柱、锥、台的侧、表面积及体积

4．柱、锥、台体的体积
3 a V长方体＝________ abFra Baidu bibliotek ，V正方体＝________，V柱＝Sh，
1 V锥＝ Sh， 3
1 V ＝( S ＋ S ＋S S') h . 台 3
这是柱体、锥体、台体统一计算公式，特别的圆柱、
圆锥、圆台还可以分别写成：
2h 1 π r πr2h， V圆柱＝________，V圆锥＝________
[评析]
两种放置方法中水的形状分别为直四棱柱
形和直三棱柱形，利用其体积不变可求得高． 当侧面AA1B1B水平放置时，可以想象若水凝固不
动，将三棱柱竖起来，则水的形状是四棱柱形．可
按直四棱柱计算水的体积，也可用间接法，用大三
棱柱的体积减去一个小三棱柱(没有水的部分)的体
积．本题解答的关键是利用两种放置方法中水的体
V圆台
1 2＋rr＋r2) π h ( r 3 ＝___________________
3
5．球的体积及球的表面积
4 R3 2 4π R 3 设球的半径为R，V球＝________ ，S球＝________.
基础训练
1.一个长方体有共顶点的三个面的面积分别是
2, 3, 6
则这个长方体对角线的长是(
1 4 3 三 棱 柱 的 高 为 3 ， 故 体 积 为 V ＝ 3 2 ＝ 4 . 23
答案：D
类型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积
解题准备：求解有关多面体表面积问题的关键是利 用几何图形的性质找到其特征几何图形，从而体现 出高、斜高、边长等几何元素间的关系，如棱柱的
矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直角梯形
放置时，液面高为多少？
［解］
当侧面ＡＡ１Ｂ１Ｂ水平放置时，水的形
状为四棱柱形，底面ＡＢＦＥ为梯形． 设△ＡＢＣ的面积为Ｓ，侧Ｓ梯形ＡＢＦＥ＝ 3 Ｓ， 4 3 Ｖ水＝ Ｓ·ＡＡ１＝６Ｓ． 当底面ＡＢＣ水平放置时，水的形状为三棱柱形，
4
设水面
高为ｈ，则有Ｖ水＝Ｓｈ，∴６Ｓ＝Ｓｈ，∴ｈ＝
６．
故当底面ＡＢＣ水平放置时，液面高为６．
2 r 1 r1＝ 1＝ 2 则 r2 ＝ 4 ，解得r2＝ 2， ,， ,. 由l 2＝h2＋ (r2－r1 )2， (r＋r )l＝ l＝ 6 2 1 2 1 2 2 2 2 2 得h ＝ 2－ 1＝ 3，即h ＝3 ，故V圆台 ＝ h(r ＋ r r ＋ r 1 1 2 2 ) 3 1 7 3 2 2 ＝ ·3(1 ＋ 1 2＋ 2 )＝ . 3 3
4．如果一个几何体的三视图如右图所示(单位长度： cm)， 则此几何体的表面积是( A．(80＋16 2 ) cm2 C．(96＋16
2 ) cm2
) B．96 cm2 D．112cm2
答案：A
解析：将几何体还原，如图：该几何体是由边长为4的正方 体和一个底面边长为4高为2的正四棱锥构成的， 在正四棱锥中，可得EG＝2 2 ，
)
A ． 2 B ． 3 2 C ． 6 D . 6
答案：D
• 解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
a b ＝2 a ＝2 由 题 意 不 妨 设 b c ＝3 ， 解 得 ＝ 1 b a c ＝6 c ＝3
积不变建立等式求解．
空间几何体的表面积和体积
主要知识点归纳：
1．把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面
展开图 ，它的表面积就 图形，称为它的________
展开图 是________ 的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积
2πrl 2πr(r＋l) ； S圆柱侧＝________ ，S柱表＝________ πrl ，S锥表＝________ πr(r＋l) ； S圆锥侧＝________
2 2 2 所 以 长 方 体 的 对 角 线 长 为a b c ＝2 1 3 ＝6 .
2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是
6π，这个圆台的体积是(
)
2 3 7 3 7 3 A . B ． 2 3 C . D . 3 6 3
• 解析：设圆台上、下底面半径分别为r1，r2，母 线长为l，高为h.
S圆台侧
π(r＋r)l ，S ＝________
台表＝________.
π(r2＋r2＋rl＋rl)
3.棱柱、棱锥、棱台的侧面积及表面积 1、S直棱柱侧＝ ch(其中直棱柱的底面周长为c， 高为h)． 2．S正棱锥侧＝ ch′＝ nah′(其中a、c、n、h′分 别为正棱锥底面的边长、周长、边数和正棱锥 的斜高) 3．如果正棱台的上、下底面的周长是c′、c，斜 高是h′，那么它的侧面积是S正棱台侧＝ (c＋ c′)h′ 4．棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和； 棱锥的全面积等于底面积与侧面积的和；棱台 的全面积等于侧面积与两底面积的和．
1 四棱锥的表面积为S1＝4× ×4×2 2 ＝16 2
2 ，正方体
除去一个面的表面积为S2＝5×42＝80，所以几何体的表 面积S＝80＋16
2.
5．有一个正三棱柱，其三视图如图，则其体积等 于(
A．3
)
3
B．1 C.
3 2
D．4
解析：由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱，底面三 角形高为2，
等．
①柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表 示为
②解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法： 1°几何体的“分割” 依据已知几何体的特征，将其分割成若干个易于求
体积的几何体，进而求解．
2°几何体的“补形”
有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几
何体，如长方体、正方体等．
例1.如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且 侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好 过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平
答案：D
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面 积为π，则球的体积为( )
8 8 2 3 2 A B C 8 2 D 3 3 3
解析：截面圆的半径为1，又球心到截面距离等于1， 438 R ＝ 2 ， 故 球 的 体 积 V ＝＝ R 2 . 所以球的半径 3 3
答案：B