高中第一册(下)数学正弦定理 余弦定理 同步练习
1.1 正弦定理和余弦定理(练习)
C b A
CH=bsinA<a<b 有两个解
试试： 1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？
2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？
二. 合作交流
1 在 ABC 中，已知 a 80 ， b 100 ， A 45 ，试判断此三角形的解的情况．
1 2. 在 ABC 中，若 a 55 ， b 16 ，且 ab sin C 220 3 ，求角 C． 2
年 级：高二学 科：数学
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：1.1 正弦定理和余弦定理（练习） 制单人：田志龙
一. 自主学习 1 学习目标
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．
，a＝25，b＝50 2 ； 6 50 6 ② A＝ ，a＝ ，b＝50 2 ； 3 6 ③ A＝ ，a＝50，b＝50 2 . 6
① A＝ 思考：解的个数情况为何会发生变化？ 新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时） ．
已知边a,b和A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 ab 仅有一个解 H B C b C a
三. 拓展延伸
1、1. 在 ABC 中， a xcm ， b 2cm ， B 45 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围．
四、当堂训练
1. 已知 a、b 为△ABC 的边，A、B 分别是 a、b 的对角，且 A.
sin A 2 ab 的值=（ ，则 sin B 3 b
2024届新高考数学复习：专项(正弦定理、余弦定理及解三角形)历年好题练习(附答案)
2024届新高考数学复习：专项（正弦定理、余弦定理及解三角形）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3 ，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23 ，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．66．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( ) A ．5 B ．5 C ．2 D ．18．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522 m9．在△ABC 中，cos C 2 ＝5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A ．42 B ．30 C ．29 D ．25二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13 ，则cos (π＋B )＝________．12．[2023ꞏ全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．[提升练习]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ꞏcos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 14．[2023ꞏ全国甲卷(理)]已知四棱锥P -ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．6215．[2022ꞏ全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB 取得最小值时，BD ＝________．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于________．参考答案1．C 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×33＝2，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4 .2．C 由正弦定理bsin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin C c ＝40×320 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．C 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12 ，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 . 4．C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12，∴sin A ＝1－cos 2A ＝3 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×3 ＝3 . 5．D ∵b sin A ＝3c sinB ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ꞏcos B ＝9＋1－2×3×23 ＝6，∴b ＝6 .6．B ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．B ∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22 ，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ꞏBC ꞏcos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ꞏBC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22 ＝5，∴AC ＝5 .8．A 由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C ，∴AB ＝AC ꞏsin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°）＝502 . 9．A ∵cos C 2 ＝5 ，∴cos C ＝2cos 2C 2 －1＝2×⎝⎛⎭⎫55 2－1＝－35 .在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ꞏBC ꞏcos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35 ＝32，所以AB ＝42 ，故选A.10.23 π答案解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23 π.11．①90° ②－13答案解析：①∵c ＝a ꞏcos B ，∴c ＝a ꞏa 2＋c 2－b 22ac ，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cosB ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．2答案解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC ＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×ADsin 30°，所以AD ＝23ACAC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6ACAC ＋2.由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC （AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.13．AB ∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×3 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7 <0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．C如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ꞏAC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ꞏBC＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ꞏBC sin ∠PCB ＝42 ，故选C.15.3 －1答案解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4 ，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2 ＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16.125答案解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125 .。
高考数学 专题3.3 正弦定理和余弦定理同步单元双基双测(A卷)理-人教版高三全册数学试题
专题3.3 正弦定理和余弦定理（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．12B ．1C ．3D ．2 【答案】C ． 【解析】试题分析：由222a b c bc =+-，可得 60=A ，则所求面积3sin 21==A bc S ，故选C ． 考点：余弦定理．2. 【2018全国名校联考】已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角所对的边，满足cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C故选C3. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知 45,3,2===A b a ，则角B 大小为A ．60 B ．120 C ．60或120 D ．15或75【来源】【百强校】2017届某某某某市高三9月摸底考试数学（文）试卷（带解析） 【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理可得:B sin 345sin 20=，由此可得23sin =B ，因a b >，故=B 60或 120，所以应选C .考点：1、正弦定理在解三角形中的应用.4.【2018某某永州一模】在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2sin sin sin B A C =+，3cos 5B =，且6ABC S ∆=，则b =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C5. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为：（ ） A ．400米 B ．500米 C ．700米 D ．800米 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，在ABC 中，300AC =米，500BC =米，120ACB ∠=︒，则利用余弦定理得：2223005002300500cos120AB =+-⨯⨯⨯︒，所以700AB =米，答案为C.考点：1.数学模型的建立；2.三角形中的余弦定理.6.∆ABC 外接圆半径为R ，且2R （22sin sin A C -）=(3)sin a b B -，则角C=（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】A 【解析】试题分析：根据正弦定理变形：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=，所以原式可转化为：()223a c a b b -=-，所以得：2223a c b ab -+=，根据余弦定理：2223cos 22a b c C ab +-==，又0180C <<，所以30C =。
