14A.动力学-动量定理和动量矩定理54页PPT
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动量和动量定理精ppt课件
⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是 物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受 的合外力的冲量。
⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量） 间的互求关系。
⑶实际上现代物理学把力定义为物体动量的变化率： ∑ F=Δp／ Δt （这也是牛顿第二定律的动量形式）
⑷动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢
量必须以同一个规定的pp方t精选向版为正。
8
2.动量定理具有以下特点：
①矢量性：合外力的冲量∑F· Δt 与动量的变化量Δｐ均
为矢量，规定正方向后，在一条直线上矢量运算变为代数运算；
②相等性：物体在时间Δｔ内物体所受合外力的冲量等于物体 在这段时间Δｔ内动量的变化量；因而可以互求。
③独立性：某方向的冲量只改变该方向上物体的动量；
A、向下，m(v1-v2) C、向上，m(v1-v2)
B、向下，m(v1+v2) D、向上，m(v1+v2)
ppt精选版
13
例5 水平面上一质量为m的物体，在水平恒力F
作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经时间t 后
撤去外力，又经过时间2t 物体停下来，设物体所受阻
力为恒量，其大小为（
C）
Ａ．F Ｂ． F / 2 Ｃ． F / 3 Ｄ． F / 4
动量和动量定理
ppt精选版
1
• 在上一节我们学过，mv这个量是我们在 碰撞中所追寻到的守恒量，故mv这个量 具有特殊的含义。我们把这个量命名为 动量。
ppt精选版
2
一、动量概念及其理解
（1）定义：物体的质量及其运动速度的乘积称为
该物体的动量
p=mv
（2）特征：
①v为瞬时速度，故动量是状态量，它与某一时刻 相关；
⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量） 间的互求关系。
⑶实际上现代物理学把力定义为物体动量的变化率： ∑ F=Δp／ Δt （这也是牛顿第二定律的动量形式）
⑷动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢
量必须以同一个规定的pp方t精选向版为正。
8
2.动量定理具有以下特点：
①矢量性：合外力的冲量∑F· Δt 与动量的变化量Δｐ均
为矢量，规定正方向后，在一条直线上矢量运算变为代数运算；
②相等性：物体在时间Δｔ内物体所受合外力的冲量等于物体 在这段时间Δｔ内动量的变化量；因而可以互求。
③独立性：某方向的冲量只改变该方向上物体的动量；
A、向下，m(v1-v2) C、向上，m(v1-v2)
B、向下，m(v1+v2) D、向上，m(v1+v2)
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13
例5 水平面上一质量为m的物体，在水平恒力F
作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经时间t 后
撤去外力，又经过时间2t 物体停下来，设物体所受阻
力为恒量，其大小为（
C）
Ａ．F Ｂ． F / 2 Ｃ． F / 3 Ｄ． F / 4
动量和动量定理
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1
• 在上一节我们学过，mv这个量是我们在 碰撞中所追寻到的守恒量，故mv这个量 具有特殊的含义。我们把这个量命名为 动量。
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2
一、动量概念及其理解
（1）定义：物体的质量及其运动速度的乘积称为
该物体的动量
p=mv
（2）特征：
①v为瞬时速度，故动量是状态量，它与某一时刻 相关；
理论力学动量定理和动量矩定理研究课件ppt1
5-2-3 质心运动定理
y
由质心运动定理 FOy A
x
O
maC x mi xi FO x
FOx
B
G
而 故
l
l
mxC m1 FO x mxC
cos ωt
2
lω2
2
m2l cos ωt m3 ( m1 2 m2 2 m3
( l cos ωt )cos ωt
2
)
当 ωt π 时，
lω2
( mg π R )2 (2 mv )2 v
与 v 成 角,
tg -1 Img
2 mv
5-2-3 质心运动定理
1.定理
p m vC
dp dt
m aC
F e
①描述了质系质心运动与外力主矢的关系。 炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线运动， 直到一个碎片落地。跳水运动员质心作抛体运动。 ②对刚体仅描述了随质心平移的一个侧面。 ③ m aC mi ai
) 0.8
故 α 0.4rad/s2
Lz 不变，J z 变化， 变
5-2 质点系动量定理
z
l
rA
A
5-2-3 质心运动定理
3.曲柄滑槽机构。已知 ,OA l, BG l ，G为导杆
2 重心。曲柄、滑块、导杆质量分别为 m1 ,m2 ,m3 。试求支
座O动约束力。
A
O
G
B
5-2 质点系动量定理
•若考虑
有何变化?
