排列数公式

（1）计算：A52 = 20 ，A83 = 336
（2）若 Anm =17×16×‥‥×5×4，
则 m= 17 , n= 14
计算：①A163；②A66；③A63
解：由排列数公式得： A163 =1615 14=3360 A66 =654321=720 A63 =654=120
证明：Anm+m·Anm-1=An+1m
①什么叫一个排列？
②什么叫排列数？
③如何计算一个排列问题的所 有排列数？
①求An2
第一位 第二位
n
n-1
分步：第一步，先填第一个位置，可从n个元素 中任取一个填空，有n种方法；
第二步，填第二个位置，可从余下的（n-1）个 元素中任取一个填空，有（n-1）种方法；
∴An2=n（n-1）
②求Anm 第一位 第二位
……
第m位
nБайду номын сангаасn-1
…
n-m+1
分m步，第一步：从n个元素中任选一个元素填 第一位，有n种填法；
第二步：从余下的（n-1）个元素中任选一个 元素填第二位，有（n-1）种填法；
……
第m步：从余下的（n-m+1）个元素中任选一 个元素填第m位，有（n-m+1）种填法；
Anm=n（n-1）…（n-m+1）
求得 n=13或n=6(舍去)
Anm=n（n-1）…（n-m+1）
n!= n（n-1）‥‥3·2·1
n!
Anm= (n m)!
Ann = n（n-1）‥‥3·2·1
制作 冯健璇
故原式成立．
求下列各式中n值：
①A2n+14=140An3；②3A8n=4A9n-1
解：①原式变形为
(2n+1)2n(2n-1)(2n-2)=140n(n-1)(n-2)
化简得 (2n+1)(2n-1)=35(n-2)
求得 n=3
②原式变形为 3 =4 8! (8 n)!
9! (10 n)!
化简得 (10-n)(9-n)=12
证明：由排列数公式得：
Anm = n! Anm-1= n! An+1m= (n 1)!
(n m)!
(n m 1)!
(n m 1)!
则
Anm
+mAnm-1=
(n
n! m)!
+m
(n
n! m 1)!
=
(n-m+1)
n! (n m 1)!
+m
n! (n m 1)!
n!
(n 1)!
=(n+1) (n m 1)! = (n m 1)! =An+1m