考点28正弦定理、余弦定理(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版
考点28正弦定理、余弦定理（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．【知识点】1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝ ＝ ＝2Ra 2＝ ；b 2＝ ；c 2＝变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝ ，c ＝；(2)sin A＝a2R ，sin B＝，sin C ＝；(3)a ∶b ∶c ＝____________cos A ＝ ；cos B ＝；cos C ＝2．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝ ＝ ＝ ；(3)S ＝ (r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cosA ＋B2＝sin C2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .(6)三角形中的面积S p ＝12(a ＋b ＋c )).【核心题型】题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形(1)由y ＝sin ωx 的图象到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值【例题1】（2024·广东江门·二模）P 是ABC V 内一点，45,30ABP PBC PCB ACP Ð=°Ð=Ð=Ð=°，则tan BAP Ð=（ ）A ．23B ．25C ．13D ．12【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos cos cos b B a C c A =+，且34b c =，则C =.【变式2】（2024·山东日照·二模）ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且123S S S --=．(1)求角A ；(2)若4BD CD =uuu r uuu r ，π6CAD Ð=，求sin ACB Ð．【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin 1cos cos C C B B A -=-.(1)求角A 的大小；(2)若ABC V 为锐角三角形，点F 为ABC V 的垂心，6AF =，求CF BF +的取值范围.题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 三角形的形状判断判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．【例题2】（2024·陕西渭南·三模）已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos cos b C c B b +=，且cos a c B =，则ABC V 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2sin 2A B =，则ABC V 的形状为 .【变式2】（2024·安徽淮北·二模）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22sin 2Ac b c -=(1)试判断ABC V 的形状；(2)若1c =，求ABC V 周长的最大值.【变式3】（2024·内蒙古·三模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且())cos cos a C c B A =-.(1)求ba的值；(2)若2B C =，证明：ABC V 为直角三角形.命题点2 三角形的面积三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【例题3】（2024·云南昆明·三模）已知ABC V 中，3AB =，4BC =，AC =ABC V 的面积等于（ ）A ．3B C ．5D ．【变式1】（2024·安徽·三模）在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a =sin 1cos ()(sin sin )sin 3sin ,sin cos C Ca c A Cb Bc A B B-++=+=，则ABC V 的面积是．【变式2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形ABC 中，内角,,A B C 对应边分别为,,a b c 且cos sin 2b C B a c =+.(1)求B Ð的大小；(2)如图所示，D 为ABC V 外一点，DCB B Ð=Ð，CD =1BC =，30CAD Ð=o ，求sin BCA Ð及ABC V 的面积.【变式3】（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，已知()sin sin sin sin sin A B CA B B+=-.(1)求证：sin 2sin A B =；(2)若D 为AB 的中点，且AB =CD =ABC V 的面积.命题点3 与平面几何有关的问题在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想【例题4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，2,2120AB AD B D °==Ð=Ð=，记ABC V 与ACD V 的面积分别为12,S S ，则21S S -的值为（ ）A ．2BC ．1D【变式1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在ABC V 中，1sin 3A =，AB =D 、E 分别在边BC 、AC 上，EC EB =，ED BC ^且1DE =.则cos C 值是 ；ABE V 的面积是.【变式2】（2024·广东梅州·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ^，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC V 的面积ABC S V ．【变式3】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP q q Ð=Î.(1)当2π3q =时，求APM △的面积；(2)试确定q 的值，使得APM △的面积等于AOP V 的面积的2倍.【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·河南新乡·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且7a =，3b =，5c =，则（ ）A ．ABC V 为锐角三角形B ．ABC V 为直角三角形C ．ABC V 为钝角三角形D ．ABC V 的形状无法确定2．（2024·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，D 为AC 的中点，已知2c =，BD =cos cos 2cos a B b A c B +=-，则ABC V 的面积为（ ）A ．BCD 3．（23-24高三下·河南·阶段练习）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2239b c c =++，ABC Ð的平分线交边AC 于点D ，且2BD =，则b =（ ）A ．B ．C ．6D ．4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在ABC V 中，1202ACB BC AC Ð=°=，，D 为ABC V 内一点，AD CD ^，120BDC Ð=°tan ACD Ð=（ ）A ．BCD 二、多选题5．（2024·江西·二模）已知ABC V 中，1,4,60,AB AC BAC AE ==Ð=°为BAC Ð的角平分线，交BC 于点,E D 为AC 中点，下列结论正确的是（ ）A ．BE =B ．AE =C ．ABE VD ．P 在ABD △的外接圆上，则12PB PD +6．（2024·重庆·模拟预测）已知ABC V 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的有（ ）A ．若a b >，则sin sin A B>B ．若a b >，则cos cos A B>C ．若222a b c +<，则ABC V 为钝角三角形D ．若222a b c +>，则ABC V 为锐角三角形三、填空题7．（2024·北京昌平·二模）已知ABC V 中，34,2,cos 4a b c A ===-，则ABC S =V ．8．（2024·江苏·二模）设钝角ABC V 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若2a =，sin b A =3c =，则b = .9．（2024·河南·三模）如图，在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,45,3B A c a ==-=o o ，B Ð的平分线BD 交边AC 于点,D AB 边上的高为,CF BC 边上的高为,AE BD CF P Ç=，,AE CF R BD AE Q Ç=Ç=，则PQR Ð= ；PQ = .四、解答题10．（2024·上海宝山·二模）在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.(1)求角B 的大小；(2)若ABC V a c +的最小值，并判断此时ABC V 的形状.11．（2024·江西·ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其外接圆的半径为cos sin b C a B =．(1)求角B ；(2)若B Ð的角平分线交AC 于点,D BD =E 在线段AC 上，2EC EA =，求BDE △的面积．【综合提升练】一、单选题1．（2024·浙江金华·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c .若a =2b =，60A =°，则c 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．1或32．