排列数公式
组合数公式排列数公式
组合数公式排列数公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习数学的这趟奇妙之旅中，组合数公式和排列数公式就像是两把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多复杂问题的大门。
先来说说排列数公式吧。
打个比方，咱们班要选 5 个同学去参加学校的演讲比赛，那从咱们班 30 个同学里选，这选人的顺序不一样，结果就不一样，这就是排列问题。
排列数公式 A(n,m) = n! / (n - m)! 就派上用场啦。
这里的“!”是阶乘的意思，比如说 5! = 5×4×3×2×1 。
我记得有一次学校组织运动会，每个班要选出一个跑步接力队，接力队由 4 个人组成。
那咱们班选人的方式可就多了去了。
按照排列数公式来算，从咱们班 20 个跑步不错的同学里选 4 个，那就是 A(20, 4) = 20! / (20 - 4)! 。
算出来那数字可不小，这就说明选择的可能性多得让人眼花缭乱。
再讲讲组合数公式。
还是拿咱们班选人的事儿说，这次不是去参加比赛，而是选 5 个同学去打扫卫生，不管谁先谁后，只要这 5 个人定下来就行，这就是组合问题。
组合数公式 C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。
就像上次学校组织义卖活动，每个班要出 3 个同学负责摊位布置。
这时候用组合数公式来算从 15 个报名的同学里选 3 个，就是 C(15, 3) = 15! / [3!(15 - 3)!] 。
其实组合数公式和排列数公式在生活里到处都能用上。
比如说你去商场买衣服，有 8 件不同款式的 T 恤，你只想挑 3 件，这就是组合问题；要是你不仅要挑 3 件，还得决定先穿哪件后穿哪件，这就是排列问题啦。
这两个公式虽然看起来有点复杂，但是只要咱们多琢磨琢磨，多做做练习题，就能把它们玩转得溜溜的。
就像咱们学会骑自行车一样，一开始可能摇摇晃晃的，但练得多了，就能自由自在地骑啦。
总之，组合数公式和排列数公式是数学世界里非常重要的工具，掌握了它们，咱们就能更轻松地解决各种有趣的问题，探索数学的奥秘。
排列组合的公式总结
排列组合的公式总结排列组合是数学中一个有趣但有时也让人头疼的部分。
在咱们从小学到高中的数学学习旅程中，它可是个重要的角色。
先来说说排列的公式。
排列呢，就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n,m) 。
它的公式是 A(n,m) = n! / (n - m)! 。
这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
给大家举个例子吧，咱们学校组织演讲比赛，从 10 个同学中选 3个同学先后上台演讲，那一共有多少种不同的安排顺序呢？这就是一个排列问题。
按照公式，A(10,3) = 10! / (10 - 3)! = 10 × 9 × 8 = 720 种。
也就是说，有 720 种不同的上台顺序。
再说说组合的公式。
组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 C(n,m) ，公式是 C(n,m) = n! / [m! × (n - m)!] 。
比如说，咱们班要选5 个人参加数学竞赛，不考虑他们的参赛顺序，那一共有多少种选法？这就是组合问题。
C(20,5) = 20! / [5! × (20 - 5)!] ，算出来就是 15504 种选法。
排列和组合的区别，简单来说，排列讲究顺序，组合不讲究顺序。
就像分糖果，给小明、小红、小刚分 3 颗不同的糖果，如果考虑谁先拿谁后拿，那就是排列；要是不考虑谁先谁后，只看最后谁拿到了哪颗糖，那就是组合。
在实际做题的时候，大家可得擦亮眼睛，分清楚到底是排列还是组合。
我记得有一次考试，有一道题是从 8 个不同的水果里选 3 个装在一个果篮里，很多同学没搞清楚这是组合问题，用了排列的公式，结果就做错啦。
还有啊，做排列组合的题，有时候要分类讨论，有时候要用间接法。
比如说，计算从 1 到 20 这 20 个自然数中，能被 2 或 3 整除的数的个数。
排列总数的计算公式
排列总数的计算公式排列总数的计算公式，这可是个有趣又实用的数学知识呢！咱先来说说啥是排列。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，有几种排法？这就是排列问题。
