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高一上学期数学10月月考试卷真题

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山东省菏泽第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

山东省菏泽第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

山东省菏泽第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}012M =,,，{}230N x x x =-<，则M N =I （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,2 C ．{}03x x ≤< D ．{}03x x << 2．命题1x ∀>，21x m ->的否定是（ ）A ．1x ∃>，21x m -≤B ．1x ∃≤，21x m -≤C ．1x ∀>，21x m -≤D ．1x ∀≤，21x m -≤3．已知集合U =R ，集合{}31A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()3,0-B ．()1,0-C ． 0,1D ． 2,3 4．不等式302x x ->+成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1x >B ．0x ≤C ．4x ≥D ．1x <-5．若集合{}2210x mx x +-=有且仅有2个子集，则满足条件的实数m 组成的集合是（ ） A ．{}1- B ．{}1,0- C ．{|1m m ≤-或0}m = D ．{}1m m ≤- 6．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|15}x x -<<，其中a ，b ，c 为常数，则不等式20cx bx a ++≤的解集是（ ）A ．1{|1}5x x -≤≤ B ．1{|1}5x x -≤≤ C ．}1{|15x x x ≤-≥或 D ．1{|1}5x x x ≤-≥或 7．关于x 的不等式()21220x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}2134a a a -≤<-<≤或B ．{}2134a a a -≤≤-≤≤或C ．131222a a a ⎧⎫-≤<-<≤⎨⎬⎩⎭或D ．131222a a a ⎧⎫-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭或 8．已知0,0,31x y x y >>+=，若23124m m x y +>++恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{}24m m -<<B ．{}42m m -<<C ．{4m m <-或}2m >D ．{2m m <-或}4m >二、多选题9．对于实数,,a b c ，下列命题是真命题的为（ ）A ．若0a b >>，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则2a ab <-D ．若0c a b >>>，则a b c a c b >-- 10．下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充要条件C ．“对()20,2x x m x∀∈+∞+≥，恒成立”是“1m <”的必要不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件11．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（ ）A ．11x y +的最小值是2B ．xy 的最大值是1C ．22x y +的最小值是4D ．(1)x y +的最大值是94三、填空题12．已知实数x ，y 满足41,145x y x y -≤-≤--≤-≤，则3x y +的取值范围是.13．已知命题2:,10p x mx ∃∈+≤R ；命题2:,10q x x mx ∀∈++>R .若,p q 都是假命题，则实数m 的取值范围是.14．在22{|1}1x A x x -=<+，22{|0}B x x x a a =++-<，设全集U =R ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是四、解答题15．记全集U =R ，已知集合{}15,R A x a x a a =-≤≤+∈，{}14B x x =-<<．(1)若2a =，求()()U U A B ⋂痧；(2)若()U A B ⋃=R ð，求a 的取值范围．16．解答下列各题.(1)若3x >，求43x x +-的最小值. (2)若正数,x y 满足9x y xy +=，①求xy 的最小值.②求23x y +的最小值.17．华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()210100,040100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完(1)求出2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？18．已知函数²y ax bx =+. (1)已知函数图象过点()1,2，若01a <<，求14a b+的最小值； (2)当1x =时，1y =-，求关于x 的不等式²10ax bx ++>的解集.19．已知关于x 的方程23340mx px q ++=（其中,,m p q 均为实数）有两个不等实根()1212,x x x x <．(1)若1p q ==，求m 的取值范围；(2)若12,x x 为两个整数根，p 为整数，且1,34p p m q -=-=，求12,x x ； (3)若12,x x 满足2212121x x x x +=+，且1m =，求p 的取值范围．。

2024-2025学年福建省福州市高一上学期10月月考数学检测试题

2024-2025学年福建省福州市高一上学期10月月考数学检测试题

2024-2025学年福建省福州市高一上学期10月月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知全集，则集合（）(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=B =A.B.C.D.(],2∞-(),2∞-(]0,2()0,22. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y 1（万件），市场供应量y 2（万件）与市场价格x （百元/件）分别近似地满足下列关系：，，当时的需150y x =-+2210y x =-12y y =求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ）A .6百元B. 8百元C. 9百元D. 18百元3. 设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（）[]x x x A.= |x| B.C.> D.>[]x []x []x -x[]x 1x -4. 已知函数，则函数的零点所在区间为（2943,0()2log 9,0x xx f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩(())y f f x =）A. B. C. D. (1,0)-73,2⎛⎫⎪⎝⎭7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭(4,5)5. 设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩()1f f(x)a A.B.C. D.[)1,2-[]1,0-[]1,2[)1,+∞6. 已知函数的定义域为，且，，()f x R ()()()()0f x y f x y f x f y ++--=()11f -=则（ ）A. B. 为奇函数()00f =()f x C.D.的周期为3()81f =-()f x 7. 函数的定义域均为，且，()(),f x g x R ()()()()4488f xg x g x f x +-=--=，关于对称，，则的值为（）()g x 4x =()48g =()1812m f m =∑A .B. C. D. 24-32-34-40-8. 已知函数，若有且仅有两个整数、使得()()()lg 2240f x x a x a a =+--+>1x 2x ，，则的取值范围是（）()10f x >()20f x >a A. B. (]0,2lg 3-(]2lg 3,2lg 2--C.D.(]2lg 2,2-(]2lg 3,2-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列命题正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件1a >21a >B. “”是“”的必要不充分条件M N >lgM lgN >C. 命题“”的否定是“，使得”2,10x R x ∀∈+<x R ∃∈210x +<D. 设函数的导数为，则“”是“在处取得极值”的充要条件()f x ()f x '0()0f x '=()f x 0x x =10. 若函数的定义域为，且，，则（ ()f x R ()()2()()f x y f x y f x f y ++-=(2)1f =-）A. B. 为偶函数(0)0f =()f x C. 的图象关于点对称 D.()f x (1)0，301()1i f i ==-∑11. 已知函数是R 上的奇函数，对于任意，都有成()y f x =x R ∈(4)()(2)f x f x f +=+立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）[)0,2x ∈()21=-x f x A. (2)0f =B. 点是函数的图象的一个对称中心(4,0)()y f x =C. 函数在上单调递增()y f x =[6,2]--D. 函数在上有3个零点()y f x =[6,6]-三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12. 设函数，若为奇函数，则______.()()x x f x e ae a R -=+∈()f x a =13.=______422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14. 设为实数，若，则的取值范围m {}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，m 是．四、解答题：本题共5小题，共77分.15. 阅读下面题目及其解答过程．已知函数，23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…（1）求f （－2）与f （2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ①．因为2＞0，所以f （2）＝②．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f(x)在上的最大值为③．(,0]-∞又因为x ＞0时，有，22()2(1)11f x x x x =-+=--+…而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1．综上，f(x)的最大值为⑤．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A ．（－2）＋3＝1B ．2(2)2(2)8--+⨯-=-②A.2＋3＝5 B ．22220-+⨯=③ A.3 B.0④A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0⑤A.1 B.316. 如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记30m 空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，ABC V DEFG F BC 边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍．DG AC G C D A（1）设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解S 2m AD x m S x 析式；（2）当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．AD 17. 已知定义在上的奇函数f （x ）满足：时，.R 0x ≥21()21x xf x -=+（1）求的表达式；()f x （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.x ()2(23)10f ax f ax ++->a 18. 已知，且．0,a b a cd >≥≥≥ab cd ≥（1）请给出的一组值，使得成立；,,,a b c d 2()a b c d ++≥（2）证明不等式恒成立．a b c d ++≥19. 对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则S ,x y S ∈x y S +∈x y S-∈称为一个好集合．以下记为的元素个数．S SS（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）3（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）4S =（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数S 2019S =S m S m 倍．。

重庆市2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案

重庆市2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案

重庆高2027届高一上期月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤ B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥ B.2a > C.6a > D.6a ≥5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}m m -<<∣B.{3m m <-∣或1}m >C.{13}m m -<<∣D.{1mm <-∣或3}m >6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,17.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.的B.34aa b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为168.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a >，则有*12,2n a a a n n n+++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z xx y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.重庆高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算法则运算即可.【详解】因为{}{}4016A x x =≤=≤≤，{}2323B x x x x ⎧⎫==>⎨⎩⎭，所以A B = 2163x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：A .2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是“230,1x x x ∀<+≤”.故选：B3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以函数()f x 的定义域为()1,6-，则对于函数()1g x +=，需满足116310x x -<+<⎧⎨->⎩，解得153x <<，即函数()1g x +=的定义域为1,53⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥B.2a >C.6a > D.6a ≥【答案】C 【解析】【分析】对于全称量词命题2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤，我们需要先求出使得该命题为真时a 的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义来判断选项.【详解】令2()f x x x =+，[1,2]x ∈.对于二次函数2y ax bx c =++，其对称轴为122b x a =-=-.因为10a =>，所以函数()f x 在[1,2]上单调递增.那么()f x 在[1,2]上的最大值为2max ()(2)226f x f ==+=.因为2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤为真命题，即2a x x ≥+在[1,2]上恒成立，所以max ()6a f x ≥=.A 是B 的充分而不必要条件，即值A B ⇒，B A ¿.当6a >时，一定满足6a ≥，所以6a >是6a ≥的充分不必要条件.而2a >时，不能保证一定满足6a ≥，2a ≥时，也不能保证一定满足6a ≥.故选：C.5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}mm -<<∣ B.{3m m <-∣或1}m > C.{13}m m -<<∣ D.{1mm <-∣或3}m >【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和常值代换法求得28x y+的最小值，依题得到不等式2236m m -+<，解之即得.【详解】因3x y +=，由28128()()3x y x y x y+=++1281(10)(10633y x x y =++≥+=，当且仅当28y x x y =时取等号，即当1,2x y ==时，28x y+取得最小值6.因不等式22823m m x y+>-+恒成立，故2236m m -+<，即2230m m --<，解得13m -<<.故选：C.6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到()f x 在定义域R 上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩因为函数()y f x =任意12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在定义域R 上为单调递减函数，则满足()()242223024252321a a a a +⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-+⨯+≥-⨯+⎪⎩，即0321a a a ≥⎧⎪⎪<⎨⎪≤⎪⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,1.故选：D.7.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.B.34a a b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为16【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可判断AC 的正误，利用“1”的代换可判断B 的正误，利用换元法结合常数代换可判断D 的正误.【详解】选项A：2112,1a b a b +=+≤++===时取等，+A 对；选项B：3433443577a a b a b a b aa b a b a b+++++=+=++≥+，当且仅当35,22a b -==时取等，故34a a b ++的最小值为7+，故B 错选项C ：()()2119111,242a b a b a b +++⎛⎫++≤=== ⎪⎝⎭时取等，故()()11a b ++的最大值为94，故C 对；选项D ：换元，令3,2x a y b =+=+，则6x y +=，故()()222232941032x y a b x y a b x y x y--+=+=+-++++94194251413446666x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1812,55x y ==取等号，故2232a b a b +++的最小值为16，故D 正确；故选：B.8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512【答案】A 【解析】【分析】将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，从而有集合A 与集合B 的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有92个，即可求解.【详解】由题知{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4M =-----，将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，则符合条件的集合对有92个，又由题设定义有集合A 与集合B 的交替和之和为4，所以交替和的总和为9114222048⨯==.故选：A.二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值验证AC 是错误的，利用作差法判断B 的真假，利用配方法证明D 是正确的.【详解】对A ：令1a =-，1b =，则0ab ≠且a b <，但11a b>不成立，故A 错误；对B ：当0a b >>时，()()()20242024202420242024b a a b b b a a a a +-++-=++()()202402024b a a a -=<+，所以20242024b b a a +<+成立，故B 正确；对C ：令3a =-，4b =-，0c =，1d =-，则,a b c d >>，但ac bd >不成立，故C 错误；对D ：因为()()()222212222144a b a b a b a b ++----++++=()()22120a b =-++≥，所以()221222a b a b ++≥--成立，故D 正确.故选：BD10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A ，分类讨论求出k 的范围判断B ，根据数轴穿根法及不等式的解集求出ba及0a <解不等式判断C ，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于a 的不等式恒成立即可判断D.【详解】对A ，若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q p r ⇒⇔，但是p 不能推出q ，所以q r ⇒，但是r 不能推出q ，所以q 是r 的充分不必要条件，故A 正确；对B ，当0k =时，原不等式为03≥，恒成立满足题意，当0k ≠时，由题意需满足()2Δ16430k k k k >⎧⎨=-⋅+≤⎩，解得01k <≤，综上，实数k 的取值范围是01k ≤≤，故B 错误；对C ，由不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，结合数轴穿根法知，1,2bc a==，且0a <，所以不等式2320ax ax b --≥可化为2340x x --≤，解得14x -≤≤，故C 正确；对D ，由题意知[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥为真命题，则()22130a x x x --++≥在[]1,3a ∈-时恒成立，令()2()213g a a x x x =--++，只需()()2213403350g x x g x x ⎧-=-++≥⎪⎨=-≥⎪⎩，则14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N 上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给函数解析式直接求解判断A ，根据()f x 的性质及(),()g x f x 图象判断B ，归纳出()f x 在[]2024,2025上的解析式判断C ，根据规律，归纳值域特点判断D.【详解】选项A ：()()()()()210121013101320272025202331f f f f f λλλλλ====== ，()()()()()210111012202420222020200f f f f f λλλλ====== ，则()()101320272024f f λ+=，所以选项A 正确；选项B ：由()()122f x f x =-知，()0,2024x ∈时，()()()()()[)()()[)()()[)210112,0,2124,2,42146,4,62120222024,2022,20242x x x x x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪--∈⎪⎪⎪=--∈⎨⎪⎪⎪⎪--∈⎪⎩ ，由于()()()()()()1111111,33,553254g f g f g f ===<==<=，但()()()()31011111177,202320237220232g f g f =>==>= ，作,的图象，如图，结合图象可知()0,6x ∈上有2226++=个交点，在[)6,2024x ∈上无交点，故选项B 正确；选项C ：[]2024,2025x ∈时，()()()1012120242026f x x x λ=--，故()f x 在[]2024,2025上单增，故C 错误；选项D ：因为1λ<-，所以当[]0,4x ∈时，值域为[],1λ；当[]0,8x ∈时，值域为32,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,12x ∈时，值域为54,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,16x ∈时，值域为76,λλ⎡⎤⎣⎦；L 当[]0,4x n ∈时，值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：根据所给函数解析式，可知函数类似周期特点，图象形状类似，振幅有规律变化，据此可归纳函数的性质是解题的关键所在.三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.【答案】4【解析】【分析】求出集合A ，列举出集合A 的子集即可.【详解】因2{10}{1,1}A x x =-==-∣，故集合A 的子集有,{1},{1},{1,1}∅--共4个.故答案为：4.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论0a =和0a >两种情况，求集合B ，再比较端点值，即可求解.【详解】因为A B B = ，所以A B ⊆，因为()(){}10B x x a ax =+-≤∣，且0a ≥：1 当0a =时，[)0,B ∞=+，符合题意；2当0a >时，1,B a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则11404a a ≥⇒<≤，综上，10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,4⎡⎤⎢⎣⎦14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可知243x y =-，代入可得234386y x y xx x y x y++=+，根据基本不等式可得最值.【详解】由题可知()()()()3323231313x x y y -+-=-+-，因为3,y t y t ==在R 上单调递增，所以()3g t t t =+在R 上单增，所以上式可表示为()()2313g x g y -=-，则2313x y -=-，即243x y =-，因此()22433433866x y y x y y x x x x y x y x y -++=++=+≥=当且仅当38243y x x y x y⎧=⎪⎨⎪=-⎩即25x -=，2415y -=时等号成立，故答案为：.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）02x =或3-（2）5,42⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数定义分类列方程求解；（2）根据分段函数定义分类列不等式求解．【小问1详解】由()01f x =可得：1∘>−1−1=1⇒0=20=−2舍去）0000123,,23;21x x x x ≤-⎧⇒=-=-⎨--=⎩ 综上或【小问2详解】由()3f a a <+可得：1∘>−11<+3⇒>−12−2−8<0⇒>−1−2<<4⇒∈−1,4；2∘≤−1−−2<+3⇒≤−1>−52⇒∈−52,−1综上可得5,42a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|4A B x x =≤ 或1}x >（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解；（2）由（1）可得R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，再根据条件，分M =∅和M 蛊两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】由5402x +≥-,即4302x x -≥-，得到2x >或34x ≤，所以3{|4A x x =≤或2}x >，又由321x ->，得到321x -<-或321x ->，即13x <或1x >，所以1{3B x =<或1}x >，所以3{|4A B x x =≤ 或1}x >.【小问2详解】因为3{|4A x x =≤或2}x >，所以R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，①当321a a ->-，即43a <时，此时M =∅()RA ð，所以43a <满足题意，②当43a ≥，即M 蛊时，由题有212334a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，解得4332a ≤≤，综上，实数a 的取值范围是3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4（2）()222f x x x=-（3）(],10-∞【解析】【分析】（1）令1x =-即可求出()1f -.（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据()26231x f x x --≤≤+恒成立，可求待定系数.（3）问题转化成()f x 在区间(]1,6的最小值不小于()g x 在[]6,10上的最小值求参数的取值范围.【小问1详解】在不等式()26231x f x x --≤≤+，令()()141414x f f =-⇒≤-≤⇒-=.【小问2详解】因为()f x 为二次函数且图象过原点()0,0，所以可设()()2,0f x ax bx a =+≠，由()1444f a b b a -=⇒-=⇒=-，于是()()24f x ax a x =+-，由题：()()262220,f x x ax a x x ≥--⇔+++≥∈R 恒成立⇔>0Δ≤0⇔>0+22−8=−22≤0⇒=2,=−2⇒=22−2，检验知此时满足()()223110,f x x x x ≤+⇔+≥∈R ，故()222f x x x =-.【小问3详解】函数()222f x x x =-，开口向上，对称轴12x =，所以()222f x x x =-在区间(]1,6上单调递增，因此，(]11,6x ∈时，()()()(11,6f x f f ⎤∈⎦，即()(]10,60f x ∈，而()g x m x =-在[]6,10上单调递减，所以[]26,10x ∈时，()[]210,6g x m m ∈--因为对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，等价于()()(]110010,10f g m m ∞≥⇒≥-⇒∈-18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a > ，则有*12,2n a a a n n n +++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.【答案】（1）6（2）最大值为272048，38x =（3）1*1111,1kk k k k +⎛⎫⎛⎫+<+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭N ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解；（2）由()()32722212128333x x xx x x -=⋅⋅⋅⋅-，结合四阶基本不等式可得最值；（3）猜测111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N 成立，验证1k =不等式成立；结合推广公式证明2k ≥结论成立.【小问1详解】因为,,0x y z >，所以由三阶基本不等式可得：246y z x x y z ++≥，当且仅当24y z xx y z==即2y z x ==时取等号，因此24y z x x y z++的最小值为6；【小问2详解】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由四阶基本不等式可得：()()()432221227222272733312128333842048x x x x x x x x x x ⎛⎫+++- ⎪-=⋅⋅⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2123xx =-即310,82x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取等号，因此()312x x -的最大值为272048；【小问3详解】大小关系为111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ，证明如下：由条件可知：12,,,0n a a a > 时，*1212,,2nn n a a a a a a n n n +++⎛⎫⋅≤∈≥ ⎪⎝⎭N ，当1k =时，左边11121⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，右边219124⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，左边<右边，不等式成立；当2k ≥，*k ∈N 时，由1k +阶基本不等式，可知：不等式左边111111111kk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()(1)1111111111(11)11()111k k k k k k k k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪≤== ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭个个1111k k +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭而111k ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，因此上式的不等号取不到等号，于是1111111111kk k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，原不等式得证.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0（2）()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，证明见解析（3）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）令1a b ==可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由()()0f x f x -+=，即可得出答案；（2）由单调性的定义证明即可；（3）由单调性和奇偶性列出不等式，再结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中令333120222a b ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（或令53532,102222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭).而()()333000222f x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=⇒-+=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.下证明：由④知：对任意,0a b >，恒有111222f ab f b f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证一：任取2112x x >>，于是()()22211111111111122112222222x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+--+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为2112x x >>，所以2111022x x ->->221111132********x x x x --⇒>⇒+>--，而对任意32x >时恒有()0f x <，故211120122x f x ⎛⎫- ⎪+<⎪ ⎪-⎝⎭，即()()210f x f x -<，所以()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，证毕；证二：任取2112x x >>，设2111,,1,022x mn x n m n =+=+>>()()21111222f x f x f mn f n f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为131.22m m >+>，所以102f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <，也即()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭单调递减,证毕；【小问3详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中：令5599222222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()0f x f x -+=，于是922f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令139339,402442242a b f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+==⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）知()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()0f x f x -+=，可得()f x 在1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上也单调递减，如图，可知不等式()()21232f t k t k -+-+≤等价于：对任意[]11t ,∈-，不等式()231234t k t k -+-+≥……①或者()29112322t k t k -≤-+-+<-恒成立，……②法一：令()()[]2123,1,1g t t k t k t =-+-+∈-立，因为()g t 开口向下，由()g t 图像可知：不等式①()()11313204;334144k g k g k ⎧⎧≥-≥⎪⎪⎪⎪⇔⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩对于②，当1t =±时，由()()1391121022919112222k g k g k ∅⎧⎧-≤<-≤-<-⎪⎪⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨⎪⎪-≤<--≤<-⎪⎪⎩⎩，即一定不存在k 满足②.综上取并，得3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭法二：令()()[]()2123,1,1,g t t k t k t g t =-+-+∈-开口向下，对称轴为12t k =-，且()()211152,1,224g k g k g k k k ⎛⎫-=-=-=++ ⎪⎝⎭，1 当112k -<-即32k >时，问题等价于>321≥34或>32−1<−121≥−92,解得32k >；2 当1102k -≤-≤即1322k ≤≤时，等价于()1322314k g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或()13221133,;2242912k g k k g ⎧≤≤⎪⎪⎪⎛⎫⎡⎤-<-⇒∈⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪≥-⎪⎩3 当1012k <-≤即1122k -≤<时，问题等价于()1122314k g ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()11221122912k g k g ⎧-≤<⎪⎪⎪⎛⎫-<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；4 当112k ->即12k <-时，问题等价于()12314k g ⎧<-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()()12112912k g g ⎧<-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；综上，3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.。

