自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨.详解

图5-40 映射关系
式中，P和Z分别是被闭合曲线Γ 包围的特征方程函数F (s) 的极点数和零点数。它表明，当 s 平面上的试验点 s1 沿 闭合曲线Γ 顺时针方向绕行一圈时，F(s)平面上对应的闭 合曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。
幅角原理：设S平面上不通过F(S)任何零极点的某条封 闭曲线Γ ，它包围了F(S)在S平面的Z个零点和P个极点。 当S以顺时针方向沿封闭曲线Γ 移动一周时，则在F平面 上对应于封闭曲线Γ 的像Γ F 将以顺时针的方向围绕原点 旋转R圈。R与Z、P的关系为：
Z P R P 2N
例5-7 系统开环传递函数为
K G( s) H ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
其幅频特性图如图5-44左所示。试利用Nyquist判据判断闭 环系统的稳定性。
解 当三个参数取任何正值时，系统的两个开环极点都是 负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及 其镜像组成的封闭曲线如图5－44右所示。可见，当ω 从 －∞→＋∞ 时，闭合曲线并未包围（－1，j0）点，故N＝ 0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据 进行判定。
图5-44 开环频率特性曲线与它在F平面上的对应曲线
对于包含了整个右半s平面的Nyquist路径来说，Z和P 分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半s平面上的极 点数，而R则存在两种提法：（1）F平面上Γ F曲线围绕原 点的圈数；（2）GH平面上极坐标频率特性曲线及其镜像 围绕（－1，j0）点的圈数。 利用幅角定理判断闭环系统的稳定性，则闭环系统稳 定的充要条件为F(S)函数在s平面右半部的零点数Z=0即
R 2N 2( N N )
见书P－196
2、Nyquist稳定判据
为了确定辅助函数F(S)位于右半s平面内的所有零点、极 点数，现将封闭曲线Γ 扩展为整个右平面。曲线Γ 由三段 所组成： （1）正虚轴s=jω ：频率ω由0变到＋∞； （2）半径为无限大的右半圆 S=Rejθ:R→∞，θ ： （3）负虚轴s=jω ：频率ω由－∞变到0。 这种包含了整个右半s平面的闭合曲线Γ 称为Nyquist轨 迹，如图5-43所示。
图5-42 F平面与GH平面的关系图
Nyquist轨迹及其映射
为将映射定理与控制系 统稳定性的分析联系起来， 适当选择s平面的封闭曲线Γ。 如图5-43所示，它是由整个 虚轴和半径为∞的右半圆组 成，试验点按顺时针方向移 动一圈，该闭合曲线称为 Nyquist轨迹。 Nyquist轨迹在F(s)平面上 的映射也是一条封闭曲线， 称为Nyquist曲线。
图5－47绘出了K>1 和 K<1的两条闭合曲线，可见：
当K>1 时，曲线逆时针包围了（－1，j0）点1圈即R=1 闭环系统稳定；当K<1时，曲线未包围（－1，j0）点，即 R=0，闭环系统不稳定。
在本例中，K值大才能使系统稳定，K值小反而使闭环系 统不稳定，这是与常见的最小相位系统截然不同之处。
5-4 频率域稳定判据
控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解 决的首要问题，奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定 判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的 特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的 稳定性，使用方便，易于推广。 Nyquist稳定判据既可以判断系统是否稳定（绝 对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳 定性），还可以用于分析系统的瞬态性能以及指出 改善系统性能指标的途径。
例5-8 设系统开环传递函数为
5.2 G( s) H ( s) ( s 2)(s 2 2s 5)
试利用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。 解 绘出该系统的极坐标频率特性曲线如图5-45所示。 已知 P 0 由图知 R 2 ，则
Z P R 0 (2) 2
图5-45 例5-8系统的极坐标图及其镜像
例5-9 系统结构图如图5-46所示，试判断系统的稳定性并 讨论K值对闭环系统稳定性的影响。
图5-46
解：图示系统是一个开环不稳定系统，其开环传递函数在 S平面右半部分有一个极点P＝1，频率特性曲线如图5－ 47所示。当ω ＝0时，曲线从负实轴（－K，j0）出发；当 ω→∞时，曲线以－90°渐近角趋于坐标原点；当ω从－∞ 变化到＋∞，频率特性（图中实线部分）及其镜像（虚线 部分）包围（－1，j0）点的圈数R与K值有关。
则
B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入 辅助函数
B( s) A( s) B( s) F ( s) 1 G( s) H ( s) 1 A( s) A( s)
( s z1 )(s z2 ) ( s zn ) F ( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
