Gauss型求积公式

2 (1 xk ) Pn'1 ( xk ) 一点Gauss-Legendre求积公式为：

1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
Ak

2

2
(k 0,1,, n)

1
1
1
f ( x )dx 2 f (0)
两点Gauss-Legendre求积公式为：
3 3 1 f ( x)dx f ( 3 ) f ( 3 )
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
Gauss型求积公式的构造方法 (1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式 pn(x) . (2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为Gsuss点. (3)计算积分系数
三点Gauss-Legendre求积公式为：
5 8 5 1 f ( x)dx 9 f ( 0.6) 9 f (0) 9 f ( 0.6)A
1
实际上我们可以给出任意次Gauss-Legendre求 积公式在任意区间上的节点与系数，从而得到任意 区间上的Gauss-Legendre求积公式。 事实上，作变换
I

0
1
sin x dx x
1 sin(0.5773503 ) sin(0.5773503 ) 1 1 0.945363 . 2 0.5773503 0.5773503
高斯求积公式的截断误差为
22 n 3 (2 n 2) R[ f ] f ( ) 2 (2n 3)[(2n 2)!] 1 1
Ak 0.5217556105 0.3986668110 0.0759424497 0.0036117587 0.0000233700 0.4589646793 0.4170008307 0.1133733820 0.0103991975 0.0002610172 0.0000008985
确定.
即可由线性方程组
也可以由插值型求积公式中的系数公式 Ak a lk ( x )dx 确定。
b
二、Legendre多项式
n＋1次Legendre多项式为：
1 d n 1 2 n 1 Pn 1 ( x ) ( x 1 ) ( x [1,1]; n 0,1,2,) n 1 n 1 (n 1)!2 dx
三次Legendre多项式及其零点为：
1 P3 ( x ) (5 x 3 3x ), x0 0.6 , x1 0, x2 0.6 2
三、Gauss-Legendre求积公式
1 d n 1 2 n 1 xk (k 0,1,, n)为Pn 1 ( x ) ( x 1 ) n 1 n 1 ( n 1 )! 2 dx 的零点 。
Ak 0.8535533905 0.1464466094 0.7110930099 0.2785177335 0.0103892565 0.6031541043 0.3574186924 0.0388879085 0.0005392947
n
5
3
xk 0.2635603197 1.4134030591 3.5964257710 7.0858100058 12.6408008442 0.2228466041 1.1889321016 2.9927363260 5.7751435691 9.8374674183 15.9828739806

1
1
f ( x)dx w0 f ( x0 ) w1 f ( x1 )
1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 1 3 3
1
定理：插值型求积公式中的节点 x
n
斯点的充要条件是，在[a,b]上，以这些点为零点
j 0
是高 ( k 0 , 1 , , n ) k
b
即f ( x) P( x) n1 ( x) q( x)
其中P( x), q( x)的次数 n

b
a
f ( x )dx P ( x )n1 ( x )dx q( x )dx
a a
b
b
由条件 P( x )n1 ( x)dx 0，
a
b
所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为n。
故有

b
a
n1 ( x )P ( x )dx Ak n1 ( xk )P ( xk ) 0
k 0
n
充分性 ：
设a n1 ( x) P( x)dx 0 对于任意次数不超过 n 1 ( x)除f(x)的商为p(x),余 2n+1的多项式 f ( x), 设 项为q(x)。
其性质有 •1、n+1次Legendre多项式与任意不超过n次的多项 式在区间[-1,1]上正交。
•2、n+1次Legendre多项式的n+1个零点都在区间[1,1]内。
例： 一次Legendre多项式及其零点为：
P 1 ( x) x, x0 0
二次Legendre多项式及其零点为：
1 P2 ( x ) (3x 2 1), 2 3 3 x0 , x1 3 3
Ak 2 1 0.5555555556 0.8888888889
n 6
xk ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861 ±0.9491079123 ±0.7415311856 ±0.4058451514 0 ±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425
1, x,, x 变为正交基 p ( x), p ( x),, p ( x)
0 1 n
例： 解
求积分
2 x 1 f ( x)dx 的2点Gauss公式.
1
按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:
p0 ( x) 1
( x, p 0 ( x)) p1 ( x) x p 0 ( x) ( p 0 ( x), p 0 ( x))
问题： 若求积公式
I f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
中含有2n+2个待定参数 xk , Ak (k 0,1, 2, , n) 我们能否通过节点的选择将求积公式的 代数精度从n 或者n+1提高到2n+1？
一、Gauss型求积公式 定义：把具有 n＋1 个节点的具有 2 n+1 次代 数精确度的插值型求积公式
2 2
4 x 1 dx
1
5 x 1 dx
1
P2(x)的两个零点为 积分系数为
, 1 1 1 2 2 x x2 A1 1 x l1 ( x)dx 1 x dx x1 x 2 3 1 1 1 2 2 x x1 A2 x l2 ( x)dx x dx 1 1 x2 x1 3
的n+1次多项式 n1 ( x) ( x x j ) 与任意次数不超
过n的多项式P(x)正交，即

