2014届高考一轮复习教学案平面向量的概念及其线性运算
2014届高三数学总复习教案：4.1平面向量的概念与线性运算
第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算(对应学生用书(文)、(理)60～62页)考情分析考点新知①了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.②掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.③了解向量的线性运算性质及其几何意义．掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.1. (必修4P63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→＝________．答案：b－12a解析：BE→＝BA→＋AD→＋12DC→＝－a＋b＋12a＝b－12a.2. (必修4P65例4改编)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝________．(用b、c表示)答案：23b＋13c解析：因为BD→＝2DC→，所以AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，即3AD→＝AB→＋2AC→＝c＋2b，故AD→＝23b ＋13c . 3. (必修4P 63练习第6题改编)设四边形ABCD 中，有12DC →＝AB →且|AD →|＝||BC →，则这个四边形是________．答案：等腰梯形解析：AB →＝12DC →AB →∥DC →，且|AB →|＝12|DC →|，∴ ABCD 为梯形．又|AD →|＝|BC →|，∴ 四边形ABCD 的形状为等腰梯形．4. (必修4P 66练习第2题改编)设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p ＝________．答案：－1解析：∵ BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴ 存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴ p ＝－1.1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB →|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则．③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则．3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝|λ||a|；② 当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝(λμ)a ；② (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．4. 向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．[备课札记]题型1 平面向量的基本概念例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m)AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m)b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴ AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴ 存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a 、b 是两不共线的非零向量， ∴ k －λ＝λk －1＝0. ∴ k 2－1＝0.∴ k ＝±1. 备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．答案：λμ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa＋b ＝t(a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．答案：12解析：如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________．(用向量a 和b 表示)答案：23a ＋13b解析：因为AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，又AB →＝2DC →，所以AO →＝23AC →＝23⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . 2. (2013·四川)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，则λ＝2.3. (2013·江苏)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23DC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →，故λ1＝－16，λ2＝23，则λ1＋λ2＝12.4. 已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．答案：45解析：由2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2PA →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，∴ 2PA →＋4PC →＝3AP →，即4PC →＝5AP →.∴ |AP →||PC →|＝45，S △PAB S △PBC ＝|AP →||PC →|＝45.1. 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，因为AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.2. 已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________．答案：1解析：∵ A ，B ，C 三点共线，∴ AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λOB →－λOA →，∴ OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即x ＝1－λ，y ＝λ，∴ x ＋y ＝1.3. 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：易知DE ＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.4. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1) 求GA →＋GB →＋GO →；(2) 若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1) 解：因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2) 证明：因为OM →＝12(a ＋b )，且G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.又PG →＝OG →－OP →＝13(a＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ，所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
高考数学一轮复习教案第53课平面向量有关概念及其线性运算
一、教学目标1．了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义；2．掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理。
3．了解向量的线性运算性质及其几何意义二、基础知识回顾与梳理一、知识梳理（一）【回顾要求】1、阅读必修4教材P59—P61完成以下任务（1）、你知道向量的定义吗？它是怎么表示的？(2)、向量的模是什么？如何表示？（3）、什么是零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量？（4）、共线向量和平行向量一样吗？相等向量和共线向量的区别？（5）你能看懂P64的例2吗？你能在空白处做出P66练习第9题吗？（5）、写出与_____________共线的单位向量→a（6）、完成P61页练习第2题；2、阅读必修4教材P63—P71完成以下任务（1）用两种方法表示出向量的加法，向量的减法要注意什么？共线向量使的加减你会画吗？（2）完成P67练习4体会向量的字母运算（3）仔细体会P68页数乘向量的定义，明确实数乘以向量以后会发生什么样的变化？（4）数乘向量的运算率是什么？（5）读懂P70两向量共线定理，圈出定理中的关键字眼，为什么要强调→→≠0a（6）P71的例4你会证明吗？例4中令1=λ你能得到什么结论？（7）点A 、B 、C 三点共线如何转化？（7）在教材中空白地方做练习第7、8题【教学建议】由于本节内容概念较多，应加深理解，熟练掌握。
通过这一组问题，可以帮助学生理解和记忆向量的相关概念，找出平行向量，共线向量，相等向量之间的联系和区别；体会向量加法与减法的三角形法则、平行四边形法则；掌握数乘的运算律及运算性质。
教学时，教师可让学生说明理由或举出反例，强调定义中的两个要素“大小”、“方向”。
三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成5道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
除了第一题外，其它小题都需数形结合，因此可以要求学生在课前就要注意相关知识点的几何意义，将知识问题化，图形化，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
专题5.1 平面向量的概念及线性运算(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)
