理想变压器和全耦合变压器
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.
8-5-1 理想变压器的阻抗变换
由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以 以n倍的关系变换电压、电流外，还可以有n2 倍的关系变换阻抗。
如：从初级看进去的等效电阻为
i1
Ri ui11 i2
nu2 n2 n 1i2
u2 i2
n2RL
+
+
u 1 * * u 2 RL
+ i1 u1
n 2 RL
-
-
-
n:1
+
U1 n 2 Z 2
-
*
*
+
U2
-
N
b
n:1 d
由图(a)：(a)
(b)
U1 n U2
I1
1 n
I2
1 n
( I2 " I2 ' )
1 ( U2 n Z2
I2 ' )
U1 n2Z 2
I1 '
得图(b)。上式中：I1 '
1 n.
I2 '
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
a I1
I2 c
+
.
由于同名端的不同，理想变压器还有另一个 电路模型，其伏安关系为
i1
+
u1
-
*
*
n:1
i2
+
u2
-
u1 u2
n
i1 1
i 2 n
当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两 种情况，这两种VCR仅差一个符号。
.
8 -4 -1 理想变压器伏安关系推导
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压
器着手推导理想变压器的VCR：当线圈的电压、
-
**
n:1
n i1
**
n:1
++
u2 u1
--
i1
++
u 2 nu 2
-.
-
*
u2
*
n:1 n i1 +
-
* *
u2
+
n:1
8 -4-2 全耦合变压器的电路模型
实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而 不满足第三个条件，那就是全耦合变压器。两 线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有**
式，有
i1L 11tu1()dn 1i2ii1
可见，全耦合变压 器的初级电流有两
部分组成，其中 i
称为激磁电流。其 等效电路模型如图
i1 i1 '
+
u1
i
*
L1
i2
*
-
n:1
+
u2
-
所示。
.
上图中，L1 称为激磁电感。这也说明理想变 压器由于 L1 为无穷大(极限情况)，故不需要 激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。
工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常
律，初、次级电压分别为
u1
d1
dt
N1
d
dt
u2
d 2
Biblioteka Baidudt
N2
d
dt
故得： u1 N1 n
u2 N2
.
由耦合电感VCR的第一式：
u1
L1
di1 dt
Mdi2 dt
从 到 t 积分，有 t u1()d L1i1Mi2
得： i1L 11tu1()dM L1i2
由自感、互感的定义： N111L1i1,N112M2i
阻抗为
Zi n2ZL
上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：
1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。
.
1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；
a I1
I2 I2 ' c
+
U1
*
*U+2
I2 " Z2
N
-
-
b n:1
d
a I1 I1 '
I2 ' c
pu 1 i1u 2i2(n2)u (n 1i2)u 2i20
可见：理想变压器既不耗能，也不储能。 .
为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的
两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线
圈的电压(标同名端处假设为正极)、电流(一侧
流入另一侧流出)应如下图假设：
i1
i2
i1
i2
+
u1
-
ii11
+
nu 2
N221M1,iN222L2i2
得：L1 M L1 N1 n
M L2 L2 N2
得：
i1
1 L1
tu1(). dn 1i2
**
由于u1为有限值，当L1 ,
L1 n 保持不变，即
L2
满足理想化的第三个条件，有
i1
1 n
i2
类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。
由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变 压器是一种无记忆元件，也称即时元件。如代 入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：
有理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压 器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想 变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：
i1
+
u1
-
**
n:1
i2
i1
++
u2 u1
i2 n
--
i2
+
+u 1 －n
u2
-
.
理想变压器可以看成是耦合电感或空芯 变压器在理想条件下的极限情况: (1)耦合电感无损耗，即线圈是理想的； (2)耦合系数k=1，即是全耦合 M L1L2 ； (3)自感系数L1和L2 均为无限大，但 L1 / L2等 于常数， 互感系数 M L1L2 也为无限大。
US
Z 1 +U1*
*
+
U2
相交链，即：112,1 2212 ,若 初、次级 线圈
的匝数分别为N1和N2，则两线圈的总磁链分别 为：
11 1 1 2N 1(1 11)2 N 1(1 1 2)2 N 1
22 2 2 1N 2(2 2 2)1 N 2(1 1 2)2 N 2
式中，1122称为主磁通，由电磁感应定
.
显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无 关。
对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参 考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：
U 1 n U 2, I 2n I 1
I1
n I1
I1
n I1
+
nU2
**
++
U2 nU2
*
-
U2
-
--
*
+
n:1
n:1
.
若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效
采用导磁率 很高的磁性材料做变压器的芯子。
而在保持匝比不变得情况下，增加线圈的匝数， 并尽量紧密耦合，使k接近于1。同时使 L1,L2,M 非常非常大，认为增大到无限大。
.
8-5 含理想变压器电路的分析计算
由于全耦合变压器的等效电路中同样含有理想 变压器，激磁电感 ( 即初级电感 ) 可以认为是 外接电感，故本节也包括了全耦合变压器电路 的分析计算。
8-4.理想变压器和全耦合变压器
理想变压器也是一种耦合元件。它是实际
变压器在理想条件下的电路模型。理想变压器 的电路符号如下图，在如图同名端、电压和电 流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：
i1
+
u1
-
**
n:1
i2
+
u2
-
u1 n u2
i1
1
i2
n
理想变压器的唯一参数. 是变比(或匝比): n
电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合
线圈的VCR：
d d d
di di
v1d1t
11 dt
d1t2vL1vM1
L1 d1tMd2t
v2 dd2tdd2t2dd2t1vL2vM2 L2 dd2itMdd1it
这里仅讨论第一种(相加的)情况。当耦合系数
k=1时：
.