R PZ
R＜0和R＞0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面 的原点，R＝0表示不包围F(S)平面的原点。
（2）、复变函数F(S)的选择
图5-41 控制系统结构图 如图5-41所示结构图，其开环传递函数为
B( s) G( s) H ( s) A( s) G( s) G( s) B( s) ( s) 1 G ( s) H ( s ) 1 B( s) A( s) B( s)H ( s) A( s)
图5-43 s平面上的 Nyquist轨迹
Nyquist轨迹Γ由两部分组 成，一部分沿虚轴由下而上 移动，试验点s=jω在整个虚 轴上的移动，在F 平面上的 映射就是曲线F(jω) (ω由－ ∞→+∞)，如图5-44所示。 F(jω)=1+G(jω)H(jω)
Nyquist轨迹Γ的另一部分 为s平面上半径为∞的右半圆， 映射到F 平面上为 图5-44 F 平面上的 F (∞)=1+G (∞)H (∞) Nyquist曲线
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零 点的位置，因此当选择S平面闭合曲线Γ 包围S平面的右半 部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194 （4）、G(S)H(S)曲线的绘制 已知S平面闭合曲线Γ关于实轴对称，故闭合曲线ΓGH也 关于实轴对称，因此只需画出正虚轴部分的曲线，得GH 的半闭合曲线，仍计为ΓGH。
图5-47 K>1 和 K<1的频率特性曲线
3、Nyquist判据在Ⅰ型和Ⅱ型系统中的应用
设系统开环传递函数为
G (s) H (s)
K ( i s 1) s (T j s 1)
v j 1 i 1 n v
m
为利用Nyquist判据分析Ⅰ型和Ⅱ型系统的稳定性，就需要 修改s平面上原点附近的Nyquist路径，使它不通过s=0的开 环极点又仍然能包围整个右半s平面。方法是增补一个以 原点为圆心、半径R′为无穷小的右半圆。如图5-48所示
所以按Nyquist判据判断该系统是不稳定的，其闭环系 统在右半s平面上的极点数为2。
利用Nyquist判据我们还可以讨论开环传递系数K对闭 环系统稳定性的影响。当K值改变时，在任一频率下将引 起幅频特性成比例地变化，而相频特性不受影响。对图545，当频率ω＝3时，曲线与负实轴正好相交在（－2，j0） 点，若传递系数K缩小一半，即由5.2降为2.6时，曲线恰 好通过（－1，j0）点，这是临界稳定状态；若K值进一步 缩小，当K＜2.6时，频率特性将从（－1，j0）点的右边穿 过负实轴，整个频率特性曲线将不再包围（－1，j0）点， 这时闭环系统则是稳定的了。
1、奈氏判据的数学基础
复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础， 幅角原理用于控制系统稳定性的判定还需选择辅助函数和 闭合曲线。 （1）、幅角原理 设S为复数变量，F(S)为S的有理分式函数。对于S平面 上任意一点S，通过复变函数F(S)的映射关系，在F(S)平 面上可以确定关于S的象。在S平面上任选一条闭合曲线Γ 且不通过F(S)的任何零点与极点，S从闭合曲线Γ 上任一 一点A起，顺时针沿Γ 运动一周，再回到A点，那么相应 F(S)平面上也从点F(A)起，到F(A)点止形成一条闭合曲线 Γ F。若F(S)在S平面上指定区域内是非奇异的，则有如图 5-39所示的映射关系。
根据映射定理可得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上 的映射F(jω)(ω从－∞→＋∞) 包围坐标原点的次数R为 R=P－Z 式中，Z——位于F (s)平面右半部分的零点数，即闭 环右极点个数； P——位于F(s)平面右半部分的极点数，即开环右极 点个数； R——Nyquist曲线包围坐标原点的次数。 闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在 s 平面的 左半平面，即 Z=0 或 R=P。
RP
奈氏判据：若系统的开环不稳定，即开环传递函数
G(S)H(S)在右半平面上有极点，其个数为P，则闭环系统 稳定的充分必要条件是：在GH平面上的开环频率特性 曲线G(jω)H(jω)及其镜像当ω从－∞变化到＋∞时，将以逆 时针的方向围绕（－1，j0）点P圈；若系统开环稳定，即 P=0，则闭环系统稳定的充要条件是：在GH平面上的开环 频率特性曲线及其镜像不包围（－1，j0）点。 利用奈氏判据判断闭环系统不稳定，还可求出该系统在 右半s平面上的极点的个数
辅助函数也可以表示成零极点的形式
因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征： 1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式 之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等 于分子多项式的阶次，故F(S)零点、极点的个数相同，均 为n个。
3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是 GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。

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设0型系统的传递函数为