排列总数的计算公式是：A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，啥是阶乘呢？比如 5 的阶乘，就是 5×4×3×2×1。
那这个公式到底咋用呢？我给您举个例子。
比如说，从 10 个同学里选 3 个参加比赛，有多少种选法？这时候 n = 10，m = 3，那排列总数就是 A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10×9×8 = 720 种。
我记得有一次，学校组织知识竞赛，每个班要选出 3 名同学组成小队参赛。
我们班可有 15 个同学都积极报名啦。
这时候就得用排列总数的公式来算算有多少种组队的可能。
当时我和几个同学一起在教室里讨论，大家都拿出纸和笔，算得那叫一个认真。
有的同学一开始还不太明白，算错了好几次，急得抓耳挠腮的。
最后，我们终于算出了一共有2730 种可能的组合。
大家都惊叹不已，原来一个小小的排列问题，能有这么多种可能性。
再比如，从 7 个不同颜色的球里选 4 个排成一排，展示在橱窗里，那排列总数就是 A(7, 4) = 7! / (7 - 4)! = 7×6×5×4 = 840 种。
您想想，只是 7 个球选 4 个排列，就有这么多种排法，是不是很神奇？在实际生活中，排列总数的计算公式用处可大了。
比如安排座位，从一堆物品里选几个进行排列展示，或者安排活动的出场顺序等等。
还有啊，我之前去商场逛街的时候，看到一家饰品店在展示新款的手链。
手链上的珠子有 8 种不同的样式，要选 5 个串成一条手链，这其实也是个排列问题。
如果不考虑珠子的顺序，那就是组合问题；但如果考虑珠子串起来的顺序，那就是排列问题啦。
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识排列组合是高中数学教学内容中的重要组成部分，在高考试卷中排列组合的占分比越来越高，且出现的形式多种多样。
下面店铺给你分享高中数学排列组合公式大全，欢迎阅读。
高中数学排列组合公式大全1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m高中数学排列组合公式记忆口诀加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
排列数公式的应用
3）插空法:
若干个元素不相邻的排列问题，一般用插空法，即先将“普 通元素”全排列，然后再在排就的每两个元素之间及两端插入 特殊元素。
4）排除法:（一般用在间接法中）
2
例2、 有一辆客车和四辆货车同时去某地，客车不走在最前 面，问这个车队有多少种不同的排法？
解法1：先把受限元素---客车排在后面的四个位置上，有A41
有附加条件的排列应用题的基本解法：
1）优限法:
有关特殊元素“在不在”特殊位置的排列问题，要先找出 “受限位置”与“受限元素”，然后以“受限位置”为主，用 直接法逐位排列之，有时用间接法解之。
2）捆绑法:
若干个元素相邻排列问题，一般用“捆绑法”。先把相邻的 若干元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再 “松绑”，将这若干个元素内部全排列。
解2：考虑体育不排在第1、4节。所以第1，4节可从6门课中选 2门有A62种，则第2，3节从余下的5门中选2门有A52种，由乘法 原理共有A62.A52=600（种).(特殊位置优先考虑） 解3：考虑体育不排在第1、4节。可分两类：（1）体育课不排， 有A64种；（2）体育课排进有P21种，余从6门选3门有A63种，所以 有A21.A63种。
[例4]由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且数字4与5不 相邻的五位数，这种五位数的个数是 72 [分析]本题属于带有附加条件的排列问题，既考查排列概 念，又考查分析问题的能பைடு நூலகம்，由于考虑问题的切入点不同， 因而可以有不同的解法 [方法一]分类计算：（插空加捆绑）符合条件的五位数 可分为下面三类： 1 3 1)4与5之间恰有1个数字，共有 2A3 .A3 =36 个 2)4与5之间恰有2个数字，共有 2A32.A22=24 个 3)4与5之间恰有3个数字，共有 2A33=12 个 其中“2”是4与 5的全排列数
排列数公式
练习：P94 4. 5.
6。
小结：排列数公式：
Amn
Байду номын сангаас
= n(n-1)(n-2)… (n-m+1)
这里 n , m∈N*，并且m≤n ．
A nn
m n
= n!
n! A (n m)!