（2024·青海西宁·二模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若b =，且cos 2cos 33A AC +=，则cos C 的值为（ ）A B C D 3．（2024·山东·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++，则cos A =（ ）A ．12-B ．13C ．12D ．234．（2024·四川成都·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，给出以下4个命题：（1）若a b >，则cos2cos2A B <；（2）若cos cos a B b A c -=，则ABC V 一定为直角三角形；（3）若4a =，5b =，6c =，则ABC V （4）若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC V 一定是等边三角形.则其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22cos a b c B +=，且sin sin 1A B +=，则ABC V 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．顶角为120°的等腰三角形C ．顶角为150°的等腰三角形D ．等腰直角三角形6．（2024·吉林长春·模拟预测）ABC V 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ==､､，则c =（ ）A ．2B C D ．17．（2024·河北秦皇岛·三模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2B C =，b ，则（ ）A ．ABC V 为直角三角形B ．ABC V 为锐角三角形C ．ABC V 为钝角三角形D ．ABC V 的形状无法确定8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形ABCD 满足2AC =，30CAB CAD Ð=Ð=°，则四边形ABCD 的面积为（ ）A B C ．3D ．二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）若ABC V 的三个内角为,, A B C ，则下列说法正确的有（ ）A ．sin ,sin ,sin A B C 一定能构成三角形的三条边B ．sin 2,sin 2,sin 2 A B C 一定能构成三角形的三条边C ．222sin ,sin ,sin A B C 一定能构成三角形的三条边D 一定能构成三角形的三条边10．（2024·广东广州·二模）在梯形中，3//,1,3,cos 4AB CD AB CD DAC ACD ==Ð=Ð=，则（ ）A ．AD =B ．cos BAD Ð=C ．34BA AD ×=-uuu r uuu r D ．AC BD^11．（2024·浙江·三模）已知 ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin sin 2A C b A +×=×，下列结论正确的是（ ）A ．π3B =B ．若 45a = ，则 ABC V 有两解C ．当a c -=时， ABC V 为直角三角形D ．若 ABC V 为锐角三角形，则 cos cos A C + 的取值范围是三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）已知在ABC V 中，点M 在线段BC 上，且π10,14,6,4AM AC MC ABC ===Ð=，则AB = ．13．（2024·湖南长沙·二模）在ABC V 中，若2BC =，4tan 3A =-，4cos 5B =，则AC = .14．（2024·福建厦门·三模）记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若32cos b aC a b=-，则B 的取值范围是 .四、解答题15．（2024·陕西西安·模拟预测）设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且向量(,),(,sin )m a b n A B ==u r r 满足//m n u r r .(1)求A ；(2)若3a b ==，求BC 边上的高h .16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，//AB CD ，sin cos AD D ACD ×=×Ð，BAC Ð的角平分线与BC 相交于点E ，且1,AE AB ==(1)求ACD Ð的大小；(2)求BC 的值.17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A ，C 之间的距离，如图，B 处为码头入口，D 处为码头，BD 为通往码头的栈道，且100m BD =，在B 处测得π6π4ABD CBD Ð=Ð=，在D 处测得2π3π34BDC ADC Ð=Ð=．（A ，B ，C ，D 均处于同一测量的水平面内）(1)求A ，C 两处景点之间的距离；(2)栈道BD 所在直线与A ，C 两处景点的连线是否垂直？请说明理由．18．（2024·湖南·模拟预测）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()3cos ,sin sin sin 3sin 5A a c A C bB c A =++=+．(1)证明：ABC V 是锐角三角形；(2)若2a =，求ABC V 的面积．19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从①2sin cos cos cos a B B C B =；②()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-；a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________，(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，1c =，求22a b +的取值范围.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·山东·二模）在ABC V 中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设甲：(cos cos )b c a C B -=-，设乙：ABC V 是直角三角形，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2024·安徽·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =（ ）A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π63．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”O PQ 中，准备修一条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径3OP =，圆心角π3POQ Ð=，A 是扇形弧上的动点，B 是半径OQ 上的动点，//AB OP ，则OAB V 面积的最大值为（ ）A B ．34C D ．354．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥P ﹣ABC 所有棱长都等于2，动点M 在三棱锥P ﹣ABC 的外接球上，且0,||AM BM PM ×=uuuu r uuuu r uuuu r的最大值为s ，最小值为t ，则:s t =（ ）A ．2BCD ．3二、多选题5．（2024·湖北·模拟预测）在ABC V 中，,,A B C 所对的边为,,a b c ，设BC 边上的中点为M ，ABC V 的面积为S ，其中a =，2224b c +=，下列选项正确的是（）A ．若π3A =，则S =B ．S 的最大值为C ．3AM =D ．角A 的最小值为π36．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ）A ．若cos cos a A bB =，则ABC V 一定是等腰三角形B ．若cos()cos()1A B B C -×-=，则ABC V 一定是等边三角形C ．若cosC cos a c A c +=，则ABC V 一定是等腰三角形D ．若cos(2)cos 0B C C ++>，则ABC V 一定是钝角三角形三、填空题7．（2024·全国·三模）在ABC V 中，()cos ,sin AB q q =uuu r ，()3sin ,3cos BC q q =uuu r .若2AB BC ×=uuu r uuu r ，则ABC V 的面积为 .8．（2024·陕西铜川·三模）已知ABC V ,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，点D 是AB 的中点.若22cos a b c B +=，且1,AC CD ==，则AB = .9．（2024·广西·模拟预测）在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC V 的面积(1cos )S bc A =-，则2a bc的取值范围为 ．四、解答题10．（2024·河南·三模）已知P 是ABC V 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ÐÐÐq ====.(1)若π,24BC q ==AC ；(2)若π3q =，求tan BAP Ð.11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD 铺设草坪，其中2AB =百米，1BC =百米，AD CD =，AD CD ^，草坪内需要规划4条人行道DM 、DN 、EM 、EN 以及两条排水沟AC 、BD ，其中M 、N 、E 分别为边BC 、AB 、AC 的中点．(1)若π2ABC Ð=，求排水沟BD 的长；(2)若ABC a Ð=，试用a 表示4条人行道的总长度．。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5
1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ， 则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°. 8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5， 长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.能力提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32. 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ． 2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. [答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝AB →·BC →＋BD →·BC → ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83.三、解答题7．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积． [解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ， 即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a ＝3，C ＝60°，△ABC 的面积为332，求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC ＝12ab sin C ，∴332＝12×3b ×sin60°＝12×3b ×32， ∴b ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×cos60° ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴c ＝7.。
3-6第六节 正弦定理和余弦定理练习题(2015年高考总复习)
第六节 正弦定理和余弦定理时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析 利用a sin A ＝bsin B 代入计算即可． 答案 B2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析 ∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2. cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＜0，∴C 为钝角． 答案 C3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.① 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos60°＝ab ，②将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43. 答案 A4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析 23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，所以cos 2A ＝125，因为A 是锐角，所以cos A ＝15，由余弦定理得49＝36＋b 2－2×6b ×cos A ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)，故选D.答案 D5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析 由正弦定理得c sin C ＝bsin B ⇒c ＝2×2212＝22，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(π6＋π4)＝6＋24，所以三角形面积为S ＝12bc sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1，故选B.答案 B6．(2014·湖南五市十校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，若cos A ＋sin A －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋b c 的值是( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析 (cos A ＋sin A )(cos B ＋sin B )＝2，cos A cos B ＋cos A sin B ＋sin A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，cos(A －B )＋sin C ＝2.所以cos(A －B )＝1，sin C ＝1，所以A －B ＝0且C ＝90°，所以A ＝B ＝45°，该三角形为等腰直角三角形，所以a ＋bc ＝ 2.答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 解析 由余弦定理可得cos B ＝22＋c 2－b 22×2c ＝－14，又b ＋c ＝7，从而cos B ＝22＋(7－b )2－b 22×2×(7－b )，化简得15b ＝60，解得b ＝4.答案 48．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2＋2ab －c 2＝ab ，则a 2＋b 2－c 2＝－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又C 是三角形的内角，所以C ＝2π3.答案 2π39．(2013·福建卷)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD ) ＝cos ∠BAD ＝223，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝18＋9－2×92×223＝3.∴BD ＝ 3. 答案3三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. 又角A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3. (2)由正弦定理，得bc ＝a 2， 又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc . ∴(b －c )2＝0，即b ＝c .又A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．11．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (Ⅰ)求cos A 的值； (Ⅱ)求c 的值．解 (Ⅰ)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(Ⅱ)由(Ⅰ)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A ＝5.12．(2014·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 解 (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ， ∴sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2.由sin C 2≠0，得2cos C 2＋1＝2sin C 2， ∴sin C 2－cos C 2＝12.两边平方，得1－sin C ＝14，∴sin C ＝34. (2)由sin C 2－cos C 2＝12>0，得π4<C 2<π2， 即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得(a －2)2＋(b －2)2＝0， 得a ＝2，b ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27， 所以c ＝7＋1.。
完整版高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解
高考总复习高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题在观察，灯塔A与海洋观察站C的距离都等于．(2010·a广东六校km)两座灯塔A 和B1的距离为A与灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔站C的北偏东20°，灯塔B) ()km.( B.2a A．aD.3 a C．2aD答案][. ＝120°][解析依题意得∠ACB由余弦定理222AB＋BC－AC＝cos120°BC·2AC222AC·BC＝AC cos120°＋BC－2∴AB1??－2222a －a＝a2＝3a＋??2D.故选＝∴AB3a.π3”是“∠A>”的(sin(2．文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中，“A>) 23 B．必要不充分条件．充分不必要条件AD．既不充分也不必要条件C．充要条件A[答案]ππ33，则∠中，若][解析在△ABC sin A>A>，反之∠A>时，不一定有sin A>，如A2332π5π5π1. sin＝＝sin＝时，A sin＝2666) (Bb＝cos”的Aaba，、所对的边长为、角ABC)(理在△中，ABab则“＝”是“cos ．必要不充分条件B A．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件．充要条件DA]答案[ BA时，ba解析[]当＝＝，cos bA cos a∴＝B；＝Aa当cos Bb cos时，由正弦定理得A cos A sin··B sin＝，cos B含详解答案．高考总复习∴sin2sin2，AB＝，－2B2B或∴22AA＝＝ππ.＝A＋B∴A＝B或2222.＝b或ac＋b则a＝，cos B”“a cos A＝b所以“a＝b”?A.b”，故选”?/ “a＝“a cos A＝b cos B，ABC＝120°B、C两地的距离为20km，观测得∠3．已知A、B两地的距离为10km，)(则AC两地的距离为3km B. 10kmA．7kmD C．105km ．10D[答案]，由余弦20，∠B＝120°[解析]如图，△ABC中，AB＝10，BC＝定理得，222 cos120°AC·＝ABBC＋BC·－2AB1??－22×＝700，＝1020＋202－×10×??2D.7km.∴选∴AC＝10b－cA2的a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC文4．()在△ABC 中，sin(＝c22)形状为( ．直角三角形BA．正三角形．等腰直角三角形CD．等腰三角形B答案][bAc－1－cos bA2＝，cos＝＝，∴A[解析]sin c2c22222a＋bc－b222B.b，故选＝∴＝，∴ac＋cbc222的最大值为CB＋cos＝1，则cos A＋在△(理)(2010·河北邯郸)ABC 中，sincos A＋cos B)(5 2 B. A. 43 D. C．1 2D答案[]2222B，∴sin，A＝sin∵[解析]sin＋A cos＝B1. A＝B，∴AB0<A，<π，∴sin＝sin B∵cos2A ＝cos B＋cos故A cos＋C2cos－A含详解答案．高考总复习3122，＋A＋1＝－2(cos A－＝－2cos)A＋2cos22π31.时，取得最大值A＝<，∴0<cos A<1，∴cos∵0<A222的对边分别为、CABC的外接圆半径为R，角A、B5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△22)(b)sin B，那么角(sin CA－sin C)＝的大小为(2a－a、b、c，且2Rππ B. A. 232ππ D. C. 34C][答案222b，＝2a[解析]由正弦定理得，ab－c－222ca－＋b2 ＝＝，∴cos C22ab π.＝，∴C∵0<C<π4122，＝AA－cos的对边，且三内角A、B、CA为锐角，若sin理()已知a、b、c是△ABC2)(则B．b＋ca≤2a A．b＋c<2D ．c＝2a b＋c≥2a＋C．b B[答案]1122＝－A解析[]∵sincos A－，A＝，∴cos222 ＝为锐角，∴又AA＝60°，∴B＋C120°，CCB－B＋cos2sin22Cb＋c＋sinsin B∴＝＝Aa2sin23B－C＝cos≤1，∴b＋c≤2a.253，sin B＝，则cos C的值为() cos(2010·6．