高等代数II期中试卷

北 京 交 通 大 学

2013 -2014学年第二学期《高等代数II 》期中考试试卷

答 案

一． 填空题（本题满分30分，共10道小题，每道小题3分）

1. 已知 2312341,,,x x x αααα====和 2312341,1,(1),(1)x x x ββββ==+=+=+ 是线性空间4[]P x 的两组基, 则由基1234,,,ββββ到基1234,,,αααα的过渡矩阵

是 1111123131--⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪- ⎪

⎝

⎭。 2．已知10010A ⎛⎫=

⎪⎝⎭，21010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3

1110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，41111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭是2

2⨯P 的基，那么，3241A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

在该基下的坐标为 (1,1,1,1)T

。 3. 设1W 是方程组12340x x x x +++=解空间，2W 是方程组12341234

0x x x x x x x x ++-=⎧⎨+-+=⎩的解

空间，那么dim(1W ∩2W )= 1 。

4. 设12((1,0,1),(0,1,1)),((1,1,1),(1,2,3))W L W L ==，则12W W +的一组基是

(1,0,1),(0,1,1)),(1,1,1) 。

5．3R 中的向量β在基1210,1,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标是110⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭

, 则β在基0111,0,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

下的坐标是 110-⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭

.

6. 设线性变换A 在基12,αα的矩阵为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1011，线性变换B 在基12,αα下的矩阵为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101，那么A+B 在基212,αα下的矩阵为 12222⎛

⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

. 7．设A 是3阶方阵，1,1,2-是A 的3个特征值。则1*

A A -+= 1/2 .

8．设矩阵10010100A a ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

相似于对角阵，则a = 0 .

9．设A 是线性空间4[]P x 中如下定义的线性变换： A (

())()()f x f x f x '=-，

则A 的值域为 4[]P x ．A 的核的维数为 0

10．复数域C 上n 阶对称矩阵的全体关于矩阵的加法和数乘构成实数域R 上的线 性空间,其维数是 n(n+1) 。

二．判断题（本题满分20分，共10道小题，每道小题2分） 11. 一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（ ╳ ） 12．平面上的向量关于下面定义的加法、数乘运算：

是实数域上的线性空间。（ ╳ ）

13. n n R ⨯的两个子空间12,V V ，其中1V 是全体迹为0的n 阶实方阵，2V 是全体n 阶实上三角阵，则和12V V +是直和。（ ╳ ）

1212112(,)(,)(,),

(,)(,)

x x y y x y x k x y kx y +=+=

14． n n R ⨯的两个子空间12,V V ，其中1V 是全体n 阶实对称矩阵，2V 是全体n 阶实反对称矩阵，则和12V V +是直和。（ √ ）

15. R[x]上变换A ()(1)()f x f x f x =+-是线性变换。（ √ ）

16．线性空间V 中定义变换A ：A 04,ααβ=+其中0β是V 中固定向量。则A 为线性变换。（ ╳ ）

17．数域P 上有限维线性空间V 的任一个子空间W 的补空间是唯一的。 （ ╳ ） 18．两个矩阵A ，B 有相同的特征值，则A 与B 相似。（ ╳ ）

19．如果一个线性变换在某组基下的矩阵是对角阵，那么该线性变换的特征值互不相同。（ ╳ ）

20. 线性变换A 的核与值域的交是A 的不变子空间。（ √ ）

三．（10分）给定线性空间P 4中的两个向量 12(1,1,0,0),(0,1,1,1)αα==。 令112(,)W L αα=，212341234{(,,,)|}.W x x x x x x x x =+=+

(1) 求 12W W + 的维数和一组基； (2) 求12W W I 的维数和一组基。

解 212341234123{(,,,)|}(,,)W x x x x x x x x L βββ=+=+=

其中123111100

,,010001βββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（1）1212123(,,,,).W W L ααβββ+=

12123,,,,ααβββ的一个极大线性无关组是1212,,,ααββ。所以

12W W +的维数是4，一组基是1212,,,ααββ。 5分

设122(,,,).a b a a b b b W βαα=+=+∈ 则.a a b b b ++=+即b=2a 。

12(2)a βαα=+，这样12W W I 12(2).L αα=+ 它的维数是1，一组基是122(1,3,2,2).αα+= 10分

四. (10分) 在P 2x2

上定义线性变换 A X X ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--=1111 （1）求A 在基22211211,,,E E E E 下的矩阵； （2）求A 的核和它的零度。 （3）求A 的值域和A 的秩。

解 (1) A(22211211,,,E E E E )=(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0101,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1010,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0101,⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1010)

=(22211211,,,E E E E )⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛----1010010110100101. ……….4分

(2) A 的核为{X| AX=0}={⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛b a b a ,a,b ∈P }.故它的零度为2…….6分

(3) A 的值域为L(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0101,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1010,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0101,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1010)=L(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0101,⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-1010),

故它的秩为2………10分

五. (12分) 3][x P 表示数域P 中次数小于3的多项式连同零组成的线性空间，定义 A (())()()f x xf x f x '=-