0！=1
谢谢！
A53 =5 × 4×3=60.
答：共有60种不同的送法.
(2) 由于有5种不同的书，送给每个同学的1 本书都 有5 种不同的选购方法，因此送给3 名同学每人各l 本 书的不同方法种数是
5×5×5=125. 答：共有125 种不同的送法.
例4 某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖 直 的旗杆上表示信号，每次可以任挂1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示 多少种不同的信号?
排列数公式
复习旧课 定义：—般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列. 例如：在问题2中，abc 与 acb 是不同的排列.
定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数， 记为：
第一位
一个排列
第二位
n
n-1
根据分步计数原理，两个空位的填法种数为：
A2n
=n(n-1), 同理： A3n =n(n-1)(n-2)
求排列数
A mn .
第3位 第m位
从 n 个不同元素 a1，a2，…，an 中任意取 m 个去填空.
第1位 第2位
……
n n-1 n-2 n-m+1
所以得到公式:
数的排列组合计算公式
数的排列组合计算公式数的排列组合计算，可以让我们更加深入探索宇宙的秘密。
数据排列组合计算是一种解决组合问题的技术方法，它是以计算机科学为基础的，利用数学知识和规则进行计算，求出所有可能的结果，它的计算公式具有很强的科学性和可靠性。
本文涉及到的数据排列组合计算公式：一、排列组合计算的基本公式：A(n,m)=n!/(n-m)!该公式表示从n个不同元素中选取m个元素，排列组合的个数为A(n,m)，n!表示n的阶乘，大致意思是n个不同元素之间有多少种排列顺序来表示。
二、组合计算的基本公式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]这个公式表示从n个不同元素中选取m个元素，组合的个数为C(n,m)，其中m!表示m的阶乘，大致意思是m个不同元素之间有多少种排列顺序来表示。
三、环形排列组合计算公式：C(n,m)=(n-1)! /[(n-m)!(m-1)!]该公式表示圆环中从n个不同元素中选取m个元素，排列组合的个数为C(n,m)，其中(n-1)!表示n-1的阶乘，(m-1)!则表示m-1的阶乘，能够得出从n个不同元素中选取m个元素，组合出多少种情况。
四、几何排列组合计算公式：P(n,m)=n! /(n-m)!该公式表示有n个不同元素，从中选取m角(点)，组成多边形，计算几何排列组合的种类数P(n,m)，其中n!为n的阶乘，(n-m)!为(n-m)的阶乘，表示有n个不同元素，组合出多少种情况。
五、排列组合计算的中间量公式：T(n,m)=m!/((m-n+1)*(m-n+2)*…*)该公式能够计算出从m个不同元素中选取n个元素，排列出多少种情况，其中m!表示m的阶乘，(m-n+1)*(m-n+2)* …* 为乘积，表示每次减去一个，例如从5个元素中选取2个元素排列的数目为T(2,5) = 5!/（(5-2+1) * (5-2+2)= 5!/(3*4)=20。
六、排列组合计算例外情况公式：F(n,m)=m!/n! m-n该公式表示从m个元素中选取m个元素的排列组合的种数F(n,m)，其中m!表示m的阶乘，n!表示n的阶乘，m-n表示每次减去一个，例如从5个元素中选取4个元素，排列组合的数目为F(4,5)=5!/(4! *(5 - 4))=5!/(4 * 1)=120。
排列及计算公式
1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同[例题分析]排列组合思维方法选讲1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
排列与顺序有关公式
排列与顺序有关公式
排列是指由一组元素中取出一部分元素按照一定顺序排列的方式。
在理解排列的公式之前，需要先了解以下概念：
1. 阶乘：n的阶乘表示为n!，定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... *
2 * 1。
例如，5的阶乘为5! = 5 * 4 *
3 * 2 * 1 = 120。
2. 排列数：从n个元素中选取r个元素按照一定顺序排列的方式数，表示为P(n, r)。
其中，n为总元素个数，r为选取的元
素个数。
排列数的计算公式为P(n, r) = n! / (n-r)!。
例如，从5个元素中选取3个元素排列的方式数为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 60。
需要注意的是，排列数与组合数的计算公式不同，排列数考虑了元素的顺序，而组合数不考虑元素的顺序。
高考数学公式：排列组合公式
高考数学公式：排列组合公式1．排列及运算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及运算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
排列数、组合数公式常见题型例析
排列数、组合数公式常见题型例析广东省佛山市顺德区沙滘中学 528315 何健文纵观近10年高考，有关排列数、组合数公式的运用一直都是出题的冷点，试题偶有所见，大都是以选择题或填空题形式出现，属容易题，但2001年全国高考题的第一大题的出现，令众多考生束手无策，也引起了师生们的极大关注。
本文拟从以下两方面介绍有关排列数、组合数公式常见题型和解题分析，供广大读者参考。
一、 排列数、组合数公式及变形公式1、排列数公式mn A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=)!(!m n n -，特别地nn A =n(n-1)(n-2)…3•2•1，规定0！=1；2、组合数公式=mn C 123)1()1()2)(1(⋅⋅⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅--m m m n n n n =m m mn A A =)!(!!m n m n -.注意：m n ≥且m n ,都是正整数，m 可以为0，即0n C =1.3、两个重要性质(1) =m n C mn n C -，为了简化计算，当m 2n >时，通常将m n C 转化为mn n C -； (2) m n C +1-m n C =m n C 1+.由这些性质可以得到几个常用变形公式（组合恒等式）：(ⅰ) =m n C 11--m n C m n =1111++++m n C n m (ⅱ) 0n C +1n C +2n C +…+nn C =n 2.