北京顺义一中月考)在△ABC中，已知A＝1355616 A. B.6565161656C.或D．－656565[答案]A 5123[解析]∵cos A＝，∴sin A＝>＝sin B，∴A>B，1313534∵sin B＝，∴cos B＝，∴cos C＝cos[π－(A＋B)]55含详解答案．高考总复习16.＝A sin BA cos)sincos＝－B cos(A＝＋－B65.B?A>ABC中，有sin A>sin B[点评]在△，又测得塔100m测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进7．在地面上一点D)．(尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m 227 B．A．237257C．247 D ．A][答案＝15°，100[解析]如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝，∠DAC sin45°DC·AC＝，∵sin15°·sin60°∴AB＝AC sin60°sin45°·100·＝sin15°32×100×22A.∴选＝≈237.2－64π＝成等差数列，且ac、b、c青岛市质检)在△ABC中，∠B＝，三边长a．8(文)(2010·3)，则b的值是(6 B.3 A.26D. C.5D]答案[22222＋122ac＝ac4由条件[解析]2b＝a＋c，∴b＋＝a，＋c＋222222b＋bcaa＋c－－1 ，cos又B＝，∴＝12ac22222，6＋∴ab＋c＝226.，∴b∴4b＝＝18＋b，a的对边分别为、Ca、b、c.若、b、c成等比数列，且c＝a2、△(理)ABC 的内角AB)cos则B＝(31 B.A.4422 C. D. 43B][答案2 2＝a成等比数列，∴cb，＝ac，又∵c、][解析∵ab、222222ab2a＋4a－ca＋－322. cos，∴B＝＝＝a2b∴＝42aca×2a2含详解答案．高考总复习在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，[点评]三角函数等内容等比数列等基础知识．同时也体现了数列、集中考查正弦定理、余弦定理、是高考中的热点问题，复习时要注意强化．的双曲线，若△AB、C为焦点，且经过点9．如图所示的曲线是以锐角△ABC的顶点3Ac sin)＝，则此双曲线的离心率为ABC(的内角的对边分别为a、b、c，，且a＝4b＝6，2a7＋73－3 B. A. 22 7 ．3＋7C3D－．D [答案]π3ccc sin A3a[解析]＝，因为C为锐角，所以?sin CC＝＝?＝，＝C3sin a2sin A2321222227c＝2×4×6c2＝ab＋×－2ab cos C＝4＝＋628，∴－由余弦定理知26a7.3＋∴e＝＝＝cb－7－2622yx在双曲P>0)－＝1(a>0，的两个焦点，b是双曲线10．(文)(2010·山东济南)设F、F2122ba→→→→)(2ac(c为半焦距)PF线上，若PF·PF＝0，||·，则双曲线的离心率为|PF|＝2112113＋3－ A.B. 2215＋CD.．2 2D][答案22222＝－||)，根据双曲线定义得：4aPF＝(|PF|[解析]由条件知，|PF||＋PF|F＝|F|2212112222－4ac，4 ac＝4－2||PF|·|PF＝|FF|c－||PFPF＋||222111222＝0，＋e－ae＋ac－c＝0，∴1∴5＋1. >1，∴e＝∵e2C1→→→→→(理)(2010·安徽安庆联考)如图，在△ABC中，tan＝，AH·BC＝0，AB·(CA ＋CB)＝0，22经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为()含详解答案．高考总复习15＋1 －B. 5 A. 21－5 D. ＋1 C.52A]答案[→→BC，·BC＝0，∴AH⊥[解析]∵AHC2tan2AH4C1 tan，∴C＝＝＝，∵tan＝CH22C32tan1－2→→→CA0，∴＝CB，又∵AB·(CA＋CB)＝C180°－AHC??＝2tan＝，＝cot＝∴tan B??BH223ABa＝C＝AH＝2x,2，由条件知双曲线中CH＝BHx，则AH＝2x，∴＝x，AB＝5x2设2 ，(BH＝5－1)x－1＋52c A.＝∴e＝＝，故选2a15－二、填空题CABB和对岸标记物，测得∠C11．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，________米．45°CBA＝，AB＝120米，则河的宽度为30°＝，∠1)－[答案]60(3＝CAB，又∵∠－＝，＝，则＝，设于⊥点作过][解析CCDABDBDxCDxAD120x 30°，含详解答案．高考总复习3x．3－∴1)＝，解之得，x＝60(3x－120位于A，B，灯塔12．(2010·福建三明一中)如图，海岸线上有相距B5海里的两座灯塔相距A的北偏西75°方向，与灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A则两艘轮船处．5海里的C乙船位于灯塔32海里的D处；B的北偏西60°方向，与B相距海里．之间的距离为________13答案][ AB＝BC，60°[解析]如图可知，∠ABC＝，45°，60°，从而∠DAC∴AC＝＝5，∠BAC＝32又AD＝，∴由余弦定理得，2213.2AD·ACCD＝AD·cos45°＋AC＝－，、ca、b、文)(2010·山东日照模拟)在△ABC中，三个内角A、BC所对的边分别是13．(π________.＝a＋b＝已知c＝2，C，△ABC的面积等于3，则34[答案]π1 ，ab＝4[解析]由条件知，ab sin＝3，∴32224－a＋bπ∵cos，＝ab3222222＝16，＝＋2ab8，∴＝8(a＋b)a＝＋＋ba∴8＋b4.＋b＝∴a1222，a＝c10－a若)，＝caB中，理()在△ABC角A、、C的对边分别为、b、，面积S(b ＋4 ______．的最大值是则bc250100答案]＋[11222，ab＝sin由题意得，][解析bcA(＋c－)42含详解答案．高考总复习π222，又根据余弦定理得＝A，∴∠∴Aa－2bc＝sin bA，结合余弦定理得，sin＋Ac＝cos4100222.100＋50≥2bc－2bc，∴bc100＝b≤＋c＝－2bc22－海里的灯塔恰一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10．14(文)(2010·山东日照)方向上，另一60°好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西小时．海里/灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________10[答案]v3 v，＝v海里AC/小时，如图由题意知，AD＝，[解析]设该船的速度为22tan30°＋tan45°，＝2＋3∵tan75°＝tan30°tan45°1－v3＋102AB10. ＝＝，解得v又tan75°＝，∴2＋3vAD2的方位角为M如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛(理)(2010·合肥质检)范围已知该岛周围n kmkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，北偏东α角，前进m ________时，该船没有触礁危险．当α与β满足条件内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．)－ββ>n sin(α[答案]m cosαcos，∴∠AMB90°－α＋∠β＝90°－＝∠MAB＋∠AMB＝90°[解析]∠MAB＝－α，∠MBC，＝α－βAMBαcos BMmm，BM，解得＝由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝?－β?－β?sinα?sin?90°－αsin?αβαcos m cosαsin(β>n满足α与βm cosαcos所以＝sin(90°要使船没有触礁危险需要BM－β)>n，?α－βsin? )时船没有触礁危险．－β三、解答题A cos bBa所对的边，、、分别是角、、中，在△河北唐山．15(2010·)ABCabcABC且cos＋1.＝含详解答案．高考总复习c(1)；求→→的最大值．3，求CA·(2)CB若tan(A＋B)＝－＝b cos A1及正弦定理得，[解析](1)由a cos B＋Bc sin Ac sin cos A＝1，·cos B＋·C sin C sin )＝sin C，∴c sin(A＋B C，≠0B)＝sin(π－C)＝sin又sin(A＋1.＝∴c2π，A＋B＝3，0<A＋B<π，∴tan((2)∵A＋B)＝－3π.＝A＋B)∴C＝π－(3 由余弦定理得，22222ab－ab＝－ab≥2＋b cos－2abC＝aab＋b1a＝1→→→→CB≤，CA·CB，∴CA·＝22 ＝”号．b＝1时取“当且仅当a＝1→→.CB的最大值是所以，CA·2由于地形的C的距离，如图，要计算西湖岸边两景点B与)16．(文)(2010·广东玉湖中学＝BADAB＝14km，∠，两点，现测得AD⊥CDAD＝10km，限制，需要在岸上选取A和D＝3＝1.414，C的距离(精确到0.1km)．参考数据：2，求两景点60°，∠BCD＝135°B与2.236.，1.7325＝＝x，]在△ABD中，设BD[解析222，cos AD·∠＝BDAD＋BDA－2BD·则BA222·cos60°，＋1010－2·x即14＝x2 0，10x－96＝整理得：x－)，舍去x＝解之得，x16，＝－6(21由正弦定理得，BDBC＝，BCD sin∠sin CDB∠含详解答案．高考总复习1611.3(km)≈＝82sin30°∴BC＝·sin135°11.3km.的距离约为B与C答：两景点经规划调理长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．)(2010·湖南十校联考)(是原ABCD研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面．该圆的内接四边形＝2万米．万米，棚户建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4BC＝6万米，CD的面积及圆面的半径R的值；(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD可以调整．为了提高、BC(2)因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB，使得棚户区改造的新建筑用地上设计一点P棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC的面积最大，并求出其最大值．APCD，由余AC[解析]＝(1)因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC180°，连接弦定理：222ABC ＋6－2AC×＝44×6cos∠22.＝4∠＋2－2×ADC2×4cos1.60°.∠ABC＝∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝∴cos211 ×6×sin60°＋××2×4sin120°S则＝×4ABCD四边形22 ．＝83(万平方米) ABC中，由余弦定理：在△222∠·－2AB·BCACABC＝ABBC＋cos17.＝2×46×＝28，故16＝＋36－AC2×2 由正弦定理得，21212AC274 万米)．＝，∴R＝(＝2R＝33ABC sin∠32＝S＋S(2)S，APCAPCDADC△四边形△1S＝AD·CD·sin120°＝23.ADC△2设AP＝x，CP＝y，13则S＝xy·sin60°＝xy.APC△24222－2xyyAC又由余弦定理：＝x＋cos60°含详解答案．高考总复习2228.xy＋＝－＝xy22.xy≥2－xy∴x＝＋yxy－xy 28，当且仅当x＝y时取等号．∴xy≤33时面积最大，其最大面积y，即当x∴S＝23＋＝28xy≤23＋×＝93APCD四边形44 万平方米．为93处各有一个C、B17．(2010·上海松江区模拟)、如图所示，在一条海防警戒线上的点A收到发自静止50千米．某时刻，BC水声监测点，B、两点到点A的距离分别为20千米和同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度C秒后A、目标P的一个声波信号，8 1.5千米/秒．是P的距离，并求xP(1)设A到的距离为x千米，用x表示B的值．、C到0.01千米．(2)求P到海防警戒线AC的距离)(结果精确到PC＝x，解析[](1)依题意，有PA＝12. －8＝－PB＝x1.5x ×20AB＝PAB中，在△222222?－PBxx－AB＋1220－PA?＋＝PAB＝cos∠20·AB2x2PA·323x＋＝x550 AC中，AC＝同理，在△P222222x－PCxAC－＋PA50＋25 ＝，＝cos＝∠PACx502x·2PA·AC PAC，∠PAB＝cos∠cos∵323x＋2531. x＝＝∴，解之得，x5x中，，在△AC于DADP(2)作PD⊥25 得，∠PAD＝由cos312142＝，－cos∠PAD＝sin∠PAD131214 千米，18.33＝APD＝31·421≈∠A＝∴PDP sin31 千米．的距离为到海防警戒线答：静止目标PAC18.33含详解答案．高考总复习含详解答案．。
