七年级数学培优直线、射线与线段

专题22 直线、射线与线段

阅读与思考

构成平面图形的基本元素是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方形成点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界限．

在线中，最简单、最常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础，解与直线、射线、线段相关问题常涉及如下知识与方法：

1．直线、射线、线段的区别与联系．

2．线段中点的概念．

3．枚举法、分类讨论法．

例题与求解

【例 1】已知一条直线上有 A，B，C三点，线段 AB 的中点为 P，AB＝10，线段 BC的中点为Q， BC＝6，则线段 PQ 的长为＿＿＿＿．

（江苏省竞赛试题）解题思路：未给出图形，注意 C 点位置有多种可能．

【例 2】在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C， D，那么到 A，B，C， D 的距离之和最小

的点（）

A．可以是直线 AD 外的某一点B．只有点 B 或点 C

C．只是线段 AD 的中点D．有无穷多个

（全国初中数学联赛试题）解题思路：直线上的四个点把直线分成五部分，就每一种情况画图表示出到A， B，C， D 的距离，

从直观的图形中作出判断．

【例 3】如图， C是线段上的一点， D 是 BC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段 AC

的长度与线段 BC 的长度都是正整数，求线段 AC 的长．

（“ 希望杯 ”邀请赛试题 ） 解题思路 ：解题的关键是将每一条线段用 AC 或 BC 来表示，依题意可

列一个关于 AC ， BC 的方程， 讨论此不定方程的正整数解 ．

例 4】如图所示，点 C 为线段 AB 的中点，点 E 为线段 AB 上的点，点 D 为线段 AE 的中点．

1）若线段 AB ＝ a ，CE ＝ b ， a 15 （b 4.5）2

＝0，求 a ， b ．

2）如图①，在（ 1）的条件下，求线段 DE 的长． 3）如图②，若 AB ＝15， AD ＝ 2BE ，求线段 CE 的长．

A

D C

E 图①

B

A D C E

B 图②

（ 湖北省武汉市调考试题 ）

解题思路 ： 将几何问题代数化，对于（ 3）， 引入未知数，列方程求解

【例 5】（ 1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域） ，如图，两条直线可以把平面分成几个部

分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．

（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．

（ 3）平面上有 n 条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的

n 条

直线分一个平面所成的区域最多，记为 a n ，试研究 a n 与 n 之间的关系．

1

l

2

（山东省聊城市中考试题）解题思路：从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律．

【例 6】已知线段 AB＝m ，CD＝ n ，线段 CD在直线上运动（ A在 B左侧，C在 D左侧），若 m 2n 与（6 n）2互为相反数．

（ 1）求线段 AB，CD 的长．

（2）M，N 分别是线段 AC，BD 的中点，若 BC＝4，求 MN．

（3）当 CD运动到某一时刻时， D 点与 B 点重合， P是线段延长线上任意一点，下列两个结论：

① PA PB是定值；② PA PB是定值．可以证明，有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的

PC PC

选择并画图求值．

（浙江省宁波市中考试题改编）解题思路：（1） m 2n 与（6 n）的平方互为相反数，可以推出二者都为零，否则一个正数是不可能等于一个负数的，所以n＝6，m＝12．（2）需要分类讨论：如图①，当点 C在点 B左侧时，根据“ M，N 分别为线段 AC，BD的中点”，先计算出 AM，DN 的长度，然后计算 MN＝AD AM DN；如图②，当点 C位于点 B右侧时，利用线段间的和差关系求得 MN 的长度．

（ 3）能计算出①或②的值是一个常数的，即为符合题意的结论．

能力训练

A级

1．已知点 O 在直线 AB上，且线段 OA 的长度为 4cm，线段 OB的长度为 6cm， E， F分别为线段ｏ A，OB 的中点，则线段 EF的长度为＿＿＿＿．

（黑龙江省中考试题） 2．如图，线段 AB＝BC＝CD＝DE＝1 厘米，那么图中所有线段的长度之

和等于＿＿＿厘米．

A B C D E

（“希望杯”邀请赛试题）3．如图， B，C，D 依次是上的三点，已知 AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以 A，B，C，D， E这 5 个点为端点的所有线段长度的和为＿＿＿＿cm．

4．平面内两两相交的8 条直

线，

其交点个数最

少为

《中学生数理化》读刊用刊知识竞赛试

题）

，最多

为

“ 希望杯” 邀请赛试题）

5．直线a，b ，c

，

d ，e共

点

O，直

线

l 与上述五条直线分别

交于

A，B，C，D，E 五点，则

上述

图形中共有线段（条．

A．4

C．1

B．

5

D．1

5

6．如图，点A，B

，

）

若想求出 MN 的

长度，则只需条

件（

A．AB＝

12 B．BC＝

4

C．AM＝

5

D．CN＝

2

海南省竞赛试

题）

7．如图，A，B

，

C

，

D 四点在同一直线

上，

M 是线段 AB 的中点， N 是线段 DC 的中点， MN＝

a ，

BC＝ b 则 AD＝

（

A． a b B

．a 2b C． 2b a D

．

2a b

8．如图，AC＝

1AB，

3

1

BD＝41 AB，且 AE＝

CD，则

CE为 AB 长的

（

A．1 6 B．1

8

C

．

1

12 D．

1

16

9．已知线段 AB＝

6．

的

和．DB

1）取线段 AB 的三等分点，这些点连同线段AB的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度

2）再在线段 AB 上取两种点：第一种是线段AB 的四等分点；第二种是线段 AB的六等分点，这些

点连同（ 1）中的三等分点和线段 AB 的两个端点可以组成多少条线段？求这些线

段长度的和．

湖北省武汉市武昌区期末调考试

题）