二次函数中的存在性问题

得，。
∴点D的坐标为（3，18）。
4.如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的
底AD在x轴上，
其中A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；（3分）
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求
此时点M的坐标；（2分）
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求 点P的坐标．（4分）
，m2=
，∴P1（
，
），P2（
，
）， ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：n2﹣2n ﹣2=﹣
， 解得：n1=
，n2=
（与点F重合，舍去），∴P3（
，
）， 综上所述：所有点P的坐标：P1（
，
），P2（
，
），P3（
，
） 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
四、二次函数中等腰三角形的存在性问题 6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一 点C（3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;
y A B C
O x
7、解： (1) 根据题意，将A(，0)，B(2，0)代入y= x2axb中，得， 解这个方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y= x2x1，当 x=0 时，y=1， ∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC===。 在△BOC中，BC===。
y A B C O x P
所以设直线AP的解析式为y= xb， 把点A(，0)代入直线AP的解析式，求得b= ， ∴直线AP的解析式为y= x。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上， ∴点P的纵坐标相等，即x2x1= x，解得x1=， x2= (舍去)。当x=时，y= ，∴点P(，)。 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2xb，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求
(2)存在∵抛物线的对称轴为：x=
=1·∴如图对称轴与轴的交点即为Q
∵=，⊥ ∴= ∴（1，0）· 当=时，设的坐标为（1，m） ∴2+m=1+（3﹣m） ∴m=1 ∴（1，1） 当=时，设（1，n） ∴2+n=1+3 ∵n＞0 ∴n=
∴（1，
） ∴符合条件的点坐标为（1，0），（1，1），（1，
②若△PMA∽△BOC，则，。 即：2+2=3（+2）得：1=3，2=﹣2（舍去）当=3时，=15，即P（3， 15）． 故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。
二、二次函数中面积的存在性问题 3. 如图，抛物线与双曲线相交于点A，B． 点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX
过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下： ①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积； ②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?
若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
5.解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5）， ∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？
O C B A
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. 6.解：（1）∵当=0时，=3 当=0时，=﹣1∴（﹣1，0），（0，3） ∵（3，0） 设抛物线的解析式为=a（+1）（﹣3） ∴3=a×1×（﹣3）∴a=﹣1 ∴此抛物线的解析式为=﹣（ + 1）（﹣3）=- +2+3·
得b= 4， ∴直线BP的解析式为y=2x4。∵点P既在拋物线上，又在直线BP上，∴点 P的纵坐标相等， 即x2x1=2x4，解得x1= ，x2=2(舍去)。 当x= 时，y= 9，∴点P的坐标为(，9)。 综上所述，满足题目条件的点P为(，)或(，9)。
六、二次函数中菱形的存在性问题 8．如图，抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E， 它的对称轴与x轴交于点D． 直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物 线的对称轴交于点F． （1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条 件的点P的坐标； （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个 单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、 E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的 值；若不能，请说明理由．
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2、解：（1）设抛物线的解析式为， ∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。 ∴抛物线的解析式为。 （2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴DE=AO=2， 则D在轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3， 3）。 ②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。 ∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1， 由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣ 1）。
）·10分
五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题 7．如图，二次函数y= x2axb的图像与x轴交于A(，0)、B(2，0)两点，且 y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状； (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边 形是等腰梯形， 请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边 形是直角梯形？ 若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
＝4． 过点A作直线AC∥轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积． 若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
3、解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入得， ，∴
＝4。∴双曲线的解析式为：。 设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn
(4)自编：在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若
有，求出点Q的坐标，
若没有，请说明理由。
图3 x
y C B _ D _ A O 图9
4.（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴ 解之得：；故为所求
（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
设BD的解析式为，则有，，
故BD的解析式为；令则，故
(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，
易知BN=MN=1， 易求
；设，
依题意有：，即：
解之得：，，故符合条件的P点有三个：
三、二次函数中直角三角形的存在性问题 5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角 形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4， 抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b,c的值； （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，
，
）； （3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD． 可求出点F的坐标（
，
），点D的坐标为（1，﹣4） S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=
×
×（4﹣
）+ × ×（ ﹣1）= ；
②如图：ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则 有：m2﹣2m﹣2=
， 解得：m1=
二次函数中的存在性问题 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物 线. 所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶 点为D. （1）写出的值； （2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的 坐标；若不存在，说明理由.
8．解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B（﹣2， 3） 又∵抛物线经过原点O ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx ∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上 ∴
，解得：
． ∴设抛物线的解析式为
． （2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴
， 若S△ADP=S△ADC， ∵
1、解：（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， ∴。
（2）由（1）得.当时，． 解之，得。∴. 又当时，，∴C点坐标为（0，－3）。 又抛物线顶点坐标D（－1，－4）， 作抛物线的对称轴交轴于点E，DF⊥ 轴于点F。 易知,在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18， 在Rt△CFD中，CD2=12+12=2， ∴AC2＋ CD2＝AD2。∴△ACD是直角三角 形。 （3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。 由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。 由△AOM∽ △ABC，得。即。 过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=， OG=AO－AG=3－。又点M在第三象限，所以M（－，－）。
＝4。 又∵tan∠AOX
＝4，∴
＝4，即m ＝4n。∴n2
＝1，∴n
＝±1。 ∵A点在第一象限，∴n
＝1，m
＝4。∴A点的坐标为（1，4）。 把A、B点的坐标代入得，，
解得，
＝1，
＝3。∴抛物线的解析式为：。 （2）∵AC∥轴，∴点C的纵坐标y
＝4， 代入得方程，，解得1