2024-2025学年福建省福州市高一上学期10月月考数学检测试卷

2024-2025学年福建省福州市高一上学期10月月考数学检测试卷

2024-2025学年福建省福州市高一上学期10月月考数学检测试卷注恴事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：必修第一册第一章、第二章的2.1以及2.2节．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 命题“，”的否定为（ ）0x ∀>220x x +>A. ， B. .，0x ∀>220x x +≤0x ∀<220x x +≤C. ， D. ，0x ∃>220x x +<0x ∃>220x x +≤2. 对于实数，下列说法正确的是（ ）,,a b c A. 若，则 B. 若，则a b >11a b<a b >22ac bc>C .若，则 D. 若，则0a b >>2ab a<c a b >>a bc a c b>--3. 若集合，，则（）{}2A x =∈≤{}23B x x =-≤≤A B = A.B.C.D.{}03x x ≤≤{}24x x -≤≤{}0,1,2,3{}2,1,0,1,2,3,4--4. 已知集合，，若，则（）{}27A x x =-≤≤{}121B x m x m =+<<-A B A = A. B. 24m -≤≤24m -<<C. D. 4m <4m ≤5. 已知集合，则（ ）{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,2,U A B x x k k ====∈Z U B A ⋂=ðA.B.C.D.{}4{}2,4{}1,2{}1,3,56. 下列命题中的真命题是（ ）A. 若，则a b >ac bc>B. 若，则22a bcc <a b <C. 若，则a b >1>ab D. 若，则,a bcd >>a c b d->-7. 设集合，则集合的真子集个数为（ ）12{N |N}3A x y x =∈=∈+A A. 7B. 8C. 15D. 168. 已知，且，则的最小值为（ ）0,0x y >>2x y xy +=2x y +A. 8B. C. 9D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若集合，，则{}1,2,3A ={}1,3,2B =A B=B .，x ∀∈R 2x ≥C. ，x ∃∈R 210x +=D. 若集合，，则{}1,0,1M =-{}0,1N =M NÜ10. 已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（{}:13,0p x x x x a ∀∈≤≤-≥∣p a ）A .B. 1C. 2D. 2-11. 以下说法正确的有（）A. 实数 是成立的充要条件0x y >>11x y <B. 不等式对恒成立22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,R a b ∈C. 命题“”的否定是“”2R,10x x x ∃∈++≥2R,10x x x ∀∈++<D. 若，则的最小值是4111x y +=x y +第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知集合，且，则的取值为______.{}4,21,A a a =+{}3,4,3B a a =--{}3A B ⋂=a 13. 集合,，则_________{}{}2210,10A x x x B x a x =-+==-=A B B ⋂=a =14. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分U R {|2M x x =<-x >2}{}|13N x x =<<所表示的集合是____________．四、解答题（本大题共5题，共77分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知或．315:,:3115210x p q x m x ->⎧≥+⎨>->⎩33x m ≤-（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；p q m （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．p q ⌝m 16.设集合，；{}16A x x =-<<{}131B x a x a =+≤≤-（1）当时，求，4a =A B ⋂A B （2）若，求的取值范围.B A ⊆a 17. 已知集合.{|51},{|125}A x x B x a x a =->=-<<+（1）当时，求；1a =R ,A A B ⋂ð（2）若，求的取值集合.A B ≠∅ a18. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）()*x x ∈N（1）求每辆客车营运的总利润y 关于营运年数的函数关系；()*x x ∈N （2）当每辆客车营运年数为多少时，营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？19. 已知有限集，如果中的元素满足{}12,,,n A a a a = 2n ≥n ∈N A (1,2,,)i a i n = ，就称为“完美集”．1212n na a a a a a +++=⨯⨯⨯ A（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由；{11--+（2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2．1a 2a {}12,a a 1a 2a。

2024-2025学年银川市唐徕中学高一数学上学期10月考试卷及答案解析

2024-2025学年银川市唐徕中学高一数学上学期10月考试卷及答案解析

银川市唐徕中学2024～2025学年度第一学期10月月考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2,2,1,0,1,2,3A x x B =<=--，则R ()A B = ð（ ）A. {}2,1,0,1,2--B. {}0,1,2,3 C. {}1,2,3 D. {}2,3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，R {|2}A x x =≥ð，所以R (){2,3}A B = ð.故选：D2. 函数y =的定义域是（ ）A. []22-, B. ()2,2- C. [)(]2,00,2-U D. [)(]4,00,4-⋃【答案】C 【解析】【分析】由240x -≥且0x ≠可求得结果.【详解】由题意得2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得22x -≤≤且0x ≠，所以函数的定义域为[)(]2,00,2-U .故选：C 3. 不等式312x ≤+的解集为（ ）A. {21}xx -≤<∣ B. {21}xx -<≤∣C. {2xx ≤-∣或1}x > D. {2xx <-∣或1}x ≥【答案】D 【解析】【分析】转化为求解()()12020x x x ⎧-++≤⎨+≠⎩即可.【详解】312x ≤+，即102x x -+≤+，即()()12020x x x ⎧-++≤⎨+≠⎩，解得1x ≥或2x <-.故选：D.4. 已知集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x a x a =-≤≤+，则“1a =”是“A B ⊆”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.【详解】当1a =时，{}12B x x =-≤≤，此时A B =，即1a =可以推出A B ⊆，若A B ⊆，所以112a a -≤⎧⎨+≥⎩，得到1a ≥，所以A B ⊆推不出1a =，即“1a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件，故选：A.5. 若a 、b 、c ∈R ，a b >，则下列不等式成立的是（ ）A.11a b< B. 22a b > C.2211a bc c >++ D. ||||a cbc >【答案】C 【解析】【分析】利用不等式的性质依次分析选项即可求解.【详解】对于A ，B ，取1a =，2b =-，则11a b >，22a b <，故A ，B 错误；对于C ，因为a b >，211c +>，所以2211a bc c >++，故C 正确；对于D ，取0c =，则a c b c =，故D 错误；故选：C6. 若0a >，0b >，412ab a b =++，则ab 的取值范围是（ ）A. {}018x x <≤ B. {}036x x <≤C. {}18x x ≥ D. {}36x x ≥【答案】D 【解析】【分析】根据题意利用基本不等式可得120ab --≥.【详解】因0a >，0b >，由基本不等式可得4121212ab a b =++≥=+，即120ab --≥6≥2≤-（舍去），即36ab ≥，当且仅当436b a ab =⎧⎨=⎩，即312a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故ab 的取值范围是{}36x x ≥．故选：D ．7. 已知集合2{|320}M x x x =-+=、集合2{|350}N x x ax a =-+-=，若M N M ⋃=，则实数a 的取值集合为（ ）.A. ∅ B. {}210，C. {|210}a a ≤<D. {|210}a a <≤【答案】C 【解析】【分析】利用集合之间的包含关系求解即可.【详解】{}{|(1)(2)0}12M x x x =--==，，∵M N M ⋃=，∴N M ⊆，当N =∅时，有2Δ4(35)0a a =--<，解得210a <<，当{1}N =时，有2Δ4(35)01350a a a a ⎧=--=⎨-+-=⎩，解得2a =，当{2}N =时，有2Δ4(35)042350a a a a ⎧=--=⎨-+-=⎩，方程组无解，为当{}1,2N =时，有3352a a =⎧⎨-=⎩，方程组无解，综上所述，实数a 的取值集合为{|210}a a ≤<.故选：C.8. 已知{|12}A x x =≤≤，命题“x A ∃∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A. 0a ≥ B. 2a ≥ C. 0a ≤ D. 2a ≤【答案】B 【解析】【分析】先根据“x A ∃∈，20x a -≤”求a 的取值范围，再根据充分不必要条件的判定方法进行选择.【详解】因为“x A ∃∈，20x a -≤”， {|12}A x x =≤≤，所以()2mina x≥，所以1a ≥结合选项及充分不必要条件知“2a ≥”是“1a ≥”的充分不必要条件.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()f x x =和()g x =B. ()1f x x =+和()211x g x x -=+C. ()()1,01,0x xf xg x x x >⎧==⎨-<⎩和D. ()f x =和()g x =【答案】AC 【解析】【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案.【详解】A：()||g x x ==与()f x x =定义域和对应法则都相同，为同一函数；.B ：()2111x g x x x -==-+定义域为{|1}x x ≠-，而()1f x x =+定义域为R ，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数；C ：1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩与()g x 定义域和对应法则都相同，为同一函数；D ：()g x =={|1}x x ≥，而()f x =定义域为{|1x x ≥或1}x ≤-，它们定义域不同，不为同一函数.故选：AC10. 下列不等式恒成立的是（ ）A. 296a a+≥ B. 若0a ≠，则12a a+≥C. 若0ab >，则2b aa b+≥ D. 若,0a b >，则22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于ACD ，利用基本不等式分析判断，对于B ，举例判断.【详解】对于A ，222936a a a +=+≥，当且仅当3a =时取等号，所以A 正确.对于B ，若1a =-，则122a a +=-<，所以B 错误.对于C ，因0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，所以C 正确.对于D ，因为,0a b >，所以2a b+≥，当且仅当a b =时取等号，所以22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，所以D 正确.故选：ACD11. 下列命题中是真命题的是（ ）A. “1x >”是“21x >”的充分不必要条件B. 命题“0x ∀≥，都有210x -+≥”的否定是“00x ∃<，使得2010x -+<”为C. 不等式3021x x -≥+成立的一个充分不必要条件是1x <-或4x >D. 当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解【答案】ACD 【解析】【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可.【详解】解：对A ，“1x >”可以推出“21x >”，而“21x >”推出1x >或者1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故A 正确；对B ，命题“0x ∀≥，都有210x -+≥”的否定是“00x ∃≥，使得2010x -+<”，故B 错误；对C ，不等式3021x x -≥+成立，即3x ≥或12x <-，所以不等式3021x x -≥+成立的一个充分不必要条件是1x <-或4x >，故C 正确；对D ，当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩等价于32103210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以方程组有无穷多解，故D 正确.故选：ACD.12. 已知集合(){}(){},0,,1P x y x y Q x y xy =-===∣∣，则（ ）A. P Q =RB. ()(){}1,1,1,1P Q ⋂=--C. (){},1,1P Q x y x y ⋂==±=±∣D. P Q ⋂有3个真子集【答案】BD 【解析】【分析】由集合的表示与运算逐一判断．【详解】由题意得集合P 表示直线y x =上所有的点，集合Q 表示1y x=上所有的点，P Q ⋃是点集，故A 错误，由1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故()(){}1,1,1,1P Q ⋂=--，故B 正确，C 错误，P Q ⋂有3个真子集，∅，{(1,1)},{(1,1)}--，D 正确，故选：BD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是______，只参加田径一项比赛的人数是______.【答案】 ①. 9②. 2【解析】【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.【详解】如图所示：设U ={参加比赛的学生}，A ={参加游泳比赛的学生}，B ={参加田径比赛的学生}，C ={参加球类比赛的学生}，依题意，()()()()28,15,8,14n U n A n B n C ====，()()()3,3,0n A B n A C n A B C ⋂=⋂=⋂⋂=，于是()281581433n B C =++---⋂，解得()3n B C ⋂=，所以只参加游泳比赛的人数为()()()15339n A n A B n A C -⋂-⋂=--=，只参加田径比赛的人数()()()8332n B n A B B C -⋂-⋂=--=.故答案为：9，214. 已知a ，()0,1b ∈，记M ab =，1N a b =+-，则M 与N 的大小关系是________．【答案】M N >【解析】【分析】直接由作差法即可比较大小.【详解】因为()()111M N ab a b b a -=--+=--，且a ，()0,1b ∈，所以0M N M N ->⇒>．故答案为：M N >.15. 已知()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，若()1f x =，则x =______.【答案】1或1-【解析】【分析】分别令分段函数()f x 中的每一段解析式的函数值为1列方程，由此解得x 的值.【详解】由21,1x x +=≤-，得1x =-；由2121,x x =-<≤， 得1x =；由21,2x x =>，得12x =（舍）；综上1x =-或1x =.故答案为：1或1-.16. 若命题：“R x ∃∈，210ax x ++<”为假命题，则实数a 的取值范围为____________.【答案】1[,)4+∞【解析】【分析】分析可知命题“2R,10x ax x ∀∈++≥”为真命题，对实数a 的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，题“2R,10x ax x ∀∈++≥”为真命题，当0a =时，由10x +≥可得1x ≥-，不符合题意，当0a ≠时，根据题意知不等式恒成立则0Δ140a a >⎧⎨=-≤⎩，解之可得1a 4≥.故答案为：1[,)4+∞四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合{|51},{|125}A x x B x a x a =->=-<<+.（1）当1a =时，求R ,A A B ⋂ð；（2）若A B ≠∅ ，求a 的取值集合.【答案】（1）{|4}A x x =≥R ð，{|04}A B x x ⋂=<< （2）{|65}a a -<<【解析】【分析】（1）根据题意，求得{|4}A x x =<，结合补集的运算，求得A R ð，再结合集合交集的运算，即可求解.（2）由A B ≠∅ ，列出不等式组，即可求解实数a 的取值集合.【小问1详解】解：由不等式{|51}{|4}A x x x x =->=<，可得{|4}A x x =≥R ð，当1a =时，集合{|07}B x x =<<，则{|04}A B x x ⋂=<<.【小问2详解】解：由集合{|51},{|125}A x x B x a x a =->=-<<+，因为A B ≠∅ ，则满足12514a a a -<+⎧⎨-<⎩，解得65a -<<，所以实数a 的取值集合是{|65}a a -<<.18. 已知关于x 的不等式2120ax bx +-≥的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥．（1）求a b 、的值；（2）求关于x 的不等式260bx ax ++≥的解集．【答案】（1）1,1a b ==- （2）{}|23x x -≤≤【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可；（2）代入参数，解一元二次不等式即可.【小问1详解】关于x 的不等式2120ax bx +-≥的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥，∴0a >，且3-和4是方程2120ax bx +-=的两实数根，由根与系数的关系知，341234b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得1,1a b ==-；【小问2详解】由（1）知，1,1a b ==-时，不等式260bx ax ++≥为260(2)(3)0x x x x -++≥⇒+-≤⇒23x -≤≤，∴不等式260bx ax ++≥的解集是{}|23x x -≤≤.19. 已知函数()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩（1）求()()()5ff f 的值；（2）画出函数()f x 的图象．【答案】（1）1- （2）图象见详解【解析】【分析】（1）利用函数()f x 的解析式由内到外可逐层计算出()()()5f f f 的值；（2）根据函数()f x 的解析式可画出该函数的图象.【小问1详解】因为()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，则()5523f =-+=-，()()()53341f f f =-=-+=；所以()()()251211ff f =-⨯=-.【小问2详解】函数()f x 的图象如下图所示：20. 已知函数6()5(0)f x x x x=-->.（1）求函数()f x 的最大值；（2）求不等式()0xf x <的解集．【答案】（1）5-（2）{02x x <<或}3x >【解析】【分析】（1）借助基本不等式即可得；（2）解一元二次不等式即可得.【小问1详解】()665555f x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当6x x=，即x =时，等号成立，故函数()f x 的最大值为5-；【小问2详解】()()26()556230xf x x x x x x x x ⎛⎫=--=-+-=---< ⎪⎝⎭，0x >，即()()230x x -->，解得2x <或3x >，又0x >，故02x <<或3x >，即不等式()0xf x <的解集为{02x x <<或}3x >.21. （1）已知1260a <<，1536b <<，求2a b -的取值范围．（2）已知0x >，0y >且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．【答案】（1）60230a b -<-<；（2）16m ≤【解析】【分析】（1）根据不等式的性质通过乘积及和的运算得出式子范围即可；（2）通过基本不等式1的活用得出最小值即可转化恒成立问题求参.【详解】（1）因为1536b <<，所以72230b -<-<-．又1260a <<，所以127226030a b -<-<-，即60230a b -<-<．（2）由191x y+=，则()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭．当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16．若x y m +≥恒成立，则16m ≤．22. 已知二次函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x x +=++，（1）求函数()f x 的解析式；（2）求关于x 的不等式2()(2)0(R)f x m x m m +-->∈的解集．【答案】（1）()21122f x x x =+ （2）答案见解析【解析】【分析】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，根据所给条件求出c ，再由()()11f x f x x +=++得到方程组，求出a 、b ，即可得解；（2）依题意可得()()10x m x +->，分1m =-、1m <-、1m >-三种情况讨论，分别求出不等式的解集.小问1详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()00f =，所以有0c =，即()()20f x ax bx a =+≠，又因为()()11f x f x x +=++，所以()()22111a x b x ax bx x +++=+++，【所以()()22211ax a b x a b ax b x ++++=+++，所以211a b b a b +=+⎧⎨+=⎩，解得12a b ==．所以()21122f x x x =+；小问2详解】不等式2(2)0(R)x x m x m m ++-->∈可化为()()10x m x +->．当1m =-时，不等式为()210x ->，解得1x ≠，此时不等式的解集为{}1x x ≠；当1m <-时，解得x m >-或1x <，此时不等式的解集为{1x x <或}x m >-；当1m >-时，解得x m <-或1x >，此时不等式的解集为{x x m <-或x >1}．综上可得：当1m =-时不等式的解集为{}1x x ≠；当1m <-时，不等式的解集为{1x x <或}x m >-；当1m >-时，不等式的解集为{x x m <-或x >1}．【。

2024-2025学年四川省绵阳市南山中学高一(上)月考数学试卷(10月份)+答案解析

2024-2025学年四川省绵阳市南山中学高一(上)月考数学试卷(10月份)+答案解析

2024-2025学年四川省绵阳市南山中学高一（上）月考数学试卷（10月份）✥一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各组对象中不能组成集合的是()A.2023年男篮世界杯参赛队伍B.中国古典长篇小说四大名著C.高中数学中的难题D.我国的直辖市2.设命题p：，，则p的否定为()A.，B.，C.，D.，3.若，则下列命题正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.若集合中有且只有一个元素，则m值的集合是()A. B. C. D.5.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线-共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为()A. B. C. D.6.已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是()A.或B.或C. D.7.学校举办运动会时，高一班有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛的人数是()A.3B.4C.5D.68.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A.，B.有些梯形的对角线相等C.菱形的对角线互相垂直D.任何实数都有算术平方根10.下列四个命题：其中正确的命题为()A.已知集合，集合，则B.集合的非空真子集有2个C.已知集合，且，则m的取值构成的集合为D.记，，则11.若实数，且，则()A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

上海市闵行中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学卷(含答案)

上海市闵行中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学卷(含答案)

