第34讲 最值问题
【中考备战策略】2014中考数学总复习 第34讲 常见的统计图课件 新人教版
解：(1)15÷ 30% ＝50(人 )，50×20% ＝10(人 )，即该 班共有 50 名学生，其中穿 175 型校服的学生有 10 人．
(2)185 型的人数是 50－3－15－ 15－ 10－5＝2(人 )， 补全条形统计图如图所示．
2 (3)圆心角的度数为 360° × ＝ 14.4° . 50 (4)165 型和 170 型出现的次数最多都是 15 次，故 众数是 165 和 170；共 50 个数据，第 25 和第 26 个数 据都是 170，故中位数是 170.
考点三
统计的综合应用
例 3 (2013· 滨州 )某高中学校为使高一新生入校后 及时穿上合身的校服， 现提前对某校九年级三班学生即 将所穿校服型号情况进行了摸底调查， 并根据调查结果 绘制了如下两个不完整的统计图 (校服型号以身高作为 标准，共分为 6 种型号)．
根据以上信息，解答下列问题： (1)该班共有多少名学生？其中穿 175 型校服的学 生有多少？ (2)在条形统计图中，请把空缺的部分补充完整； (3)在扇形统计图中， 请计算 185 型校服所对应扇形 圆心角的大小； (4)求该班学生所穿校服型号的众数和中位数． 【点拨】本题考查统计图表与统计量的综合应用．
C． 2.95 分
D． 3 分
解析：12÷ 30%＝ 40(人 )，40×42.5%＝ 17(人 )，40 1 － 3－ 17－ 12＝ 8(人 )，平均分数： × (3×1＋ 8×2＋ 40 17× 3＋ 12×4)＝ 2.95(分 )．故选 C.
2．为了支援灾区的同学，某校开展捐书活动，九 (1)班 40 名同学积极参与． 现将捐书数量绘制成频数分 布直方图，如图所示，则捐书数量在 5.5～6.5 组别的 频率是 ( B )
(名师导学)2020版高考数学总复习第六章数列第34讲等差数列及其前n项和练习理(含解析)新人教A版
第34讲 等差数列及其前n 项和夯实基础 【p 73】【学习目标】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等． 2．掌握等差数列的判断方法． 3．掌握等差数列求和的方法． 【基础检测】1．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 4＝8，则a 5＝( )A ．16B ．－16C ．32D .313【解析】因为a 4＝8，所以a 1＋3d ＝8， 又因为a 1＝1，所以d ＝73，可得a 5＝a 1＋4d ＝313.【答案】D2．已知等差数列{a n }中，若a 4＝15，则它的前7项和为( )A ．120B ．115C ．110D ．105【解析】由题得S 7＝72(a 1＋a 7)＝72·2a 4＝7a 4＝7×15＝105.【答案】D3．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n【解析】由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.【答案】A4．记S n 为等差数列{}a n 的前n 项和，若S 9＝45，a 3＋a 8＝12，则a 7等于( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【解析】S 9＝9a 5＝45a 5＝5，而a 3＋a 8＝12a 5＋a 6＝12，a 6＝7. ∵2a 6＝a 5＋a 7，∴a 7＝9. 【答案】B5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11, a 3＋a 7＝－6，则当S n 取得最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】由题设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－112a 1＋8d ＝－6d ＝2，则S n ＝n 2＋(－11－1)n ＝n 2－12n ，所以当n ＝6时，S n ＝n 2－12n 最小．【答案】A 【知识要点】 1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d (n∈N *)． 3．等差中项如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a k ＋(n －k)d(n ，k ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…(n ，m ∈N *)是公差为__md __的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝na 1＋n （n －1）2d(n∈N *)．6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n(n∈N *)．数列{a n }是等差数列S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数，n ∈N *)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，若a 1>0，d<0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d>0，则S n 存在最__小__值．典例剖析 【p 73】考点1 等差数列基本量的计算例1(1)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．由此得：⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝155a 1＋25d ＝30d ＝3.【答案】C(2)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________． 【解析】a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝k ＋k （k －1）2×2＝k 2＝9.又k∈N *，故k ＝3.【答案】3【点评】在求解等差数列的基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加简捷． 考点2 等差数列的性质及应用例2(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198 D ．297【解析】因为a 3＋a 9＝27－a 6，2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.【答案】B(2)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________． 【解析】法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D.所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.【答案】20【点评】一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．考点3 等差数列的判定与证明例3令 b n ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，数列{b n }为等差数列，则非零常数c 的值为________．【解析】∵b n ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，c ≠0，数列{b n }为等差数列，∴b n ＝2n.得到c ＝－12.【答案】－12例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n∈N )，b n ＝1a n .