(完整版)正余弦定理习题加答案详解超级详细
正余弦定理高中数学组卷一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：14．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．13．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．正余弦定理高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC 为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：=，即c2﹣b2=ac﹣a2，∴a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B为三角形的内角，∴B=．故选：C．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB=sinA，得b=，可得=．故选：C．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由条件及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=﹣2sinAcosB．即sin（B+C）=﹣2sinAcosB．∵A+B+C=π，A＞0∴sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，∴cosB=﹣，而B∈（0，π），∴B=．故选：C．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：．故选：D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30°．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案为：413．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为1．【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，可得AB=1．故答案为：1．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=2．【解答】解：B=π﹣A﹣C=，△ABC中，由正弦定理可得，∴b=2，故答案为：2．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．（2）若a=，则由正弦定理可得==2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA﹣sinC，﹣﹣﹣﹣（2分）在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵S△ABC==，B=∴，解之得ac=4，﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．﹣﹣﹣﹣（12分）综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣（13分）。
高中数学-余弦定理、正弦定理应用举例跟踪测试卷及答案
课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例层级(一) “四基”落实练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°.又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m, 2 0 3 m C ．10(3－2)m, 20 3 mD.1532 m ，2033m 解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠ CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010(m)， AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22.又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为3m ，那么x 的值为_______．解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余 弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°， ∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝3或2 3. 答案：23或 37.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236) 解析：由题意可知，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ， 由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×－22≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.68.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示，AC ＝100 2 m ．在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°解得AM ＝100 3 m ．在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×23＝150(m)． 层级(二) 能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C解出c .故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x . 依据正弦定理可得2sin 60°＝xsin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°， 即α＝30°时，影子最长． 答案：30°3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米， AP ＝x .在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217s ．A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH . (声音的传播速度为340 m/s)解：(1)由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2BA ·AC cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 所以A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°， 所以CH ＝AC tan ∠CAH ＝140 3 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树 顶端点C 的仰角大小为75°. (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4. 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°， 解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. 所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m. 层级(三) 素养培优练1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A (如图2)距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ .测得PQ 的高度约为25米，并从P 点测得A 点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点、P 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，M ，Q 三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．59B ．60C ．65D ．68解析：选A 如图所示，由题意得∠AMB ＝75°，∠PMQ ＝30°，∠AMP ＝75°，∠APM ＝60°，∠PAM ＝45°，在△PMQ 中，PM ＝PQsin ∠PMQ＝50，在△PAM 中，由正弦定理得AM sin ∠APM ＝PMsin ∠PAM，AM sin 60°＝50sin 45°，所以AM ＝256， 在△ABM 中，AB ＝AM ·sin ∠AMB ＝256×sin 75° ＝256×6＋24， 所以AB ＝150＋5034≈150＋50×1.734＝236.54＝59.125，所以赛道造型最高点A 距离地面的高度约59.2．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理，可得S ＝900t 2＋400－2×30t ×20cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意可知(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 化简得，v 2＝400t2－600t 900＝400 1t －342＋675. 由于0<t ≤12，所以1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/时． (3)存在．由(2)知，v 2＝400t2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)， 于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即6002－1 600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<v <30， 所以v 的取值范围是(153，30)．。