1
•5-2 质点系动量定理
v mμg c ••当如杆 何端求A图没示离嘴开角墙6个角螺时拴m，拉AB力杆?的速度瞬心在Cv点，
，在任意 角位置时，有
空中降落伞很快达到vm
理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理
F F
1.三个圆盘的运动是否一样？ 2.三个圆盘的质心的运动是否一样？
2019年9月19日
14
例2 曲柄滑槽机构。已知 ,OAl,BGl ，
2
G为导杆重心。曲柄、滑块、导杆质量 分别为 m1,m2 ,m3 . 试求支座o处动约束力。
y
A
o
G
B
x
2019年9月19日
15
偏心电机
e m2
F Oy
矢量，瞬时量，单位：kg.m/s
投影式:
px mivix mvcx py miviy mvcy pz miviz mvcz
2019年9月19日
3
思考: 1.已知m,r, 比较两环 p1 , p2 大小
m
m
2m
vc
c
r
r
解： p 1 m r m 2 r 3 m r
故动约束力矩
M O ( F N 2 ) q v( r 2 v 2 r 1 v 1 )
2019年9月19日
45
2 .投影式:
①微分投影式
dLox dt
M
e 0x
dL0 y dt
M
e 0y
dL0 z dt
M
e 0z
②积分投影式
Lx2Lx1tt12M x edt M x(Iie) Ly2Ly1tt12M y edt M y(Iie) Lz2Lz1tt12M zedt M z(Iie)
对流体：FN2 qV（v2 - v1） v 1
对管道：FN' 2 FN2
O
-qV v1
F N2 F N 2
1.三个圆盘的运动是否一样？ 2.三个圆盘的质心的运动是否一样？
2019年9月19日
14
例2 曲柄滑槽机构。已知 ,OAl,BGl ，
2
G为导杆重心。曲柄、滑块、导杆质量 分别为 m1,m2 ,m3 . 试求支座o处动约束力。
y
A
o
G
B
x
2019年9月19日
15
偏心电机
e m2
F Oy
矢量，瞬时量，单位：kg.m/s
投影式:
px mivix mvcx py miviy mvcy pz miviz mvcz
2019年9月19日
3
思考: 1.已知m,r, 比较两环 p1 , p2 大小
m
m
2m
vc
c
r
r
解： p 1 m r m 2 r 3 m r
故动约束力矩
M O ( F N 2 ) q v( r 2 v 2 r 1 v 1 )
2019年9月19日
45
2 .投影式:
①微分投影式
dLox dt
M
e 0x
dL0 y dt
M
e 0y
dL0 z dt
M
e 0z
②积分投影式
Lx2Lx1tt12M x edt M x(Iie) Ly2Ly1tt12M y edt M y(Iie) Lz2Lz1tt12M zedt M z(Iie)
对流体：FN2 qV（v2 - v1） v 1
对管道：FN' 2 FN2
O
-qV v1
F N2 F N 2
第十六章 动力学基本方程动量定理动量矩定理.ppt
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。
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例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
2. 质点系的动量矩定理
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( ) ( ) ( ) 对质点Mi：ddt mz mi vi = mz (Fi ) = mz Fi(e) + mz Fi(i)
( ) (( )) ( ) 对质点系：
d dt mz mi vi
=
因为内力总是成对出现，所以
mz Fi(e) + mz Fi(i ) mz Fi(i) = 0
=
M
(e) z
上式称为刚体定轴转动微分方程。
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三、转动惯量
1. 定义：J z = miri2
若刚体的质量是连续分布，则 J z = m r 2dm
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
动量定理概述PPT课件
转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
a 2 x e2 co t,s a 2 y e2 s itn
根据质心运动定理，有
m ia C ix F i( x e ) ,m 2 a 2 x m 2 e2 ct o N xs
m i a C iF y i( e y ) ,m 2 a 2 y m 2 e 2 st i N n y m 1 g m 2 g
(paB)2(paB)1
ppBbpAaQ tv2Q tv1
由质点系动量定理；得
d d tp lit m 0 tpQ (v 2 v 1 ) W P 1 P 2 R
d d tp lit m 0 tpQ (v 2 v 1 ) W P 1 P 2 R
即
R ( W P 1 P 2 )Q (v 2 v 1 )
解:如图所示
m 1 m 2a C xF x F
xC m 12 rco s m 2rco s b m 1 1m 2
如： 坦克的履带质量为m 。设坦克前进速度为v，则 履带的动量是多少？
答案： pmvC mv方向：水平向右