(1)证明：数列{b n }为等差数列． (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)∵a 1≠0，且有a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以有a n ≠0(n ∈N *)，则有b n ＋1＝1a n ＋1＝a n ＋22a n＝1 a n ＋12＝b n＋12，即b n＋1－b n＝12(n∈N*)且b1＝1a1＝1，所以{b n}是首项为1，公差为12的等差数列．(2)由(1)知b n＝b1＋(n－1)×12＝1＋n－12＝n＋12，即1a n＝n＋12，所以a n＝2n＋1.【点评】等差数列的判定与证明方法－1(n≥2，n∈N*)为同一常数{a n}{a n}是等差数列正整数n都成立{a n}是等差数任意的正整数n 都成立{a n }是考点4 等差数列前n 项和的最值问题例5已知{a n }是各项为正数的等差数列，S n 为其前n 项和，且4S n ＝(a n ＋1)2. (1)求a 1，a 2的值及{a n }的通项公式； (2)求数列⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －72a n 的最小值． 【解析】(1)因为4S n ＝(a n ＋1)2，所以，当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，解得a 1＝1，所以，当n ＝2时，4(1＋a 2)＝(a 2＋1)2，解得a 2＝－1或a 2＝3， 因为{a n }是各项为正数的等差数列，所以a 2＝3， 所以{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2，所以{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)因为4S n ＝(a n ＋1)2，所以S n ＝（2n －1＋1）24＝n 2，所以S n －72a n ＝n 2－72(2n －1)＝n 2－7n ＋72＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－354.所以，当n ＝3或n ＝4时，S n －72a n 取得最小值－172.方法总结 【p 74】1．等差数列的判定方法有定义法、中项公式法、通项公式法、前n 项和公式法，注意等差数列的证明只能用定义法．2．方程思想和基本量思想：在解有关等差数列问题时可以考虑化归为首项与公差等基本量，通过建立方程组获得解．3．用函数思想理解等差数列的通项公式和前n 项和公式，从而解最值问题．走进高考 【p 74】1．(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12【解析】法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1， ∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4－a 3，∴3a 1＋3×22d ＝d ，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.【答案】B2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.考点集训 【p 214】A 组题1．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20 D ．19【解析】a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37.【答案】A2．记S n 为等差数列{}a n 的前n 项和，若a 7＝1，a 1－S 4＝9，则数列{}S n 中的最小项为( )A ．S 1B ．S 5，S 6C ．S 4D ．S 7【解析】令等差数列{}a n 的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝1，a 1－4a 1－6d ＝9，解得a 1＝－5，d ＝1，有a n ＝n －6，S n ＝n （n －11）2，则当n ＝5或6时，S n 最小．【答案】B3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24【解析】3a n ＋1＝3a n －2a n ＋1＝a n －23{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23.【答案】C4．设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是( ) A. d ＜0 B. a 7＝0 C. S 9＞S 5D. S 6与S 7均为S n 的最大值【解析】由S 5<S 6得a 6＝S 6－S 5>0，又S 6＝S 7，所以a 7＝0. 由S 7>S 8，得a 8<0，而C 选项S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>02(a 7＋a 8)>0.由题设a 7＝0，a 8<0，显然C 选项是错误的． 【答案】C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________． 【解析】根据等差数列的定义和性质可得，S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6. 【答案】－66．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________． 【解析】因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m－S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m （m －1）2×1＝0，解得正整数m 的值为5.【答案】57．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.【解析】(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 8．已知等差数列{a n }前三项的和为－9，前三项的积为－15.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .【解析】(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ，∴(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2，∴a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤3，2n －7，n ≥4， ①n ≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2； ②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋6n ，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. B 组题1．已知正项数列{a n }中，a 1＝1, a 2＝2, 2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n ，则a 6等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 2【解析】由2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n 知，数列{a 2n }是等差数列，前两项为1，4，所以公差d ＝3，故a 26＝1＋5×3＝16，所以a 6＝4，故选C.