高一数学试卷时间：120分钟 满分150分一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.1.已知集合，，则______.2.不等式的解集是______.3.集合可以用列举法表示为______.4.设方程的两根为、，则______.5.已知不等式的解集为，则______.6.若要用反证法证明“对于三个实数a 、b 、c ，若，则或”，第一步应假设______.7.某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______.8.已知集合是单元素集，则实数的取值集合为______.9.已知集合，，若，则实数的取值范围是______.10.不等式的解集是______.11.已知、，关于的不等式组解集为，则的值为______.12.已知集合，集合，且，则实数的取值范围是______.二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分.13.给出下列关系式，错误的是（ ）A. B. C. D.14.“”是“或”的（ ）{}1,2,3,4A ={}πB x x =>A B = 101x x -<+()10,30x y P x y x y ⎧⎫+-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬--=⎩⎪⎪⎩⎭21830x x -+=1x 2x 1211x x +=210ax bx ++>{}12x x -<<a b +=a c ≠a b ≠b c ≠(){}21320A x a x x =-+-=a {}29180A x xx =-+<{}22560B x x ax a =-+=A B ≠∅ a ()2210x x x ++-≠m n R ∈x 23140x x m nx n⎧-+<⎪⎨<⎪⎩()9,13mn ()()(){}22,220,,A x y ax x a ay y a x R y R =++++>∈∈()()(){}22,1220,,B x y x x y y x R y R =++++>∈∈A B A B = a {}10,1,2∈{}1,2,3∅⊆{}{}11,2,3∈{}{}0,1,21,2,0=2024x y +<2012x <2012y <A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15.已知关于x 的不等式，下列结论正确的是（ ）A.不等式的解集不可以是；B.不等式的解集可以是；C.不等式的解集可以是；D.不等式的解集可以是.16.已知a 、b 都是正数，集合，，若任意的，都有或.则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D.三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知集合，集合.（1）求集合；（2）若全集，求.18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知命题：实数满足，命题：实数满足（其中）.（1）若，且命题和中至少有一个为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）.使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且.（1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式；（2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值.220240mx nx ++>220240mx nx ++>R 220240mx nx ++>∅220240mx nx ++>{}2024x x <220240mx nx ++>()1,20240x a A x x a ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭()(){}0B x b x b x =+-≥m R ∈m A ∈m B ∈a b <a b ≤a b >a b≥{}2280A x x x =+-≤2716x B xx ⎧-⎫=≤⎨⎬-⎩⎭B U R =B A p x 210160x x -+≤q x 22430x mx m -+≤0m >1m =p q x q p m ABCD EFGH 200AB =100BC =AE AH CF CG ===AE x =0100x <≤EFGH S x AE20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解决下列问题：（1）已知、，设，.比较与的大小；（2）已知命题P ：如果实数a 、b 为正数，且满足，则和中至少有一个成立.判断命题P 是否正确，并说明理由；（3______.（其中a ，b ，c ，d 都为正数）并给出它的代数证明.21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数和，定义集合.（1）设，，求；（2）设，，，若任意，都有，求实数的取值范围；（3）设，，，若存在，使得且，求实数的取值范围.m n R ∈()()2214a m n =++()22b mn =+a b 2a b +=123b a +≥123a b+≥+≥()m x ()n x ()()()()(){},T m x n x x m x n x =<()3p x x =-()45q x x =--()()(),T p x q x ()1u x x =-()()22v x x a a =-+()()216w x a x =-+0x R ∈()()()][()()()0,,x T u x v x T v x w x ⎡⎤∈⎣⎦ a ()2f x x b =-()41x b g x x +=-()2h x =0x R ∈()()()0,x T f x h x ∈()()()0,x T g x h x ∈b2024学年第一学期单元考试高一数学试卷答案一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.12345660且78910111212二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分.CACB三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.【解】（1）由得：，即，解得：，∴.（2）由（1）知：；由得：，解得：，即，∴.18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.【解】（1）：实数满足，解得，当时，：，解得，∵和至少有一个为真，∴或，∴，{}4()1,1-(){}2,1-a b =b c =1,18⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()1,3()(),11,-∞--+∞ 39-()(),11,-∞-+∞ 2716x x -≤-106x x -≤-()()16060x x x ⎧--≤⎨-≠⎩16x ≤<[)1,6B =()[),16,B =-∞+∞ 2280x x +-≤()()420x x +-≤42x -≤≤[]4,2A =-(][),26,B A =-∞+∞ p x 210160x x -+≤28x ≤≤1m =q 2430x x -+≤13x ≤≤p q 28x ≤≤13x ≤≤18x ≤≤∴实数的取值范围为；（2）∵，由，解得，即：，∵是的充分条件，∴∴，实数的取值范围是19.略20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）解：∵，∴，即；（2）命题正确用反证法证明如下：假设和都不成立，则且，由已知，实数、为正数实数，∴且，故，可得，与已知矛盾，故假设不成立，∴和中至少有一个成立. （3证明：x []1,80m >22430x mx m -+≤3m x m ≤≤q 3m x m ≤≤q p 238mm ≥⎧⎨≤⎩823m ≤≤m82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()222142a b m n mn -=++-+()22222222244444420m n m n m n mn m n mn m n =+++---=+-=-≥0a b -…a b …P 123b a +≥123a b+≥123b a +<123a b+<a b 123b a +<123a b +<22233a b a b ++<+2a b +>2a b +=123b a +≥123a b+≥≥22-()2222222222a c b d a c b d ab cd =++++-+++++又因为所以因为a ，b ，c ，d所以21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）已知，由，即当时，不等式化为，得，此时，不等式的解为.当时，不等式化为，即，恒成立，此时，不等式的解为.当时，不等式化为，得.此时，不等式的解为.综上所述，的解集为，即.（2）由题意知，不等式①恒成立，且不等式②恒成立；由（1）得，，，解得；由②得，，时，不等式化为恒成立，时，应满足，解得；综上知，的取值范围是.()()22ab cd ab cd ⎤=-+=-+⎥⎦()()()()222222222220a c b d ab cd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥()()()22222a c b d ab cd ++≥+()ab cd ≥+22+≥≥()3p x x =-()45q x x =--()()p x q x <354x x -+-<5x ≥354x x -+-<6x <56x ≤<35x ≤<354x x -+-<24<35x ≤<3x <354x x -+-<2x >23x <<()()p x q x <()2,6()()()(),2,6T p x q x =()212x x a a -<-+()()22216x a a a x -+<-+()()2221210x a x a a -++++>()()22214210a a a ∆=+-++<34a >-()22160a x a a ---+>1a =1160--+>1a ≠21060a a a ->⎧⎨--+>⎩12a <<a [)1,2（3）已知，，，由题意得，不等式组有解， 由，又， （1）当，即时，上式为，对任意桓成立.此时不等式组有解，满足题意； ②当，即时，，或，要使不等式组有解，则，或，解得，则有；③当，即时，，或.要使不等式组有解，则，或，解得，则有；综上所述，的取值范围是()2f x x b =-()41x b g x x +=-()2h x =()()22f x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩()22221122b b f x x b x <⇔-<-<⇔-<<+()()()4214242200111x b x x b x b g x x x x +---++<⇔<⇔<⇔>---421b +=14b =-10>()(),11,x ∈-∞+∞ ()()22f xg x <⎧⎪⎨<⎪⎩421b +<14b <-()242g x x b <⇔<+1x >()()22f xg x <⎧⎪⎨<⎪⎩1422b b -<+112b +>67b >-6174b -<<-421b +>14b >-()21g x x <⇔<42x b >+()()22f x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩112b -<1422b b +>+4b <144b -<<b 6,47⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2024-2025学年河北省唐山市高一上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年河北省唐山市高一上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年河北省唐山市高一上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1.本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共120分.考试时间90分钟.2.将第I 卷答案用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题卡上.第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 集合，，则（ ）{1,4,5}A ={21,Z}B xx n n ==+∈∣A B = A. B. C. D. {1,5}{1,4,5}{4}{1}2. 命题“”的否定是2,220x x x ∃∈++≤R A.B.2,220x x x ∀∈++>R 2,220x R x x ∀∈++≤C.D.2,220x x x ∃∈++>R 2,220x x x ∃∈++≥R 3. 使 “”成立的必要不充分条件是（）2101x x +≥-A .B. 112x -≤≤112x -≤<C.或 D.或12x ≤-1x ≥12x ≤-1x >4. 下列说法正确的为（）A.12x x+≥B. 函数4y =C. 若则最大值为10,x >(2)x x -D. 已知时，，当且仅当即时，取得3a >43+≥-a a 43=-a a 4a =43+-a a 最小值85. 已知，则下列说法正确的是（ ）()0,,a b c a b c >>->∈R A. B. ac bc>c c a b <C.D. a c ab c b +>+a b b c a c<--6. 已知实数m ，n ，p 满足，且，则下列说法正确的是244m n m p ++=+210m n ++=（）A.B.C. D. n p m≥>p n m≥>n p m >>p n m>>7. 设，集合．则“”是“”的（ ）,R a b ∈{}{}22,1,,1A a a B b b =+=+A B =a b =A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知不等式对满足的所有正实数a ，b 都成立，则22211612xx a b +≥+-()410a b a +-=正数x 的最小值为（）A. B. 1C. D. 21232二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图，全集为U，集合A ，B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A. B. ()()U A B A B ⋂⋃⋃ð()()U A B A B ⋃⋂⋂ðC .D.()()()U U A B A B ⎡⎤⋂⋃⋂⎣⎦ðð()()()U U A B A B ⎡⎤⋃⋂⋃⎣⎦ðð10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（a x ()()10a x a x -+>）A. B.∅{}1-C. D. ，或{1}xa x <<-∣{1xx <-∣}x a >11. 若关于的不等式的解集为，则x ()2020ax bx c a ≤++≤>{x |−1≤x ≤3}的值可以是（ ）32a b c ++A. B. C. 2 D. 11232第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合或，，若B A ，则实数a 的取值范围是{|1A x x =≥2}x £-{}|B x x a =≥________．13. 若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是x 2220mx x ++=m ________．14.对于任意正实数x 、y成立，则k 的范围为______．≤四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知，或．{}3A x a x a =≤≤-+∣{1B xx =<-∣5}x >（1）若，求的取值范围；A B =∅ a （2）若，求的取值范围．A B =R a 16. 已知正数满足.,a b 2a b ab +=（1）求的最小值；ab （2）求的最小值；a b +（3）求的最小值.2821a ba b +--17. 设函数.()21f x mx mx =--（1）若命题：是假命题，求的取值范围；()R,0x f x ∃∈>m （2）若存在成立，求实数的取值范围.()()()24,0,13x f x m x ∈-≥++m18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为;1S 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为．2S （其中）4,4y x b a >>>>（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y 同时满足关系，求这两种购买方案花4224y x b a a =-=+-费的差值S 最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．S =19. 已知集合，，，若，，或{}12,,,n A x x x = *N n ∈3n ≥x A ∈y A Îx y A +∈，则称集合A 具有“包容”性．x y A -∈（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；{}1,1,2,3-{}1,0,1,2-（2）若集合具有“包容”性，求的值；{}1,,B a b =22a b +（3）若集合C 具有“包容”性，且集合C 的子集有64个，，试确定集合C ．1C ∈2024-2025学年河北省唐山市高一上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1.本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共120分.考试时间90分钟.2.将第I 卷答案用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题卡上.第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 集合，，则（ ）{1,4,5}A ={21,Z}B xx n n ==+∈∣A B = A. B. C. D. {1,5}{1,4,5}{4}{1}【正确答案】A【分析】根据集合的含义以及交集的概念即可得到答案.B 【详解】集合，其表示所有的奇数，{21,Z}B xx n n ==+∈∣则.{1,5}A B = 故选：A.2. 命题“”的否定是2,220x x x ∃∈++≤R A.B.2,220x x x ∀∈++>R 2,220x R x x ∀∈++≤C. D.2,220x x x ∃∈++>R 2,220x x x ∃∈++≥R 【正确答案】A【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确.故选A.本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.3. 使 “”成立的必要不充分条件是（）2101x x +≥-A. B. 112x -≤≤112x -≤<C. 或 D.或12x ≤-1x ≥12x ≤-1x >【正确答案】A【分析】解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果.2101x x +≥-112x -≤<【详解】不等式可化为解得2101x x +≥-(1)(21)0,10,x x x -+≤⎧⎨-≠⎩11.2x -≤<则成立，反之不可以.112x -≤<⇒112x -≤≤所以是成立的必要不充分条件.112x -≤≤2101x x +≥-故选：A4. 下列说法正确的为（）A.12x x+≥B. 函数4y =C. 若则最大值为10,x >(2)x x -D. 已知时，，当且仅当即时，取得3a >43+≥-a a 43=-a a 4a =43+-a a最小值8【正确答案】C【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；A 0x >A 对于选项,，By ===+(t t =≥即在上单调递增，则最小值为,(22y t t t =+≥)+∞min y ==则不正确；B 对于选项,，则正确；C ()()22(2)211111x x x x x -=--++=--+≤C 对于选项,当时，，当且仅当D 3a >44333733a a a a +=-++≥=--时，即，等号成立，则不正确.433a a -=-5a =D 故选.C 5. 已知，则下列说法正确的是（ ）()0,,a b c a b c >>->∈R A. B.ac bc>c c a b <C.D. a c ab c b +>+a bb c a c<--【正确答案】C【分析】对于AB ：根据不等式性质分析判断；对于CD ：利用作差法分析判断.【详解】对于选项A ：因为，则，所以，故A 错()0,,a b c a b c >>->∈R 0c <ac bc <误；对于选项B ：因为，且，()0,,a b c a b c >>->∈R 0c <可得，所以，故B 错误；11a b <c c a b >对于选项C ：因为，()()()b a ca c a ab bc ab ac b c b b c b b c b-++---==+++且，，则，()0,,a b c a b c >>->∈R 0c <0,0b a b c -<+>可得，所以，故C 正确；()()0b a ca c abc b b c b-+-=>++a c ab c b +>+对于选项D ：因为，()()()()()()22a b a b c a b a ac b bc b c a c b c a c b c a c -+---+-==------且，，则，()0,,a b c a b c >>->∈R 0c <0,0,0,0a b a b c b c a c ->+->->->可得，即，故D 错误；()()()()0a b a b c a bb c a c b c a c -+--=>----a bb c a c >--故选：C.6. 已知实数m ，n ，p 满足，且，则下列说法正确的是244m n m p ++=+210m n ++=（）A.B.C. D. n p m≥>p n m≥>n p m >>p n m>>【正确答案】D【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法2(2)0p n m -=->p n >比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论.n m >【详解】由,得,210m n ++=211m n =--≤-因为,244m n m p ++=+移项得,244m m p n -+=-所以,2(2)0p n m -=->可得,p n >由,得,210m n ++=21m n =--可得,()2221311024n m n n n n n ⎛⎫-=---=++=++> ⎪⎝⎭可得.n m >综上所述,不等式成立,p n m >>故选:D.7. 设，集合．则“”是“”的（ ）,R a b ∈{}{}22,1,,1A a a B b b =+=+A B =a b =A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性,a b 也成立即可得解.【详解】因为，{}{}22,1,,1A a a B b b =+=+当时，则有，或，A B =2211a ba b =⎧⎨+=+⎩2211a b a b ⎧=+⎨+=⎩若，显然解得；2211a ba b =⎧⎨+=+⎩a b =若，则，整理得，2211a b a b⎧=+⎨+=⎩()2211b b ++=()()22012b b b b -+++=因为，，22131024b b b ⎛⎫+=-+ ⎝⎭->⎪22172024b b b ⎛⎫+=++ ⎝⎭+>⎪所以无解；()()22012bb b b -+++=综上，，即充分性成立；a b =当时，显然，即必要性成立；a b =A B =所以“”是“”的充分必要条件.A B =a b =故选：C.8. 已知不等式对满足的所有正实数a ，b 都成立，则22211612x x a b +≥+-()410a b a +-=正数x 的最小值为（）A. B. 1C. D. 21232【正确答案】B【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题()()2222m n m n +≥+设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得2211612a b +≥21212xx ≥+-到正数的最小值.x 【详解】因为()()()22222222222m n m n m n m n mn +-+=+-++，当且仅当时，等号成立，()22220m n mn m n =+-=-≥m n =所以，()()2222m n m n +≥+因为为正实数，所以由得，即，,a b ()410a b a +-=4a b ab +=411b a +=所以，222221161441221a b a b b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦当且仅当，且，即时，等号成立，41b a =4a b ab +=2,8a b ==所以，即，2211621a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭2211612a b +≥因为对满足的所有正实数a ，b 都成立，22211612x x a b +≥+-()410a b a +-=所以，即，整理得，2n 2mi 211612x x a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+≥+-21212x x ≥+-2021x x --≥解得或，由为正数得，1x ≥12x ≤-x 1x ≥所以正数的最小值为.x 1故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图，全集为U ，集合A ，B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A. B. ()()U A B A B ⋂⋃⋃ð()()U A B A B ⋃⋂⋂ðC.D.()()()U U A B A B ⎡⎤⋂⋃⋂⎣⎦ðð()()()U U A B A B ⎡⎤⋃⋂⋃⎣⎦ðð【正确答案】AC【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案.【详解】根据图中阴影可知，符合题意，()()U A B A B ð又，∴也符合题意．()()()U U U A B A B ⋃=⋂ððð()A B ()()U U A B ⎡⎤⎣⎦ ðð故选：AC10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（a x ()()10a x a x -+>）A .B.∅{}1-C. D. ，或{1}xa x <<-∣{1xx <-∣}x a >【正确答案】ACD【分析】根据二次方程根的大小分类讨论，即可求解二次不等式的解集.【详解】对于一元二次不等式，则；()()10a x a x -+>0a ≠当时，函数开口向上，与轴的交点为，0a >()()1y a x a x =-+x ,1a -故不等式的解集为，故D 正确；()(),1,x a ∈-∞-+∞ 当时，函数开口向下，若，不等式解集为，故A 正确；0a <()()1y a x a x =-+1a =-∅若，不等式的解集为，10a -<<()1,a -若，不等式的解集为，故C 正确.1a <-(),1a -故选：ACD11. 若关于的不等式的解集为，则x ()2020ax bx c a ≤++≤>{x |−1≤x ≤3}的值可以是（ ）32a b c ++A. B. C. 2 D. 11232【正确答案】BC【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.a 32a b c ++a 【详解】因为不等式的解集为，()2020ax bx c a ≤++≤>{x |−1≤x ≤3}所以二次函数的对称轴为直线，()2f x ax bx c=++1x =且需满足，即，解得，()()()123210f f f ⎧-=⎪=⎨⎪≥⎩29320a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++≥⎩232b ac a =-⎧⎨=-+⎩所以，所以，123202a b c a a a a ++=--+≥⇒≤10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以，故的值可以是和，332326445,42a b c a a a a ⎡⎫++=--+=-∈⎪⎢⎣⎭32a b c ++322故选：BC关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合或，，若B A ，则实数a 的取值范围是{|1A x x =≥2}x £-{}|B x x a =≥________．【正确答案】[)1,+∞【分析】由为的真子集，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可.B A a 【详解】因为B A ，所以.1a ≥故[)1,+∞13. 若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是x 2220mx x ++=m ________．【正确答案】1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解.0m =0m ≠【详解】当时，方程为，有一个负根，0m =220x +=当时，为一元二次方程，0m ≠2220mx x ++=关于的方程至少有一个负根，设根为，，x 2220mx x ++=1x 2x 当时，即时，方程为，解得，满足题意，480m ∆=-=12m =212202x x ++=2x =-当，即时，且时，480m ∆=->12m <0m ≠若有一个负根，则，解得，1220=<x x m 0m <若有两个负根，则，解得，12122020x x m x x m ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩102m <<综上所述，则实数的取值范围是,，m (-∞1]2故,．(-∞1214.对于任意正实数x 、y 成立，则k 的范围为______．≤【正确答案】⎫+∞⎪⎪⎭≤2k ≥最大值即可．【详解】易知，，k>k≤．2k ∴≥令，分式上下同除y ，0t =>则，则即可，222221141121221t t t k t t +++⎛⎫≥=+ ⎪++⎝⎭22max 1411221t k t +⎛⎫≥+ ⎪+⎝⎭令，则．411u t =+>14u t -=可转化为：，24121t t ++()28829292u s u u u u u ==≤-++-于是，．()21411311222122t t +⎛⎫+≤+= ⎪+⎝⎭∴，即时，不等式恒成立（当时等号成立）．232k ≥k ≥40x y =>故⎫+∞⎪⎪⎭四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知，或．{}3A x a x a =≤≤-+∣{1B xx =<-∣5}x >（1）若，求的取值范围；A B =∅ a （2）若，求的取值范围．A B =R a 【正确答案】（1）[)1,-+∞（2）(],2-∞-【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可；A =∅A ≠∅（2）由题意得，从而可求出的取值范围．351a a -+≥⎧⎨≤-⎩a 【小问1详解】①当时，，∴，∴．A =∅AB =∅ 3a a >-+32a >②当时，要使，必须满足，解得．A ≠∅A B =∅ 32351a a a ⎧≤⎪⎪-+≤⎨⎪≥-⎪⎩312a -≤≤综上所述，的取值范围是．a [)1,-+∞【小问2详解】∵，，或，A B =R {}3A x a x a =≤≤-+∣{1B xx =<-∣5}x >∴，解得，351a a -+≥⎧⎨≤-⎩2a ≤-故所求的取值范围为．a (],2-∞-16. 已知正数满足.,ab 2a b ab +=（1）求的最小值；ab （2）求的最小值；a b +（3）求的最小值.2821a ba b +--【正确答案】（1）8 （2）3+（3）18【分析】（1）根据题意直接利用基本不等式即可得最值；（2）由题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解；211a b +=（3）由题意可得，化简整理结合基本不等式运算求解.()()212a b --=【小问1详解】因为，且，0,0a b >>2a b ab +=则.2ab a b =+≥8ab ≥≥当且仅当，即时等号成立，24a b ==4,2a b ==所以的最小值为8.ab 【小问2详解】因为，且，则，0,0a b >>2a bab +=211a b +=可得，()2122133b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即，即时等号成立，2b aa b =a=21a b =+=+所以的最小值为.a b +3+【小问3详解】因为，且，所以，0,0a b >>2a b ab +=()()212a b --=可得，()()2248182848101018212121a b a b a b a b a b -+-++=+=++≥+=------当且仅当，即时等号成立，4821a b =--3a b ==所以的最小值为18.2821a ba b +--17. 设函数.()21f x mx mx =--（1）若命题：是假命题，求的取值范围；()R,0x f x ∃∈>m （2）若存在成立，求实数的取值范围.()()()24,0,13x f x m x ∈-≥++m 【正确答案】（1）[]4,0-（2）4≥m 【分析】（1）依题意可得是真命题，分和两种情况讨论；()R,0x f x ∀∈≤0m =0m ≠（2）依题意参变分离可得存在使得成立，则只需，()4,0x ∈-4m x x ≥--min 4m x x ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出即可得解.()4,0x ∈-min 4x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【小问1详解】若命题：是假命题，则是真命题，()R,0x f x ∃∈>()R,0x f x ∀∈≤即在上恒成立，210mxmx -≤-R 当时，，符合题意；0m =10-<当时，需满足，解得；0m ≠20Δ40m m m <⎧⎨=+≤⎩40m -≤<综上所述，的取值范围为.m []4,0-【小问2详解】若存在成立，()()()24,0,13x f x m x ∈-≥++即存在使得成立，故只需，，()4,0x ∈-4m x x ≥--min 4m x x ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭()4,0x ∈-因为，所以，则，()4,0x ∈-()0,4x -∈()444x x x x--=-+≥=-当且仅当，即时取等号，4x x -=-2x =-所以，所以.min44x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-4≥m 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为;1S 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为．2S （其中）4,4y x b a >>>>（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y 同时满足关系，求这两种购买方案花4224y x b a a =-=+-费的差值S 最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．S =【正确答案】（1）采用方案二；理由见解析 （2）24【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可214((4S S x a a -=-⋅+-求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为（元）；1S ax by =+方案二的总费用为（元），2S bx ay =+由，21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--因为，可得，所以，4,4y x b a >>>>0,0y x a b ->-<()()0y x a b --<即，所以，所以采用方案二，花费更少.210S S -<21S S <【小问2详解】解：由（1）可知，()()(1244S S y x b a x a a ⎛⎫-=--=-⋅+ ⎪-⎝⎭令，t =24x t =+所以，当时，即时，等号成立，2224(1)33x t t t -=-+=-+≥1t =5x =又因为，可得，4a >40a ->所以，44(4)44844a a a a +=-++≥=--当且仅当时，即时，等号成立，444a a -=-6,14a b ==所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，S 2483=⨯5,8,6,14x y a b ====所以两种方案花费的差值最小为24元.S 19. 已知集合，，，若，，或{}12,,,n A x x x = *N n ∈3n ≥x A ∈y A Îx y A +∈，则称集合A 具有“包容”性．x y A -∈（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；{}1,1,2,3-{}1,0,1,2-（2）若集合具有“包容”性，求的值；{}1,,B a b =22a b +（3）若集合C 具有“包容”性，且集合C 的子集有64个，，试确定集合C ．1C ∈【正确答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性{}1,1,2,3-{}1,0,1,2-（2）1（3），，，{}2,1,0,1,2,3--1131,,0,,1,222⎧⎫--⎨⎬⎩⎭2112,,0,,,13333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或．{}3,2,1,0,1,2---311,1,,0,,1222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；（2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a 和b 的值，即可得出结{}01,,a b ∈果；（3）由集合C 的子集有64个，推出集合C 中共有6个元素，且，再由条件，推0C ∈1C ∈出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.【小问1详解】（Ⅰ）集合中的，，{}1,1,2,3-{}3361,1,2,3+=∉-{}3301,1,2,3-=∉-所以集合不具有“包容”性．{}1,1,2,3-集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属{}1,0,1,2-于集合，所以集合具有“包容”性．{}1,0,1,2-{}1,0,1,2-【小问2详解】（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则，{}1,,B a b ={}max 1,,m a b =1m ≥易得，从而必有，{}21,,m a b ∉{}01,,a b ∈不妨令，则，且，0a ={}1,0,B b =0b ≠1b ≠则，{}{}1,11,0,b b b +-⋂≠∅且，{}{}1,11,0,b b b +-⋂≠∅①当时，若，得，此时具有包容性；{}11,0,b b +∈10b +=1b =-{}1,0,1B =-若，得，舍去；若，无解；11b +=0b =1b b +=②当时，则，由且，可知b 无解，{}11,0,b b +∉{}{}1,11,0,b b b --⊆0b ≠1b ≠故．{}1,0,1B =-综上，．221a b +=【小问3详解】（Ⅲ）因为集合C 的子集有64个，所以集合C 中共有6个元素，且，又，且C 0C ∈1C ∈中既有正数也有负数，不妨设，{}1112,,,,0,,,,k k l C b b b a a a ---- 其中，，，5k l +=10l a a <<< 10k b b <<<L 根据题意，1111{,,}{,,,}l l l k k a a a a b b b ----⊆---L L且，1112112{,,,}{,,,}k k l b b b b b b a a a ----⊆L L 从而或．()(),2,3k l =()3,2①当时，，()(),3,2k l ={}{}313212,,b b b b a a --=并且由，得，由，得，313212{,}{,}b b b b b b -+-+=--312b b b =+2112{,}a a a a -∈212a a =由上可得，并且，2131322111(,)(,)(,)(2,)b b b b b b a a a a =--==31213b b b a =+=综上可知；{}111113,2,,0,,2C a a a a a =---②当时，同理可得．()(),2,3k l =11111{2,,0,,2,3}C a a a a a =--综上，C 中有6个元素，且时，符合条件的集合C 有5个，1C ∈分别是，，，{}2,1,0,1,2,3--1131,,0,,1,222⎧⎫--⎨⎬⎩⎭2112,,0,,,13333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或．{}3,2,1,0,1,2---311,1,,0,,1222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。

