f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为______.15．设经过△AOB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于P ，Q 两点.若OP mOA =，OQ nOB =，m ，n +∈R ，则3m n +的最小值________________.16．在角1θ、2θ、3θ、…、30θ的终边上分别有一点1P 、2P 、3P 、…、30P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k ︒-︒︒+︒，130k ≤≤，k ∈N ，则12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______．四、解答题 17．（1）已知角α的终边经过点()3,4P -，求sin cos 11tan ααα--+的值；（2）已知sin αβ==，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos(αβ+)的值. 18．已知向量()sin cos a θθ=,与()3,1b =，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)若a b ∥，求sin θ和cos θ的值； (2)若()f a b θ=⋅，求()f θ的值域.19．如图所示，ABC 中，AB a =，AC b =，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且4DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b 表示AE ；(2)用向量a ，b 表示AF ，并求出:AE EF 和:BF FC 的值.20．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点(，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值.21．智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t 0与前方反应时间t 1,系统反应时间t 2、制动时间3t ，相应的距离分别为d 0，d 1，d 2，d 3如图所示.当车速v （米/秒），且0≤v ≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k ≤0.9)(1)请写出报警距离d （（米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式,并求当k =2时，若汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车在k =1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?22．对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}|A x f x x ==，(){}|B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦，那么，（1）求函数()38g x x =-的“稳定点”； （2）求证：A B ⊆；（3）若()()21,f x ax a x R =-∈，且A B φ=≠，求实数a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，列出参数a 的不等关系式，即可求得参数的取值范围. 【详解】△集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，△1a ≤. 故选：C ． 2．C 【解析】 【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】解析 △//a b ，△λa b 则1,24,m λλ=⎧⎨-=⎩得1,22,m λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ △(2,4)b =-，△a b -＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6). 故选：C 3．D 【解析】 【分析】利用平方关系π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得πcos 6⎛⎫- ⎪⎝⎭α，再根据cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦结合两角和的余弦公式即可得解. 【详解】解：因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π,663ππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以11cos cos 6632ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：D. 4．D 【解析】 【分析】先对4a b +=两边平方化简求出2a b ⋅的值，从而可求出222a b a a b b -=-⋅+的值 【详解】解：因为3a =，2b =，4a b +=，，所以222216a b a a b b +=+⋅+=，92416a b +⋅+=，得23a b ⋅= ，所以22293a b a a b b -=-⋅+=-= 故选：D 5．D 【解析】 【分析】由题设可得01a <<且函数y 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，结合对数复合函数的单调性，应用排除法确定函数图象. 【详解】由题设，01a <<且||10x ->，即函数y 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，排除A 、B ； 当(,1)x ∈-∞-时，||11t x x =-=--单调递减，当(1,)x ∈+∞时，||11t x x =-=-单调递增，而log a y t =在定义域上递减，所以(,1)x ∈-∞-时y 递增；(1,)x ∈+∞时y 递减；排除C. 故选：D 6．A 【解析】 【分析】建立如图所示坐标系设(,)P x y ，根据数量积坐标公式即可求解最值． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(1,0),(1,2)A B C ，所以(1,)PB x y =--，(,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=--，故()(12)(1)PA PC PB x x +⋅=--+22315(22)()22428y y x y ⎛⎫⎛⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以31,42x y ==时，()PA PC PB +⋅取得最小值58-．故选：A ．7．A 【解析】 【分析】设ABC 的外接圆圆心为O ，由题设可知AOB 为正三角形，则,120AB BO =，()24cos ,AB AC AB AB BO OC AB AB AB BO AB OC AB OC ⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=+，由0,AB OC π≤≤，知1cos ,1AB OC -≤≤，计算可求解.