【重点知识梳理】一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量,其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a b b a＋＝＋(2)结合律：()() a b c a b c ＋＋＝＋＋减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ<0时,λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时,λa＝0.2．运算律：设λ,μ是两个实数,则：①λ(μa)＝(λμ) a；②(λ＋μ) a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.四、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b＝λa.【特别提醒】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个．(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线；另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合．【高频考点突破】考点一向量的有关概念例1、给出下列命题：①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量；②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b；④λ,μ为实数,若λa＝μb,则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4④不正确．当λ＝μ＝0时,a与b可以为任意向量,满足λa＝μb,但a与b不一定共线．【答案】C【变式探究】给出下列命题：①a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ②若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b ；③由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________．考点二 向量的线性运算例2、 (1)如图,正六边形ABCDEF 中,BA ＋CD ＋EF ＝( )A ．0B ．BEC ．ADD ．CF(2)在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ＝2DB ,CD ＝13CA ＋λCB ,则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23【变式探究】平行四边形OADB 的对角线交点为C ,BM →＝13BC →,CN →＝13CD →,OA →＝a ,OB →＝b ,用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.分析：求向量的线性表示式．一是直接运用三角形法则与平行四边形法则来求,二是应用平行考点三、共线向量例3、设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB＝a＋b,BC＝2a＋8b,CD＝3(a－b)．求证：A,B,D三点共线；(2)试确定实数k,使k a＋b和a＋k b共线．∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k－λ＝λk－1＝0,即k2－1＝0.∴k ＝±1.【变式探究】设e 1,e 2是两个不共线向量,已知AB →＝2e 1－8e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－ke 2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值．考点四 考查综合应用例4、如图,在矩形OACB 中,E 和F 分别是边AC 和BC 的点,满足AC ＝3AE ,BC ＝3BF ,若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________.【变式探究】(2011·杭州模拟)已知P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB →＝λP A →＋PB →,其中λ∈R,则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【经典考题精析】（2013·江苏卷）设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD ＝12AB,BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1＋λ2的值为________．（2013·陕西卷）设a ,b 为向量,则“| a b ⋅|＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2013·四川卷）在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB →＋AD →＝λAO →,则λ＝________．【答案】2【解析】根据向量运算法则,AB →＋AD →＝AC →＝2AO →,故λ＝2.（2013·重庆卷）在平面上,AB 1→⊥AB 2→,|OB 1|＝|OB 2→|＝1,AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|＜12,则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72C.⎝⎛⎦⎤52，2 D.⎝⎛⎦⎤72，2（2012·浙江卷）设a ,b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |,则存在实数λ,使得b ＝λaD ．若存在实数λ,使得b ＝λa ,则|a ＋b |＝|a |－|b |【当堂巩固】1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )．正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】：选C a ＋(－a )＝0,故③错． 2．若a ＋b ＋c ＝0,则a ,b ,c ( )A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形【解析】：选A 当a ,b ,c 为非零向量且不共线时可构成三角形,而当a ,b ,c 为非零向量共线时不能构成三角形．3．已知平面上不共线的四点O ,A ,B ,C .若OA ＋2OC ＝3OB ,则|BC ||AB |的值为( ) A.12B.13C.14D.16【解析】：选A 由OA ＋2OC ＝3OB ,得OA －OB ＝2OB －2 OC ,即BA ＝2CB ,所以|BC ||AB |＝12. 4．如图,正方形ABCD 中,点E 是DC 的中点,点F 是BC 的一个三等分点(靠近B ),那么EF ＝( )A.12 AB －13AD B.14 AB ＋12AD C.13 AB ＋12DAD.12 AB －23AD5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA ＋OB ＋CO ＝0,则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】：选A 由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ,由O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形,且∠CAO ＝60°,故A ＝30°.6．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ,则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点7.如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过G 作直线与AB ,AC 两边分别交于M ,N 两点,且AM ＝x AB ,AN ＝y AC ,则x ·yx ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12【解析】：选B (特例法)利用等边三角形,过重心作平行于底面BC 的直线,易得x ·y x ＋y ＝13. 8．若点M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AM ＝AB ＋3AC ,则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45故C ,M ,D 三点共线,且MD ＝35CD ,也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为35,则△ABM 与△ABC 的面积比为35. 9．已知e 1≠0,λ∈R ,a ＝e 1＋λe 2,b ＝2e 1,则a 与b 共线的条件是( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝010.如图,已知AB＝a,AC＝b,BD＝3DC,用a,b表示AD,则AD等于()A．a＋34b B.14a＋34bC. 14a＋14b D.34a＋14b【解析】：选B AD＝AB＋BD＝AB＋34BC＝a＋34(b－a)＝14a＋34b.11．设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,BC2＝16,|AB＋AC|＝|AB－AC|,则|AM|＝________.12．已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量OA,OB,OC,OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD,则四边形ABCD的形状为________．【解析】：∵OA＋OC＝OB＋OD,∴OA－OB＝OD－OC,∴BA＝CD.∴四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形13．设向量e1,e2不共线,AB＝3(e1＋e2),CB＝e2－e1,CD＝2e1＋e2,给出下列结论：①A,B,C共线；②A,B,D共线；③B,C,D共线；④A,C,D共线,其中所有正确结论的序号为________．14．设i,j分别是平面直角坐标系Ox,Oy正方向上的单位向量,且OA＝－2i＋m j,OB＝n i＋j,OC＝5i－j,若点A,B,C在同一条直线上,且m＝2n,求实数m,n的值．15.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE＝23AD,AB＝a,AC＝b.(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；(2)求证：B,E,F三点共线．【解析】：(1)延长AD到G,使AD＝12 AG,连接BG,CG,得到▱ABGC,16．设e1,e2是两个不共线向量,已知AB＝2e1－8e2, CB＝e1＋3e2,CD＝2e1－e2.(1)求证：A,B,D三点共线；(2)若BF＝3e1－k e2,且B,D,F三点共线,求k的值．即3e1－k e2＝λe1－4λe2,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12, ∴k ＝12.17．已知O ,A ,B 三点不共线,且OP ＝m OA ＋n OB ,(m ,n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1,求证：A ,P ,B 三点共线； (2)若A ,P ,B 三点共线,求证：m ＋n ＝1.。
高三数学一轮复习精品教案1：5.1 平面向量的概念与线性运算教学设计