2024-2025学年福州市一中高一数学上学期10月考试卷及答案解析

2024-2025学年福州市一中高一数学上学期10月考试卷及答案解析

2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考高一数学（完卷时间：120分钟；满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知全集(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=，则集合B =（ ）A. (],2∞- B. (),2∞- C. (]0,2 D. ()0,2【答案】C【解析】【分析】集合运算可得()=I U U B C A C B ，即可求出结果【详解】(0,4]A B = ，(2,4]=I U A C B 所以()(0,2]==I U U B C A C B 故选：C2. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y 1（万件），市场供应量y 2（万件）与市场价格x （百元/件）分别近似地满足下列关系：150y x =-+，2210y x =-，当12y y =时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ）A. 6百元B. 8百元C. 9百元D. 18百元【答案】C【解析】【分析】求出封城前平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额.【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x 为5021020x x x -+=-⇒=，平衡需求量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则11365014x x =-+⇒=，223621023x x =-⇒=，则补贴金额为23149-=.故选：C.3. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（ ）A. []x = |x|B. []xC. []x >-xD. []x > 1x -【答案】D 的【解析】【详解】分析：[]x 表示不超过x 最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．详解：设 1.5x =，[]1x =， 1.5x =1.5=，10.5x -=，排除A 、B ，设 1.5x =-，[]2x =-， 1.5x -=，排除C ．故选D点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．4. 已知函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数(())y f f x =的零点所在区间为（ ）A. (1,0)- B. 73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】当0x …时，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，根据()f x 为增函数，且(3)0f =可得函数(())y f f x =的零点为3()2log 12x g x x =+-的零点，根据零点存在性定理可得结果.【详解】当0x …时，()430x f x =+>，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，293()2log 92log 9x x f x x x =+-=+-为增函数，且(3)0f =.令(())0(3)f f x f ==，得3()2log 93x f x x =+-=，即32log 120x x +-=，令3()2log 12x g x x =+-，则函数(())y f f x =的零点就是3()2log 12x g x x =+-的零点，因为()3332log 31230g =+-=-<，72377()2log 1222g =+-37log 1202=+->，所以函数(())y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据的解析式判断函数的单调性，属于中档题.5. 设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()1f 是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A [)1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. [)1,+∞【答案】C【解析】【分析】由1x >，求得()f x 的范围；再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a …时函数()f x 在1x …的最小值，即可得到所求范围．【详解】解：函数2,1()1,1x a x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩…，若1x >，可得()12f x x =+>，由()1f 是()f x 的最小值，由于||()2x a f x -=可得在x a >单调递增，在x a <单调递减，若1a <，1x …，则()f x 在x a =处取得最小值，不符题意；若1a …，1x …，则()f x 在1x =处取得最小值，且122a -…，解得12a ……，综上可得a 的范围是[1，2]．故选：C ．【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．6. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()0f x y f x y f x f y ++--=，()11f -=，则（ ）A. ()00f = B. ()f x 为奇函数C. ()81f =- D. ()f x 的周期为3【答案】C【解析】【分析】令 0x y ==，则得(0)2f =，再令0x =即可得到奇偶性，再令1y =-则得到其周期性，最后根.据其周期性和奇偶性则得到()8f 的值.【详解】令 0x y ==， 得()()22000f f -=得 (0)0f = 或 (0)2f =，当 (0)0f = 时，令0y =得 ()0f x = 不合题意， 故 (0)2f =， 所以 A 错误 ；令 0x = 得 ()()f y f y =-， 且()f x 的定义域为R ，故 ()f x 为偶函数， 所以B 错误 ；令 1y =-， 得 (1)(1)()f x f x f x -++=， 所以 ()(2)(1)f x f x f x ++=+，所以 (2)(1)f x f x +=--， 则(3)()f x f x +=-，则()(6)(3)f x f x f x +=-+=，所以 ()f x 的周期为 6 ， 所以 D 错误 ；令 1x y ==， 得 2(2)(0)(1)f f f +=， 因为()()111f f -==所以 (2)1f =-，所以 ()(8)21f f ==-， 故C 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.7. 函数()(),f x g x 的定义域均为R ，且()()()()4488f x g x g x f x +-=--=，，()g x 关于4x =对称，()48g =，则()1812m f m =∑的值为（ ）A. 24- B. 32- C. 34- D. 40-【答案】C【解析】【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.【详解】因为()()44f xg x +-=①， ()()88g x f x --=②，对于②式有：()()88g x f x +-=③，由①+③有：()()8412g x g x ++-=，即()()1212g x g x +-=④，又()g x 关于4x =对称，所以()()8g x g x =-⑤，由④⑤有：()()81212g x g x -+-=，即()()81212g x g x +++=，()()4812g x g x +++=，两式相减得：()()1240g x g x +-+=，即()()124g x g x +=+，即()()8g x g x +=，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()g x 的周期为8，又()48g =，所以()()()412208g g g ==== ，由④式()()1212g x g x +-=有：()66g =，.所以()()()614226g g g ==== ，由()48g =，()()1212g x g x +-=有：()84g =，所以()()()816244g g g ==== ，由⑤式()()8g x g x =-有：()()266g g ==，又()()8g x g x +=，所以()()1026g g ==，由②式()()88g x f x --=有：()()88f x g x =+-，所以()()()()()()()18122436101244818m f m f f f g g g ==+++=+++-⨯∑ ()686446881834=+++⨯++-⨯=-，故A ，B ，D 错误.故选：C.8. 已知函数()()()lg 2240f x x a x a a =+--+>，若有且仅有两个整数1x 、2x 使得()10f x >，()20f x >，则a 的取值范围是（ ）A. (]0,2lg 3- B. (]2lg 3,2lg 2--C. (]2lg 2,2- D. (]2lg 3,2-【答案】A【解析】【分析】由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利用数形结合思想得出()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩以及0a >，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】由()()lg 2240f x x a x a =+--+>，得()lg 224x a x a >-+-.由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.如下图所示：由图象可知，由于()()()22422y a x a a x =-+-=--，该直线过定点()2,0.要使得函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，则有()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩，即22lg 3a a <⎧⎨-≥⎩，解得2lg 3a ≤-，又0a >，所以，02lg 3a <≤-，因此，实数a 的取值范围是(]0,2lg 3-.故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列命题正确的是（ ）A. “1a >”是“21a >”的充分不必要条件B. “M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D. 设函数()f x 的导数为()f x '，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.10. 若函数()f x 的定义域为R ，且()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(2)1f =-，则（ ）A. (0)0f =B. ()f x 为偶函数C. ()f x 的图象关于点(1)0，对称 D. 301()1i f i ==-∑【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，令2,0x y ==,可得(0)1f =；对于B ，令0,x y x ==，可得()()f x f x =-，即可判断；对于C ，令1x y ==得f (1)=0，再令1,x y x ==即可判断；对于D ，根据条件可得()()2f x f x =--,继而()()2f x f x =-+，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.【详解】对于A ，令2,0x y ==，则()()()22220f f f =⋅，因为(2)1f =-，所以()220f -=-，则(0)1f =，故A 错误；对于B ，令0,x y x ==，则()()()2(0)()2f x f x f f x f x +-==，则()()f x f x =-，故B 正确；对于C ，令1x y ==得，()()()220210f f f +==，所以f (1)=0，令1,x y x ==得，(1)(1)2(1)()0f x f x f f x ++-==，则()f x 的图象关于点(1)0，对称，故C 正确；对于D ，由(1)(1)0f x f x ++-=得()()2f x f x =--，又()()f x f x =-，所以()()2f x f x -=--，则()()2f x f x =-+，()()24f x f x +=-+，所以()()4f x f x =+，则函数()f x 的周期为4，又f (1)=0，(2)1f =-，则()()()3310f f f =-==，()()401f f ==，则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，所以()()301()12701i f i f f ==++⨯=-∑，故D 正确，故选：BCD.11. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x R ∈，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=-x f x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）A. (2)0f =B. 点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C. 函数()y f x =在[6,2]--上单调递增D. 函数()y f x =在[6,6]-上有3个零点【答案】AB【解析】【分析】由(4)()(2)f x f x f +=+，赋值2x =-，可得(4)()f x f x +=，故A 正确；进而可得(4,0)是对称中心，故B 正确；作出函数图象，可得CD 不正确.【详解】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =-，得(2)0f -=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =-=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]--上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]-上有7个零点，故D 不正确.故选：AB【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12. 设函数()()x x f x e ae a R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【解析】【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.13. 422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______【答案】1-【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232log 3494122563-⨯⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=42log 379121616-++131=-+1=-．故答案为：1-.14. 设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是 ．【答案】403m ≤≤【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤四、解答题：本题共5小题，共77分.15. 阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）求f （－2）与f （2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ．因为2＞0，所以f （2）＝ ② ．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f(x)在(,0]-∞上的最大值为 ③ ．又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上最大值为1．综上，f(x)的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A ．（－2）＋3＝1 B ．2(2)2(2)8--+⨯-=-②A.2＋3＝5 B ．22220-+⨯=③A.3B.0④A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0的⑤ A.1 B.3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ．【解析】【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3．又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且()11f =，所以()f x 在(0,+∞)上的最大值为1．综上，()f x 的最大值为3．16. 如图，某小区要在一个直角边长为30m 的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为ABC V ，花园为矩形DEFG ．根据规划需要，花园的顶点F 在三角形的斜边BC 上，边DG 在三角形的直角边AC 上，顶点G 到点C 的距离是顶点D 到点A 的距离的2倍．（1）设花园的面积为S （单位：2m ），AD 的长为x （单位：m ），写出S 关于x 的函数解析式；（2）当AD 的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）()()2303,010S x x x =-<<（2）当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .【解析】【分析】（1）根据矩形面积即可求解，（2）根据基本不等式即可求解.【小问1详解】,AD x =则2CG GF x ==，302303GD x x x =--=-，所以()()2303,010S GD GF x x x =⋅=-<<【小问2详解】()()()233032223033303150332x x S x x x x +-⎡⎤=-=⋅-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3303x x =-，即5x =时等号成立，故当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：0x ≥时，21()21x x f x -=+.（1）求()f x 的表达式；（2）若关于x 的不等式()2(23)10f ax f ax ++->恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）21()21x x f x -=+ （2）(]4,0-【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当0x <时的解析式，即可得到结果；（2）根据定义证明函数()f x 在R 上单调递增，然后再结合()f x 是定义在R 上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果.【小问1详解】设0x <，则0x ->，因为0x ≥时，21()21x x f x -=+，所以()21122112x xx xf x -----==++又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，即()()12211221x x x x f x f x --=--=-=++所以当0x <时，21()21x x f x -=+综上，()f x 的表达式为21()21x x f x -=+【小问2详解】由（1）可知，212()12121x x x f x -==-++，设在R 上任取两个自变量12,x x ，令12x x <则()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221212222221212121x x x x x x -=-=++++因为12x x <，则12220x x -<，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<所以函数()f x 在R 上单调递增.即()()22(23)10(23)1f ax f ax f ax f ax ++->⇒+>--，由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()()2211f ax f ax ---=即()21(23)f ax f ax >-+，由函数()f x 在R 上单调递增，可得22231240ax ax ax ax +>-⇒--<恒成立，当0a =时，即40-<，满足；当0a ≠时，即20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a -<<综上，a 的取值范围为(]4,0-18. 已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥．（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立；（2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．【答案】（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a ++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥,两边同时加a 可得cd a b a a+≥+,即可得证.【详解】解析:（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.所以2()0a c d a cd -++≥,即2()a cd c d a ++≥.因为0a b >≥,所以cd a c d a++≥,因为ab cd ≥,所以cd b a≥,所以cd a b a c d a +++≥≥.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.19. 对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意.【详解】（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=，若d c c -=，则考虑,b c ，2c b c c d <+<= ，c b S ∴-∈，则c b b -=，{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．（3）记1009n =，则21S n =+，首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=，分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，2n M x ∴=，对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈，特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，以此类推：()1i x im i n =≤≤，22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.。

2024-2025学年高一上学期第二次月考(10月)数学试题

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2024级高一数学试题总分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（ ）x ∀∈R 2210x x -+>A.， B.，x ∀∈R 2210x x -+<x ∀∉R 2210x x -+>C.， D.，x ∃∈R 2210x x -+≥x ∃∈R 2210x x -+≤2.定义集合运算.设，，则集合的真子{},,A B c c a b a A b B ==+∈∈◇{}0,1,2A ={}2,3,4B =A B ◇集个数为（ ）A.32B.31C.30D.153.设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合且{}02M x x =≤≤{}02N y y =≤≤M N 以集合为值域的函数关系的有（ ）NA ①②③④ B.①②③C.②③D.②4.已知函数.下列结论正确的是（ ）()223f x x x =-++A.函数的减区间()f x ()(),11,3-∞- B.函数在上单调递减()f x ()1,1-C.函数在上单调递增()f x ()0,1D.函数的增区间是()f x ()1,3-5.已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f xA. B.若，则()()11f f -=()3f x =x C.的解集为 D.的值域为()1f x <(),1-∞()f x (),4-∞6.已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ）()f x []0,1fA.和B.和⎡⎣[]1,0-⎡⎣[]0,1C.和D.和[]1,0-[]1,0-[]1,0-[]0,17.设函数；若，则实数的取值范围是（ ）()()()4,04,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩()()231f a f a ->-a A. B.()(),12,-∞-+∞ ()(),21,-∞-+∞ C. D.()(),13,-∞-+∞ ()(),31-∞-+∞ 8.已知函数满足，则（ ）()f x ()111f x f x x ⎛⎫+=+⎪-⎝⎭()2f =A. B. C. D.34-343294二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.设集合，集合，若，则实数的值可以为（ {}2280A x x x =--={}40B x mx =-=A B =∅R m ）A. B. C.0 D.12-1-10.已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）0x <()()240ax x b -+≥A. B.0a >0b <C.的最小值为8 D.的最小值为2a b -1b a +16411.已知，均为正实数.则下列说法正确的是（ ）x y A.的最大值为22xy x y +128.若，则的最大值为84x y +=22x y +C.若，则的最小值为21y x+=1x y +3+D.若，则的最小值为22x y x y +=-12x y x y +++169三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数______()f x =13.已知函数满足对任意实数，都有成立，()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x ≠()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦则实数的取值范围是______a 14.记为，，中最大的数.设，，则的最小值为______.{}max ,,abc a b c 0x >0y >13max ,,y x x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；()f x ()()94ff x x =+()f x （2）已知函数.求的解析式；()24212f x x x +=-()f x （3）已知函数满足，求函数的解析式.()f x ()1222f x f x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭()y f x =16.（本小题满分15分）已知定义在的函数，，满足对，等式()0,+∞()f x ()21f =(),0,x y ∀∈+∞恒成立且当时，.()()()f xy f x f y =+1x >()0f x >（1）求，的值；()1f 14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，解关于的不等式：.()21f =x ()()64f x f x +-≤17.（本小题满分15分）已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩（1）若，用定义法证明：为递增函数；3a =()f x （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围.x ()22f x x >-a 18.（本小题满分17分）两县城和相距20km ，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含A B AB AB 两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂AB C 对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城A A B 的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，B K A B A B 记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当C A x C A B y 垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.AB AB （1）将表示成的函数；y x（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存AB A B 在，求出该点到坡的距离；若不存在，说明理由.A 19.（本小题满分17分）已知集合，其中，由中元{}()12,,2k A a a a k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥()1,2,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 素可构成两个点集和：，.P Q (){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈其中中有个元素，中有个元素.新定义一个性质：若对任意的，，则称集合具P m Q n G x A ∈x A -∉A 有性质G（1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性{}0,1,2,3J ={}1,2,3K =-{}222L y y x x ==-+质，若有，则直接写出其对应的集合、；若无，请说明理由；G P Q （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？A G 2024k =Q （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明.A G m n =。

上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

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上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=.2．若a ，b R +∈，则不等式1b a x-<<的解集是.3．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是．4．设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{2}A B = ，则A B = ．5．化简=.6．已知3log 2a =，3log 5b =，则log a ，b 表示的值为.7．对任意实数x ，等式()()432223ax bx cx dx e x x x ++++=-+恒成立，则关于x 的不等式420ax cx d e b +++-≤的解是.8．已知全集U =R ，实数,a b 满足0a b >>，集合2a b M x b x ⎧⎫+=<<⎨⎬⎩⎭，{}N x a =<<，则U M N =ð.9．关于x 的不等式|2||3|x x k ++-≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是10．若实数,m n 为方程2260x kx k -++=的两根，则22(1)(1)m n -+-的最小值为.11．已知集合{}1,2,3,4,5A =，直角坐标系xOy 中的点集(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈．若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B 中的所有点，则这张纸片的面积至少是．12．关于x 的不等式组()226027270x x x a x a ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解只有3-，求a 的取值范围.二、单选题13．“221x y +<”是“1xy x y +>+”成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ab bc >B ．22ab b c >C ．()()0ab ac b c -->D ．()()0ac bc a c -->15．若代数式2143mx mx mx -++对任意的实数x 有意义，则实数m 的取值范围是（）A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．设R a ∈，若不等式221148x x ax x x x++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[2,12]-B ．[2,10]-C ．[4,4]-D ．[4,12]-三、解答题17．解关于x 的不等式：(1)122x x x -+-<+(2)()22101x x x x--≥-18．求下列函数的取值范围.(1)125,(2)2y x x x =++<-(2)()21,15x y x x +=>-+19．已知全集R U =，{}2|320A x x x =-+≤，{}2|20B x x ax a =-+≤，且A B B = ，求a的取值范围.20．市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a （14a ≤≤，且a R ∈）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （分钟）变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()161,04815,4102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（1）当一次投放4a =个单位的洗衣液时，求在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度．（2）在（1）的情况下，即一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，请你写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y （克/升）与时间x （分钟）的函数关系式，求出最低浓度，并判断接下来的四分钟是否能够持续有效去污．21．对正整数n ，记{}1,2,3,,,,n n n n I n P m I k I ⎫==∈∈⎬⎭.(1)用列举法表示集合3P ；(2)求集合7P 中元素的个数；。

