巧用平面向量求一类函数值域问题
巧用平面向量求一类函数值域问题
例1.求 2t 1)(-+=t t f 的值域
cos α
则()sin cos f t αα=+
4πα?
?+ ??? ?∈? 这样解看似没有问题，可是实际上忽略了α的范围。
于是考虑α范围，cos 0α≥
2,222k k ππαππ??∈-++????32,2444k k πππαππ??+∈-++????∴
4πα??+ ???
?∈-? 这样做的话很容易漏掉自变量的范围，于是笔者想到一种更为直观的方法
（向量法）解：令a =（1,1）b =（t
则()f t a b =? 在平面直角坐标系中以（0,0）为起点表示两向量，图
中a =AB
,b 的终点在
22x y =1+（y>0）上。
max |()|||f t a b =?= min |()|||cos135(1)1f t a b f =?=-=-
()
f t ?∈-?
于是有以下总结：
一般的，对于形如()f x =±其中m ，n 为常数。a ，b 为含自变量x 的式
子，且a+b=正常数)的函数解析式可设
()(,)(f x m n =?,根据几何直观求()f x
的值域。特别要注意(的取值范围
例2.求
()f t =的值域
解：设a
=
）b =
）
则()f t a b =?=+ 在平面直角坐标系中以（0,0）为起点表示两向量，图中a =AB ,b 的终点在
22x y =1
+（x,y>0）上。 max ()||||212f t a b =?=?=
min ()()(0)(1)1f t g x g f ====
()[]1,2f t ∈
例3函数(
))120,0,f x b a λλλλ=+???的最大值= ,最小值= 。 解：设()12,a λλ=
b=
(
)a b f x λλ=?=+
||||cos ,a b a b =???
,a b =?? (
)max f x ∴=当12λλ?
时，()()2
min =f x f a λ= 当12λλ?时，
()()min =f x f b λ=
例
4设α
为锐角，证明
1≤≤
证明：令a= (
)b=1,1 |a|1,?∈?
由图像可知
min a b =a b=|a ||b|=1cos45=1
''''???
。
max a b =a b=|a ||b|=1''???
1∴≤+≤
利用导数求函数值域
利用导数求函数最值 高二苏庭 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。 导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。 由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．
求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。 运用导数确定函数单调区间的一般步骤为： （1）求出函数y=f(x)的导函数； （2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。 例题剖析 例1、求函数的值域. 分析： 求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解. 解答： 函数的定义域由求得，即x≥－2.
当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1，＋∞）. 点评： （1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误. （2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数 在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值. 例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？ 分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值． 解答：设一段长为xcm，则另一段长(16－x)cm． ∴面积和 ∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8． 列表：
专题10、平面向量中的范围和最值问题
专题十、平面向量中的最值和范围问题 平面向量中的最值和范围问题， 是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根 据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问 题的一般思路是建立求解目标的函数关系， 通过函数的值域解决问题， 同时，平面向量兼具“数” 与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合. 考点1、向量的模的范围 例1、⑴已知直角梯形ABCD 中，AD //BC , ADC 90°,AD 2,BC 1,P 是腰DC 上的 动点，贝U PA 3PB 的最小值为 ______________ . 120 °贝U 的取值范围是 _________________ 变式：已知平面向量a, B 满足| | | | 1，且a 与 的夹角为120 ，则 |(1 t) 2t |(t R)的取值范围是 ______________________ ; 小结1、模的范围或最值常见方法：①通过 |了|2=；2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法. 考点2、向量夹角的范围 例 2、已知 O )B = (2,0), OC = (2,2), CA = (Q2cos a,返 in ",贝 UO )A 与 Ofe 夹角的取值范围是( ) n n n 5 n n 5 n 5 n n A.初 3 B. 4 / C. H ，匚 D. 石，2 小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法. (2) ( 2011辽宁卷理) 若a,b, c 均为单位向量，且a b 0, (a c)(b c) 最大值为( ) (3) ( 2010浙江卷理) A. 2- 1 卜 F B . 1 C. 2 D . 2 )满足 1，且与-的夹角为
平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析 耿素兰山西平定二中(045200 ) 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、 基本运算和性质为主， 解决此类问题 要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 uuu uuu 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O uuv uur uuu uuu 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB,其中 y 的最大值是 C 点变化的变量，建立目标 x y 与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 ，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(丄，一3)， 2 2 C(cos ,sin ) uuur 取最小值时，求 OQ. uuu uuiu uuu 分析：因为点 Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于 OQ 坐标的一个 uju uuu uur 关系式，再根据QAgQB 取最小值求OQ. 分析：寻求刻画 解:设 AOC umr Q OC uuu xOA uuu yOB, (cos ,sin x 上 2 、3y 2 cos sin 因此，当 cos .3sin 2sin( 評 3) 。 3时，x y 取最大值 uuu UJU 例 2、已知 OA (1,7), OB 2。 uur (5,1),OP (2,1),点Q 为射线OP 上的一个动点，当QAgQB uuu uuu 即 1 心)y( ^,
uur 解：设OQ uuu xOP uuu (2x,x),(x 0)，则 QA uuu (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)
专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题