5.1平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． 『试一试』1.(2013·苏锡常镇二调)如下图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.『解析』法一：(直接法)根据图形有⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ＋AC ， AC ＝2AB ，AB ＝OB －OA ，所以OC ＝OA ＋2(OB －OA )，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.法二：(间接法)由B 为AC 的中点得OC ＋OA ＝2OB ， 所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.『答案』－32．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 『解析』|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 『答案』21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔ OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 『练一练』1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________.『解析』∵CD ＝BD －BC ＝12BA －BC ，则x ＝12，y ＝－1∴x ＋y ＝－12.『答案』－122．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.『解析』由题意知a ＋λb ＝k 『－(b －3a )』，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.『答案』－13考点一向量的有关概念1.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．『解析』①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC . ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③. 『答案』②③.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________．『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 『答案』3『备课札记』 『类题通法』平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量． 考点二向量的线性运算『典例』 (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．『解析』 由题意DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.『答案』 12『备课札记』若条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.『解析』∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD ＝2BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.『答案』23『类题通法』在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 『针对训练』若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．『解析』①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立． 『答案』2考点三共线向量定理的应用『典例』 设两个非零向量a 与b 不共线， (1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．『解』 (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.『备课札记』『类题通法』1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． 『针对训练』已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．『课堂练通考点』1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的有________个．『解析』①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 『答案』32.如下图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________.『解析』∵CB ＝AB －AC ＝a －b ，又BD ＝3DC ，∴CD ＝14CB ＝14(a －b )，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .『答案』14a ＋34b3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．『解析』因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ， 即5PA ＋4PC ＝0，所以△P AB 与△PBC 的面积的比为P A ∶PC ＝4∶5. 『答案』454.(2014·“江南十校”联考)如下图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为________．『解析』因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如下图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝14AC ，AM ＝34AB ，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.『答案』335．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．『解析』由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 『答案』－14a ＋14b6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.『解析』由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC|＝2.『答案』2。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第24讲 平面向量的概念及其线性运算
(4)×
返回目录
第24讲
平面向量的概念及其线性运算
• 双 向 固 基 础
[解析] (1)不同于平面几何中的平行与共线的概念，向量 的平行与共线是同一个概念． (2)由相反向量的定义可知该说法正确． (3)λ>0 时，a 与 λa 方向相同． → 与向量CD → 共线， → 与向量CD → 所在的 (4)若向量AB 则向量AB 直线平行或重合，因此 A，B，C，D 不一定在一条直线上．
讲 考 向
[思考流程] (1)分析： 运用向量运算的三角形法则． 推理：
→ ，OB → 表示OM → ，在线段 OD 上用OC → 和CD →表 在△BOM 中用BM → .结论：经过运算得出向量表示． 示ON → ，AC → 作为基底向量．推理：用基底向量 (2)分析：将AB → ，得出 λ1，λ 2 的值．结论：求出 λ1＋λ2 的值． 表示出向量DE
返回目录
第24讲
平面向量的概念及其线性运算
►
探究点二
平面向量的线性运算
• 点 → ＝1BC → ，CN → ＝1CD → ，用a，b表示 面 作平行四边形OADB，BM 3 3 讲 考 OM → ＝________，ON → ＝________． 向
•
→ ＝a， OB → ＝b为边 例2 (1)如图5241所示，以向量 OA
• 双 向 固 基 础
—— 疑 难 辨 析 ——
1．共线向量 (1)平行向量就是共线向量．( ) (2)相反向量一定是平行向量．( ) (3)a与λa共线，方向相同．( ) → 与 CD → 是共线向量，则A，B，C，D四点在 (4)若向量 AB 一条直线上．( )
[答案] (1)√
(2)√
(3)×Βιβλιοθήκη 返回目录第24讲平面向量的概念及其线性运算
高三一轮复习平面向量复习教案
平面向量第一课时平面向量的概念[重要知识]知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。
注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向一样，则这两个向量就是一样的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向一样，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向一样或相反的非零向量叫平行向量。
（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1） 定义长度相等且方向一样的向量叫相等向量. （2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.[典型例题]1．下列命题正确的是 （ ） A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点一样2．若都是单位向量，则||-的取值X 围是 （ ） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（ ） A ．FE B.AC C DC D FC4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心， 求：向量．5．已知△ABC 与一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的 充要条件是.=++DABCa bG·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为 。
第一节 平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考
平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝ ；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一 平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二 平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三 平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。
2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案第5章平面向量与复数5.1平面向量的概念及其线性运算