【答案】C2．若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4≤4，S 6≥12，则a 4的最小值为( )A ．2 B.72C ．3 D.52【解析】S 4＝2(a 1＋a 4)≤42a 4－3d ≤2，① S 6＝3(a 1＋a 6)≥122a 4－d ≥4，即d －2a 4≤－43d －6a 4≤－12，②①②两式相加得：a 4≥52. 【答案】D3．设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2，用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.6]＝0，[1.2]＝1，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤m a 1＋m a 2＋…＋m a m 的值用m (m 为整数)表示为__________． 【解析】由题设可得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，令b n ＝a n ＋1－a n ，则由等差数列的定义可知数列{}b n 是首项为b 1＝a 2－a 1＝4，公差为d ＝2的等差数列，即a n ＋1－a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2，由此可得a 2－a 1＝2×1＋2，a 3－a 2＝2×2＋2，…，a n －a n －1＝2(n －1)＋2，将以上(n －1)个等式两边相加可得a n －a 1＝2×（1＋n －1）2(n －1)＋2n －2＝n (n －1)＋2n －2，即a n ＝n (n ＋1)，所以m a 1＋m a 2＋…＋m a m ＝m －m 2＋m 2－m 3＋…＋m m －1－m m ＝m －1，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤m a 1＋m a 2＋…＋ma m＝m －1.【答案】m －14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列；(2)求{a n }的前n 项和S n .【解析】(1)由4S n ＝a 2n ＋2a n －3，4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ， 即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0. 当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3， 所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（－1）n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5， 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－（－1）n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.。
最新高考数学练习题目详解34绝对值常考题型的解法
【知识要点】一、去绝对值常用的有两种方法.方法一：公式法 0||000x x x x x x ì>ïï==íï-<ïî方法二：平方法 如：||x a = 所以22x a =.（平方时必须保证两边都是非负数） 二、||x a >||x a x a x a a x a ?<-<?<<或三、重要绝对值不等式：||||||||||||a b a b a b -≤-≤+使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法.五、求绝对值()|||x b |f x x a =+±+的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解. 【方法讲评】【例1】已知关于错误！未找到引用源。
的不等式：错误！未找到引用源。
的整数解有且仅有一个值为2． （1）求整数错误！未找到引用源。
的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：错误！未找到引用源。
．(2)即解不等式错误！未找到引用源。
【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测1】已知函数2()|1|f x x =-. （Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+；（Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围.【例2】已知函数()12f x x x =+-。
（Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-⎧⎨-≤-⎩或10,316x x -≤≤⎧⎨+≤-⎩或0,1 6.x x >⎧⎨-≤-⎩解得5x ≤-或7x ≥.故该不等式的解集是{5x x ≤-，或}7x ≥. （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域.由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞， ∴2log 1a ≤，解得02a <≤.【点评】对于形如||||ax b cx d e +++>的不等式，一般分三种情况分类讨论.注意讨论每一种情况时，要和讨论的标准求交集，最后的结果要求并集，即“小分类求交，大综合求并”. 学科.网【反馈检测2】已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.【例3】已知函数()|1||3|f x x x =-++. (1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.(2)若关于x 的不等式()a 0f x -≤解集不是空集,求实数a 的取值范围.(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4,∴实数a 的取值范围为4a ≥.方法二: |1||3||x 1(x 3)|x x -++≥--+ ∴|1||3|4x x -++≥,【点评】（1）关于x 的不等式()0f x a -≤解集不是空集，即关于x 的不等式()0f x a -≤有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是有解问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于a.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.()f x a £恒成立等价于max (x)f a £，()f x a £有解等价于min (x)f a £，()f x a ³恒成立等价于min (x)f a ³，()f x a ³有解等价于max (x)f a ³.【反馈检测3】已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.高中数学常考题型解法归纳及反馈检测第34讲：绝对值常考题型的解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[4,]+∞.【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）()22f x x ≤+，即2|1|22x x -≤+，所以22122,1(22),x x x x ⎧-≤+⎪⎨-≥-+⎪⎩由2122x x -≤+，解得13x -≤≤；而21(22)x x -≥-+的解集为R . 