(ⅲ) (n+1)!=(n+1)﹒n!=n ﹒n!+n!. ⇒ n ﹒n!= (n+1)﹒n!－n!.(ⅳ) n n C +n n C 1++n n C 2++…+n m n C +=11+++n m n C 等等. 二、排列数、组合数公式常见题型例析 1、 求值例1 求n n C -7+nn C -+91的值.解：由题意可知, 原式中的正整数n 必须满足下列条件： 0≤7―n ≤n,0≤9-n ≤n+1, 解得4≤n ≤9. (n ∈N *) n ∈N *. ∴n=4, 5, 6, 7.将n=4, 5, 6, 7.代入n n C -7+nn C -+91可得到分别为5，25，41，29.评析 本题从组合数成立的条件（0≤m ≤n 且m n ,都是自然数）入手，既找到了解题路，又使问题 完满地得到了解决，可谓一举两得. 另一方面，我们从中又得到一个启发：利用组合数的性质解决某些问题，要比纯用组合数公式解决问题方便的多.例2 计算34C +35C +36C +…+310C . 解：利用组合数性质：m n C 1+=mn C +1-m n C . 原式=44C +34C +35C +36C +…+310C ―44C=45C +35C +36C +…+310C ―44C=…=411C ―1 =329.评析 正确使用组合数的性质及组合数的计算公式是解本题的关键。
排列组合的计算公式
排列组合的计算公式排列组合是高中数学中的一个重要概念，它涉及到许多实际问题的计算。
排列和组合的计算公式是学习排列组合的基础，下面详细介绍排列组合的计算公式及其应用。
一、排列的计算公式排列是一种从n个不同的元素中选出r个进行排成一个有序的序列的方法，用符号A(n,r)表示。
计算公式为：$A(n,r) = n(n-1)(n-2)\\cdots(n-r+1) = \\dfrac{n!}{(n-r)!}$其中n表示元素个数，r表示选取元素个数，n>r。
例如，从1, 2, 3, 4, 5中选取3个元素进行排列，可以有5×4×3种不同的排列方式，即A(5,3)=5×4×3=60种。
二、组合的计算公式组合是一种从n个不同的元素中选取r个元素的方式，不考虑元素的顺序，用符号C(n,r)表示。
计算公式为：$C(n,r) = \\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$其中n表示元素个数，r表示选取元素个数，n≥r。
例如，从1, 2, 3, 4, 5中选取3个元素进行组合，不考虑元素的顺序，可以有C(5,3) = 5×4×3/(3×2×1) = 10种不同的组合方式。
三、排列与组合的关系排列和组合是有很大关系的。
排列中考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
由于元素的顺序的变化会导致不同的排列方式，因此排列的计算公式中是用乘法原理计算的。
而组合只考虑元素的选取，不考虑元素的顺序，因此组合的计算公式中需要用到除法原理。
如果要从n个不同的元素中选取r个元素进行排列，不考虑元素的顺序，就是从n个不同的元素中选取r个元素进行组合，注意这样排列的个数一共有C(n,r)种不同的组合方式。
如果再考虑元素的顺序，则排列的个数是A(n,r)=n×(n-1)×(n-2)×⋯×(n-r+1)=n!/(n-r)! 。
排列与排列数公式
排列与排列数公式1．排列(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”，“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列．2．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数表示法A m n全排列n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m＝n，即有A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1阶乘正整数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n！表示排列数公式乘积式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式A m n＝n！（n－m）！性质A n n＝n！，0！＝1备注n，m∈N*，m≤n排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数”，即排列共有多少种形式，它是一个数．因此，A m n只代表排列数，而不表示具体的排列．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B．从60人中选11人组成足球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：AA24＝________，A33＝________．答案：12 6若A m10＝10×9×…×5，则m＝________．答案：6探究点1 排列的概念判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上．【解】 (1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中．(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分．(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列．(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生．判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．2．判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．探究点2 排列的列举问题四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24种．画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1．[变条件]若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．2．[变条件]若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．解：如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a 1a 2b 1，a 1a 2b 2，a 1a 2b 3，a 1a 2b 4，a 3a 4b 1，a 3a 4b 2，a 3a 4b 3，a 3a 5b 1，a 3a 5b 2，a 3a 5b 3，a 4a 5b 1，a 4a 5b 2，a 4a 5b 3，a 4a 5b 4，共14种．