2021年高中数学 1.1.2 余弦定理(1)同步练习 理(普通班)新人教A版必修5
2021年高中数学 1.1.2 余弦定理（1）同步练习理（普通班）新人教A版必修5一、选择题1．在△ABC中，已知，则△ABC的最小角为（）A． B．Ｃ．Ｄ．2．在△ABC中，如果,则角Ａ等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4在△ABC中，已知则角Ｃ＝（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（）A. B. 2 C. 2或 D. 36．在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是（）A．90° B.120° C .135° D.150°二、填空题7．已知锐角三角形的边长为1、3、，则的取值范围是________8．在△ABC中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______三、解答题9．在△ABC中，已知，求及面积10．在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, ,求的长.1.1.2余弦定理（一）一、选择题1.B2.B3.D4.C5.C6.B二、填空题7．8.三、解答题9. 解 由余弦定理，知∴又∵∴∴432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S 10. 解：由正弦定理，得 ∵Ａ＝２Ｃ ∴∴ 又 ∴ ①由余弦定理，得 ②① 入②，得∴27457 6B41 歁@40852 9F94 龔G39959 9C17 鰗27010 6982 概24778 60CA 惊%I25224 6288 抈24054 5DF6 巶31475 7AF3 竳h38789 9785 鞅28881 70D1 烑。
正弦定理与余弦定理的应用练习题
正弦定理与余弦定理的应用练习题在数学中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
它们可以帮助我们计算三角形的边长或角度，解决实际生活中的测量和定位问题。
本文将通过一些应用练习题来展示正弦定理与余弦定理的实际运用。
练习题1：已知一个三角形的两边和夹角，计算第三边的长度。
假设三角形ABC中，已知边AB的长度为3，边AC的长度为4，夹角BAC的度数为60°。
我们需要计算边BC的长度。
解题思路：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：sinA / a = sinB / b = sinC / c其中，A、B、C分别代表三角形ABC的角度，a、b、c分别代表三角形的边长。
根据已知信息：A = 60°，a = 4，b = 3。
代入公式，我们可以求得：sin60° / 4 = sinB / 3。
通过单位圆表格或计算器，我们可以得到sin60°的值为√3/2。
将该值代入公式，我们可以求得：√3 / 2 / 4 = sinB / 3。
通过简单的变形，我们可以得到：sinB = （3 * √3）/ 8。
通过计算器计算sinB的反函数（即B的值），我们得到B约等于30.96°。
因为三角形的内角和为180°，所以C = 180° - 60° - 30.96° ≈ 89.04°。
现在我们已经得到了三个角的度数，可以使用余弦定理来计算边BC的长度。
根据余弦定理的公式：c² = a² + b² - 2ab * cosC代入已知信息，我们可以得到：BC² = 3² + 4² - 2 * 3 * 4 * cos89.04°。
通过计算器计算cos89.04°的值，我们得到其约等于0.0175。
代入计算式，我们可以得到：BC² ≈ 9 + 16 - 24 * 0.0175。
2021年高中数学 正弦定理和余弦定理3练习题 新人教A版必修5
2021年高中数学正弦定理和余弦定理3练习题新人教A版必修51. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）A. 1公里B. sin10°公里C. cos10°公里 D. cos20°公里2. 已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2－1和2x+1(x＞1)，则最大角为（）A. 150°B. 120°C.60° D. 75°3．在△ABC中，，那么△ABC一定是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC中，一定成立的等式是( )A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB =bsinAD.acosB=bcosA5．在△ABC中，A为锐角，lg b+lg()=lgsin A=－lg, 则△ABC为（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形6．在△ABC中，，则△ABC的面积为（）A. B. C.D. 17．若则△ABC为（） A．等边三角形 B．等腰三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形8．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）A. 90°B. 120°C.135° D. 150°9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（） A．b = 10，A = 45°，B = 70°B．a = 60，c = 48，B = 100°C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°10．在三角形ABC中,已知A,b=1,其面积为,则为( )A. B. C.D.11.据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米 B．106米 C.1063米 D．202米12．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A. 米B. 米C. 200米D. 200米13. 在△ABC中，若，，，则．14. 在△ABC中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 .15. 在锐角△ABC中，已知，则的取值范围是．16. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= .17. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、，则的取值范围是．18. 在△ABC中，已知，，则其最长边与最短边的比为．19．为了测量上海东方明珠的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为，前进38.5m 后，到达B处测得塔尖的仰角为.试计算东方明珠塔的高度（精确到1m）.20．在中，已知，判定的形状．21.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.22.在△ABC中，若，试求34580 8714 蜔21631 547F 呿([<40746 9F2A 鼪A26096 65F0 旰23333 5B25 嬥38960 9830 頰Y31985 7CF1 糱35835 8BFB 读e28329 6EA9 溩。
正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
余弦定理练习题（含答案）
余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
a²=b²+c²-2bccosA余弦定理证明如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明正弦定理和余弦定理正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．2 C ．3 D ．46662．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B. C. D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B. C.或 D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为( )AB → AC → 3AB → AC → A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－48．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．2 C.或2 D ．233339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．331011．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为3________．12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.213314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC → 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2416．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的3长．18．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin 2216C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．5π420．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．余弦定理答案1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．26C ．3D ．466解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝＝6.42＋62－2×4×6×132．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.32C. D ．25解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120°D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc2bc 32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B.π6π3C.或D.