电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈
8-5-1 理想变压器的阻抗变换
由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以 以n倍的关系变换电压、电流外，还可以有n2 倍的关系变换阻抗。
如：从初级看进去的等效电阻为
i1
Ri ui11 i2
nu2 n2 n 1i2
u2 i2
n2RL
+
+
u 1 * * u 2 RL
+ i1 u1
n 2 RL
-
-
-
n:1
+
U1 n 2 Z 2
-
*
*
+
U2
-
N
b
n:1 d
由图(a)：(a)
(b)
U1 n U2
I1
1 n
I2
1 n
( I2 " I2 ' )
1 ( U2 n Z2
I2 ' )
U1 n2Z 2
I1 '
得图(b)。上式中：I1 '
1 n.
I2 '
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
a I1
I2 c
+
.
由于同名端的不同，理想变压器还有另一个 电路模型，其伏安关系为
i1
+
u1
-
*
*
n:1
i2
+
u2
-
u1 u2
n
i1 1
i 2 n
当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两 种情况，这两种VCR仅差一个符号。
.
8 -4 -1 理想变压器伏安关系推导
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压
器着手推导理想变压器的VCR：当线圈的电压、
-
**
n:1
n i1
**
n:1
++
u2 u1
--
i1
++
u 2 nu 2
-.
-
*
u2
*
n:1 n i1 +
-
* *
u2
+
n:1
8 -4-2 全耦合变压器的电路模型
实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而 不满足第三个条件，那就是全耦合变压器。两 线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有**
式，有
i1L 11tu1()dn 1i2ii1
可见，全耦合变压 器的初级电流有两
部分组成，其中 i
称为激磁电流。其 等效电路模型如图
i1 i1 '
+
u1
i
*
L1
i2
*
-
n:1
+
u2
-
所示。
.
上图中，L1 称为激磁电感。这也说明理想变 压器由于 L1 为无穷大(极限情况)，故不需要 激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。
工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常
律，初、次级电压分别为
u1
d1
dt
N1
d
dt
u2
d 2
Biblioteka Baidudt
N2
d
dt
故得： u1 N1 n
u2 N2
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由耦合电感VCR的第一式：
u1
L1
di1 dt
Mdi2 dt
从 到 t 积分，有 t u1()d L1i1Mi2
得： i1L 11tu1()dM L1i2
由自感、互感的定义： N111L1i1,N112M2i
阻抗为
Zi n2ZL
上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：
1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。
.
1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；
a I1
I2 I2 ' c
+
U1
*
*U+2
I2 " Z2
N
-
-
b n:1
d
a I1 I1 '
I2 ' c
pu 1 i1u 2i2(n2)u (n 1i2)u 2i20
可见：理想变压器既不耗能，也不储能。 .
为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的
两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线
圈的电压(标同名端处假设为正极)、电流(一侧
流入另一侧流出)应如下图假设：
i1
i2
i1
i2
+
u1
-
ii11
+
nu 2
N221M1,iN222L2i2
得：L1 M L1 N1 n
M L2 L2 N2
得：
i1
1 L1
tu1(). dn 1i2
**
由于u1为有限值，当L1 ,
L1 n 保持不变，即
L2
满足理想化的第三个条件，有
i1
1 n
i2
类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。
由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变 压器是一种无记忆元件，也称即时元件。如代 入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：
有理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压 器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想 变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：
i1
+
u1
-
**
n:1
i2
i1
++
u2 u1
i2 n
--
i2
+
+u 1 －n
u2
-
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理想变压器可以看成是耦合电感或空芯 变压器在理想条件下的极限情况: (1)耦合电感无损耗，即线圈是理想的； (2)耦合系数k=1，即是全耦合 M L1L2 ； (3)自感系数L1和L2 均为无限大，但 L1 / L2等 于常数， 互感系数 M L1L2 也为无限大。
US
Z 1 +U1*
*
+
U2
相交链，即：112,1 2212 ,若 初、次级 线圈
的匝数分别为N1和N2，则两线圈的总磁链分别 为：
11 1 1 2N 1(1 11)2 N 1(1 1 2)2 N 1
22 2 2 1N 2(2 2 2)1 N 2(1 1 2)2 N 2
式中，1122称为主磁通，由电磁感应定
.
显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无 关。
对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参 考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：
U 1 n U 2, I 2n I 1
I1
n I1
I1
n I1
+
nU2
**
++
U2 nU2
*
-
U2
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--
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n:1
n:1
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若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效
采用导磁率 很高的磁性材料做变压器的芯子。
而在保持匝比不变得情况下，增加线圈的匝数， 并尽量紧密耦合，使k接近于1。同时使 L1,L2,M 非常非常大，认为增大到无限大。
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8-5 含理想变压器电路的分析计算
由于全耦合变压器的等效电路中同样含有理想 变压器，激磁电感 ( 即初级电感 ) 可以认为是 外接电感，故本节也包括了全耦合变压器电路 的分析计算。
8-4.理想变压器和全耦合变压器
理想变压器也是一种耦合元件。它是实际
变压器在理想条件下的电路模型。理想变压器 的电路符号如下图，在如图同名端、电压和电 流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：
i1
+
u1
-
**
n:1
i2
+
u2
-
u1 n u2
i1
1
i2
n
理想变压器的唯一参数. 是变比(或匝比): n
电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合
线圈的VCR：
d d d
di di
v1d1t
11 dt
d1t2vL1vM1
L1 d1tMd2t
v2 dd2tdd2t2dd2t1vL2vM2 L2 dd2itMdd1it
这里仅讨论第一种(相加的)情况。当耦合系数
k=1时：
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电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