所以原不等式的解集为{|13}x x -≤≤.【反馈检测2答案】（1）}21|{≤≤-x x ；（2）3a <-或5a >. 【反馈检测2详细解析】（1）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-即不等式的解集为}21|{≤≤-x x（2）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a >.【反馈检测3答案】（1）(2,4)-（2）1a ≥-或5a ≤-.高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a bx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n>⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=. 24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b fb a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r srsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. (2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.(3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =； (2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则 其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1mmn n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n n A A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.。
小学三年级奥数精品讲义1-34讲全
小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。
你可以试一试。
”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。
走进重高培优讲义专题集训 初中综合教练 第34讲 中考压轴题举例
第34讲 中考压轴题举例数学综合性试题常常是中考试卷中的把关题和压轴题，在中考中举足轻重，中考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标．目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型，尤其是创新能力型试题，综合题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点．1．把好审题关：压轴题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性．在审题思考中，要把握好解题结果的终极目标和每一步骤分享目标；提高概念掌握的准确性和预算的准确性；注意题设条件的隐含性，审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证．2．思路清晰，思维严谨：综合题知识容量大，解题审题时应考虑多种解题思路，注意思路的选择和运算方法的选择，注意数学思想方法的运用．3．提高转化能力：解好数学压轴题必须具备：①语言转换能力：每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成，解综合题往往需要较强的语言转换能力，还需要有把普通语言转换成数学语言的能力，②概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力．③数形转换能力：解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路．例1 【杭州】折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上，若=+=EH AD AB ,2=AD 则,1____________.【方法归纳】本题考查折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查矩形的性质和勾股定理，【误区提醒】 填空压轴题一般是填空题中难度最大的题，由于填空题没有答题步骤，关键要最终答案正确，所以解题时一方面计算要认真细致，另一方面考虑问题要周到，本题要认真审题，题中已说明“点G 落在线段AE 上”，故只有一种情况，不需要分类讨论．例2 【丽水】如图1，在矩形ABCD 中，E 是AD 上的一个动点，连接BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部，连接AF ，BF ，EF ，过点F 作AF GF ⊥交AD 于点G ，设.n AEAD =图1 (1)求证：.GE AE =(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示ABAD 的值． (3)若,4AB AD =且以F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．图2 图3 图4【方法归纳】本题是相似形综合题，主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质，解(1)的关键是判断出EG —EF ，解(2)的关键是判断出△ ABE∽ △DAC，解(3)的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题，【误区提醒】几何压轴题往往涉及图形不确定或图形变化等，几何图形往往比较复杂，解题时一是要认真研究图形，另一方面对不确定的图形还要认真分类画图，注意从特殊到一般的数学思想方法在解题中的应用，例3 【自贡】抛物线b ax x y +-=242与x 轴相交于)0,(),0,(21x B x A )0(21x x <<两点，与y 轴交于点C ．(1)设,4tan ,2=∠=ABC AB 求该抛物线的表达式．(2)在(1)中，若D 为直线BC 下方抛物线上一动点，当△BCD 的面积最大时，求点D 的坐标．(3)是否存在整数a ，b 使得211<<x 和212<<x 同时成立，请证明你的结论．【方法归纳】本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数表达式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．【误区提醒】本题涉及的数学知识点很多，综合性很强，需要认真分析题意，合理建立数学模型，并且注意运算仔细认真，例4 【绍兴】如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C，D四个站点，每相邻两站之间的距离为5 km，从A站开往D站的车称为上行车，从D站开往A站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从A站、D站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10 min分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30 km/h.(1)问第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？(2)若第一班上行车行驶时间为t(h)，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s(km)，求s与t的函数表达式．