投影形式： p x M v C x M x C , p y M v C y M y C , p z M v C z M z C
3.刚体的动量
a.单个刚体： 例：
p=Mvc
b.刚体系统的动量：设第i个刚体 mi , vci 则整个系统：
动力学普遍定理以简明的数学形式，表明两种量 —— 一 种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同 力相关的量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧 面对物体的机械运动进行深入的研究。
本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形 式——质心运动定理。
方向指向O1。
a 2 x e2 co t,s a 2 y e2 s itn
根据质心运动定理，有
m ia C ix F i( x e ) ,m 2 a 2 x m 2 e2 ct o N xs
m i a C iF y i( e y ) ,m 2 a 2 y m 2 e 2 st i N n y m 1 g m 2 g
(paB)2(paB)1
ppBbpAaQ tv2Q tv1
由质点系动量定理；得
d d tp lit m 0 tpQ (v 2 v 1 ) W P 1 P 2 R
d d tp lit m 0 tpQ (v 2 v 1 ) W P 1 P 2 R
即
R ( W P 1 P 2 )Q (v 2 v 1 )
解:如图所示
m 1 m 2a C xF x F
xC m 12 rco s m 2rco s b m 1 1m 2
如： 坦克的履带质量为m 。设坦克前进速度为v，则 履带的动量是多少？
答案： pmvC mv方向：水平向右
投影形式： p x M v C x M x C , p y M v C y M y C , p z M v C z M z C
3.刚体的动量
a.单个刚体： 例：
p=Mvc
b.刚体系统的动量：设第i个刚体 mi , vci 则整个系统：
动力学普遍定理以简明的数学形式，表明两种量 —— 一 种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同 力相关的量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧 面对物体的机械运动进行深入的研究。
本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形 式——质心运动定理。
动量矩定理与动量矩守恒律ppt课件
当外力对固定点 O 的合力矩为零时，有
dJ M 0 dt
J 恒矢量
守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。
大学
（3）对质心的动物理量矩定理
作固定坐标系和动坐标系时，
a a0 a
F ma ma0 ma
将这一方法应用到这里来（将质心作为动坐
标系原点），有
mi
d 2ri dt 2
F (e) i
F (i) i
(mirc )
相对
相对
牵连（惯性力）
大学 物理
用 ri 左叉乘上述方程组且对 i 求和，因内力矩合之为零且牵连矩
（惯性力矩）合之为零，固有
d [ n
dt i1
(ri miri)]
n
(ri
F (e) i
)
i 1
即有质点组对质心的动量矩定理：
dJ M dt
大学 物理
若
vxc
恒矢
烟花的质心轨迹
大学 物理
动量矩定理 与
动量矩守恒定律
大学 物理
（1）对某一固定点O 的动量矩定理
dJ M dt
n
n
其中 J (ri pi ) ， M (ri Fi(e) ) 。
i 1
i 1
a
(r
r2
)i
(r
2r)
j
大学 物理
ari a j
ar
r r2
：加速度径向分量，称为径向加速度。r是径
i 1
d dt
p
n
其中 p mivi
i 1
大学 物理
可得
dp dt
n i 1
F (e)
i
，其中
n p mivi
dJ M 0 dt
J 恒矢量
守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。
大学
（3）对质心的动物理量矩定理
作固定坐标系和动坐标系时，
a a0 a
F ma ma0 ma
将这一方法应用到这里来（将质心作为动坐
标系原点），有
mi
d 2ri dt 2
F (e) i
F (i) i
(mirc )
相对
相对
牵连（惯性力）
大学 物理
用 ri 左叉乘上述方程组且对 i 求和，因内力矩合之为零且牵连矩
（惯性力矩）合之为零，固有
d [ n
dt i1
(ri miri)]
n
(ri
F (e) i
)
i 1
即有质点组对质心的动量矩定理：
dJ M dt
大学 物理
若
vxc
恒矢
烟花的质心轨迹
大学 物理
动量矩定理 与
动量矩守恒定律
大学 物理
（1）对某一固定点O 的动量矩定理
dJ M dt
n
n
其中 J (ri pi ) ， M (ri Fi(e) ) 。
i 1
i 1
a
(r
r2
)i
(r
2r)
j
大学 物理
ari a j
ar
r r2
：加速度径向分量，称为径向加速度。r是径
i 1
d dt
p
n
其中 p mivi
i 1
大学 物理
可得
dp dt
n i 1
F (e)
i
，其中
n p mivi
动量矩定理与动量矩守恒律.ppt
微商等于诸外力对同一点的力矩的矢量和.