湖北省武汉市2024-2025学年高一上学期10月考数学试卷含答案

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2024-2025学年上学期武汉市10月月考高一数学试卷（答案在最后）试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|41A x x =∈-≤-N ，则集合A 的真子集个数为（）A.7B.8C.15D.16【答案】C 【解析】【分析】先解不等式得到{}0,1,2,3A =，从而求出真子集个数.【详解】{}{}33|0,1,2,A x x =≤=∈N ，共有4个元素，故集合A 的真子集个数为42115-=.故选：C2.已知集合1,0A y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭，{B x y ==，则A B = （）A.2,+∞ B.[]2,3 C.(]0,3 D.[)2,3【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合A 、B ，再求A B ⋂.【详解】因为函数1y x x =+在()0,1单减，在()1,+∞上单增，所以{}1,02A y y x x y y x ⎧⎫==+>=≥⎨⎬⎩⎭，要使函数=y 有意义，只需30x -≥，解得3x ≤，所以{{}3B x y x x ===≤，所以A B = []2,33.集合{}{}|04,|02A x x B y y =≤≤=≤≤，下列不能表示从A 到B 的函数的是（）A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →=C.2:3f x y x →=D.:f x y →=【答案】C 【解析】【分析】ABD 选项，求出值域均为集合B 的子集，且对每一个x ，有唯一确定的y 与其对应；C 选项，求出值域不是集合B 的子集，故C 不能表示从A 到B 的函数.【详解】A 选项，12y x =，当04x ≤≤时，02y ≤≤，且对每一个x ，有唯一确定的y 与其对应，故A 能表示从A 到B 的函数；B 选项，13y x =，当04x ≤≤时，[]40,0,23y ⎡⎤∈⊆⎢⎥⎣⎦，且对每一个x ，有唯一确定的y 与其对应，故B 能表示从A 到B 的函数；C 选项，23y x =，当04x ≤≤时，[]80,0,23y ⎡⎤∈⊇⎢⎥⎣⎦，故C 不能表示从A 到B 的函数；D选项，y =04x ≤≤时，[]0,2y ∈，且对每一个x ，有唯一确定的y 与其对应，故D 能表示从A 到B 的函数；故选：C4.命题“对[1,2]x ∀∈，20ax x a -+>”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A.12a ≥B.12a >C.1a ≥D.25a ≥【答案】C 【解析】【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．【详解】因为[12]x ∀∈，，20ax x a -+>等价于[12]x ∀∈，，21xa x >+恒成立，设2()1xh x x =+，则()h x =21211152x x x x⎡⎤=∈⎢+⎣⎦+，．所以命题为真命题的充要条件为12a >，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为≥1．故选C ．【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．5.一元二次不等式2260kx x k -+≥的解集是空集，则实数k 的取值范围是（）A.6k <-或6k > B.66k -<<C.66k -≤≤ D.6k <-【答案】D 【解析】【分析】分析可知，一元二次不等式2260kx x k -+<对任意的x R ∈恒成立，可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围.【详解】由题意可知，一元二次不等式2260kx x k -+<对任意的x R ∈恒成立，所以，204240k k <⎧⎨∆=-<⎩，解得6k <-.故选：D.6.命题()0:0p x ∞∃∈+，使得20010x x λ-+<成立，若p 是假命题，则实数λ的取值范围是（）A.(]2-∞，B.[)2+∞，C.[]22-，D.()2[2)∞∞--⋃+，，【答案】A 【解析】【分析】由p 是假命题，则命题p 的否定为真命题，写出命题p 的否定，利用分离参数的方法求解即可．【详解】命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立，若p 是假命题，则命题p 的否定为：()0,x ∀∈+∞，210x x λ-+≥成立，为真命题．所以1x xλ≤+在0x >上恒成立，由12x x +≥=，当且仅当1x =时取得等号，所以2λ≤.故选：A7.若正实数x 、y 满足1x y +=，且不等式241312m m x y +<++有解，则实数m 的取值范围是（）．A.3m <-或32m > B.32m <-或3m >C.332m -<< D.332m -<<【答案】A 【解析】【分析】将代数式411x y ++与()112x y ++⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得411x y++的最小值，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为正实数x 、y 满足1x y +=，则()12x y ++=，即()1112x y ++=⎡⎤⎣⎦，所以，()4114114119155********y x x y x y x y x y ⎡⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥+=⎡⎤⎢⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭⎣，当且仅当121x y x y +=⎧⎨+=⎩时，即当1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，即411x y ++的最小值为92，因为不等式241312m m x y +<++有解，则23922m m +>，即22390m m +->，即()()2330m m -+>，解得3m <-或32m >.故选：A.8.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]3π=，[]5.16-=-.已知函数22()1xf x x =+，则函数[]()y f x =的值域为（）A.{}1- B.{}1,0- C.{}1 D.{}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】先根据基本不等式求得[]()1,1f x ∈-，进而由高斯函数可得结果.【详解】因为对任意R x ∈，22112x x x +=+≥，则2211xx ≤+，即[]()1,1f x ∈-，所以函数[]()y f x =的值域为{}1,0,1-.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的为（）A.集合{}2|20,A x ax x a x R =++=∈，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的值为1±B.若一元二次不等式2680kx kx k -++≥的解集为R ，则k 的取值范围为01k <≤C.设集合{1,2}M =，{}2N a=，则“1a =”是“N M ⊆”的充分不必要条件D.若正实数x ，y ，满足21x y +=，则218x y+≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据各选项中的条件逐一分析，对于选项A ，结合条件可知集合A 中只有一个元素，分类讨论0a =和0a ≠两种情况，求出a 的值，即可判断A 选项；对于选项B ，一元二次不等式2680kx kx k -++≥的解集为R ，可得0k >⎧⎨∆≤⎩，求出k 的取值范围，即可判断B 选项；对于选项C ，根据子集的含义和充分不必要条件的定义，即可判断C 选项；对于选项D ，根据基本不等式求和的最小值，即可判断选项D.【详解】解：对于A ，因集合{}220,A x ax x a a R =++=∈有且仅有2个子集，则集合A 中只有一个元素，当0a =，{0}A =，符合题意；当0a ≠，2440a ∆=-=1a ⇒=±，综上所述，可得0a =，1±，故A 选项不正确；对于B ，因一元二次不等式2680kx kx k -++≥的解集为R ，已知2680kx kx k -++≥为一元二次不等式，可知0k ≠，可得0k >且2(6)4(8)001k k k k ∆=-+≤⇒<≤，故B 选项正确；对于C ，当1a =时，{}1N M =⊆，当N M ⊆时，21a =或22a =，则1a =±或a =，所以“1a =”是“N M ⊆”的充分不必要条件，故C 选项正确；对于D ，因正实数,x y 满足21x y +=，则21214(2)()4x y x y x y x y y x +=++=++48≥+=，当且仅当4x y y x =，即122x y ==时取等号，故D 选项正确.故选：BCD.10.已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）A.24a b =B.214a b+≥C.若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D.若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】ABD 【解析】【分析】由三个“二次”的关系可知，相应方程有两个相等的实根，结合韦达定理就可判断.【详解】由题意．240a b ∆=-=，∴24a b =，所以A 正确；对于B ：222144a a b a +=+≥=等号当且仅当224a a=，即a =时成立，所以B 正确；对于C ：由韦达定理，知21204a x xb =-=-<，所以C 错误；对于D ：由韦达定理，知21212,4a x x a x xbc c +=-=-=-，则12||24x x -==，解得4c =，所以D 正确；故选：ABD ．11.下列选项中正确的是（）A.若0a >，则4a a+的最小值为4B.若0ab <，则a bb a+的最大值为2-C.若x ∈R2D.若11,23x y >>，且31202131x y +=--，则12x y +的最大值为7【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，直接使用基本不等式即可；B 选项，变形后使用基本不等式；C 选项，使用基本不等式，但不满足等号成立的条件，C 错误；D 选项，设310,02131s t x y =>=>--，则1213,31s tx s y t ==++，20s t +=，从而得到12118631x y s t ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式“1”的妙用求出1131s t +++的最小值，从而得到12x y+的最大值.【详解】A 选项，若0a >，则40,0a a>>，由基本不等式得44a a +≥=，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，故A 正确；B 选项，若0ab <，则0,0a bb a<<，故2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当a bb a-=-，即a b =-时，等号成立，B 正确；C2≥=，当且仅当=时，等号成立，=无解，故最小值取不到，C 错误；D 选项，设310,02131s t x y =>=>--，则1213,31s tx s y t ==++，20s t +=，则()()23661612261186313131s t s t x y s t s t s t +-+-⎛⎫+=+=+=-+ ⎪++++++⎝⎭，因为20s t +=，所以3112424s t +++=，其中()()1111311133131242412243241s t t s s t s t s t ++++⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭11126≥+=，当且仅当()()13243241t ss t ++=++，即9,11s t ==时，等号成立，故1211186867316x y s t ⎛⎫+=-+≤-⨯= ⎪++⎝⎭，D 正确.故选：ABD【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．【答案】03m <≤【解析】【分析】利用集合法，将p 是q 的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于m 的不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】因为:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，且p 是q 的必要不充分条件，所以{|11}x m x m -≤≤+是{|210}x x -≤≤的真子集，且{|11}x m x m -≤≤+不是空集.所以121100m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩且等号不同时成立，解得03m <≤，所以实数m 的取值范围是03m <≤，故答案为:03m <≤.【点睛】解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.13.若函数()1f x +的定义域为(]23-，，则函数()21f x +的定义域为___________.【答案】3(1,2-【解析】【分析】根据抽象函数的定义域，利用替换思想求解即可.【详解】因为()1f x +的定义域为(]23-，，所以114x -<+≤，所以1214x -<+≤，解得312x -<≤，所以函数()21f x +的定义域为3(1,2-.故答案为：3(1,2-.14.已知存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x ≥-+成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】1[,)2+∞【解析】【分析】问题转化为22()2min x a x x -+ 即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x =-+-+，令221()1f x x x =-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，根据二次函数的性质求出()f x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】若存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x -+ 成立，即22()2min x a x x -+ 即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x=-+-+，令221()1f x x x=-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，而2117()2()48f x x =-+，[1,)x ∈+∞的最大值是2，故221(22min x x x =-+，故12a ，故答案为：1[,)2+∞【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题，一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：1.()f x m >有解max ()f x m ⇔>；2.()f x m <有解min ()f x m ⇔<.四、解答题，本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合603|x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{}{}2|16,|30B x x C x x m =≤=+<．（1）求()R A B ⋃ð；（2）若x C ∈是x A ∈的必要条件，求m 的取值范围．【答案】（1）(){R 6A B x x ⋃=<-ð或}4x >；（2）(],9-∞-【解析】【分析】（1）解不等式得到{}63A x x =-≤<，{}|44B x x =-≤≤，利用并集和补集的概念求出答案；（2）根据必要条件得到A C ⊆，从而得到不等式，求出m 的取值范围.【小问1详解】603x x +≥-等价于()()63030x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得63x -≤<，{}{}24|16|4B x x x x ==-≤≤≤，故{}{}{}63|4464A B x x x x x x ⋃=-≤<⋃-≤≤=-≤≤，则(){R 6A B x x ⋃=<-ð或}4x >；【小问2详解】x C ∈是x A ∈的必要条件，故A C ⊆，{}|30|3m C x x m x x ⎧⎫=+<=<-⎨⎬⎩⎭，{}63A x x =-≤<，故33m -≥，解得9m ≤-，故m 的取值范围是(],9-∞-16.（1）已知不等式220(2)x ax a a -+->>的解集为()()12,,x x -∞+∞ ，求12121x x x x ++的最小值．（2）设不等式2220x ax a -++≤的解集为A ，若{}13|A x x ⊆≤≤，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4；（2）1115a -<≤【解析】【分析】（1）12,x x 为方程220x ax a -+-=的两个根，由韦达定理得到两根之和，两根之积，再利用基本不等式求出最小值；（2）分A =∅与A ≠∅两种情况，得到不等式，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题意得12,x x 为方程220x ax a -+-=的两个根，由韦达定理得1212,2x x a x x a +==-，则1212112x x a x x a ++=+-，因为2a >，所以120,02a a ->>-，由基本不等式得()12121122242x x a x x a ++=-++≥+=-，当且仅当122a a -=-，即3a =时，等号成立，故12121x x x x ++的最小值为4；（2）{}|13A x x ⊆≤≤，当A =∅时，()2Δ4420a a =-+<，解得1a 2-<<，当A ≠∅时，要满足{}|13A x x ⊆≤≤，则2212203620Δ003a a a a a ⎧-++≥⎪-++≥⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎩，解得1125a ≤≤，故实数a 的取值范围是1115a -<≤.17.2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？【答案】（1）()2104003000,050100006000(),50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩；（2）产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）分050x <<与50x 两种情况分别求出()L x 的表达式后，将其写成分段函数的形式即可．（2）当050x <<时，利用二次函数的性质求出()L x 的最大值，当50x 时，利用对勾函数的性质求出()L x 的最大值，再比较即可得到()L x 的最大值和相应的x 的取值．【详解】（1）当050x <<时，22()6100102003000104003000L x x x x x x =⨯---=-+-，当50x ≥时，1000010000()6100601900030006000()L x x x x x x=⨯--+-=-+.综上所述，()2104003000,050100006000(),50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩．（2）当050x <<时，2()10(20)1000L x x =--+，所以当20x =时，max ()(20)1000;L x L ==当50x ≥时，10000()6000(L x x x=-+，()L x 在()50100，上单调递增，在()100+∞，上单调递减；所以当100x =时，max ()(100)58001000.L x L ==>所以当100x =，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为5800万元.18.已知()()21311ax b x y x x ++-=≠-．（1）当1a =，2b =时，求y 的取值范围；（2）当0a =，b ∈R 时，求1y ≤时x 的取值集合．【答案】（1）3y ≤或7y ≥；（2）答案见解析；【解析】【分析】（1）根据分式的性质，利用分子常数化，转化为基本不等式进行求解即可．（2）将分式不等式等价转化为一元二次不等式，讨论参数b 的取值范围进行求解即可．【详解】解：（1） 当1a =，2b =时，23311511x x y x x x +-==-++--，(1)x ≠，当1x >时，即10x ->，11552571y x x ∴=-+++=+=- ，当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号；当1x <时，()10x -->，11155(1)525311y x x x x ⎡⎤=-++=-----=-+=⎢⎥--⎣⎦ ，当且仅当1(1)1x x --=--，即0x =时取等号；所以y 的取值范围为3y ≤或7y ≥（2）当0a =时，(1)311b x y x +-=≤-，即201bx x -≤-，(2)(1)010bx x x --≤⎧⇔⎨-≠⎩，①当0b =时，解集为{|1}x x >；②当0b <时，解集为{|1x x >或2}x b≤；③当21b =，即2b =，解集为∅；④当21b >，即02<<b 时，解集为2|1x x b ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；⑤当201b<<，即2b >时，解集为2|1x x b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭；19.已知实数集{}12,,,(3)n A a a a n =≥ ，定义{}(),,i j i j A a a a a A i j ϕ=∈≠．（1）若{}2,0,1,2A =-，求()A ϕ；（2）若(){}0,6,8,12,12,18,24A ϕ=---，求集合A ；（3）若A 中的元素个数为9，求()A ϕ的元素个数的最小值．【答案】（1）(){}4,2,0,2A ϕ=--（2）{}0,2,3,4,6A =-或者{}0,2,3,4,6A =---.（3）13【解析】【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；（2）根据(){}0,6,8,12,12,18,24A ϕ=---可得0A ∈，然后分A 中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可；（3）分A 中没有负数和A 中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.【小问1详解】(){}4,2,0,2A ϕ=--;【小问2详解】首先，0A ∈；其次A 中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.记{}0,,,,A a b c d =，不妨设0a b c d <<<<或者0a b c d <<<<--①当0a b c d <<<<时，{}{}{}{},,6,8,12,,,12,18,24ab ac ad bc bd cd =---=，相乘可知372576bcd a bcd ==-，，从而382a a =-⇒=-，从而{}{},,3,4,6b c d =，所以{}0,2,3,4,6A =-；②当0a b c d <<<<时，与上面类似的方法可以得到382d d =⇒=进而{}{},,3,4,6b c d =---，从而{}0,2,3,4,6A =---所以{}0,2,3,4,6A =-或者{}0,2,3,4,6A =---.【小问3详解】估值+构造需要分类讨论A 中非负元素个数.先证明()13A ϕ≥．考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合()A ϕ不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：情况一：A 中没有负数．不妨设1290a a a ≤<<< ，则1223242939890a a a a a a a a a a a a ≤<<<<<<< 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是()A ϕ的元素，这表明()14.A ϕ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,s b b b 是A 中的全部负元素，12,,,t c c c 是A 中的全部非负元素.不妨设11120ss t b b b c c c -<<<<≤<<< 其中,s t 为正整数，9,4,5s t s t +=≤≥．于是有1112120t t s tb c b c b c b c b c ≥>>>>>> 以上是()A ϕ中的18s t +-=个非正数元素：另外，注意到2324253545c c c c c c c c c c <<<<它们是()A ϕ中的5个正数．这表明()13.A ϕ≥综上可知，总有()13.A ϕ≥-另一方面，当{}230,1,2,2,2A =±±±±时，(){}234560,1,2,2,2,2,2,2A ϕ=-±±±±±-中恰有13个元素.综上所述，()A ϕ中元素个数的最小值为13.。

甘肃省兰州2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案

甘肃省兰州2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案

兰州2024-2025-1学期10月月考试题高一数学（答案在最后）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣，则A B = （）A.{}1,2 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}43.已知命题:0p x ∃>，32x x =，:q x ∀∈R ，40x >，则（）A.p 和q 都是真命题B.p 和q ⌝都是真命题C.p ⌝和q 都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题4.函数211x y x -=-的定义域是（）A.[)4,-+∞ B.()4,-+∞C.[)()4,00,-+∞ D.[)()4,11,-+∞ 5.设集合{}21,Z M x x n n ==+∈，{}31,Z N x x n n ==+∈，{}61,Z P x x n n ==+∈，则（）A.M P⊆ B.N P ⊆ C.P M N=⋂ D.M N ⋂=∅6.下列说法正确的是（）A.“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件B.“0x >”是“2x >”的充分不必要条件C.若不等式20ax bx c ++>的解集为()12,x x ，则必有0a <D.命题“x ∃∈R ，使得210x +=.”的否定为“x ∀∉R ，使得210x +≠.”7.已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B.1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭8.已知函数()()()1,012,0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则()2f =（）A.2- B.1- C.0D.1二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若集合A ，B ，U 满足()U A B ⋂=∅ð，则下列结论一定正确的是（）A.A B U⋃= B.A B⊆ C.A B A= D.()U A B U È=ð10.若0a b >>，则下列结论一定成立的是（）A.11a b> B.2b a a b +>C.2121a ab b ++>++ D.11a b b a+>+11.若正实数,x y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A.xy 有最大值为18B.14x y+有最小值为6+C.224x y +有最小值为12D.()1x y +有最大值为12第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“[]1,4x ∃∈，使220x x λ+->成立”的否定命题是______.13.已知315:15210x p x ->⎧⎨>->⎩，:211q m x m -<<+.若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______.14.已知实数,a b 满足40a b ab +-=，且0ab >，若关于t 的不等式253a b t t +≥++恒成立，则实数t 的取值范围是__________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{|M x y ==，2{|21,R}N y y x x x ==--∈,求:（1）M N ⋂，M N ⋃；（2）(,)A a =+∞，M A ⊆，求a 的取值范围．16.已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()21f x f x x +-=-，且(1)4f =-.（1）求()f x 的解析式；（2）集合{(2)0}(,){12}A xf m x B x x x =++<=-<<∣∣，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.17.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .（1）用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；（2）当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18.已知函数()()()211R f x m x mx m m =+-+-∈.（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）对任意的[]1,1x ∈-，不等式()21f x x x ≥-+恒成立，求m 的取值范围.19.已知集合{}()122k A a a a k =≥ ,,，其中()Z 1,2,i a i k ∈= ，由A 中元素可构成两个点集P 和Q ：(){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈，(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈，其中P 中有m 个元素，Q中有n 个元素.新定义1个性质G ：若对任意的x A ∈，必有x A -∉，则称集合A 具有性质G（1）已知集合{}0,1,2,3J =}与集合{}1,2,3K =-和集合{}222L y y x x ==-+，判断它们是否具有性质G ，若有，则直接写出其对应的集合P ，Q ；若无，请说明理由;k=，求：集合Q最多有几个元素？（2）集合A具有性质G，若2024=的什么条件并证明.（3）试判断：集合A具有性质G是m n兰州2024-2025-1学期10月月考试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】“[]1,4x ∀∈，220x x λ+-≤”【13题答案】【答案】3[,)2+∞．【14题答案】【答案】[]6,1-四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）[1,3]M N ⋂=，[2,)M N ⋃=-+∞（2）(,1)-∞【16题答案】【答案】（1）2()23f x x x =--；（2）122m -<<-.【17题答案】【答案】（1）3753,32502a x x =-<<（2）当25m x =时，才能使鲜花种植的总面积最大【18题答案】【答案】（1）,3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭；（2）答案见解析；（3）3,3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【19题答案】【答案】（1）集合,J L 不具有性质G ；集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；（2）2047276；（3）充分不必要条件.。