第5章 平面向量与复数5.1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．4．理解向量加法、减法的运算，理解其几何意义．5．理解向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有__________又有________的量称为向量，向量的大小称为向量的__________(或称为模)．(2)零向量：__________的向量称为零向量，其方向是______的． (3)单位向量：长度等于______________的向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又称为________，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．规定：0与任一向量__________．(5)相等向量：长度____________且方向__________的向量．__________法则__________法则(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝__________；②当λ＞0时，λa 与a 的方向______；当λ＜0时，λa 与a 的方向______；当a ＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa ＝____.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝__________.(结合律)②(λ＋μ)a ＝____________.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝______________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是______________．1．(2012北京海淀区期末)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边DC ，BC 的中点，那么用AB →，AD →表示向量EF →＝__________.2．(2012江苏南通高三期末考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a ∶b ∶c ＝__________.3．(2012江苏无锡五校联考)在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|b －a －c |＝__________.4．已知△ABC 为正三角形，下列各式： ①|AB →－AC →|＝|BC →|；②|AB →－CA →|＝|BC →－AB →|； ③|CA →－BC →|＝|AC →－BA →|；④|CA →－BC →|＝|AB →－AC →|. 其中成立的有__________．5．O 是四边形ABCD 所在平面内一点，且OA →－OD →＝OB →－OC →，则四边形ABCD 的形状是__________．1．向量有哪两个要素？提示：向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行相同吗？提示：向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．3．向量平行能传递吗？提示：不能．若a ∥b ，b ∥c ，当b ≠0时，有a ∥b ；当b ＝0时，a 与b 不一定平行．一、平面向量的概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (2)若a ＝b ，则|a |＝|b |；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (4)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； (5)若|a |＝0，则a ＝0； (6)若λ＝0，则λa ＝0；(7)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形． 方法提炼(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动相混淆．(5)非零向量a 与a |a|的关系是：a|a|是a 方向上的单位向量．请做针对训练1二、向量共线定理的应用【例2】 (2013届江苏南京12中期中)设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 方法提炼(1)向量共线的充要条件中，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.请做针对训练2三、向量的线性运算【例3】 △ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.方法提炼在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．请做针对训练3平面向量的概念及线性运算在近几年高考中既是热点又是重点，一般以填空题形式出现，有时也出现在解答题的某一步骤或某一环节．命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量、借助基向量考查交点位置或借助向量的坐标形式考查共线等问题．1．下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，且a ＋b 是非零向量，那么a＋b 的方向必与a ，b 之一方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确的命题是__________．2．设向量a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝__________.3.如图，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ ＝λCM时，AP ＝QA ，试确定λ的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)大小 方向 长度 (2)长度为0 任意 (3)1个单位长度(4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同2．三角形 b ＋a 平行四边形 a ＋(b ＋c ) 三角形 3．(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①(λμ)a λa ＋μa λa ＋λb (3)b ＝λa 基础自测 1.12AB －12AD 解析：EF ＝12DB ＝12(AB －AD )． 2．20∶15∶12 解析：3a BC ＋4b CA －5c (BC ＋CA )＝0. 3a BC ＋4b CA －5c BC －5c CA ＝0. (3a －5c ) BC ＋(4b －5c ) CA ＝0. ∵BC 与CA 不共线， ∴3a －5c ＝0,4b －5c ＝0. ∴a ∶b ∶c ＝20∶15∶12.3．2 解析：∵b －a －c ＝BC －2AB AC BA BC CA BA -=++=， ∴|b －a －c |＝2.4．①②③ 解析：||||||AB AC CB CA BC -=≠-.5．平行四边形 解析：由OA OD OB OC -=-，得DA CB =. 又AD 与BC 不共线，所以ABCD 是平行四边形． 考点探究突破【例1】解：(1)不正确，因为a 与b 的方向不一定相同．(2)正确，因为相等向量是模相等且方向相同的向量．(3)正确，因为a ＝b ，所以a 与b 的长度相等且方向相同；因为b ＝c ，所以b 与c 的长度相等且方向相同；所以a 与c 的长度相等且方向相同，所以a ＝c . (4)不正确，因为当b ＝0时，a 与c 不一定平行． (5)正确，因为长度为零的向量就是零向量． (6)不正确，因为当λ＝0时，λa ＝0.(7)不正确，因为A ，B ，C ，D 可能四点共线．【例2】 (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )． ∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线． 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0. ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.【例3】 解：//23DE BC AD AB ⎫⎪⎬=⎪⎭⇒AE ＝23AC ＝23b .BC ＝AC AB -＝b －a .由△ADE ∽△ABC ， 得DE ＝23BC ＝23(b －a )．又AM 是△ABC 的中线，DE ∥BC ，∴DN ＝12DE ＝13(b －a )．又AM ＝12(a ＋b )，⇒AN ＝23AM ＝13(a ＋b )．演练巩固提升针对训练1．①② 解析：①②正确．③中AB ，BC ，CA 可以是零向量．④中|a ＋b |≤|a |＋|b |.2．－123．解：∵AP ＝NP NA -＝12(BN NC +)＝12BC ，又12QA MA MQ BM MC λ=-=+， ∵AP QA =， ∴12BM ＋λMC ＝12BC ， 即λMC ＝12(BC BM -)＝12MC .∴λ＝12.。
高考数学一轮复习 专题24 平面向量的概念及其线性运算教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题24 平面向量的概念及其线性运算1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a 与b 的 相反向量－b 的和的 运算叫做a 与b 的差a －b ＝a ＋(－b )数乘某某数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ．高频考点一 平面向量的概念例1、下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .【方法规律】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【变式探究】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③高频考点二 平面向量的线性运算例2、(1)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13b B.－13a ＋13bC.13a －13bD.－13a －13b(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.解析 (1)PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A. (2)由题中条件得，MN →＝MC →＋→＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.答案 (1)A (2)12 －16【方法规律】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.【变式探究】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → (2)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A.1B.12C.13D.23解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. (2)∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.答案 (1)D (2)D【感悟提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．