【详解】如图设ABC 的外接圆圆心为O ，ABC 的边2AB =，ABC 的外接圆半径为2， AOB ∴为正三角形，且,120AB BO =，则()AB AC AB AB BO OC AB AB AB BO AB OC ⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅2222cos ,22cos ,AB BO AB OC =+⨯+⨯1444cos ,2AB OC ⎛⎫=+⨯-+ ⎪⎝⎭24cos ,AB OC =+0,AB OC π≤≤，1cos ,1AB OC ∴-≤≤，26AB AC ∴-≤⋅≤故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题的关键是将未知的AC 通过向量的加法及数量积运算转化为已知的向量，本题将AB AC ⋅的最小值转化为AB OC ⋅的最小值，结合数量积及余弦函数即可求解，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力. 8．D 【解析】利用基本不等式计算得出(][)11,31,x x+-∈-∞-+∞，由题意可知，关于t 的方程()f t a=有两个不等的实根1t 、2t ，且1t 、[]23,1t ∉-，然后作出函数()y f t =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围. 【详解】()2132132111x x x x x -++==+---，()221,0143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩， 设11t x x=+-. 当0x >时，由基本不等式可得1111t x x =+-≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 当0x <时，由基本不等式可得()111113t x x x x ⎡⎤=+-=--+-≤-=-⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1x =-时，等号成立. 所以，(][)11,31,t x x=+-∈-∞-+∞. 当3t时，()()21321213221111t t t f t t t t t -+++====+<----. 作出函数11t x x=+-的图象如下图所示：由于方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有4个实根，则关于t 的方程()f t a =有两个实根1t 、2t ，设12t t ≤.若13t =-，则54a =，此时关于t 的方程()f t a =的另一实根23t >， 直线1=t t 与函数11t x x=+-的图象只有一个交点， 直线2=t t 与函数11t x x=+-的 图象有两个交点， 此时，关于x 的方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有3个实根，不合乎题意；若11t =，则0a =，则关于t 的方程()f t a =的另一实根23t =， 直线1=t t 与函数11t x x=+-的图象有且只有一个交点， 直线2=t t 与函数11t x x=+-的 图象有两个交点， 此时，关于x 的方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有3个实根，不合乎题意；所以，关于t 的方程()f t a =有两个不等的实根1t 、2t ，且1t 、[]23,1t ∉-，由图象可知，10a -<<或524a <<. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数与外层函数； （2）确定外层函数的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）然后确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数的交点个数()1,2,3,,i a i n =，最后得到原函数的零点个数为123n a a a a ++++.9．BD 【解析】 【分析】根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可. 【详解】两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A 正确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当,a b 首尾相连时才成立，故B 错误； 任何向量与0相加都得其本身，故C 正确；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D 错误； 故选：BD 10．BD【分析】对新定义进行变形得出函数为增函数，然后根据新定义检验各选项可得． 【详解】根据题意，对于任意的不相等实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数.对于A ，f (x )＝sin x 为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B ，f (－x )＝3－x －3x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由指数函数性质可得f (x )在R 上单调递增，符合题意；对于C ，f (x )＝x 3－3x 为奇函数，(()00f f f ===，()f x 在R 上不是增函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝x |x |＝22,0,,0,x x x x ⎧≥⎨-<⎩为奇函数且在R 上为增函数，符合题意，故选：BD. 11．CD 【解析】 【分析】先化简函数解析式，代入点的坐标求得参数2ω=，写出解析式，根据三角函数解析式判断函数的对称轴，单调区间，最小正周期及图像平移后的解析式问题. 【详解】由题知，13()sin sin sin 22f x x x x x x ωωωωω=++=+)6x πω+，010ω<<，则()sin()666f πππω=+=解得2ω=，即())6f x x π=+对于A ，3())12662f πππ+=，即直线112x π=不是函数的对称轴，故A 错误；对于B ，3(,)2x ππ∈时，13192(,)666x πππ+∈，由正弦函数单调性知，函数没有单调性，故对于C ，函数最小正周期为π，故C 正确；对于D ，函数()f x 图像向右平移12π个单位得到，)]2126y x x ππ=-+=，故D 正确； 故选：CD 12．ABC 【解析】 【分析】结合题意，讨论满足,,,a b b c c a π++=的情况，分别研究a b c +-即可 【详解】由题意可知，当a b ⊥且c 在,a b 之间时，满足,,,a b b c c a π++=， 如图所示，不妨令,,OA a OB b CO c ===，则易知a b OD +=，a b c OD OC CD +-=-=，结合图象可知当C 点在OD 上时，min 1CD ， 当点C 与点A 或点B 重合时，max 1CD =，11a b c ≤+-≤；当a c ⊥且b 在,a c 之间时，满足,,,a b b c c a π++=， 如图所示，不妨令,,OA a OB b CO c ===，过点O 作//OD AC ，且OD AC =，连接DC ，则易知ODCA 为平行四边形，又易知a c OA OC CA DO -=-==，则a b c a c b DO OB DB +-=-+=+=， 结合图象可知当B 点与C 点时，min 1BD =，当B 点与A 点重合时，max BD =， 此时15a b c ≤+-≤；当b c ⊥且a 在,b c 之间时，满足,,,a b b c c a π++=， 同理当a c ⊥且b 在,a c 之间时，有15a b c ≤+-≤；15a b c ≤+-≤ 故选：ABC 13．