或π65π6π32π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac 321tan B 32cos Bsin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc 2c 22c 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为()AB → AC → 3AB →AC → A ．2 B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A312AB →AC →＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB →AC → 128．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．233C.或2 D ．233解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝＝.1＋4－2×1×2×123答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．3310解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，3310∴a ∶b ∶c ＝(－1)∶(＋1)∶.3310设a ＝(－1)k ，b ＝(＋1)k ，c ＝k (k ＞0)，3310∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝＝－，a 2＋b 2－c 22ab 12又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为3________．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac 2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k 1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC → 解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝，1935∴·＝||·||·cos(π－B )AB → BC → AB → BC → ＝7×5×(－)1935＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 24解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22ab ab 2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则Error!⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为＝.32＋42－222×3×478答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的3长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1018．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .22(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin C ，求角C 的度数．16解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝＋1，BC ＋AC ＝AB ，22两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积BC ·AC ·sin C ＝sin C ，得BC ·AC ＝，121613由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝＝，AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC 12所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .5(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，AB sin C BCsin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin Csin A 5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 255于是sin A ＝＝.1－cos2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝.35所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.π4π4π421020．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得＝.sin C sin B cb 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝＝.sin C 2sin B c2b 又根据余弦定理，得cos A ＝，所以＝，b 2＋c 2－a 22bc c 2b b 2＋c 2－a 22bc 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
正余弦定理练习题集含答案解析
在A ABC 中，o, b, c 分別是角A. B. C 所对的边，若^ = 105% 8=45% b=迈，则c=（ A. 1 C. 2在4 ABC 中，已知ZA=30°, Z 8=120% b=12,贝I] o+c= 在“ABC 中，o=2bcosC,贝仏ABC 的形状为 ___________ •在bABC 中，已知 a = 3y[2. cosC=p Sg=4晶 则 b=_____________ . 在4 ABC 中，b=4品C=30°, c=2,则此三角形有 _________组解・ 如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角）为140。
的方向航行，为了确泄船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110% 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔人的方位角是65。
・则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少C C 1A18.在茲 ABC 中，0、b 、c 分別为角 A 、8、C 的对边，若 o=2{i» sin^cos^^^* sin Bsin C=cos 分 求 A 、B 及 b 、c.19. （2009年高考四川卷）^A ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B. C 所对应的边分别为6 b 、G 且cos 2A= 壬，sinB=^^.⑴求A+B 的值：（2）若O —6=迈一1,求a, fa, c 的值.20. “ABC 中，ob=60{i, sinfi=sinC △ ABC 的面枳为 15© 求边 b 的长.1- 高一数学正弦定理综合练习题在AAfiC 中，Z 人= 45°, Z 6=60% 0 = 2, 2. 3. 已知 0=8, 6=60% C=75%B ・4羽 C. 角人、8、C 的对边分别为a 、 B ・ 135" 4. 在△ ABC 中， A. 4迈 在4 ABC 中， A- 45°或 135° B ・ 135" C ・ 45° 在 A ABC 中，o: b: c=l: 5 : 6.贝 IJsiM: sinB : sinC 等于（ ）A. 1:5:6B. 6:5:1C. 6:1:5解析：选 A.由正弦定理知 sinA : sine : sinC=o : b : c=l : 5 : 6.则b 等于（）D. 2^6 则b 等于（） 4& b 、G A=60。
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正弦定理 余弦定理 同步练习
一、选择题
１．在△ABC 中,已知ａ=52,c=10,A=３0°，则B 等于（ )
Ａ.1０5°ﻩﻩﻩB ．６0°ﻩﻩ C ．15° ﻩﻩ D.1０5°或１５°
2.在△ABC 中，若b=22,a=２,且三角形有解,则A 的取值范围是( ）
A.0°＜A ＜30° ﻩ B ．０°＜A ≤４５°
Ａ．0°＜A<90°ﻩﻩ ﻩＤ.3０°<A ＜60°
3．在△ABC 中,若2cos A a =2cos B b ＝2
cos C c ，则△AB Ｃ的形状是( ) A.等腰三角形 ﻩ ﻩＢ.等边三角形
C ．直角三角形ﻩﻩ ﻩ
D ．等腰直角三角形
4.在△A ＢC 中，若a ＝2，b=22,c=6+2，则∠Ａ的度数是（ ）
Ａ.30°ﻩ B ．４5°ﻩﻩﻩC.60°ﻩ ﻩＤ．75°
5．设ｍ、m ＋1、m+２是钝角三角形的三边长,则实数m 的取值范围是( )
A ．0<m ＜3ﻩ Ｂ.1<m<3ﻩﻩC.3<m<4 ﻩD.4<ｍ<6
6.在△AB Ｃ中,已知ｓｉnA ∶sinB ∶ｓｉｎC=３∶５∶7,则此三角形的最大内角的度数等于( )
Ａ.75° ﻩ B.12０° ﻩ C.13５° ﻩD.150°
７.△AB Ｃ中,若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( )
A.6０°ﻩ ﻩＢ.120°ﻩﻩ C.６0°或１20°ﻩD ．45°
８.在△ABC 中,若Ａ=６０°,ｂ=16，且此三角形的面积S=2203,则ａ的值是（ ) Ａ. 2400 ﻩB.2５ ﻩﻩＣ.55ﻩ ﻩD.49
9.在△ＡBC 中，若ａco ｓA=bco ｓB ，则△A ＢC 是( ）
A ．等腰三角形ﻩ ﻩﻩﻩ
B ．直角三角形
C.等腰直角三角形 ﻩ ﻩＤ.等腰三角形或直角三角
1０.在钝角三角形ABC 中,三边长是连续自然数,则这样的三角形( ）
A.不存在ﻩﻩ
B.有无数多个 Ｃ.仅有一个ﻩ Ｄ.仅有两个
二、填空题
１．在△ABC 中,A ＝120°,Ｂ=3０°,ａ=８,则c= .
2．在△ＡＢＣ中,已知a=32,co ｓＣ=3
1,S △ABC ＝43，则b= . 3．已知锐角三角形边长分别为２、3、x ，则ｘ的取值范围是 .
4.在△AB Ｃ中，A=60°,b ∶c=８∶5,其内切圆关径r=２3,则a= , b= ，c ＝ .
5.在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为3,则
C
B A c b a sin sin sin ++++= ． ６.在△ＡB
C 中，已知A 、Ｂ、Ｃ成等差数列，且边b=2，则外接圆半径R= ．
三、解答题
１．设三角形三边长分别为15，１9,23，现将三边长各缩短x 后,围成一个钝角三角形，求ｘ的取值范围.
2.在△ABC 中,已知它的三边a ，b,c 成等比数列，试证明:t ａn 2A ｔan 2C ≥3
1.
３.已知在△AB Ｃ中,c ＝22,a ＞b ，C=4
π,t ａｎA ·ta ｎB=6，试求ａ，ｂ以及此三角形的面积．
ﻬ参考答案
一、1.Ｄ 2.B ３．B ４.Ａ 5.Ｂ 6.B ７.Ｂ 8.C ９．Ｄ 10.C
二、1. 338 2．213 ３.(5，13) 4．1４，１０，１6 ５. 338 6. 3
32 三、１．３＜x ＜11
2．提示可证:a ＋c ≥2ｂ,再得ｓinA+sinC ≥２sinB,和差化积可得结论 3.a=
5106,ｂ=558,S △=5
24。