探究点3 排列数的计算或证明(1)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 【解】 (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1. (2)法一：因为A mn ＋1－A mn ＝（n ＋1）！（n ＋1－m ）！－n ！（n －m ）！＝n ！（n －m ）！·(n ＋1n ＋1－m －1) ＝n ！（n －m ）！·m n ＋1－m ＝m ·n ！（n ＋1－m ）！＝m A m －1n ，所以A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .法二：A mn ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A mn 个． 含有a 1的可这样进行排列：先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1n 种排法． 故A mn ＋1＝m A m －1n ＋A mn ， 所以m A m －1n ＝A mn ＋1－A mn .排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．1.A m12＝9×10×11×12，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B.等式A m 12＝9×10×11×12的右边是4个连续自然数的乘积，且最大数为12，故m ＝4.2．下列各式中与排列数A mn 相等的是( )A.n ！（m －n ）！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.n n －m ＋1A n －1nD ．A 1n ·A m －1n －1解析：选D.因为A mn ＝n ！（n －m ）！，A 1n ·A m －1n －1＝n ·（n －1）！[n －1－（m －1）]！＝n ·（n －1）！（n －m ）！＝n ！（n －m ）！，所以A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：选D.4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n .2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( ) A ．9个 B ．12个 C ．15个D ．18个解析：选B.用树形图表示为：由此可知共有12个． 3.A 345！＝________．解析：A 345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.答案：154．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解：大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.知识结构深化拓展1.判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题． 2．排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)适用m 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n 起连续写出m 个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A mn ＝n ！（n －m ）！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n 、m ∈N *，m ≤n ”的运用．[易错提醒] 公式中的n ，m 应该满足n ，m ∈N *，m ≤n ，当m >n 时不成立.1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题． 2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选D.A 67－A 56A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×25×4×3×2＝7×6－6＝36.3．若α∈N *，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( ) A ．A 827－α B ．A 27－α34－α C ．A 734－αD ．A 834－α解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A 834－α.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8D ．10解析：选B.列树形图如下：丙甲—乙乙—甲乙甲—丙丙—甲，共4种． 5．不等式A 2n －1－n ＜7的解集为( ) A ．{n |－1＜n ＜5} B ．{1，2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}解析：选C.由不等式A 2n －1－n ＜7， 得(n －1)(n －2)－n ＜7， 整理得n 2－4n －5＜0， 解得－1＜n ＜5.又因为n －1≥2且n ∈N *， 即n ≥3且n ∈N *， 所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n ＜7的解集为{3，4}． 6.2A 412＋A 512A 513－A 512＝________． 解析：原式＝2×12×11×10×9＋12×11×10×9×813×12×11×10×9－12×11×10×9×8＝2＋813－8＝2. 答案：27．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 8．若集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有________个元素． 解析：因为x ＝A m4， 所以有m ∈N *且m ≤4，所以P 中的元素为A 14＝4，A 24＝12，A 34＝A 44＝24， 即集合P 中有3个元素． 答案：39．判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2，3，5，7，9中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同对数值？ (3)从集合M ＝{1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1?解：(1)是．选出的2人担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题． (2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．(3)不是．焦点在x 轴上的椭圆，方程中的a 、b 必有a ＞b ，即取出的两个数谁是a ，谁是b 是确定的．10．甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙．若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，共5种．同样甲第一次发球给丙，也有5种情况．由分类加法计数原理，共有5＋5＝10种不同传球方法．[B 能力提升]11．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0解析：选C.因为当n ≥5时，A nn 的个位数字是0，故S 的个位数取决于前四个排列数．又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33，故选C. 12．A 2n ＋1与A 3n 的大小关系是( ) A ．A 2n ＋1＞A 3n B ．A 2n ＋1＜A 3n C ．A 2n ＋1＝A 3nD ．大小关系不定解析：选D.由题意知n ≥3，A 2n ＋1－A 3n ＝(n ＋1)n －n (n －1)(n －2)＝－n (n 2－4n ＋1)，当n ＝3时，A 2n ＋1－A 3n ＝6＞0，得A 2n ＋1＞A 3n ，当n ≥4时，A 2n ＋1－A 3n ＜0，得A 2n ＋1＜A 3n ，即A 2n ＋1与A 3n 的大小关系不定．故选D. 13．解下列方程或不等式． (1)3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ； (2)A x9＞6A x －29.解：(1)由排列数公式，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x （x －1）（x －2）＝2（x ＋1）x ＋6x （x －1），①x ≥3，x ∈N *.② 由①，得3x 2－17x ＋10＝0， 解得x ＝5或x ＝23，结合②可知x ＝5是所求方程的根． (2)原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧9！（9－x ）！＞6×9！（9－x ＋2）！，①2＜x ≤9，x ∈N *.②①式等价于(11－x )(10－x )＞6，即x 2－21x ＋104＞0，即(x －8)(x －13)＞0，11 所以x ＜8或x ＞13.结合②得2＜x ＜8，x ∈N *，所以所求不等式的解集为{3，4，5，6，7}．14．(选做题)一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，所以A 2n ＋m －A 2n ＝62， 即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62，所以m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，因为m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．。
组合数公式大全
组合数公式大全组合数公式是组合数学中重要的一部分，包括排列数、组合数、二项式定理等内容。
下面将详细介绍组合数公式的相关知识，包括概念、性质和常用公式等。
一、排列数的概念和性质排列数是组合数学中的一个重要概念，它指的是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定顺序排成一列的方法数。
排列数通常用P(n,m)表示，计算公式如下：P(n,m) = n! / (n-m)!n!表示n的阶乘，即n! = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
排列数的性质包括以下几个方面：1. P(n,1) = n，即从n个元素中取出1个元素的排列数为n。
2. P(n,n) = n!，即从n个元素中取出n个元素的排列数为n的阶乘。
3. P(n,m) = n×P(n-1,m-1)，即从n个元素中取出m个元素的排列数等于n乘以从n-1个元素中取出m-1个元素的排列数。
二、组合数的概念和性质组合数是组合数学中的另一个重要概念，它指的是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑元素的排列顺序，共有多少种取法。
组合数通常用C(n,m)表示，计算公式如下：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]组合数的性质包括以下几个方面：1. C(n,0) = 1，即从n个元素中取出0个元素的组合数为1。
2. C(n,n) = 1，即从n个元素中取出n个元素的组合数为1。
3. C(n,1) = n，即从n个元素中取出1个元素的组合数为n。
4. C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元素的组合数等于从n个元素中取出n-m个元素的组合数。
三、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，它给出了一个任意实数指数的二项式的展开式。
二项式定理表达式如下：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n在二项式定理中，C(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的组合数，a和b是任意实数，n是任意非负整数。
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
那么排列组合有哪些数学公式呢?接下来店铺为你整理了排列组合的数学公式，一起来看看吧。
排列组合的数学公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m排列组合的数学解题技巧1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
排列数公式
(2 )A25364;
(
3
)
A11 46
r
;
(4 )A1X210
解
A4 4! 24 4
A56 234
234! 178!