培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，
设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 平面向量中的线性问题 题型一 平面向量的线性运算及应用 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A.AD → ＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13 AC → D.AD →＝43AB →－13 AC → (2)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC → ＝b ，试用a ，b 表示向量AO → . (3)OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1. 变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB → ＋kAC → ，则λ＋k 等于( ) A.1＋ 2 B.2－ 2 C.2 D.2＋2 (2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN → ，则λ＋μ＝________. 题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. (2)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； ③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 变式训练2 (1)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD → |的最大值是________. (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC → ＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 高考题型精练 1.(2015·四川)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥BC → 3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC → ＝ λOA →＋OB → (λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.2 3 4.(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC → 等于( ) 用导数法求函数的最值的练习题解析 一、选择题 1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A. 2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋1 2x 2在[－1,1]上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D.1312 [答案] A [解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0. ∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝13 12 ∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A. 3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22 27 B ．2 C ．－1 D ．－4 [答案] C [解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1 3或x ＝－1 当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝22 27；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C. 4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为3 4 B ．最大值为1，最小值为4 C ．最大值为13，最小值为1 D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A [解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1， 令y ′＝0，∴x ＝1 2，f (－3)＝13，f ? ?? ??12＝34，f (0)＝1. 5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在 [答案] A [解析] y ′＝1 2x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x 由y ′＝0得x ＝1 2，在? ????0，12上y ′>0，在? ????12，1上 y ′<0.∴x ＝1 2时y 极大＝2， 又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2. 6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 《向量的加法运算及其几何意义》教学设计 教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+ A B C C A B A B C A B C 平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y = +2 2||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos |||| a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （2）若ma mb =，则a b =。 （3）若ma na =，则m n =。 （4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。 （5）若||||a b a b ?=?，则//a b 。 （6）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。 题型2.向量的加减运算 平面向量中的最值问题浅析 耿素兰 山西平定二中（045200） 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(, )22 B -，(cos ,sin ) C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 π θ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个 关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1 2 2 (12)(52)(7)(1) 520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解：,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 2 2 ()() () BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+ 求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-== 求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+ ，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b = 。 设a b c -= ，则a =b c + ， c b c b c b -≤+≤+ ， ∴13a ≤≤ 。