【变式探究】如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23 答案 A高频考点三 共线定理的应用 例3、设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【方法规律】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立. 【变式探究】 (1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( )A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →、AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.故选B.高频考点四、方程思想在平面向量线性运算中的应用例4、如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线． ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .【感悟提升】(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．【方法技巧】1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.【易错提醒】1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．1.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.2.【2016高考某某卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A.1．（2014·某某卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨ (綈q ) 【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．【答案】90°【解析】由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.3．（2014·某某卷）平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 【答案】2【解析】c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.4．（2013·某某卷）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】125．（2013·某某卷）设a ，b 为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a 与b 同向或反向，所以a∥b .又因为由a∥b ，可得|cos 〈a ，b 〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a|·|b |，故|a ·b |＝|a |·|b |是a ∥b 的充分必要条件．6．（2013·某某卷） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 【解析】(1)由2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35，得 [cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35，即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35，则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35， 0<A<π，得sinA ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22.由题意知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.7．（2013·某某卷）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】2【解析】根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.8．（2013·某某卷）在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【解析】根据条件知A ，B 1，P ，B 2构成一个矩形AB 1PB 2，以AB 1，AB 2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB 1|＝a ，|AB 2|＝b ，点O 的坐标为(x ，y)，则点P 的坐标为(a ，b)，由|OB 1→|＝|OB 2→|＝1得⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋y 2＝1，x 2＋（y －b ）2＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＝1－y 2，（y －b ）2＝1－x 2. 又由|OP →|＜12，得(x －a)2＋(y －b)2＜14，则1－x 2＋1－y 2＜14，即x 2＋y 2＞74①.又(x －a)2＋y 2＝1，得x 2＋y 2＋a 2＝1＋2ax≤1＋a 2＋x 2，则y 2≤1； 同理由x 2＋(y －b)2＝1，得x 2≤1，即有x 2＋y 2≤2②. 由①②知74＜x 2＋y 2≤2，所以72＜x 2＋y 2≤ 2.而|OA →|＝x 2＋y 2，所以72＜|OA →|≤2，故选D.1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →.其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.35.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D. 答案 D6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13cD.13b ＋23c 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .答案 A7.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A.－2B.－1C.1D.2解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线. 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 B8.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －b C.a ＋12b D.12a ＋b解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .答案 D9.设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A.－94B.－49C.－38D.不存在10.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段AB 的反向延长线上 C.点P 在线段AB 的延长线上 D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 答案 B11.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析 作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)，∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)＝λ′·AD sup 6(→)|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP →＝错误!·错误!，∴错误!∥错误!. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案 B12.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.13.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线.其中所有正确结论的序号为________.解析 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.答案 ④14.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E ，F 分别为AC ，AB 的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.答案 3。
2014高考一轮复习课件4.1平面向量的基本概念及线性运算
•2．下列给出的命题正确的是( ) •A．零向量是唯一没有方向的向量 •B．平面内的单位向量有且仅有一个 •C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则 a与c是方向相同的向量 •D．相等的向量必是共线向量
•【解析】 零向量方向任意，而不是没有方 向，故A错；平面内单位向量有无数个，故B 错；若b＝0，b与a、c都平行，但a、c不一 定共线，故C错；相等的向量方向相同，必是 共线向量，故D正确． •【答案】 D
a b 【解析】 表示与a同向的单位向量， 表示与b同向 |a| |b| a b 的单位向量，只要a与b同向，就有 ＝ ，观察选择项易知 |a| |b| C满足题意．
•【答案】 C
给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； → → ②若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； ④λ ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
→ → → → 1．(人教A版教材习题改编)化简OP －QP ＋MS ＋QM 的 结果为( ) → A.OM → B.SM → C.PS → D.OS
【解析】
→ → → → → → → OP －QP ＋MS ＋QM ＝(OP ＋PQ )＋(QM ＋
→ → → → MS)＝OQ＋QS＝OS.
•【答案】 D
•从近两年高考试题来看，平面向量的概念， 线性运算及向量共线是高考命题的重点，常 与平面向量基本定理、平面向量的数量积交 汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程 中，不要忽视零向量的特殊性．
易错辨析之八 忽视零向量的特殊性致误 (2013· 杭州模拟)下列命题正确的是( ) A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ， 使b＝λa → → → B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能 同时成立 D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数 1平面向量的概念及线性运算课件
√
√
【拓广探索】
13.设点在的内部,且,则的面积与 的面积之比为 ( )
A.3 B. C.2 D.