b
a
n1 ( x )P ( x )dx 0
证明： 必要性 ： 设 xk (k 0,1,, n)是高斯点，于是对任意次数不超过n 的多项式P(x) ，
f ( x) P( x) n 1 ( x)的次数不超过2n+1。
, n)，但是如何确定 xi ？只要求解
, 2n 1.

b
a
x ( x)dx Ai xim , m 0,1,
m i 0
n
例 试构造高斯求积公式 思路：
A0 A1 2, A x A x 0, 0 0 1 1 2 2 2 A0 x0 A1 x1 3 , 3 3 A x A x 1 1 0. 0 0
利用Schmidt正交化过程，
g ( x) f ( x) 0 0 n 1 ( f ( x), gi ( x)) g n ( x) f n ( x) n gi ( x) i 0 ( g i ( x ), g i ( x ))
n
就可以将多项式基函数
x x
n


所以,对[0, +)上权函数W(x)=1的积分,也可以构造类似的 Gauss-Laguerre求积公式:
0 f ( x)dx Ai e f ( xi )
xi i 1
n 2
xk 0.5858864376 3.4142135623 0.4157745567 2.2942803602 602899450829 0.3225476896 1.7457611011 4.5366202969 9.3950709123
Gauss型求积公式
由前面的讨论已经知道，以a=x0<x1<…<xn=b为节点的N-C求积公式 的代数精度一般为n或n+1,这时节点简单地按照闭式等距的方式确定。 对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置， 在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高， 最多能达到多少?高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式.
2 2 ( x , p ( x )) ( x , p1 ( x)) 2 0 p 2 ( x) x p 0 ( x) p1 ( x) ( p 0 ( x), p 0 ( x)) ( p1 ( x), p1 ( x))
3 x 1 2 1 4 xx 5 1 x dx 1 x dx
故 q( x )dx Ak q( xk )
b a n 0
n
所以求积公式至少具有2n＋1次代数精确度。对 于2n+2次多项式 有 f ( x ) 2 n1 ( x )

b
a
f ( x )dx 0
而
2 A k n1 ( x k ) 0 k 0
n
故求积公式的代数精确度是2n+1。
3 5 3 5
x1
, x2
故两点Gauss公式为
2 1 x f ( x ) dx 1 3 [ f ( 1 3 5
) f(
3 5
)]
例 利用两点Gauss-Legendre求积公式计算 sin x 为偶函数 解:因为 x 1 1
sin x 1 sin x I dx dx x 2 1 x 0
证毕
两条结论：
①．高斯型求积公式一定是插值型求积公 式，其系数由高斯点唯一确定。 ②．高斯型求积公式是代数精度最高的求积 公式（2n＋1次）。
当高斯点确定以后，高斯系数 Ak (k 0,1,, n)
n b a dx Ak k 0 n b a xdx Ak x k k 0 n b n n a x dx Ak xk k 0
四、Gauss-Laguerre求积公式
区间[0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为GaussLaguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.
公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 . 由
0 f ( x)dx 0 e e f ( x)dx

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
Βιβλιοθήκη Baidu
称为Gauss型求积公式，其求积节点 x k（k=0， 1，……n）称为高斯点，系数 Ak 称为高斯系数。 Remark：构造Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 点，再由n＋1个高斯点构造基函数，从而得到高斯 系数。
节点 xi Ai ,(i 0,1,
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
7 4 0.3478548451 0.6521451549
ab ba x t 2 2
即可将区间[a,b]变换到[-1,1]上：

b
a
1 ba 1 ab ba f ( x )dx f( t )dt (t )dt 1 2 1 2 2
n 1 2 3
xk 0 ±0.5773502692 ±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436