北京市顺义区2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案

北京市顺义区2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案

2024-2025学年北京市顺义高一（上）月考数学试卷（10月份）一､单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{}210A x x =-=∣，下列式子错误的是（）A.1A∈ B.A∅⊆ C.{}1A -∈ D.{}1,1A =-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解.【详解】{}2{|10}1,1A x x =-==- ，{}1,1,A A A ∴∈-⊆∅⊆，故ABD 正确；而{}1-与A 是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故C 错误.故选：C2.命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是A.2,220x x x ∀∈++>R B.2,220x R x x ∀∈++≤C.2,220x x x ∃∈++>R D.2,220x x x ∃∈++≥R 【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确.故选A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.3.下列各组函数表示同一函数的是（）A.()()211,1x f x x g x x -=+=- B.()()01,f x g x x==C.()()2f xg x == D.()()00x x f x g t t x x ≥⎧==⎨-<⎩，，，【答案】D 【解析】【分析】由相同函数定义可判断各选项正误；【详解】A 选项，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为()(),11,-∞+∞ ，故不是同一函数，A 错误；B 选项，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为()(),00,-∞+∞ ，故不是同一函数，B 错误；C 选项，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为[)0,+∞，故不是同一函数，C 错误；D 选项，两函数定义域相同，解析式也相同，故为同一函数，故D 正确.故选：D4.已知x R ∈，则“11x>”是“1x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】由11x>，得10xx ->，解得01x <<，因为当01x <<时，1x <成立，而当1x <时，01x <<不一定成立，所以“11x>”是“1x <”的充分不必要条件，故选：A5.已知{}min ,a b 表示,a b 中较小的数，设()()(){}min ,h x f x g x =，若()f x x =，()2g x x =，则函数()h x 的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件及分段处理的原则，结合绝对值函数和幂函数的图象即可求解.【详解】当()()f x g x ≤时，即2x x ≤，解得1x ≤-或1x ≥或0x =，所以()(]}[){()()2,,101,,1,00,1x x h x x x ∞∞⎧∈--⋃⋃+⎪=⎨∈-⋃⎪⎩，故图象为D.故选：D.6.若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解中，恰有3个整数，则实数a 应满足（）A .45a << B.32a -<<-或45a <<C.45a <≤ D.32a -≤<-或45a <≤【答案】D 【解析】【分析】解不等式，讨论()()10x a x --<中a 与1的大小求解集，再判断解集中含3个整数时参数a 的范围即可【详解】由()210x a x a -++<，得()()10x a x --<由解中恰有3个整数∴当1a <时，1<<a x ，得32a -≤<-；当1a >时，1x a <<，得45a <≤，综上所述，32a -≤<-或45a <≤故选：D【点睛】本题考查了由不等式解集的取值情况求参数范围，注意讨论不等式的参数求解集，按题意求满足要求的参数范围7.如图，OAB △是边长为2的正三角形，记OAB △位于直线()02x t t =≤≤左侧的图形的面积为()f t ．则函数()y f t =的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】结合图形，分类讨论01t <≤与12t <≤，求得()f t 的解析式，从而得解.【详解】依题意，当01t <≤时，可得直角三角形的两条直角边分别为3t t ，从而可以求得213()322t f t t t ==，当12t <≤时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，可求得223(2)3()323322t f t t t -=-=-+，所以223(01)2()3233(12)2t t f t t t t <≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，从而可知选项A 的图象满足题意.故选：A.8.今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（）A.12m m =B.12m m >C.12m m <D.无法确定【答案】C 【解析】【分析】由题意可知12abm a b=+，22a b m +=，再利用作差法比较大小即可．【详解】由题意可得，0a >，0b >，a b ≠，12021010abm a b a b==++，288162a b a bm ++==，()()221224()()0222ab a b ab a b a b m m a b a b a b +-+---=-==<+++ ，12m m ∴<．故选：C ．9.对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ⊕=-- ，设94A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}0B y y =<，则A B ⊕=A.9,04⎛⎤-⎥⎝⎦B.9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .[)9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D.()9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】【分析】由根据定义先求出集合A B -和集合B A -，再求这两个集合的并集可得A B ⊕，得解.【详解】因为94A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}0B y y =<，{|0}A B y y ∴-=≥,9{|}4B A y y -=<-,所以()(){}[)990|,0,44A B A B B A y y y y ⎧⎫⎛⎫⊕=-⋃-=≥⋃<-=-∞-⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭故选C ．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时注意理解A B -和B A -的含义，属于基础题.10.已知函数288,0()24,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩．若互不相等的实根123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的范围是（）A.(2,8) B.(8,4)- C.(6,0)- D.(6,8)-【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在()8,4-之间，第一段函数关于4x =对称，即可求出238x x +=，再根据图象得到1x 的取值范围，即可得到答案.【详解】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，根据图象可得2x 与3x 关于4x =，则238x x +=，当1248x +=-时，则16x =-是满足题意的1x 的最小值，且1x 满足160x -<<，则123x x x ++的范围是(2,8).故选：A.二､填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()241,011,0x x f x x x⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则15f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______．【答案】63【解析】【分析】先计算145f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算()4f -的值即可.【详解】因为1114155f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以()144161635f f f ⎡⎤⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故答案为：63．12.集合{}220A x x px =+-=，{}20B x x x q =-+=，若{}2,0,1A B =- ，则p =_________，q =_________.【答案】①.1②.0【解析】【分析】根据一元二次方程韦达定理以及集合并集的定义求得结果.【详解】因为{}220A x x px =+-=，{}20B x x x q =-+=，{}2,0,1A B =- ，设方程220x px +-=的两根为12,x x ，则1212,2x x p x x +=-=-，因为{}12,2,0,1x x ∈-，所以220x px +-=的两根为2,1-，所以()211p =--+=，所以集合{}20B x x x q =-+=中一定有元素0，所以0q =，故答案为：1；0.13.已知0x>，则42+3x x+的最小值等于_________.【答案】2+【解析】【详解】42322x x ++≥+=+，当且仅当3x =时取等号，故最小值为2+，故答案为2+14.若对任意实数x k 的取值范围是__________.【答案】[]0,8【解析】【分析】由题意得，220kx kx -+≥恒成立，然后对k 的取值进行分类讨论，结合二次函数的性质可求．【详解】对任意实数x 都有意义，即220kx kx -+≥恒成立，当0k =时，20≥恒成立，符合题意；故0k ≠，则2Δ80k k k >⎧⎨=-≤⎩，解得08k <≤，综上：k 的取值范围是[]0,8.故答案为：[]0,8.15.已知函数()22xf x x=+，则()()()()1111220222023202320222f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________.【答案】40454【解析】【分析】先观察分析得()112f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用分组求和法即可得解.【详解】因为()22xf x x =+，则()114f =，而1112222xf x x x⎛⎫==⎪+⎝⎭+，则()()111212x f x f x x +⎛⎫+== ⎪+⎝⎭，则()()()()1111220222023202320222f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1112023202221202320222f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1140452022244=⨯+=.故答案为：40454.三､解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知不等式20x ax b ++<(,R)a b ∈的解集{}12A x x =-<<.（1）求实数a ，b 的值；（2）若集合{}0B x x =<，求A B ⋂，()R A B ⋃ð.【答案】（1）a =-1，b =-2（2）{}10A B x x ⋂=-<<，(){}R 1A B x x ⋃=>-ð【解析】【分析】可根据题意条件，此一元二次不等式的解集转化成此一元二次方程的两个跟，然后利用根与系数的关系，即可完成求解；可根据集合A 、B 的范围分别求解出A B ⋂，()R A B ⋃ð即可.【小问1详解】因为不等式的解集为{}12A x x =-<<，所以11x =-，22x =是方程20x ax b ++=的两个实数根.则有10,420,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得a =-1，b =-2.【小问2详解】因为{}12A x x =-<<，{}0B x x =<，所以{}10A B x x ⋂=-<<，{}R 0B x x =≥ð，(){}R 1A B x x ⋃=>-ð17.已知集合{}2560A x x x =--<，{}121,B x m x m m R =+≤≤-∈.（1）若4m =，求集合R A ð，集合R A B U ð；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}16R A x x x =≤-≥或ð，{}67R A B x x x ⋃=或ð；（2）7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集的定义求出R A ð、B R ð，最后根据并集的定义计算可得；（2）由A B A = ，可得B A ⊆，即可得到不等式组，解得即可.【详解】解：（1）因为{}2560A x x x =--<，所以{}16A x x =-<<，{|1R A x x =≤-ð或6}x ≥.当4m =时，{}57B x x =≤≤所以{|5R B x x =<ð或7}x >.所以{|6R A B x x ⋃=<ð或7}x >.（2）因为A B A = ，所以B A ⊆.当B =∅时，121m m +>-，则2m <；当B ≠∅时，由题意得21121611m m m m -≥+⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，解得272m ≤<.综上，实数m 的取值范围是7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．18.解关于x 的不等式：()()2220ax a x a +--≥∈R ．【答案】答案见解析【解析】【分析】分0a =，0a >和0a <三种情况，在0a <时，再分三种情况，求出不等式解集.【详解】①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-．②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得2x a ≥或1x ≤-．③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭.当21a >-，即2a <-时，解得21x a -≤≤；当21a =-，即2a =-时，解得1x =-满足题意；当21a<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-．综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为21x x x a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或；当20a -<<时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．19.根据下列条件，求()f x 的解析式：（1）已知()f x 满足()2141f x x x +=++；（2）已知()f x 是一次函数，且满足()()3129f x f x x +-=+.【答案】（1）()222f x x x +=-（2）()3f x x =+【解析】【分析】（1）令1t x =+，则1x t =-，利用换元法计算可得；（2）设()f x kx b =+()0k ≠，即可得到方程组，解得k 、b ，即可得解.【小问1详解】解：因为()2141f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =-，故()()()22141122f t t t t t =-+-+=+-，所以()222f x x x +=-；【小问2详解】解：设()f x kx b =+()0k ≠，因为()()3129f x f x x +-=+，所以()31329k x b kx b x ++--=+，即23229kx k b x ++=+，所以22329k k b =⎧⎨+=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩，所以()3f x x =+；20.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600v y v v v =>++.（1）若要求在该时间段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？（2）该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）【答案】（1）大于25km/h 且小于64km/h（2）40km/h v =，11.1千辆/时【解析】【分析】（1）只需要解不等式29201031600v v v >++即可.(2)把函数变形为92016003()y v v =++再根据基本不等求解.【小问1详解】由题意得29201031600v v v >++，整理得28916000v v -+<，即(25)(64)0v v --<.解得2564v <<.所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25/km h 且小于64/km h .【小问2详解】由题意得9209201600833(y v v =≤=++，当且仅当1600v v =，即40v =时取等号，所以max 92011.183y =≈（千辆/时）.故当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.21.对于集合A ，定义()1,1,A x A g x x A ∉⎧=⎨-∈⎩.对于两个集合A 、B ，定义运算()(){}*1A B A B x g x g x =⋅=-．（1）若{}1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，写出()1A g 与()1B g 的值，并求出*A B ；（2）证明：()()*()A B A B g x g x g x =⋅；【答案】（1）()11A g =-，()11B g =，{}*1,4,5A B =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题中定义可求得()11A g =-，()11B g =-，进一步可求得*A B ；（2）分x A ∈且x B ∈、x A ∈且x B ∉、x A ∉且x B ∈三种情况讨论，计算出()A g x 、()B g x 、()A B g x *的值，验证()()*()A B A B g x g x g x =⋅成立，即可证得结论成立.【详解】（1）因为{}1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则()11A g =-，()11B g =，根据定义可得()()()()()()1144551A B A B A B g g g g g g ⋅=⋅=⋅=-，()()()()22331A B A B g g g g ⋅=⋅=，()()331A B g g ⋅=，故{}*1,4,5A B =；（2）①当x A ∈且x B ∈时，()()1A B g x g x ==-，则x A B ∉*，则()1A B g x *=，所以，()()()*A B A B g x g x g x =⋅；②当x A ∈且x B ∉时，()1A g x =-，()1B g x =，x A B ∈*，则()*1A B g x =-.所以()()()*A B A B g x g x g x =⋅；③当x A ∉且x B ∈时，()1A g x =，()1B g x =-，所以，x A B ∈*，则()*1A B g x =-.综上所述，()()*()A B A B g x g x g x =⋅.。

2024-2025学年江苏省南京市赣榆高级中学、南京市第五中学高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

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2024-2025学年江苏省赣榆高级中学、南京市第五中学高一上学期10月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={0,1,2,3,4,5}，集合B={2,3,4}，则∁A B=( )A. {0,1}B. {1,5}C. {0,1,5}D. {0,1,2,3,4,5}2.不等式−x2+2x−4>0的解集为( )A. RB. ⌀C. {x|x>0,x∈R}D. {x|x<0,x∈R}3.若命题“∀x∈R,x2+1>m”是真命题，则实数m的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,1)C. [1,+∞)D. (1,+∞)4.若y1=3x2−x+1，y2=2x2+x−1，则y1与y2的大小关系是( )A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 随x值变化而变化5.若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是( )A. 52B. 102C. 10D. 206.使“x≤−12或x≥3”成立的一个充分不必要条件是( )A. x<0B. x≥0C. x∈{−1,3,5}D. x≤−12或x≥37.下列命题中正确的是( )A. 若ab>0，a>b，则1a <1bB. 若a<b，则ac2<bc2C. 若a>b，c>d，则a−c>b−dD. 若a>b，c<d，则ac >bd8.下列说法正确的是( )A. 函数y=4x2+9x2的最小值是6B. 正数x，y满足2x +8y=1，则xy的最大值是64C. 函数y=2−3x−4x(x>0)的最小值是2−43D. 若x>−1，则函数y=x+1x+1取到最小值时x=0二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.命题p:∃x∈R,x2+bx+1≤0的否定是真命题，则实数b的值可能是( )A. −74B. −32C. 2D. 5210.设正实数a ，b 满足a +b =1，则( )A. 1a +1b 有最小值4B. ab 有最小值12C. a + b 有最大值 7D. a 2+b 2有最小值1211.关于x 的不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x|x ≤−1或x ≥4}，下列说法正确的是( )A. a >0B. 不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x|−14<x <1}C. 3b +c 的最大值为−4D. 关于x 的不等式x 2+bx +c <0解集中仅有两个整数，则a 的取值范围是(17,25]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

浙江省嘉兴市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

浙江省嘉兴市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

浙江省嘉兴市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．集合{13}A xx =-<≤∣，{}24B x x =<，那么集合A B =I （ ） A ．{22}x x -<<∣ B ．{12}x x -<<∣ C ．{23}x x -<≤∣ D ．{13}xx -<<∣ 2．已知命题():1,p x ∀∈+∞，20x x ->，则（ ）A ．命题p 的否定为“()1,x ∃∈+∞，20x x ->”B ．命题p 的否定为“(],1x ∃∈-∞，20x x -≤”C ．命题p 的否定为“()1,x ∃∈+∞，20x x -≤”D ．命题p 的否定为“(],1x ∀∈-∞，20x x ->”3．设命题“2x >”是命题“240x -≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()221,036,0x x x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（ ） A ．()(),41,-∞-+∞UB ．()(),21,-∞-+∞UC ．()(),42,-∞-+∞UD ．()(),22,∞∞--⋃+5．设a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则a b >B ．若0a b c >>>，则a a c b b c +<+C ．若a b >，则11a b< D ．若0a b c >>>，则b c a b a c >-- 6．不等式1122x x x x --->-++的解集为（ ） A ．{2x x <-或x >1B ．{|2}x x <-C ．{}1x x > D ．{}21x x -<<7．设0m >，若2420mx x -+=有两个不相等的根1x ，2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．(]0,2 C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞8．对于实数a 和b 定义运算“⋅”：⋅a b =22,,a ab a b b ab a b⎧-≤⎨->⎩，设()(21)(2)f x x x =-⋅-，如果关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123x x x ，，，则m 的取值范围（ ） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9(0,)4 D ．φ二、多选题9．下列各组函数是同一个函数的是（ ）A ．()221f x x x =--与()221g s s s =--B ．()f x ()g x =-C ．()x f x x =与()g x =D ．()f x x =与()g x =10．已知集合{}22M y y x ==-，{N x y ==，则（ ）A ．M N M ⋂=B ．M N M ⋃=C ．()N M ⋂=∅R ðD ．()M N ⋂=∅R ð11．已知2()2f x x x a =-+.若方程()0f x =有两个根12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的有（）A ．1>0x ，20x >B ．1a <C ．若120x x ≠，则121211x x x x ++的最小值为D ．,R m n ∀∈，都有()()()22f m f n m nf ++≥三、填空题12．设集合{}21,,45A t t t =-+，若2A ∈，则实数t 的值为.13．已知不等式()()22240a x a x -+--≥解集是∅，则实数a 的取值范围是．14．已知a ，b ，0c >满足4a b c ++=，则11ab bc+的最小值为.四、解答题15．已知全集为R ，集合{}22A x x x =+<，{124}B xx a =-<+<∣. (1)当1a =时，求R ()A B ⋃ð；(2)若A B B =I ，求实数a 的取值范围.16．设函数2()(1)2(R)f x ax a x a a =+-+-∈(1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式：()1f x a <-．17．设a 为实数，函数()f x =(1)求函数()f x 的定义域；(2)设t ()f x 表示为t 的函数()h t ，并写出定义域；(3)若0a <，求()f x 的最大值18．已知x ，0y >满足6x y +=.(1)求22x y +的最小值；(2)求3yx y +的最小值；(3)若()2244x y m x y +≥+恒成立，求m 的取值范围. 19．已知二次函数()()1f x ax x =-，()0,4a ∈，()0,1x ∈.若有()00f x x =，我们就称0x 为函数()f x 的一阶不动点；若有()()00f f x x =，我们就称0x 为函数()f x 的二阶不动点.(1)求证：()01f x <<；(2)若函数()f x 具有一阶不动点，求a 的取值范围；(3)若函数()f x 具有二阶不动点，求a 的取值范围.。

福建师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)

福建师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)