解：如图，取的中点D，在上取点，使 ，连接， .
第五章 平面向量与复数
5.1 平面向量的概念及线性运算
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. 4.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
解：存在实数 ，使得，说明向量,共线，则, 同向或反向；，则,同向.故“存在实数 ，使得”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
10.在中，为边上的动点（不含两端），且满足，则 ( )
A.有最小值4 B.有最大值4 C.有最大值2 D.有最小值2
解：由题意，知,, .所以 ，当且仅当 时取等号.故选A.
三角形法则
平行四边形法则
方向相同
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律（性质）
数乘
3.向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使________.
相同
相反
续表
常用结论
1.加法运算的推广 （1）加法运算的推广： . （2）向量三角不等式： .两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“ ”成立；两向量共线时，可得出“ ”成立（分同向、反向两种不同情形）.
A.单位向量都相等 B.若，则 C.若，则 D.若，则
高三数学一轮复习优质教案5：5.1 平面向量的概念及线性运算教学设计
5.1 平面向量的概念及线性运算『课前 考点引领』考情分析考点新知① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.『知识清单』1. 向量的有关概念(1) 向量：既有 又有 的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的 (或模)，记作|AB →|.(2) 零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3) 单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量．平行向量又称为 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量 ．(5) 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度 且方向 的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则． ③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则． 3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝ ；② 当 时，λa 与a 的方向相同；当 时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝ ；② (λ＋μ)a ＝ ；③ λ(a ＋b )＝ ． 4. 向量共线定理向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是 一个实数λ，使得 ．『课中 技巧点拨』『题型精选』题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP→＝QA →，试确定λ的值．『疑难指津』1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．答案『知识清单』1. (1)大小 方向 长度 (2) 长度为0 任意 (3) 1个单位长度(4) 相同 相反 非零 共线向量 平行 (5) 相等 相同 (6) 相等 相反3. (1)① |λ||a| ②λ>0 λ<0 (2)① (λμ)a ②λa ＋μa ；③λa ＋λb4.有且只有 b ＝λa 例1『答案』①②③⑥『解析』两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享） 『答案』3『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.例2解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .例3备选变式（教师专享） 『答案』λμ＝1『解析』由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.例4 『答案』12『解析』如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算
![[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算](https://img.taocdn.com/s3/m/8d681f611eb91a37f1115c32.png)
第1讲 平面向量的概念及其线性运算A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD →D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →. 答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD→|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4.三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2. 又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →， 又因为AB→，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD→＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC→，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA→＋GB →＋GO →； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→. 而PG→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。
高三数学一轮复习精品教案2：5.1 平面向量的概念与线性运算教学设计
第一节 平面向量的基本概念及线性运算考纲传真 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的加法和减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则．运算性质：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(2)减法与加法互为逆运算；服从三角形法则．3．实数与向量的积(1)实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：①长度：|λa |＝|λ||a |；②方向：当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．(2)运算律：设λ、μ∈R ，则：①λ(μa )＝(λμ)a；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．4．平面向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．1．(人教A 版教材习题改编)化简OP →－QP →＋MS →＋QM →的结果为( )A.OM →B.SM →C.PS →D.OS →『解析』 OP →－QP →＋MS →＋QM →＝(OP →＋PQ →)＋(QM →＋MS →)＝OQ →＋QS →＝OS →.『答案』 D2．下列给出的命题正确的是( )A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．相等的向量必是共线向量『解析』 零向量方向任意，而不是没有方向，故A 错；平面内单位向量有无数个，故B 错；若b ＝0，b 与a 、c 都平行，但a 、c 不一定共线，故C 错；相等的向量方向相同，必是共线向量，故D 正确．『答案』 D3．设a ，b 为不共线向量，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )A.AD →＝BC →B.AD →＝2BC →C.AD →＝－BC →D.AD →＝－2BC →『解析』 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.『答案』 B4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为( )A ．1B ．－1 C.13 D ．－13『解析』 由题意知a ＋λb ＝－k (b －3a )＝－k b ＋3k a ，『答案』 D5．(2012·四川高考)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |『解析』 a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b |b |，观察选择项易知C 满足题意． 『答案』 C平面向量的有关概念给出下列四个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形；③若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4『思路点拨』 以概念为判断依据，或通过举反例来说明其不正确．『尝试解答』 ①不正确．|a |＝|b |但a 、b 的方向不确定，故a ，b 不一定相等；②不正确．因为AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 『答案』 D ,1．(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4『解析』 ①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②正确．根据向量相等的定义知．③不正确．若b ＝0时，b 与a 、c 都平行，但a 、c 不一定平行．④不正确．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．『答案』 C 平面向量的线性运算(1)在△ABC 中，若D 是AB 边上一点，且AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23(2)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →『思路点拨』 (1)D 是AB 边上的三等分点，把CD →用CA →、CB →表示；(2)由D 为BC 边中点可得OB →＋OC →＝2OD →，代入已知条件即可求解．『尝试解答』 (1)CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23，故选A.(2)因为D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，又2OA →＋OB →＋OC →＝0，∴2OA →＋2OD →＝0，即AO→＝OD →，故选A.『答案』 (1)A (2)A ,1．解答本题(1)的关键是利用向量的加法与减法把CD →用CA →、CB →表示出来．解答本题(2)的关键是OB →＋OC →＝2OD →.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．(1)(2013·海口模拟)如下图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A 、B 、C 在一条直线上，若AC →＝－3CB →，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12b C ．c ＝－a ＋2b D ．c ＝a ＋2b (2)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．