54【解析】 【分析】由122a e e =-，12b ke e =+带入0a b ⋅=，整理即可得解. 【详解】由0a b ⋅=得1212(2)()0e e ke e -⋅+= ， 整理，得k －2＋(1－2k )2cos 3π＝0， 可得5202k -=， 所以54k =， 故答案为：54.14．(]1,1-##（-1，1） 【解析】【分析】先求定义域为()1,3-，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得. 【详解】因为2230x x -++>，解得：13x ，所以()()2ln 23f x x x =-++的定义域为()1,3-.令()222314t x x x =-++=--+，则ln y t =. 要求()f x 的单调增区间，只需1x ≤.所以11x -<≤，所以()f x 的单调增区间为(]1,1-. 故答案为：(]1,1-. 15【解析】应用向量减法在几何中的应用有PG OG OP =-，PQ OQ OP =-，结合三点共线知PQ PG λ=，即可得113m n+=，结合基本不等式求3m n +的最小值即可 【详解】设OA a =，OB b =，又G 为△AOB 的重心△在△AOB 中，211()()323OG OA OB a b =⨯+=+△OP mOA =，OQ nOB =，有OP ma =，OQ nb =△11()33PG OG OP m a b =-=-+，PQ OQ OP nb ma =-=-又P ，Q ，G 三点共线，知存在实数λ，使得PQ PG λ= 1313m m nλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得113m n +=，m ，n +∈R△1111313(3)()(4)(4333n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当3m n n m =时等号成立【点睛】本题考查了向量线性运算及共线定理的应用，利用基本不等式求最值；首先根据向量减法的三角形法则将相关线段以向量的形式表示它们之间的关系，再由三点共线定理得到方程组并得到相关参数的数量关系，最后结合基本不等式求最值16【解析】利用诱导公式将点k P 的坐标变为()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒-，然后根据三角函数定义可得()cos sin 15k k θ=︒-，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.【详解】k P ()()()15,75sin k sin k ︒-︒︒+︒，即()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒︒-︒ 由三角函数定义知()cos sin 15k k θ=︒-︒12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=()()sin14sin13sin 14sin 15︒+︒++-︒+-︒sin14sin13sin14sin15=︒+︒+-︒-︒sin15=-︒ ()sin 4530=-︒-︒cos45sin30sin 45cos30=︒︒-︒︒=【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.17．（1）65-；（2）2-【解析】 【分析】(1)根据三角函数的定义可得sin cos αα、tan α、，代入直接计算即可； (2)根据同角三角函数的基本关系求出cos sin αβ、，利用两角和的余弦公式计算即可. 【详解】(1)因为角α的终边经过点(3,4)P -，||5OP γ==， 所以43sin cos 55αα==-，，4tan 3α=-， 所以43()1sin cos 165541tan 51()3ααα-----==-++-； （2）因(0,)2βπα∈、，且sin cos αβ==则cos sin αβ==，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-== 18．(1)sin θ=1cos 2θ=.(2)(]1,2 【解析】 【分析】(1)由已知可得tan θ，再用同角三角函数的关系即可.(2)根据向量数量积法则可得()f θ，再由正弦型三角函数性质得解. (1)因为a b ∥，所以sin 10θθ⋅=，则tan θ=又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3θ=，所以sin θ=1cos 2θ=.(2)()π3sin cos 2sin 6f a b θθθθ⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭.因为π02θ<<，则ππ2π663θ<+<， 所以1πsin 126θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，则π12sin 26θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f θ的值域为(]1,2. 19．(1)1384AE a b =+(2)1677AF a b =+，7，6 【解析】【分析】（1）由已知得()4AC AD AC AE -=-，3144AE AC AD =+，D 为AB 的中点，可得答案； （2）设BF tBC =，得 ()1AF tb t a =+-，设AF AE λ=，可得1384AE a b =+，即384AF a b λλ=+，由a ，b 不共线和平面向量基本定理求得λ、t ，可得答案.(1)根据题意因为：4DC EC =，所以()4AC AD AC AE -=-， 所以3144AE AC AD =+， D 为AB 的中点，AB a =，AC b =，所以12AD a =，1384AE a b =+.(2)因为B ，F ，C 三点共线，设BF tBC =，所以()1AF t AB t AC =-+， 即()1AF tb t a =+-，A ，F ，E 三点共线，设AF AE λ=，由（1）可知1384AE a b =+，即384AF a b λλ=+，a ，b 不共线，由平面向量基本定理，所以1834t t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以87λ=，67t =，所以87AF AE =，67BF BC =， 则:AE EF 的值为7，:BF FC 的值为6.20．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【解析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】（1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin 3f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π， 当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件；当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去，所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈， 或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点， ∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296， 所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.21．