巧用平面向量求一类函数值域问题

巧用平面向量求一类函数值域问题

例1.求 2t 1)(-+=t t f 的值域

cos α

则()sin cos f t αα=+

4πα⎛

⎫+ ⎪⎝⎭ ⎡∈⎣ 这样解看似没有问题，可是实际上忽略了α的范围。

于是考虑α范围，cos 0α≥

2,222k k ππαππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦32,2444k k πππαππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦∴

4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭

⎡∈-⎣ 这样做的话很容易漏掉自变量的范围，于是笔者想到一种更为直观的方法

（向量法）解：令a =（1,1）b =（t

则()f t a b =⋅ 在平面直角坐标系中以（0,0）为起点表示两向量，图

中a =AB

,b 的终点在

22x y =1+（y>0）上。

max |()|||f t a b =⋅= min |()|||cos135(1)1f t a b f =⋅=-=-

()

f t ⎡∈-⎣

于是有以下总结：

一般的，对于形如()f x =±其中m ，n 为常数。a ，b 为含自变量x 的式

子，且a+b=正常数)的函数解析式可设

()(,)(f x m n =⋅,根据几何直观求()f x

的值域。特别要注意(的取值范围

例2.求

()f t =的值域

解：设a

=

）b =

）

则()f t a b =⋅=+ 在平面直角坐标系中以（0,0）为起点表示两向量，图中a =AB ,b 的终点在

22x y =1

+（x,y>0）上。 max ()||||212f t a b =⋅=⨯=

min ()()(0)(1)1f t g x g f ====

()[]1,2f t ∈

例3函数(

))120,0,f x b a λλλλ=+〉〉〉的最大值= ,最小值= 。 解：设()12,a λλ=

b=

(

)a b f x λλ=⋅=+

||||cos ,a b a b =⋅〈〉

,a b =〈〉 (

)max f x ∴=当12λλ〉

时，()()2

min =f x f a λ= 当12λλ〈时，

()()min =f x f b λ=

例

4设α

为锐角，证明

1≤≤

证明：令a= (

)b=1,1 |a|1,⎡∈⎣

由图像可知

min a b =a b=|a ||b|=1cos45=1

''''⋅⋅⋅

。

max a b =a b=|a ||b|=1''⋅⋅⋅

1∴≤+≤