『解析』 (1)∵OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋3BC →＝OA →＋3(OC →－OB →)＝3OC →＋OA →－3OB →，∴2OC →＝－OA →＋3OB →，∴c ＝OC →＝－12a ＋32b . (2)∵|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，|AB →＋AC →|为三角形高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝2 3.『答案』 (1)A (2)23 共线向量定理的应用设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线．(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A 、C 、F 三点共线，求k 的值．『思路点拨』 (1)A 、C 、D 三点共线⇔存在实数λ使AC →＝λCD →.(2)A 、C 、F 三点共线⇔存在实数λ，使AC →＝λAF →.『尝试解答』 (1)AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2，又CD →＝－8e 1－2e 2，所以CD →＝－2AC →，∴AC →与CD →共线，又∵AC →与CD →有公共点C ， ∴A 、C 、D 三点共线．(2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2.∵A 、C 、F 三点共线，∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →.∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2，又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴因此k ＝2.所以实数k 的值为2.,1．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)OA →＝λOB →＋μOC →(μ，λ∈R )，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1.(1)(2013·南昌模拟)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向(2)(2013·青岛模拟)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』 (1)∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )＝λa －λb ，∴k ＝λ＝－1，故选D.(2)由a ＋b ＝0知道a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立．由a ∥b 知a ＝λb ，λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立．『答案』 (1)D (2)A一条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．三个防范1.向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；3．利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合．从近两年高考试题来看，平面向量的概念，线性运算及向量共线是高考命题的重点，常与平面向量基本定理、平面向量的数量积交汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程中，不要忽视零向量的特殊性．易错辨析之八 忽视零向量的特殊性致误(2013·杭州模拟)下列命题正确的是( )A ．向量a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．向量a 、b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线『错解』 错解一 a 、b 共线，必然是有且只有一个实数λ，使b ＝λa ，故选A. 『答案』 A错解二 首尾相连，始终如一．在△ABC 中，AB →、BC →、CA →围成了一个封闭图形，故AB →＋BC→＋CA →＝0，故选B.『答案』 B错解三 当a 与b 同向时，式子中第一个等号不成立；当a 与b 反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C. 『答案』 C错因分析：(1)错解一，忽视了a ≠0这一条件．(2)错解二，忽视了0与0的区别．(3)错解三，忽视了零向量的特殊性，当a ＝0或b ＝0时，两个等号同时成立．防范措施：(1)共线向量定理中，b ＝λa 要求a ≠0，否则λ值可能不存在．(2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数．(3)应熟练掌握向量不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件．『正解』 ∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D.『答案』 D1．(2012·浙江高考)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |『解析』 由|a ＋b |＝|a |－|b |知(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2， ∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝－1，∴〈a ，b 〉＝π，此时a 与b 反向共线，因此A 错误．当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ，满足a 与b 反向共线，故C 正确．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能成立，故D 错误．『答案』 C2．(2011·山东高考)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上『解析』 ∵平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则由条件知：AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2. 对A ：若C 为线段AB 的中点，则λ＝12，∴1μ＝0，显然不存在μ， ∴A 是错误的，同理B 也是错误的；对C ：若C 、D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1，∴1λ＋1μ＞2，不符合条件； 对D ：若同时在线段AB 延长线上，则λ＞1，μ＞1，与1λ＋1μ＝2矛盾，故不可能． ∴C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 正确． 『答案』 D。
2014高考数学(理)一轮复习总教案：4.1 平面向量的概念及线性运算
第四章平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1.平面向量的实际背景及基本概念（1)了解向量的实际背景;(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;(3）理解向量的几何表示。
2。
向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义；（3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及其坐标表示（1)了解平面向量的基本定理及其意义；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；本章重点：1。
向量的各种运算;2。
向量的坐标运算及数形结合的思想；3.向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用.本章难点：1。
向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份",所以它成为中学数学知识的一个交汇点.在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行(3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;(4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4。
平面向量的数量积（1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义;（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算;（4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5。
向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；(2）会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题。
问题中的应用；2.向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用。
综合考查.在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值.知识网络4.1 平面向量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题:①向量AB的长度与BA的长度相等;②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同;④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节平面向量的概念及其线性运算[知识能否忆起]一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算平行四边形法则1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 四、共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .[小题能否全取]1．下列命题正确的是( ) A ．不平行的向量一定不相等 B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．若a 与b 平行，则b 与a 方向相同或相反解析：选A 对于B ，单位向量不是仅有一个，故B 错；对于C ，a 与c 的方向也可能相反，故C 错；对于D ，若b ＝0，则b 的方向是任意的，故D 错，综上可知选A.2.如右图所示，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C 由题图可得a －b ＝BA＝e 1－3e 2.3．(教材习题改编)设a ，b 为不共线向量，AB＝a ＋2b ，BC＝－4a －b ，CD＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )A ．AD ＝BCB ．AD＝2BCC ．AD ＝－BC D ．AD＝－2BC解析：选B AD ＝AB ＋BC＋CD ＝a ＋2b ＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC.4．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD|＝2.答案：25．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．典题导入[例1] 给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC.又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊DC 且AB 与DC 方向相同，因此AB＝DC .③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． [答案] C由题悟法1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关.