福建师大附中2024-2025学年第一学期高一第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 已知集合{}0,1A =,{}1,2B =,则A B 中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据并集定义求得A B ,即可求得答案. 【详解】 {}0,1A =,{}1,2B =∴{}{}{}0,11,20,1,2A B == ∴A B 中元素的个数为:3.故选:C.【点睛】本题主要考查了并集运算,解题关键是掌握并集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2. 设集合2{|0}M x x x =−≥，{|2}N x x =<，则M N = （ ） A. {|0}x x ≤ B. {|12}x x ≤< C. {|01}x x ≤≤ D. {|0x x ≤或12}x ≤<【答案】D 【解析】【分析】先解不等式得集合M ，再根据交集定义求结果. 【详解】2{|0}(,0][1,)M x x x −≥−∞+∞(,0][1,2)M N ∴−∞故选：D【点睛】本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 函数()f x =的定义域为（ ）A. [)3,∞−+B. [)2,−+∞C. [)2,+∞D. [)4,+∞【答案】C【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x −≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞. 故选：C.4. 已知函数2()ln f x x ax ax =−+恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,0)−∞ B. (0,)+∞C. (0,1)(1,)∪+∞D. (,0){1}−∞【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为方程()ln 1xa x x =−恰有两解，进而设()ln xg x x=，研究函数性质，作出函数图像，数形结合求解即可.【详解】解：函数()f x 的定义域为()0,∞+,()f x 恰有两个零点,转化为2ln 0x ax ax −+=,即方程()ln 1xa x x=−恰有两解,设()ln x g x x =,则()g x ′= 当0e x <<时, ()0g x ′>,当e x >时, ()0g x ′<,所以()g x 在()0,e 上是增函数, 在()e,+∞上是减函数,且()10g =, 当e x >时,()0g x > , 所以，函数()ln xg x x=在1x =处的切线斜率为()11k g ′=, 作出函数()y g x =和函数()1y a x =−的图像如图所示, 由图可知,两个函数有两个交点的充要条件是01a <<或1a >. 故选：C.5. 偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f （0）·f （a ）<0，则函数在区间[－a,a]内零点的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0【答案】B 【解析】【详解】因为偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f （0）·f （a ）<0,所以f(x)在[][],0,0,a a −上各有一个零点，且零点非0.6. 已知函数()32log ,041,0x x f x x x x >= ++≤ ，函数()() F x f x b =−有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且满足:1234x x x x <<<，则221323432x x x x x x +−的取值范围是A. )+∞ B. 833,9C. [)3,+∞D. 839【答案】D 【解析】【分析】作出函数yy =ff (xx )的图象，可得出当直线y b =与函数yy =ff (xx )的图象有四个交点时b 的取值范围，根据图象得出124x x +=−，341x x =，并求出实数3x 的取值范围，将代数式221323432x x x x x x +−转化为关于3x 的函数，利用双勾函数的基本性质求出221323432x x x x x x +−的取值范围. 【详解】作出函数yy =ff (xx )的图象如下图所示：由图象可知，当01b <≤时，直线y b =与函数yy =ff (xx )的图象有四个交点，由于二次函数241y x x =++的图象关于直线2x =−对称，则124x x +=−， 又4344log log x x =，由题意可知，301x <<，41x >，4344log log x x ∴−=，可得341x x =，431x x ∴=，由(]33log 0,1x b =∈，即330log 1x <−≤，解得3113x ≤<.222132343233122x x x x x x x x +∴−=+，令231,19x =∈，则12y t t =+，由基本不等式得12y t t =+≥=，当且仅当1,19t=时，等号成立， 当19t =时，283999y =+=，当1t =时，3y =，所以，18329t t ≤+≤，因此，221323432x x x x x x +−的取值范围是839，故选D.【点睛】本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质得出一些定值条件，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题.7. 定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =−，若[4,2]x ∈−−时，13()()18≥−f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是( )A. (](],10,3−∞−B.((,−∞C. [)[)1,03,−+∞D.))+∞【答案】C 【解析】【分析】根据题意首先得得到函数具体表达式，由[]4,2x ∈−−，所以[]40,2x +∈，所以()2468f x x x +=++，再由()()()4329f x f x f x +=+=可得出f （x ）的表达式，在根据函数思维求出f （x ）最小值解不等式即可.【详解】因为[]4,2x ∈−−，所以[]40,2x +∈， 因为[]0,2x ∈时，()22f x x x =−，所以()()()22442468f x x x x x +=+−+=++,因为函数()f x 满足()() 23f x f x +=， 所以()()()4329f x f x f x +=+=， 所以()()()21146899f x f x x x =+=++，[]4,2x ∈−−， 又因为[]4,2x ∈−−，()1t 18f x≥−恒成立， 故()131t 189minf x t −≤=−， 解不等式可得t 3≥或1t 0−≤<. 【点睛】考查函数的解析求法，解本题关键就是要能合理的运用已知条件将变量的范围变化到已知表达式范围中，然后根据函数的最值思维即可得出结论.8. 设函数()f x 的定义域为R ，且()()113f x f x =+，当(]1,0x ∈−时，()()1f x x x =+，若对任意(],x m ∈−∞，都有()8116f x ≥−，则实数m 的取值范围是（ ） A. 7,3−∞B. 11,4−∞C. 9,4−∞D. (],3−∞【答案】C 【解析】的【分析】根据题设得到(,1]x k k ∈+且Z k ∈，1min13()()24k f x f k +=+=−，注意判断函数值的变化趋势，再求得min 81()16f x ≥−的最大k 值，此时结合二次函数性质确定(1,2]x k k ∈++上1(1)86f x −=对应x 值，即可得m 的范围.【详解】令01x <≤，则110x −<−≤，故(1)(1)f x x x −=−，而()3(1)fx f x =−， 所以1(())3f x x x −=且(0,1]x ∈，令21x −<≤−，则110x −<+≤，故(1)(1)(2)f x x x +=++，而1()(1)3f x f x =+， 所以1()(1)3(2)f x x x +=+且(2,1]x ∈−−， 结合已知：(,1]x k k ∈+且Z k ∈时1()[()3](1)k x k f x x k +−−+=，而130k +>， 对(,1]x k k ∈+且Z k ∈，1min13()()24k f x f k +=+=−，即随k 增大min ()f x 依次变小，要使对任意(],x m ∈−∞都有()8116f x ≥−，令1381416k +−≥−，则1k ≤且Z k ∈，则(1,2]x ∈上min 9()4f x =−>(2,3]x ∈上min 2781()416f x =−<−， 当(2,3]x ∈时，令81(2)(()31627)f x x x −−=−=，则3(2)(3)16x x −−=−，解得94x =或114x =， 综上，要使对任意(],x m ∈−∞都有()8116f x ≥−，只需94m ≤. 故选：C【点睛】关键点点睛：注意总结归纳(,1]x k k ∈+且Z k ∈，()f x 随k 的变化趋势，进而找到min 81()16f x ≥−的对应区间，再求出该区间右侧区间中1(1)86f x −=的自变量. 二、多选题（每小题6分，共18分）9. 已知0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A. 14ab ≥B. 2212a b +≥C. 22a b +≥D. ln 0a b +>【答案】BC【解析】【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A ，C ；利用二次函数性质判断B ；取特值判断D 作答. 【详解】因0a >，0b >，且1a b +=，则有21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取“=”，A 不正确；因0a >，0b >，且1a b +=，则1,01b a a =−<<，22222111(1)2()222a b a a a +=+−=−+≥， 当且仅当12a b ==时取“=”，B 正确；因0a >，0b >，且1a b +=，则22a b +≥12a b ==时取“=”，C 正确；因0a >，0b >，且1a b +=，则取1e b =，即有11e a =−，于是得111ln 1ln 0e e ea b +=−+=−<，D 不正确. 故选：BC10. 某数学课外兴趣小组对函数()()21lg 0,R +=≠∈x f x x x x的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数()f x 的图象关于y 轴对称B. 当0x >时，()f x 是增函数，当0x <时，()f x 是减函数C. 函数()f x 的最小值是lg2D. 函数()f x 与2x =有四个交点 【答案】AC 【解析】【分析】根据偶函数的概念判断A ，根据复合函数单调性的法则及偶函数的性质判断B ，根据复合函数最值的求法判断C ，根据函数的定义判断D.【详解】()()21lg 0,R +=≠∈x f x x x x 的定义域为()(),00,−∞+∞ ，关于原点对称， 且满足()()f x f x −=，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确； 当0x >时，()211lg lg x f x x x x + ==+，由1y x x =+的性质可知其在(]0,1上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，所以由复合函数单调性可知，()f x 在(]0,1上是减函数， 在[)1,+∞上是增函数，又()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，故B 不正确； 当0x >时，12x x+≥（当且仅当1x =时取等号），又()f x 是偶函数， 所以函数()f x 的最小值是lg2，故C 正确；由函数定义可得，函数()f x 与2x =不可能有四个交点，故D 不正确. 故选：AC .11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()22024f x f x f ++=，且()21f x +是奇函数，则（ ） A. ()f x 的图象关于点()1,0对称 B. ()()04f f = C. ()21f =D. 若1122f = ，则1001102i ifi =−=∑ 【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，得到()()110f x f x −+++=，得到函数的对称中心；B 选项，由题意条件得到()()4f x f x +=，故B 正确；C 选项，由B 选项得到()f x 的周期为4，故()()()20f x f x f ++=，赋值法得到()20f =；D 选项，赋值法得到3122f=−，5122f=−，2721f = ，结合函数的周期得到答案.【详解】A 选项，由题意知，()()2121f x f x −+=−+，则()()110f x f x −+++=， 所以()f x 图象的对称中心为()1,0，A 正确．B 选项，()()()22024f x f x f ++=，()()()422024f x f x f +++=， 两式相减得()()4f x f x +=，所以()()40f f =，B 正确． C 选项，由B 选项可得，()f x 的周期为4，又20244506=×，故()()()()220240f x f x f f ++==，令0x =得，()()()200f f f +=，得()20f =，所以C 错误；D 选项，因为()()110f x f x −+++=，令1x =得，()()020f f +=， 又()20f =，故()00f =，()()110f x f x −+++=中，令12x =得，311222f f=−=−， 由()()20f x f x ++=，得511222f f=−=−，731222f f =−= ， 又()f x 的周期为4，则()()()()13574144244344442222n f n n f n n f n n f n+++++++++++()()()()1111414243442222n n n n=+×++×−++×−++×()()()()14142434402n n n n =×+−+−+++=， 所以1001102i if i =−=∑，D 正确． 故选：ABD【点睛】函数的对称性：若()()f x a f x b c ++−+=，则函数()f x 关于,22a b c +中心对称，若()()f x a f x b +=−+，则函数()f x 关于2a bx +=对称， 三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知集合{}A x x k =<，{}12B x x =<<，且A B B = ，则实数k 的取值范围是______.【答案】2k ≥ 【解析】【分析】根据交集运算得集合关系，从而列不等式求解即可.【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，又{}A x x k =<，{}12B x x =<<，所以2k ≥.故答案为：2k ≥13. 已知函数()1log 1ay ax −在[]0,2上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】10,2【解析】【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于1t ax =−递减，因此1log a y t =必须递增，即有11a>，还要考虑函数定义域，即在[]0,2x ∈时，10ax −>恒成立． 【详解】∵0a >，∴1t ax =−是减函数，又()1log 1a y ax −在[]0,2上单调递减，所以11a>，且120a −>，∴102a <<． 故答案为：10,2．【点睛】关键点点睛：本题掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域． 14. 设正数a ，b 满足， 11316a b a b+++=，则a b b a +的最大值是________.【答案】18 【解析】【分析】变形已知1(3)(16a b a +++=，利用基本不等式构造a b b a+，由1316(3)()a b a b =+++≥化简可得解. 【详解】113()16a b a b+++= ，13(3)()16a b a b ∴+++=1316(3)()a b a b ∴=+++≥8∴≥3()54b a a b ∴+≤，18b a a b ∴+≤当且仅当133=8a b a b ++=即a b ==或a b = = .故答案为：18【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形; (2)代数式变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.四、解答题（共77分）15. 已知f (x )＝x 2＋2x －5，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，写出h (t )的表达式． 【答案】见解析 【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴和区间[t ，t ＋1]的位置关系即可得最值. 【详解】∵函数图象的对称轴为x ＝－1， (1)当t ＋1≤－1，即t ≤－2时，h (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)－5＝t 2＋4t －2， 即h (t )＝t 2＋4t －2(t ≤－2)．(2)当t ≤－1<t ＋1，即－2<t ≤－1时， h (t )＝f (－1)＝－6.(3)当t ＞－1时，h (t )＝f (t )＝t 2＋2t －5.综上可得，h (t )＝2242,2{6,2125,1+−≤−−−<≤−+−t t t t t t t【点睛】本题主要考查了二次函数的轴定区间动的最值问题，属于基础题.16. 已知集合26112x x A x −−=<∣，{22}B x x a =||+−<∣，若A B =∅ ． （1）求实数a 的取值范围；（2）求2()23163a a y f a ==⋅−⋅的最值． 【答案】（1）[1,2]；（2）最小值32−，最大值18． 【解析】【分析】（1）利用指数函数的性质化简集合A ,利用绝对值不等式的解法化简集合B,根据交集的性质列不等式求解即可；（2）22()231632(34)32a a a y f a ==×−×=−−由（1）得[]1,2a ∈，则[]33,9a∈，利用二次函数的性质求解即可.【详解】（1）易知{}2621|1|60(,2)(3,)2x x A x x xx −−<−−>−∞−∪+∞的{||2|2}{|222}{|4}B x x a x x a x a x a =+−<=−<+−<=−<<−,243A B a a φ∩=−≥− ∴−≤ 解得12a ≤≤故所求的a 的取值范围是[1，2]（2）∵22()231632(34)32a a a y f a ==×−×=−− 由（1）得[]1,2a ∈，则[]33,9a∈∴当34a =时，即3log 4a =时，min 32y =−； 当39a =时，即2a =时，max 18y =故2()23163a a y f a ==×−×的最小值为32−；最大值为18【点睛】关键点点睛：根据集合的交集结果求参数，一般需要求出集合，根据结果建立不等式，即可求出参数的取值范围，属于中档题.17. 已知函数()x f x b a =⋅（,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,8)A ，(3,32)B （1）试求,a b 的值；（2）若不等式11()()0xxm a b+−≥在(,1]x ∈−∞时恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2,4a b ==；（2）3,4−∞【解析】【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得,a b 的值. （2）将原不等式分离常数m ，利用函数的单调性，求出m 的取值范围. 【详解】（1）由于函数()f x 图像经过(1,8)A ，(3,32)B ，所以3832a b a b ⋅=⋅=，解得2,4a b ==，所以()2422x x f x +=⋅=.（2）原不等式11()()0x x m a b +−≥为11024xxm +−≥ ，即1124xxm ≤+在(,1]x ∈−∞时恒成.立，而1124x x +在(,1]x ∈−∞时单调递减，故在1x =时1124x x + 有最小值为11113244 +=，故34m ≤.所以实数m 的取值范围是3,4−∞.【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.18. 已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠. （1）若()()43f a f a +≤，求实数a 取值范围；（2）设2a =，函数()()()()()232201g x f x m f x m m =−+−++<≤.（i ）若1,2m x ∈ ，证明：()103g x ≤； （ii ）若1,22x ∈，求()g x 的最大值()h m . 【答案】（1）01a <<或2a ≥（2）（i ）证明见解析（ii ）()214,021712,142m m h m m m m−<< =−+≤<【解析】【分析】（1）对底数a 分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果；（2）（i ）若1,2mx ∈ ，则()[0,]f x m ∈，令()t f x =，则0t m ≤≤，所以223217224m y t m m − =−−+−+，0t m ≤≤，根据对称轴与区间[0,]m 的中点值之间的关系求出最大值，对最大值配方可证不等式成立；（ii ）若1,22x ∈，则()[1,1]f x ∈−，令()t f x =，则[1,1]t ∈−，所以()g x =223217()224m t t m m ϕ− =−−+−+，[1,1]t ∈−，分类讨论对称轴可得()t ϕ的最值,比较最值的绝对值与端点值的绝对值的大小可得结果.【详解】（1）当01a <<时，()f x 为递减函数，()()43f a f a +≤等价于0143a a a<<+≥ ，解得01a <<，的当1a >时，()f x 为递增函数，()()43f a f a +≤等价于143a a a > +≤，解得2a ≥，综上所述：01a <<或2a ≥.（2）因为2a =，所以2()log f x x =为增函数，（i ）若1,2mx ∈ ，则()[0,]f x m ∈，令()t f x =，则0t m ≤≤，所以223217224m y t m m − =−−+−+，0t m ≤≤， 当3202m m −≤≤，即314m ≤≤时，max y =21724m m −+213(1)4m =−+103<，当322m m −>，即304m <<时，当t m =时，2max 342y m m =−++2210103()333m =−−+≤， 所以()103g x ≤. （ii ）若1,22x ∈，则()[1,1]f x ∈−，令()t f x =，则[1,1]t ∈−，所以()g x =223217()224m t t m m ϕ− =−−+−+，[1,1]t ∈−， 因为01m <≤，所以1323222m −≤<， 当132122m−≤≤，即112m ≤≤时，(1=ϕ−）32m −1[,1]2∈−，|(1)|[0,1]ϕ−∈，(1)40m ϕ=−>，23217137()2[,]2442m m m ϕ−=−+∈，此时|()||()|g x t ϕ=的最大值为21724m m −+， 当3212m −>，即102m <<时，()t ϕ在[1,1]−上单调递增，min ()(1)32t m ϕϕ=−=−1(2,)2∈−−，min 1|()||(1)|(,2)2t ϕϕ=−∈，max 7()(1)4(,4)2t m ϕϕ==−∈，所以此时|()||()|g x t ϕ=的最大值为4m −，综上所述：()214,021712,142m m h m m m m −<< =−+≤<. 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了分类讨论求二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，正确分类并利用二次函数的图象是解题关键，属于难题. 19. 已知函数()()ln 1eaxf x bx =+−是偶函数，e 是自然对数的底数，e 2.71828≈（1; （2）当1b =时， （i ）令()()()11g x f x f x =−++，[]11x ∈−，，求()g x 的值域;（ii ）记121...nin i aa a a ==+++∑，已知12i x −≤≤，()1,2,...,1000i =，且100011000i i x ==∑，当()10001i i f x =∑取最大值时，求222121000...x x x +++的值．【答案】（1（2）（i ）()()242ln e 12,ln 2e 12 +−+−；（ii ）2998 【解析】【分析】（1）由函数是偶函数，得到2a b =，再代入所求式子，表示为b 的二次函数求最值；（2）（ⅰ）由条件可知，1,2b a ==，求函数()g x d 的解析式，并判断函数的单调性，即可求解函数的值域；（ⅱ）利用反证法进行证明. 【小问1详解】 函数()()ln 1eaxf x bx =+−的定义域为R ，根据偶函数的定义：R x ∀∈，ff (−xx )=ff (xx )，即()()ln 1e ln 1e ax axbx bx −++=+−，即：()()2ln 1eln 1e axaxbx ax −=+−+=上式对任意R x ∈恒成立，这等价于2b a =．222222211214415415555a b a b b b b b b +−+=+−+=−+=−+≥，等号成立当且仅当25b =，45a =．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可得：2a =，由于()()()11g x f x f x =−++，[]11x ∈−，为偶函数，故只需考虑[]01x ∈，时，()g x 的值域，()()()()()()()()()212111ln 1e 1ln 1e 1x x g x f x f x x x −+=−++=+−−++−+，()()()()()()212121214ln 1e 1e 2ln 1e e e 2x x x x −++− =++−=+++− ， ()4222ln 1e e e e 2x x− =+++−令()[]22e e ,0,1xxx x ϕ−=+∈，()()222e e 0x x x ϕ−′=−≥，[]01x ∈，，∴()22ee xx x ϕ−=+，[]01x ∈，单调递增，∴()()()11g x f x f x =−++在[]01，上单调递增，()g x 的值域为()()01g g，，()()()4220ln e 2e 122ln e 12g =++−=+−，()()41ln2e 12g =+−． 故()g x 的值域为()()242ln e 12ln 2e 12 +−+−，． （ⅱ）对于常数c ，令()()()g x f c x f c x =−++，()g x 为偶函数．下面先证明一个结论：()g x 在[)0，+∞上单调递增． 证明：()()()()()()()()()()()2222ln 1eln 1e ln 1e 1e 2c x c xc xc xg x c x c x c −+−+=+−−++−+=++−()4222ln 1e e e e 2c c x xc − +++−． 由(2)可得：22e e x x y −=+偶函数，在[)0，+∞上单调递增，∴()g x 在[)0，+∞上单调递增， 证毕．对于12i x −≤≤，()1210i = ，，，，且100011000ii x==∑，先证明：当()10001ii f x =∑取最大值时，1x，2x，，1000x 中最多只有一个()12i x ∈−，，其余的数要么等于1−，要么等于2．用反证法，假如当()10001ii f x =∑取最大值时，1x，2x，，1000x 中存在两个数i x ，()12j x ∈−，，不妨设i j x x <，记{}0min 21j i t x x =−+，，则00t >，且02j x t +≤，01i x t −≥−． 记2i jx x c +=，则022j ij ix x x x t −−<+，根据()()()g x f c x f c x =−++的单调性可知()()002222j i j i j i j i i j x x x x x x x x f x f x f c f c f c t f c t−−−− +=−++<−++++，在()10001i i f x =∑中，将ix ，j x 分别替换成02j i x x c t −−+ ，02j i x x c t − ++， 为其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与()10001ii f x =∑取最大值相矛盾!∴：1x ，2x ， ，1000x 中最多只有一个()12i x ∈−，． 1x ①，2x ， ，1000x 中没有数字在区间()12−，时，1x ，2x ， ，1000x 中的每一个数，要么等于1−，要么等于2，记1x ，2x ， ，1000x 中等于2的元素个数为k ，()210001000k k −−=，20003k =，这与k 为整数矛盾!1x ②，2x ， ，1000x 中只有一个数字在区间()12−，时，不妨记为0x ，记等于2的数字个数为k ， 则等于1−的数字个数为999k −，则()029991000x k k +−−=． 即：031999x k +=，由于()012x ∈−，，199732000k <<， 又∵*N k ∈，∴666k =，01x =，∴这1000个数为1,1,1,...,1,1,2,2,2,...,2−−−−，其中有333个1−，666个2．222121000466613342998x x x +++=×+×= ．【点睛】关键点点睛：关键1是根据偶函数的条件，得到2a b =，关键2是判断函数()g x 的单调性，关键3的利用反证法证明1x ，2x ， ，1000x 中最多只有一个()12i x ∈−，.。

2024-2025学年浙江省四校联考高一上学期10月月考数学试题及答案

2024-2025学年浙江省四校联考高一上学期10月月考数学试题及答案

2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学校对人：浦江中学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A BxA ==，则()AA B ∩= （ ） A.{}2,3,5 B.{}3,4,9 C.{}1,4,9 D.{}1,2,3 2.如图，已知全集U =R ，集合{}{}1,2,3,4,5,12A B xx ==−≤≤∣，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）A.3B.4C.7D.83.已知,x y ∈R ，则“0xy =”是“220x y +=”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知0,0a b a +><，那么,,,a b a b −−的大小关系是（ ） A.b a b a >−>−> B.a b a b >−>−> C.b a a b >−>>− D.a b a b >>−>−5.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（ ） A.230,x x x ∀>> B.230,x x x ∀>≤ C.230,x x x ∀≤≤ D.230,x x x ∃>≤6.若命题“[]21,3,20x x x a ∃∈−−−≤”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（ ）A.1−B.0C.1D.37.已知关于x 不等式()()20x ax b x c−+≥−的解集为(](],21,2∞−−∪，则（ ）A.2c =B.点(),a b 在第二象限C.22y ax bx a +−的最大值为3aD.关于x 的不等式20ax ax b +−≥的解集为[]2,1−8.若数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥ 具有性质P ：对任意的,(1),i j i j i j n a a ≤<≤与j ia a 中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则（ ）A.“权集”中一定有1B.{}1,2,3,6为“权集”C.{}1,2,3,4,6,12为“权集”D.{}1,3,4为“权集”二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二.五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知{}*32,A xx n n ==+∈N ∣，{}{}**53,,72,B xx n n C xx n n ==+∈==+∈N N ∣∣，若()x A B C ∈∩∩，则下列选项中符合题意的整数x 为（ ）A.23B.133C.233D.33310.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ）A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.B.购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.C.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率等于2a b+. D.金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g 黄金，店员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.记顾客实际购得的黄金为g x ，则20x >.11.若正实数,x y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（ ）A.xy 有最大值为18B.14x y+有最小值为6+ C.224x y +有最小值为12 D.()1x y +有最大值为12三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，借助韦恩图，可知同时参加田赛和径赛的有__________人.13.甲､乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度x （千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是__________千米/时. 14.若一个三角形的三边长分别为,,a b c ，记()12p a b c =++，则此三角形面积S ，这是著名的海伦公式.已知ABC 的周长为9,2c =，则ABC 的面积的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60 ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.16.（本题满分15分）已知集合{}215A xx =−≤−≤∣､集合{}()121B x m x m m =+≤≤−∈R ∣. （1）若4m =，求()A B ∪R ；（2）设命题:p x A ∈；命题:q x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围 17.（本题满分15分）如图，ABDC 为梯形，其中,AB a CD b ==，设O 为对角线的交点.GH 表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL 表示平行于两底且使梯形ABLK 与梯形KLDC 相似的线段，EF 表示平行于两底且过点O 的线段，MN 表示平行于两底且将梯形ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段,,,GH KL EF MN与代数式2112a b a b++之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？18.（本题满分17分）已知二次函数22y ax x c =++（1）若0y >的解集为{23}xx −<<∣，解关于x 的不等式220x ax c +−<； （2）若a c >且1ac =，求22a ca c+−的最小值；（3）若2a <，且对任意x ∈R ，不等式0y ≥恒成立，求442a c a++−的最小值.19.（本题满分17分）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈∣，{|,,}T x x a b a b A ==−∈（实数,a b 可以相同）（1）若集合{}2,5A =，直接写出集合S T ､； （2）若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+；（3）若集合{}02021,,A x x x S T ⊆≤≤∈∩=∅N ，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 ADBCBADB二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9 10 11 ACADABC14.由海伦公式及基本不等式求解即：9,22pc AB ===，则a b +=周长927c −=−=，故()()()2972;p a p b p a b S −+−=−+=−=99222a b−+− ==≤= 等号成立时，9922a b −=−，即72a b== 15.设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F，则,2a BE AE DF ===， 则下底22a aAD b a b =++=+， 该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=， 所以()2300a b a +=，则30022ab a =−，所用篱笆长为300300322302222a a l a b a a a ++−+≥， 当且仅当300322aa =，即()()10m ,10m ab =时取等号.所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m . 16.（1）由题意可知{}{}21516A xx x x =−≤−≤=−≤≤∣∣， 若{}()4,57,{1,7}m B xx A B x x x ==≤≤∪=<−>R ∣∣ .（2） 命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A .真子集， 当B =∅时，121m m +>−，解得2m <，当B ≠∅时，12111216m m m m +≤−+≥− −≤（等号不能同时成立），解得722m ≤≤， 综上所述，实数m 的取值范围为7,2∞ −17.因为GH 是梯形ABDC 的中位线，所以22AB CD a bGH++==；因为梯形ABLK 与梯形KLDC 相似，所以AB KL KL CD=，所以KL；因为,AEO ACD DOF DAB ∽∽，所以,OE OA OF OD b DA a AD ==，所以1OE OF b a+=，所以 111OE OF a b==+，所以211EF a b=+， 设梯形,MNDC ABNMABDC 的面积分别为12,,S S S ，高分别为12,,h h h ，则()()()121211,22S S S a b h b MN h a MN h ==+=+=+， 所以()()1122a b h a b h h a MN b MN+++=++，所以()11112a b a MN b MN ++= ++ ，所以MN =由图可知，EF KL GH MN <<<，即2112a b a b+<<<+证明：显然2112a ba b +><+因为222a b ab +>， 所以()2222()a b a b +>+，所以2a b +<，所以2112a b a b+<<<+18.（1）由已知220ax x c ++>的解集为{23}x x −<<∣，且0a <，所以2,3−是方程220ax x c ++=的解，所以()223,23ca a−+=−−×=，所以2,12a c =−=，所以不等式220x ax c +−<可化为24120x x −−<，所以26x −<<，故不等式220x ax c +−<的解集为{26}xx −<<∣ （2）因为1ac =，所以()222()22a c a c ac a c a c a c a c+−+==−+−−− 因为a c >，所以0a c −>，由基本不等式可得()222a c a c a c a c+=−+≥−−当且仅当1a cac −=时等号成立，即当且仅当ac 所以22a c a c+−的最小值为； （3）因为对任意x ∈R ，不等式220ax x c ++≥恒成立，所以0,440a ac >−≤，所以2444411440,1,22211c a c a a a a a ac a a a++++++>≥=≥−−−， 令21t a =−，则20,1t t a >=+，所以()2(1)211444482t t a c t a t t++++++≥=++≥−，当且仅当23,1ac a==时等号成立， 即当且仅当23,32a c ==时等号成立，所以442a c a++−的最小值为8. 19.（1）因为集合{}{}2,5,,,,{|,,}A S x x a b a b A T x x a b a b A ===+∈==−∈∣， 所以由224,257,5510+=+=+=，可得{}4,7,10S =，220,550,253−=−=−=，可得{}0,3T =. （2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，则T 集合的元素在2131413242430,,,,,,x x x x x x x x x x x x −−−−−−中，且2131414342410,x x x x x x x x x x x x <−<−<−−<−<−，而A T =，故A 中最大元素4x 必在T 中，而41x x −为7个元素中的最大者，故441x x x =−即10x =，故{}2340,,,A x x x =， 故T 中的4个元素为2340,,,x x x ，且324243,,x x x x x x −−−与234,,x x x 重复，而3230x x x <−<，故322x x x −=即322x x =， 而4340x x x <−<，故4340x x x <−<，故432x x x −=或433x x x −=， 若43224x x x ==，则{}2222220,,2,4,43A x x x x x x T =−=∉，与题设矛盾；故432x x x −=即4132x x x x +=+（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a −<+<+<<+<+<+<<+< ， 112131121,,k S k a a a a a a a a T k ∴≥−−<−<−<<−∴≥S T ∩=∅ ，由容斥原理31,S T S T k S T ∪=+≥−∪中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，()21,312140431,k k S T a k a k k ∪≤+∴−≤+≤≥∈N ，即314043,1348k k −≤∴≤.实际上当{}674,675,676,2021A = 时满足题意， 证明如下：设{},1,2,,2021,A m m m m =++∈N ，则{}2,21,22,,4042S m m m =++ ，{}0,1,2,,2021Tm − ，依题意有20212m m −<，即2673,3m >故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2021A = 时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1348.。

湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案

湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案

2024年下学期10月份考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列表示集合6N N A x x ++⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭和(){}22536B x x x=+=关系的Venn 图中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可求得集合,A B ，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系.【详解】根据题意由6N ,N x x++∈∈可得1,2,3,6x =，即{}1,2,3,6A =；解方程()22536x x+=可得256x x +=或256x x +=-，解得1x =或6x =-或2x =-或3x =-，即可得{}1,2,3,6B =---；因此可得集合,A B 有交集，但没有包含关系.故选：A2.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]π3=，[]0.60=，[]1.62-=-，那么“1x y -<”是“[][]x y =”的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】举出反例得到充分性不成立，再设[][]x y k ==，得到1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，得到答案.【详解】不妨设 1.6, 2.5x y ==，满足1x y -<，但[][]1,21.6 2.5==，不满足[][]x y =，充分性不成立，若[][]x y =，不妨设[][]x y k ==，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，故“1x y -<”是“[][]x y =”的必要条件.故选：B3.已知命题p ：x ∀∈R ，01xx >-，则p ⌝为（）.A.x ∀∈R ，01xx ≤- B.x ∃∈R ，01xx ≤-C.x ∀∈R ，01xx ≤-或10x -= D.x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定求解即可.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=.故选：D4.若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则t xy =的取值范围为（）A.{|04}t t <≤B.{|2}t t ≥C.{|4}t t ≥D.{|16}t t ≥【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式得到4x y +≥，求出答案.【详解】正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则4x y +≥，当且仅当x y =时取等号，所以t xy =，即xy ≥，即t ≥，两边平方,结合0t >，解的16t ≥.故选：D.5.已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B.1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D6.若实数αβ，满足1312αβ-<<<-，则αβ-的取值范围是（）A.1312αβ-<-<-B.250αβ-<-<C.10αβ-<-<D.11αβ-<-<【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果.【详解】因为αβ<，所以0αβ-<，又1312α-<<-，1312β-<<-，所以1213β<-<所以11αβ-<-<，故10αβ-<-<，故选：C7.关于x 的一元二次不等式()()()2120x a x a --+->⎡⎤⎣⎦，当01a <<时，该不等式的解集为（）A.2|21a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭或 B.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭C.2|21a x x x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭或 D.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】由01a <<，知10a -<，原不等式等价于()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集.【详解】由01a <<，则10a -<，原不等式等价于不等式()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭的解集，又由01a <<，则方程()2201a x x a -⎛⎫--= ⎪-⎝⎭的两根分别为1222,1a x x a -==-，当01a <<时，221a a -<-，故原不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知长为a ，宽为b 的长方形，如果该长方形的面积与边长为1k 的正方形面积相等；该长方形周长与边长为2k 的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为3k 的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为4k 的正方形面积和周长的比相等，那么1k 、2k 、3k 、4k 大小关系为（）A.1423k k k k ≤≤≤B.3124k k k k ≤≤≤C.4132k k k k ≤≤≤D.4123k k k k ≤≤≤【答案】D 【解析】【分析】先求出21ab k =，22a b k +=3=，2442k aba b k =+，然后利用基本不等式比较大小即可.【详解】由题意可得，21ab k=①，22a b k +=3=③，2442k aba b k =+④，且,0a b >，由基本不等式的关系可知，a b +≥a b =时等号成立，由①②得，2122k k ≥，所以21k k ≥⑤，因为()22222()22+=++≤+a b a b ab a b，所以222()2a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立，由②③得，2223422k k ≥，所以32k k ≥⑥，又2ab aba b ≤=+，当且仅当a b =时等号成立，由①④得，241422k kk ≤，所以41k k ≤⑦，综合⑤⑥⑦可得，4123k k k k ≤≤≤.故选：D .二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件B.若1x y +=，则xy 的最大值为2C.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，则230a b c ++<D.命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∉，使得210x +≠．”【答案】ABD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A ，消元，根据二次函数性质判断B ，根据一元二次不等式的解集与二次方程的关系求,,a b c 的关系，由此判断23a b c ++的正负，判断C ，根据含量词的命题的否定方法判断D.【详解】对于A ，取1a =-，1b =，则a b <，但11a b<，取1a =，1b =-，则11a b>，但a b >，所以“a b <”是“11a b>”的既不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，因为1x y +=，所以()2211124xy x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以xy 的最大值为14，B 错误；因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，所以0a <，且1,3为方程20ax bx c ++=的根，所以13b a +=-，13c a⨯=，所以4b a =-，3c a =，所以238920a b c a a a a ++=-+=<，C 正确；命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∈，使得210x +≠．”D 错误；故选：ABD.10.已知正数a ，b 满足238a b +=，则下列说法正确的是（）A.83ab ≤ B.227a b +>C.224932a b +≥ D.11126436a b a b +≥++【答案】ACD 【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论检验选项A,C,D ，举出反例检验选项B ，即可判断.【详解】对于A ，因为823a b =+≥，故83ab ≤，当且仅当23,238a b a b =+=,即42,3a b ==时等号成立，故A 正确;对于B ，当2,1b a ==时,2267a b +=<，B 显然错误;对于C ，因为22249(23)12641232a b a b ab ab +=+-=-≥，当且仅当42,3a b ==时等号成立，故C 正确;对于D ，由238a b +=可得()6932324a b a b +=+=,即()264324a b a b +++=,所以111264326432643242643a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭143261122242643246a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当2643a b a b +=+，即42,3a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ACD.11.对于一个非空集合B ，如果满足以下四个条件：①(){},,B a b a A b A ⊆∈∈，②(),,a A a a B ∀∈∈，③,a b A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b a B ∈，则a b =，④,,a b c A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b c B ∈，则(),a c B ∈，就称集合B 为集合A 的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（）A.设{}1,2A =，则满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个B.设{}1,2,3A =，则集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =是集合A 的一个“偏序关系”C.设{}1,2,3A =，则含有四个元素且是集合A 的“偏序关系”的集合B 共有6个D.(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系”【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，分析出()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，从而得到足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个；B 选项，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，B 错误；C 选项，分析出()()()1,1,2,2,3,3B ∈，再添加一个元素即可，从而得到答案；D 选项，通过分析均满足四个条件，D 正确.【详解】A 选项，{}1,2A =，则(){}()()()(){},,1,1,1,2,2,1,2,2a b a A b A ∈∈=，通过分析②可知，()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，取()(){}1,1,2,2B =，或()()(){}1,1,2,2,1,2B =，或()()(){}1,1,2,2,2,1B =，故满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个，A 正确；B 选项，集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，故②不成立，故BC 选项，{}1,2,3A =，通过分析②可知，()()()1,1,2,2,3,3B ∈，结合③和④，可再添加一个元素，即()()()()()()1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2中任选一个，即取()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,2B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,3B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,2,3B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,2B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,3B =，或()()()(){}21,1,2,2,3,3,,3B =，共6个，C 正确；D 选项，(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是R 的子集，满足①，且当a b =时，()R,,a a a R '∀∈∈，满足②，当a b =时，满足③，,,R a b c ∀∈，若(),a b R '∈且(),b c R '∈，则,a b b c ≤≤，所以a c ≤，则(),a c R ∈'，满足④，故(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系，D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设,a b ∈R ，集合{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，则a b +=______【答案】0【解析】【分析】根据ba可知0a ≠，故0a b +=.【详解】由ba可知0a ≠，又{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，故0a b +=.故答案为：013.已知条件:30p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.【答案】(],3-∞-.【分析】根据充分、必要条件的定义及命题的否定形式计算参数范围即可.【详解】由题设得:0p x ≥或3x ≤-，设P ={0x x ≥或3x ≤-}，同理可得:q x a £，设{}Q x x a =≤，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ⊆，因此3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.【答案】12+【解析】【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b-=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以22221222112l l a b c a b a b a b a b a b a b ab+++++==+=++++++221121ab a b =+++,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以121211112l l a b +≥+=+++，所以最小值为212+，故答案为：212+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知{|23}A x x =-≤≤，{|53}B x a x a =-<<，全集R U =．（1）若12a =，求A B ，A B ⋂；（2）若()U B A B =ðI ；求实数a 的取值范围．【答案】（1）9|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，3|22A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭，（2）283a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】（1）由条件根据集合运算法则求A B ，A B ⋂即可；（2）由条件可得U B A ⊆ð，根据集合包含关系列不等式可求a 的取值范围．【小问1详解】因为12a =，所以93{|53}|22B x a x a x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{|23}A x x =-≤≤，所以9|32A x x B ⎧⎫-<≤=⎨⎬⎩⎭ ，3|22A B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭ ，【小问2详解】因为()U B A B =ðI ，所以U B A ⊆ð，因为{|23}A x x =-≤≤，所以{2U A x x =<-ð或}3x >，又{|53}B x a x a =-<<，当B =∅时，U B A ⊆ð，此时35a a ≤-，接的52a ≤-，当B ≠∅时，由U B A ⊆ð，可得3532a a a >-⎧⎨≤-⎩或3553a a a >-⎧⎨-≥⎩，所以5223a -<≤-或8a ≥，综上23a ≤-或8a ≥.所以a 的取值范围23a a ⎧≤-⎨⎩或}8a ≥.16.（1）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：若ab cd >>（2）已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：222111a b c a b c ++≤++.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对（2）利用基本不等式结合1abc =可证得结论【详解】（1）因为222a b c d =++=++又因为,0a b c d ab cd +=+>>,,,a b c d >为正数，所以22>，>（2）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，当且仅当a b c ==时，取等号，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++，当且仅当1a b c ===时取等号.17.已知p ：2280x x +-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤.（1）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）41m -≤≤（2）1m >或4m <-【解析】【分析】（1）解不等式化简命题,p q ，由充分不必要条件列出不等式求解；（2）根据命题,p q 的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解.【小问1详解】由2280x x +-≤，可得42x -≤≤，则p ：42x -≤≤，又由()22210x m x m m -+++≤，可得1m x m +≤≤，则q ：1m x m +≤≤，若q 是p 的充分不必要条件，可得[],1m m +是[]4,2-的真子集，有412m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解可得41m -≤≤；【小问2详解】若q 是p 的既不充分也不必要条件，则[],1m m +和[]4,2-互不包含，可得12m +>或4m <-，解得1m >或4m <-.18.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y 同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214((4S S x a a -=-⋅+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a ⎛⎫-=--=-⋅+⎪-⎝⎭，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+≥，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++≥=--，当且仅当444a a -=-时，即6,14a b ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=⨯，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19.已知集合{}()*1,2,3,,2N ,4n S n n n =∈≥ ，对于集合n S 的非空子集A ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于A ，则称集合A 是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}{}123,4,5,3,5,7A A ==是否为集合4S 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数.那么称该集合具有性质P .对于集合n S 的非空子集A ，证明：集合A 是集合n S 的“期待子集”的充要条件是集合A 具有性质P .【答案】（1）1A 是集合4S 的“期待子集”，2A 不是集合4S 的“期待子集”（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质P 的定义证明即可；【小问1详解】因为{}41,2,3,4,5,6,7,8S =，对于集合{}13,4,5A =，令345a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然41S ∈，42S ∈，43S ∈所以1A 是集合4S 的“期待子集”；对于集合2{3,5,7}A =，令111111357a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111152a b c ++=，因为4111,,a b c S ∈，即111N *a b c ++∈，故矛盾，所以2A 不是集合4S 的“期待子集”【小问2详解】先证明必要性：当集合A 是集合n S 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的,,n a b c S ∈，使得,,a b b c c a A +++∈，不妨设a b c <<，令x a b =+，y a c =+，z b c =+，则x y z <<，即条件P 中的①成立；又()()()20x y z a b c a b c a +-=+++-+=>，所以x y z +>，即条件P 中的②成立；因为()()()()2x y z a b c a b c a b c ++=+++++=++，所以x y z ++为偶数，即条件P 中的③成立；所以集合A 满足条件P .再证明充分性：当集合A 满足条件P 时，有存在A ∈x,y,z ，满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数，记2x y z a z ++=-，2x y z b y ++=-，2x y z c x ++=-，由③得,,Z a b c ∈，由①得a b c z <<<，由②得02x y z a z ++=->，所以,,n a b c S ∈，因为a b x +=，a c y +=，b c z +=，所以a b +，b c +，c a +均属于A ，即集合A 是集合n S 的“期待子集”【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。

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高一上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1. 已知集合，则
（）
A .
B .
C .
D .
2. 函数的定义域为
A . 且
B . 且
C .
D .
3. 若、不全为0，必须且只需
A .
B . 、中至多有一个不为0
C . 、中只有一个为0
D . 、中至少有一个不为0
4. 已知：，，，则M，N大小关系为（）
A .
B . M>N
C . M=N
D . 不确定
5. 设，是两个集合，则“ ”是“ ”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. 给出下列四个命题：
①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③∀x∈R，x2﹣2x＞0；④∃x∈R，2x+1为奇数；以上命题的否定为真命题的序号依次是（）
A . ①④
B . ②④
C . ①②③④
D . ③
7. 设命题，则“ ”是“命题
为真命题”（）
A . 充分不必要
B . 必要不充分
C . 充分且必要
D . 既不充分也不必要
8. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是
A .
B .
C .
D .
9. 设为任意正数．则这三个数（）
A . 都大于2
B . 都小于2
C . 至少有一个不小于2
D . 至少有一个不大于2
10. 定义集合与的运算“*”为: 或
,但.设是偶数集,
,则（）
A .
B .
C .
D .
11. 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）
A .
B .
C .
D .
12. 设函数的定义域为，若所有点
构成一个正方形区域，则的值为（）
A . -2
B . -4
C . -6
D . -8
二、填空题
13. 写出命题“ ，使得”的否定：________.
14. 已知集合，，则
________.
15. 不等式的解集为________.
16. 若关于的三次方程
的个实根为，那么
________.
三、解答题
17. 已知，，其中 .如果，求实数的取值范围.
18. 已知集合= ，集合=
.
（1）若，求；
（2）若A B，求实数的取值范围.
19. 若，是关于的方程
的两个实数根，且，都大于 .
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值.
20. 已知：函数，当x∈（－3，2）时，
>0，当x∈（－，－3）（2，+ ）时，a，b的值；
（II）若不等式的解集为R，求实数c的取值范围.
21. 某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加
10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为
万元．
（Ⅰ）求k的值，并求出的表达式；
（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?
22. 设，若，求证：（1）方程有实根．
（2）若﹣2＜＜﹣1且设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则≤|x1﹣x2|＜。

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