分量式：
d
dt
n
mi ( yi zi
i 1
n
zi yi )
(
yi
F (e) iz
i 1
zi
F (e iy
)
)
d
dt
n
mi (zi xi
i 1
n
xi zi )
(
zi
F (e) ix
i 1
xi
F (e) iz
)
d
dt
n
mi (xi yi
i 1
n
i 1
i 1
i 1
n i 1
(ri mi
dri) dt
n i 1
(ri
Fi
(e)
)
质点组对质心的动量矩定理
dJ
M
dt
意义：质点组对质心c的动量矩对时间的微商等
于所有外力对质心的力矩之后.
注意：（1）形式与固定点动量矩定理相同.
惯性力力矩为0的物理意义？
（2）质心c是动点，对任一动点不成立.
三、对质心的动量矩定理
在 cxyz 动系中：
mi
d2 dt
左矢乘
ri
2
Fi
ri
(i)
F (e)
i
(mirc
并对i求和：
)
n
(ri miri) (i
)
)
n
(ri
Fi
(
e)
)
n
ri(mirc )
i 1
i 1
i 1
i 1
其中：
n ri(mirc ) n rc miri rc n miri 0
2019年第8章动量定理与动量矩定理.ppt
p2x
p1x
I
(e) x
p2 y
p1y
I
(e) y
dp z dt
Fz(e)
p2z
p1z
I
(e) z
例8-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳
的质量为m2 ,转子质量为 m1.定子和机壳质心 O1,转子质
心 O2 ,O1O2 e ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直
解:
J (F1 F2 )R
(F1 F2 )R
J
例8-9 物理摆（复摆），已知 m, JO , a ， 求微小摆动的周期 .
解：
JO
d2
dt 2
mga sin
微小摆动时， sin
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
通解为 O sin(
mgat )
JO
O称角振幅， 称初相位，由初始条件确定.
周期 T 2 JO
mga
例8-10 已知： JO ,0 , FN , R，动滑动摩擦系数 f ，
求：制动所需时间 t .
解：
JO
d
dt
FR
f
FN R
0
t
0 JOd 0 fFN Rdt
t JO0
质 点: d(mivi ) Fi(e)dt Fi(i)dt
质点系: d(mivi ) Fi(e)dt Fi(i)dt
得 dp Fi(e)dt dIi(e)
动量定理 ppt课件
F-t图像求力的冲量
如果力是变力，我们可以借助 F-t 图像做如下处理：
F
F
0
t/s
0
t/s
总结：①如果力是恒力，即可以用I = F∆t 来求冲量，也可以用F-t 图像面积来求冲量。 ②如果力是变力，可以用F-t 图像面积来求冲量。
课堂练习
一物体受到方向不变的力F作用，其中力的大小随时间变化的规律如图 所示，则力F在6s内的冲量大小为（ B ） A．9N·s B．13.5N·s C．15.5N·s D．18N·s
合外力的冲量IF合=F合·t=mgsin300 t=20N·s.
课堂练习
如图所示，质量为m的物体在一个与水平方向成θ角的拉力F作用下， 一直沿水平面向右匀速运动，则下列关于物体在时间t内所受力的冲量，正 确的是（ C ） A．拉力F的冲量大小为Ftcosθ B．摩擦力的冲量大小为Ftsinθ C．重力的冲量大小为mgt D．物体所受支持力的冲量大小为mgt
新课讲授
我们把力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的
变化这样一个结论叫作动能定理。 即：Fx Ek' Ek
经过推导，我们发现力在一个过程中对所受力的冲量，等于物体在 这个过程中始末动量变化量，这个结论我们把它叫作什么呢？
即： F∆t = pʹ – p
二、动量定理
1、内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化， 这就是动量定理。
解得：F= 205N
由牛顿第三定律，铁锤钉钉子的平均作用力为 205N，方向向下。
动量定理的应用
质量为1kg的物体做直线运动，其速度图象如图所示。则物体
在前10s内和后10s内所受合外力的冲量分别是 ( D)
A．10N•s，10N•s B．10N•s，－10N•s
动量矩和动量矩守恒定律.ppt
卫星
地球
+
5
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
一、动量矩
1. 质点的动量矩( 对O点 )
速刻度相质对v 量原在为点空O间m的运位的动矢质, 为点某以时r ,
质点L相对r于 原p 点 r的 动m量v 矩 大小： L rmvsin
L
zv
rm
xo
y
L
v
r
方向: 符合右手螺旋法则。
动量矩具有相同的方向。
z
Lz Δmiviri
i
Δmiri2 JZ
i
(所有质元对 z 轴的角动量之和)
LLi
OO
•
rr•im•mvivi
说明 动量矩与质点动量
P
mv
对比:
Jz — m， — v 。
10
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
二、 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律
6
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论
(1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢
有关 (取决于固定点的选择) 。
(2) 在 直角坐 标系中的分量式
r xi yj zk
mv
mvxi
mvy
j
mvzk
i
jk
Lx ypz zp y
L x y z
Ly zpx xpz
mvx mvy mvz
(3) 自然界普遍适用的一条基本规律。
(4) 质点对轴的动量矩守恒定律: 若 Mz=0, 则Lz =常数。即若力矩在某轴上的分量为零 (或力对某轴的力矩为零)，则质点对该轴的动
量矩守恒。
15
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2
6
目录
14.1 质点动力学的基本方程 14.2 动量定理 14.3 动量矩定理
7
§14.1 质点动力学的基本方程
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系 统的基础。质点动力学的基础是三个基本定律。质点动力学 基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的关系。 一、质点动力学的基本定律
代入，有
v dv
t F0 costdt
0
0m
20
积分后得
v F0 sint m
因 v d x ，分离变量，再次积分，并以初始条件
[例1] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
FF0cost，其中 F0， 均是常数，初始时 x00， v00。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
建立质点运动微分方程
即
mdv dt
F0
cost
mdd2t2x F0cost
分离变量，对等式两边积分，并以初始条件 t0， vv00
m d d2 t2 xF x， m d d2 t2 yF y， m d d2 t2 zF z
( 式中 x、y、z为质点直角坐标运 形动 式方 的)程
11
3.自然形式
m
d2s d t2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中ss(t)为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
m a F ,
Hale Waihona Puke G dv G si n 1
gdt
mn a F n,
G v2 T G co s 2
gl
⑤ 求解未知量
由2式得TG(cosv2),
gl
其中 ,v为变.量由 1式重 知物作 , 减 因速 此 0时 ,运 TT m动 ax
Tmax G(1 vg02l)
[注] ① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ② 拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力
一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
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[例2] 已知质量为m的质点M在坐标平面 Oxy 内运动，如
图所示。其运动方程为 xacot， sybsitn，其中
a、b、是常数。求作用于质点上的力F。
解：将质点运动方程消去时间t，得
x2 y2 1
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
第一定律(惯性定律)：不受力作用的质点，将保持静止 或作匀速直线运动。第一定律明确指出了物体运动状态发生 变化的原因。
第二定律(力与加速度之间的关系的定律)：质点的质量 与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方 向与力的方向相同。
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设作用在质点上的力为F，质点的质量为m，质点获得的加
速度为a，则牛顿第二定律可以用矢量方程表示为 Fma
14A.动力学-动量定理和动量矩定理
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
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ax xa2cost2x ay yb2si nt2y
即
aaxiayj2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m2x m2y
即 FFxiFyjm 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
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[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 v 0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：① 选重物(抽象为质点)为研究对象； ② 受力分析如图所示； ③ 运动分析，沿以O为圆心，L为半径的圆弧摆动。
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④ 列出自然形式的质点运动微方程
第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引 起的，它不仅适用于静止(平衡)状态的物体，而且同样适用于 运动状态的物体。
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二、质点的运动的微分方程
将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的
运动微分方程。
1.矢量形式
d2 r m
F(式中 rr(t)为质点矢径形 方式 程 )的运动
dt2
2.直角坐标形式
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第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③ 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确
质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标
形式、柱坐标等形式。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
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质点动力学两类问题： 第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力(微分 问题)。解题步骤和要点： ① 正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点。 ② 正确进行受力分析,画出受力图 应在一般位置上进行分析。 ③ 正确进行运动分析 分析质点运动的特征量 。 ④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 建立坐标系 。 ⑤ 求解未知量。
第二定律建立了质点的质量、 作用于质点的力和质点运动加速度 三者之间的关系，并由此可直接导 出质点的运动微分方程，它是解决 动力学问题最根本的依据。
牛顿第二定律指出了质点加速度方向总是与其所受合力的 方向相同，但质点的速度方向不一定与合力的方向相同。因 此，合力的方向不一定就是质点运动的方向。
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第三定律(作用与反作用定律)：两个物体间的作用力与 反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时 分别作用在两个物体上。
定出其运动初始条件）。
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④ 选择并列出适当的质点运动微分方程。 ⑤ 求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用
运动的初始条件，求出质点的运动。
如力是常量或是时间及速度函数时，
可直接分离变量
d d
v t
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
dv vdv , 再分离变量积分。 dt ds
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