以题试法1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.典题导入[例2] (1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD＋EF＝( )A ．0B ．BEC ．ADD ．CF(2)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD＝13CA ＋λCB ，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23[自主解答] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF ，BF＝CE ，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE ＋EF＝CF ―→.(2)∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD ＝2DB ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.[答案] (1)D (2)A若(2)中的条件作如下改变：若点D 是AB 边延长线上一点且|BD |＝|BA|，若CD ＝λCB ＋μCA，则λ－μ的值为________．解析：∵CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋2AB ＝CA＋2(CB －CA )＝2CB －CA ＝λCB ＋μCA .∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3. 答案：3由题悟法在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．以题试法2．(2012·汉阳调研)若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD； ③AC －BD ＝DC ＋AB.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD成立．典题导入[例3] 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[自主解答] (1)证明：∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ， CD＝3(a －b )，∴BD ＝BC＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB ，BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，BC∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，即k 2－1＝0. ∴k ＝±1.由题悟法1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．以题试法3．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OB＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )．正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C a ＋(－a )＝0，故③错．2．(2012·福州模拟)若a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c ( ) A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B ．一定不可能构成三角形 C ．都是非零向量时能构成三角形 D ．一定可构成三角形解析：选A 当a ，b ，c 为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a ，b ，c 为非零向量共线时不能构成三角形．3．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC||AB |的值为( )A.12B.13C.14D.16解析：选A 由OA ＋2OC ＝3OB ，得OA －OB ＝2OB －2 OC ，即BA＝2CB ，所以|BC ||AB |＝12. 4．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F是BC 的一个三等分点(靠近B )，那么EF＝( )A.12 AB －13ADB.14 AB ＋12ADC.13 AB＋12DAD.12 AB－23AD 解析：选D 在△CEF 中，有EF ＝EC＋CF ，因为点E 为DC 的中点，所以EC ＝12DC.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF ＝23CB .所以EF ＝12DC ＋23CB ＝12AB ＋23DA＝12AB －23AD . 5．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选A 由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.6．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB －PA ，∴PC ＝－2PA ＝2AP，∴P 是AC 边的一个三等分点．7．(2012·郑州五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB＋AC |＝|AB －AC |，则|AM|＝________.解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC，则AM 为Rt △ABC 斜边BC上的中线，因此，|AM |＝12|BC|＝2.答案：28．(2013·大庆模拟)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD ，∴OA －OB ＝OD －OC，∴BA ＝CD.∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形9．设向量e 1，e 2不共线，AB＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD ＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．解析：由AC ＝AB －CB ＝4e 1＋2e 2＝2CD ，且AB 与CB不共线，可得A ，C ，D共线，且B 不在此直线上．答案：④10．设i ，j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA＝－2i ＋m j ，OB ＝n i ＋j ，OC＝5i －j ，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m ，n 的值．解：AB ＝OB－OA ＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ， BC ＝OC －OB＝(5－n )i －2j .∵点A ，B ，C 在同一条直线上，∴AB ∥BC ，即AB＝λBC .∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i －2j ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2＝λ(5－n )，1－m ＝－2λ，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32.11.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE＝23AD，AB ＝a ，AC ＝b . (1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF；(2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )，AF ＝12AC＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF，又因为BE ，BF有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．12．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB＝2e 1－8e 2， CB ＝e 1＋3e 2，CD＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ＝CD－CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2 ∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD ，又∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，且BF＝3e 1－k e 2，∵B ，D ，F 三点共线，得BF ＝λBD，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12， ∴k ＝12.1.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则x ·y x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13.2．(2012·吉林四平质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB＋3AC，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD ，如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为35，则△ABM 与△ABC 的面积比为35. 3．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP ＝m OA ＋n OB ，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)∵m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，∴OP ＝m OA ＋n OB ＝m OA ＋(1－m ) OB ，∴OP －OB ＝m (OA －OB )．∴BP ＝m BA ，而BA ≠0，且m ∈R .∴BP 与BA 共线，又BP ，BA 有公共点B .∴A ，P ，B 三点共线．(2)∵A ，P ，B 三点共线，∴BP 与BA 共线，∴存在实数λ，使BP ＝λBA ，∴OP －OB ＝λ(OA －OB )．∴OP ＝λOA ＋(1－λ) OB .又∵OP ＝m OA ＋n OB ，∴m OA ＋n OB ＝λOA ＋(1－λ) OB .又∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线．由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，n ＝1－λ. ∴m ＋n ＝1.1．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0解析：选D 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1.因此a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b .若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，因此λ＝0,1－2μ＝0.2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD 等于( )A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b 解析：选B AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋34BC ＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .。