14A.动力学-动量定理和动量矩定理54页PPT

代入，有
v dv
t F0 costdt
0
0m
20
积分后得
v F0 sint m
因 v d x ，分离变量，再次积分，并以初始条件
[例1] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
FF0cost，其中 F0， 均是常数，初始时 x00， v00。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
建立质点运动微分方程
即
mdv dt
F0
cost
mdd2t2x F0cost
分离变量，对等式两边积分，并以初始条件 t0， vv00
m d d2 t2 xF x， m d d2 t2 yF y， m d d2 t2 zF z
( 式中 x、y、z为质点直角坐标运 形动 式方 的)程
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3.自然形式
m
d2s d t2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中ss(t)为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
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目录
14.1 质点动力学的基本方程 14.2 动量定理 14.3 动量矩定理
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§14.1 质点动力学的基本方程
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系 统的基础。质点动力学的基础是三个基本定律。质点动力学 基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的关系。 一、质点动力学的基本定律
第二定律建立了质源自文库的质量、 作用于质点的力和质点运动加速度 三者之间的关系，并由此可直接导 出质点的运动微分方程，它是解决 动力学问题最根本的依据。
牛顿第二定律指出了质点加速度方向总是与其所受合力的 方向相同，但质点的速度方向不一定与合力的方向相同。因 此，合力的方向不一定就是质点运动的方向。
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第三定律(作用与反作用定律)：两个物体间的作用力与 反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时 分别作用在两个物体上。
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
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ax xa2cost2x ay yb2si nt2y
即
aaxiayj2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m2x m2y
即 FFxiFyjm 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引 起的，它不仅适用于静止(平衡)状态的物体，而且同样适用于 运动状态的物体。
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二、质点的运动的微分方程
将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的
运动微分方程。
1.矢量形式
d2 r m
F(式中 rr(t)为质点矢径形 方式 程 )的运动
dt2
2.直角坐标形式
质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标
形式、柱坐标等形式。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
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质点动力学两类问题： 第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力(微分 问题)。解题步骤和要点： ① 正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点。 ② 正确进行受力分析,画出受力图 应在一般位置上进行分析。 ③ 正确进行运动分析 分析质点运动的特征量 。 ④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 建立坐标系 。 ⑤ 求解未知量。
一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
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[例2] 已知质量为m的质点M在坐标平面 Oxy 内运动，如
图所示。其运动方程为 xacot， sybsitn，其中
a、b、是常数。求作用于质点上的力F。
解：将质点运动方程消去时间t，得
x2 y2 1
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
m a F ,
G dv G si n 1
gdt
mn a F n,
G v2 T G co s 2
gl
⑤ 求解未知量
由2式得TG(cosv2),
gl
其中 ,v为变.量由 1式重 知物作 , 减 因速 此 0时 ,运 TT m动 ax
Tmax G(1 vg02l)
[注] ① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ② 拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力
14A.动力学-动量定理和动量矩定理
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
定出其运动初始条件）。
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④ 选择并列出适当的质点运动微分方程。 ⑤ 求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用
运动的初始条件，求出质点的运动。
如力是常量或是时间及速度函数时，
可直接分离变量
d d
v t
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
dv vdv , 再分离变量积分。 dt ds
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第一定律(惯性定律)：不受力作用的质点，将保持静止 或作匀速直线运动。第一定律明确指出了物体运动状态发生 变化的原因。
第二定律(力与加速度之间的关系的定律)：质点的质量 与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方 向与力的方向相同。
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设作用在质点上的力为F，质点的质量为m，质点获得的加
速度为a，则牛顿第二定律可以用矢量方程表示为 Fma
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第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③ 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确
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[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 v 0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：① 选重物(抽象为质点)为研究对象； ② 受力分析如图所示； ③ 运动分析，沿以O为圆心，L为半径的圆弧摆动。
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④ 列出自然形式的质点运动微方程