(1)()22020v d v v k=++21秒(2)710米/秒以下 【解析】 【分析】（1）由题意直接可得函数关系，再由基本不等式可得最短时间； （2）依题意解不等式即可. (1)由题意知，20123()200.80.220v d v d d d d v v k =+++=+++ 即2()2020v d v v k=++当2k =时，2()2040v d v v =++，20()11140v t v v =++≥=1 (2)当1k =时，()50d v <，即2205020v v ++<即2206000v v +-<，1010v --<-+故010v <<-+所以，汽车的行驶速度应限制在10米/秒以下. 22．（1）“稳定点”为4x =；（2）见解析；（3）13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数()38g x x =-的“稳定点”只需求方程()g g x x ⎡⎤=⎣⎦中x 的值，即为“稳定点”若x A ∈，有()f x x =这是不动点的定义，此时得出()()f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，A B ⇒⊆，如果A φ=，则直接满足.先求出A φ≠即()f x 存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论. 【详解】（1）由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦有()3388x x --=，得：3x =，所以函数()38g x x =-的“稳定点”为4x =；（2）证明：若A φ=，则A B ⊆，显然成立；若A φ≠，设t A ∈，有()f t t =，则有()()f f t f t t ⎡⎤==⎣⎦， 所以t B ∈，故A B ⊆（3）因为A φ≠，所以方程21ax x -=有实根，即210ax x --=有实根，答案第16页，共16页 所以0a =或0140a a ≠⎧⎨∆=+≥⎩，解得14a ≥-又由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦得：()2211a ax x --=即()3422210*a x a x x a --+-=由（1）知A B ⊆，故方程()*左边含有因式21ax x --所以()()222110ax x a x ax a --+-+=，又A B =，所以方程2210a x ax a +-+=要么无实根，要么根是方程210ax x --=的解，当方程2210a x ax a +-+=无实根时，0a =或()220410a a a a ≠⎧⎨∆=--+<⎩，即34a <， 当方程2210a x ax a +-+=有实根时，则方程2210a x ax a +-+=的根是方程210ax x --=的解，则有22a x ax a =+，代入方程2210a x ax a +-+=得210ax +=，故12x a=-， 将12x a =-代入方程210ax x --=，得111042a a +-=，所以34a =. 综上：a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求()f x x =；求稳定点，就去求()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，完全根据定义去处理问题. 需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省扬州市第一中学2019-2019学年高一（下）
第一次月考数学试卷
（本卷满分160分，考试时间120分钟）
一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）
1、在△ABC 中，︒=︒==60,30,4B A a ，则=b .
2、在△ABC 中，3
1cos ,32,23===C b a ，则△ABC 的面积为 . 3、=︒︒+︒︒47cos 17cos 43cos 17sin .
4、在△ABC 中，8:7:5sin :sin :sin =C B A ，则B 的大小为 .
5、在数列}{n a 中，4,111+==+n n a a a ，则5a 的值为 .
6、在△ABC 中，若A c B c b a cos cos -=-，则△ABC 的形状为 .
7、在△ABC 中，若135sin ,53
cos ==B A ，则=C cos . 8、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若6,11641-=+-=a a a ，则当=n 时，n S 取得最小值.
9、若31)3sin(=-απ，则=+)23cos(απ
. 10、已知3
1)2tan(,21tan =-=βαα，则βtan 的值为 . 11、已知1312)4sin(,53)sin(),,43(,=--=+∈πββαππβα，则=+)4
cos(πα . 12、在锐角△ABC 中，若B C 2=，则b c
的范围为 .
13、等差数列}{}{n n b a 、的前n 项和分别为n n T S 、，若2312++=n n T S n n ，则=5
5b a .
14、设动直线a x =与函数)4(sin 2)(2x x f +=π和x x g 2cos 3)(=的图象分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为 .
二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15、已知函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 3cos 2.
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）求该函数的单调递增区间.
16、在△ABC 中，c b a ,,分别为内角A ，B ，C 的对边，且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2-+-=.
（1）求角A 的大小；
（2）若3sin sin =+C B ，试判断△ABC 的形状.
17、已知等差数列}{n a 的前三项依次为m m 34、、，前n 项和为n S ，且110=k S .
（1）求m 及k 的值；
（2）设数列}{n b 的通项n
S b n n =，证明数列}{n b 是等差数列，并求其前n 项和n T . 18、已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足22,1175243=+=⋅a a a a .
（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；
（2）若数列}{n b 是等差数列，且c
n S b n n +=，求非零常数c . 19、已知A ，B 分别在射线CM ，CN （不含端点C ）上运动，3
2π=∠MCN ，在△ABC
中，角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ,,.
（1）若c b a ,,依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；
（2）若θ=∠=ABC c ,3，试用θ表示△ABC 的周长，并求周长的最大值.
20、设函数12cos cos )(++=x b x a x f .
（1）当1,1==b a 时，求函数)(x f 的值域；
（2）若1=a ，对任意的实数x ，函数0)(≥x f 恒成立，求实数b 的取值范围；
（3）若1=b ，存在实数x 使得函数2)(a x f ≥成立，求实数a 的取值范围.。