A11 r 46
(35 r)! 46!
A12 x 10
( x 2)! ( x 10)!
练习
1. Anm 17 16 5 4, 则n _17__, m 1_4__
第1位 第2位 第3位 …… 第m位
n n-1 n-2
n-m+1
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
排列数公式
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
结 构 特 点: (1) m个连续正整数的积 (2) 第一个因数最大,它是A的下标n (3) 第m个因数(即最后一个因数)最小,
盐城中学高二数学 组：沈晓敏
排列数：
从n个不同元素中取出 m（m n）个元 素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素 中取出m个元素的排列数。
1、表示方法： Anm
2、m，n均为正整数，且m n
第1位
第2位
n
n-1
An2 n(n 1)
第1位 第2位 第3位
n n-1 n-2
An3 n(n 1)(n 2)
它 是A的 下 标n减 去 上 标m再 加 上1
例1 计 算:
( 1 )A44 ;
(2 )A25364;
(
3
)
A11 46
r
;
(4 )A1X210
解
A4 4 3 2 1 4
A56 234
234
46 45 44 43
(r+36)
A12 x 10
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（1）计算：A52 = 20 ，A83 = 336
（2）若 Anm =17×16×‥‥×5×4，
则 m= 17 , n= 14
计算：①A163；②A66；③A63
解：由排列数公式得： A163 =1615 14=3360 A66 =654321=720 A63 =654=120
证明：Anm+m·Anm-1=An+1m
故原式成立．
求下列各式中n值：
①A2n+14=140An3；②3A8n=4A9n-1
解：①原式变形为
(2n+1)2n(2n-1)(2n-2)=140n(n-1)(n-2)
化简得 (2n+1)(2n-1)=35(n-2)
求得 n=3
②原式变形为 3 =4 8! (8 n)!
9! (10 n)!
化简得 (10-n)(9-n)=12
证明：由排列数公式得：
Anm = n! Anm-1= n! An+1m= (n 1)!
(n m)!
(n m 1)!
(n m 1)!
则
Anm
+mAnm-1=
(n
n! m)!
+m
(n
n! m 1)!
=
(n-m+1)
n! (n m 1)!
+m
n! (n m 1)!
n!
(n 1)!
=(n+1) (n m 1)! = (n m 1)! =An+1m
①什么叫一个排列？
②什么叫排列数？
③如何计算一个排列问题的所 有排列数？
①求An2
第一位 第二位
n
n-1
分步：第一步，先填第一个位置，可从n个元素 中任取一个填空，有n种方法；
第二步，填第二个位置，可从余下的（n-1）个 元素中任取一个填空，有（n-1）种方法；
∴An2=n（n-1）
②求Anm 第一位 第二位
……
第m位
n n-1
Байду номын сангаас
…
n-m+1
分m步，第一步：从n个元素中任选一个元素填 第一位，有n种填法；
第二步：从余下的（n-1）个元素中任选一个 元素填第二位，有（n-1）种填法；
……
第m步：从余下的（n-m+1）个元素中任选一 个元素填第m位，有（n-m+1）种填法；
Anm=n（n-1）…（n-m+1）
求得 n=13或n=6(舍去)
Anm=n（n-1）…（n-m+1）
n!= n（n-1）‥‥3·2·1
n!
Anm= (n m)!
Ann = n（n-1）‥‥3·2·1
制作 冯健璇