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与 图 2 图3 2.2.1向量加法运算及其几何意义 知识目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的 和，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向 量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算， 渗透类比的数学方法； 教学重点与难点: 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 教学过程 一、复习引入 问题1：向量的定义以及相等向量的定义是什么？ 1、什么叫向量？ 2、长度为零的向量叫做。零向量的方向具有性。 3、长度等于一个单位的向量叫做。 4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。 5、长度相等且方向相同的向量叫做。 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量 可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 问题2：数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？ 二、探究新知 活动一 元旦假期将到，某人计划外出去三亚旅游，从重 庆（记作A ）到昆明（记作B ），再从B 到三亚（记作 C ），这两次的位移和可以用哪个向量表示？ 形成概念： 1． 向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2． 向量加法的法则 (1) 向量加法的三角形法则 如图3,已知非零向量a 、b ,在平面内任取一点A,作=a ,=b ,则向量叫做a 与b 的和,记作a +b ,即a +b =+=.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 (2) 向量加法的平行四边形法则 如图4,以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为 邻边作平行四边形,则以O 为起点的对角线就是a 与b 的和.把这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 问题4： 对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？ 对于零向量与任意向量a ，我们规定：a +0=0+a =a . 总结: 三角形法则 : 图 4 技巧：十种求初等函数值域的方法 【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法. 【关键词】初等函数；值域 函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结. 一 观察法 观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数2 3+= x y , 显然其值域为),0()0,(+∞?-∞∈y . 此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得. 二 分离常数法 此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如d cx b ax y ++= 形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与 分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域. 例如对于函数2 31--= x x y , 利用恒等变形, 得到: ) 23(31312331)23(3 1--=-- -=x x x y , 容易观察得出此函数的值域为),(),(31 31+∞?-∞∈y . 三 配方法 对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域. 例1 求函数3 42-+-=x x e y 的值域. 解答: 此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得: 1)2(2 +--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u e y =得到y 为增函数且 0>y , 故函数3 42 -+-=x x e y 的值域为: ],0(e y ∈. 四 判别式法 此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数0),(=y x f 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题. 例2 求函数2 212+++= x x x y 的值域. 解答: 先将此函数化成隐函数的形式得: 012)12(2=-+-+y x y yx , (1) 这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式 0)12(4)12(2≥---=?y y y , 解得: 11≤≤- y . 故原函数的值域为: ],[21 21-∈y . 五 基本不等式法 利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件. 例3 求函数1 2++=x x y 的值域. 解答: 211 11 2 ≥+ +== +++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为 ),2[+∞∈y . 与平面向量有关的定值最值问题 1、如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,设点N 是DC 边的中点， 点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM AN ? 的最大值是 A 、4 B 、6 C 、8 D 、10 2、如图，点M 为扇形AOB 的弧的四等分点，动点D C ,分别在线段OB OA ,上， 且.BD OC =若1=OA ，120AOB ? ∠=，则||||+的最小是 ． 3．在ABC ?中，D 是BC 边上一点，3BD DC =，若P 是线段AD 边上一动点，且2AD =，则)3(PC PB PA +?的最小值为 ． 4．已知圆O 的方程为22 2 =+y x ，PA,PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，则PB PA ?的最小值为 A ．246+- B ．246-- C ．248+- D ．248-- 5 、已知点(P 与椭圆22 13 x y +=，且,A B 是过原点的直线l 与椭圆的交点，记m PA PB =? ，则m 的最小值是 . 6．过圆4)2(22=++y x 上一点P 向圆1)2(2 2=-+y x 引两条切线，切点分别为A ．B ，则?的 取值范围 ． 7．动点P （x ，y ）满足1, 25,3,y x y x y ≥?? +≤??+≥? 点Q 为（1，－1），O 为坐标原点，||OP OP OQ λ=? ，则λ的取 值范围是 A ．[55- - B ．[]55 C ．[]55- D ．[55 - 8．已知M ，N 为平面区域360 y 200x y x x --≤?? -+≥??≥? 内的两个动点，向量(1,3)a = ，则?的最大值是____． 9、设点A 在圆122=+y x 内，点)0,(t B ，O 为坐标原点，若集合{ }|C +={ } 9|),(2 2≤+?y x y x ， 则实数t 的最大值为 ． 10．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP FP ? 的最大 值为 ． 11、已知两个单位向量b a ,满足：0)()(,0=-?-=?c b c a b a ，则||c 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.2 12、已知点),(y x P 在由不等式组?? ? ??≥-≤--≤-+010103x y x y x 确定的平面区域内，O 为坐标原点，点A （-1,2），则 AOP OP ∠?cos ||的最大值是 A ．55- B ．553 C ．０ D ．5 13．平面向量,a b 满足：4=? 3=- 的最大值与最小值的和是 . 14.已知ABC ? 中，4,AB AC BC ===点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则()AP AB AC ?+ 满足 A.最大值为16 B.最小值为4 C.为定值8 D.与P 的位置有关 向量的加法及其几何意义 一、教材分析 高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标 根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。 函数值域的求法 函数值域的求法方法有好多, 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 二、函数单调性法 例求函数 的值域. （1）求函数 的值域 ⑵ ⑶ 三、基本不等式法 例1 已知 ，求函数 的值域。[来源:#zzst*ep.%com^@] 求函数 的值域。[中国 四、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 的值域。 1.求值域： ； 2.求函数y= 的值域. 3．函数 的值域是（） A． B． C． D． 4、 变式1：当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是______________ 变式2：（1）求 最值。（-----动轴定区间） （2）求 的最值（----------定轴动区间） 五、根判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如: 例1 求函数 的值域。 六、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例求函数 值域。 七.换元法 1．求函数 的值域． 2.求函数 的值域。 3.函数 的值域为 八、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 例求函数 ， ， 的值域。 第四讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题, 掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O是ABC △所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｄ．2AO OD AO OD = AO OD =Ｂ．2 =Ｃ．3 平面向量中的最值问题 1．求向量的模的最值或取值范围． 2．求平面向量的夹角的最值或取值范围． 3．求平面向量数量积的最值或取值范围． 【复习指导】 本讲复习时，应结合平面向量数量积的定义及其几何意义，将有关的量表示出来，代数或几何方法求解最值与取值范围． 基础梳理 求最值的方法小结 ㈠．几何方法 ⑴．平面几何方法： 两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值 ⑵．解析几何方法 利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值； 先求轨迹，后求最值 ㈡．代数方法 ⑴．函数方法： 首先分析要求的量的变化和什么因素有关，从而选定变量，建立函数关系式，利用函数有关知识求解最值问题，另外有些问题需结合导数知识求解； ⑵．利用基本不等式求解； ⑶．利用三角函数求解． 双基自测 ㈠．求模的最值或范围 1．平几法求最值 【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为3 π ，||4,||1OA OB ==，若点M 在直线OB 上，则||OA OM - 的最小值为________．练习1．⑴．(11全国大纲)设向量,,a b c 满足1||||1,,,602 a b a b a c b c ==?=-<-->=，则||c 的 最大值等于________． 【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大． 解：如图，构造,,,120AB a AD b AC c BAD ===∠=， 60BCD ∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，分析可知当线段AC 为 直径时，||c 最大，最大值为2． ⑵．已知向量,||1a e e ≠=，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则下列结论正确的是________． ①a e ⊥ ②．()a a e ⊥- ③．()e a e ⊥- ④．()()a e a e +⊥- 解法一：由||||a te a e -≥-知，2 2 ||||a te a e -≥-，即222||2||21a ta e t a a e -?+≥-?+，化简得， 22(1)1t a e t -?≤-，当1t ≤时，即212a e t ?≥+≤恒成立，故1a e ?≥；当1t >时，即212a e t ?≤+>，故1a e ?≤．故1a e ?=，故③成立． 解法二：22(1)1t a e t -?≤-，即2 2210t a et a e -?+?-≥任意t R ∈恒成立，故24()a e ?=?- 840a e ?+≤，即1a e ?=，故③成立． 解法三：由几何意义可知，在所有的向量a te -中，以a e -的模最小，故()e a e ⊥-． 【例2】(08浙江)已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足：()()0a c b c -?-=，则||c 的最大值是___________． 解法一：由()()0a c b c -?-=可得，2||()||||cos c a b c a b c θ=+?=+(其中θ为a b +与c 的夹 角)，即||()||cos c a b c a b θθ=+?=+≤,故||c 的最大值是2． 解法二：作四边形OABC ，设,,OA a OB b OC c ===，则由已知得，90,90AOB ACB ∠=∠=， 专题 求函数值域的常用方法及值域的应用 三、值域的概念和常见函数的值域........................................... 错误!未定义书签。 四、求函数值域（最值）的常用方法......................................... 错误!未定义书签。 .直接法 ............................................................. 错误!未定义书签。 配方法 .............................................................. 错误!未定义书签。 换元法 .............................................................. 错误!未定义书签。 基本不等式法 ........................................................ 错误!未定义书签。 函数的单调性（导数）法 .............................................. 错误!未定义书签。 数形结合法 .......................................................... 错误!未定义书签。 函数的有界性法 ...................................................... 错误!未定义书签。 分离常数法 .......................................................... 错误!未定义书签。 三角函数中的值域问题 ................................................ 错误!未定义书签。 五、高考真题汇编 ........................................................ 错误!未定义书签。 三、值域的概念和常见函数的值域 1、定义：函数值y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?.， 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)
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