(3)-乘客前往A站办事，他在B，C两站间的P处（不含B，C站），刚好遇到上行车，BP= x(km)，此时，接到通知，必须在35 min内赶到目的地，他可选择走到B站或走到C站乘下行车前往A站．若乘客的步行速度是5 km/h，求x满足的条件．【方法归纳】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，路程、速度与时间关系的应用，进行正确分类是解题的关键．【误区提醒】行程问题要尽量结合线段图示法分析数量关系，根据数形结合思想将问题转化为方程或函数问题，对于本题，正确的分类也是难点．例5 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线)0()1(2>++=a c x a y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为M ，若直线MC 的函数表达式为,3-=kx y 与x 轴的交点为N ，且⋅=∠10103cos BCO (1)求此抛物线的函数表达式．(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N ，P ，C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【方法归纳】本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题．第(3)问是本题的难点，分抛物线向上、向下平移两种情况讨论．向上平移时，需抛物线与直线NG 有交点，由判别式可确定平移6的范围；向下平移时，线段NQ 是否与抛物线相交，关键是两个端点N,Q 是否在抛物线外侧，只要取两个端点刚好在抛物线上的特殊情况，分别进行判断，求出满足条件的b 的范围即可，体现出用极端值解题的思想，【误区提醒】在中考压轴题中所体现出的数学思想方法并不是单一的，一般每道中考压轴题均综合体现了两到三种不同的数学思想方法．我们在求解压轴题时，一定要结合题型特征，注意一些常见的数学思想方法的灵活运用．例 【常州】如图，已知一次函数434+-=x y 的图象是直线Z ，设直线Z 分别与y 轴、x 轴交于点A ，B ． (1)求线段AB 的长度．(2)设点M 在射线AB 上，将点M 绕点A 按逆时针方向旋转 90到点N ，以点N 为圆心，NA 的长为半径作ON ．①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标．②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N 分别与y轴、直线Z交于点P，Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标．【方法归纳】本题是一次函数的综合题，考查利用待定系数法求一次函数的表达式、三角形全等和相似的性质和判定、三角函数、直线与坐标轴的交点，并采用了分类讨论的思想解决问题，第(2)问中的②问有难度，正确画出图形是关键，并确定其相似的对应关系．1．【衢州】已知二次函数,2157212+--=x x y 若自变量x 分别取,,,321x x x 且,0321x x x <<<则对应的函数值 321,,y y y 的大小关系正确的是( )．321.y y y A >> 321y y y B <<⋅ 132y y y C >>⋅ 132y y y D <<⋅2．【宁波】勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“勾三，股四，弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，图2是由图1放入矩形内得到的，,4,3,90===∠AC AB BAC点D ，E ，F ，G ，H ，，都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )．图1 图290.A 100.B 110.C 121.D3．【嘉兴】如图，正方形ABCD 的边长为a ，动点P 从点A 出发，沿折线A A C D B →→→→的路径运动，回到点A 时运动停止．设点P 运动的路程长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )．4．【衢州】如图，已知函数x y 2=和函数xk y =的图象交于A ，B 两点，过点A 作AE⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B ，0，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点P 坐标是5．如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式121-+=b a S （a 是多边形内的格点数，6是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40．(1)这个格点多边形边界上的格点数b= _______（用含a 的代数式表示）．(2)设该格点多边形外的格点数为c ，则c-a=__________．6．如图，在菱形ABCD 中，,60,6 =∠=DAB AB AE 分别交BC ，BD 于点,2,,=CE F E 连接CF.以下结论：①△ABF≌ △CBF；②点E 到AB 的距离是;32;733tan =∠DCF ③④△ABF 的面积为125其中一定成立的是 ________（填序号）．7．如图，在△ABC 中，点E ，P 在边AB 上，且AE=BP ，过点E ，P 作BC 的平行线，分别交AC 于点F ，Q ，记△AEF 的面积为,1s 四边形EFQP 的面积为,2s 四边形PQCB 的面积为⋅3s(1)求证：.BC PQ EF =+(2)若,231s s s =+求AEPE 的值． (3)若,213s s s =-直接写出AE PE 的值．8．如图1，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形CDE 恰好与坐标系中的△OAB 重合，现将△CDE 绕边AB 的中点G(点G 也是DE 的中点)，按顺时针方向旋转 180到DE C 1∆的位置，如图2．(1)求点1C 的坐标．(2)求经过1,,C A O 三点的抛物线的表达式．(3)如图3，OG 是以AB 为直径的圆，过点B 作OG 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的表达式．(4)抛物线上是否存在一点M ，使得:AMF OAB s s ∆∆=16:3?若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图2 图39．如图，在△ABC 中，275,9,2ABC AB AC S ∆===⋅动点P 从点A 出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从点C 出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当点Q 运动到点A 时，P ，Q 两点同时停止运动．以PQ 为边作正方形PQEF (P ，Q ，E ，F 按逆时针排序)，以co 为边在AC 上方作正方形QCGH ．(1)求tanA 的值．(2)设点P 运动时间为t(s)，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．(3)当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点（点Q 除外）落在正方形QCGH 的边上？请直接写出t 的值，10.如图，点A 和动点P 在直线Z 上，点P 关于点A 的对称点为Q ，以AQ 为边作Rt△ABQ，使=∠BAQ ,4:3:,90=AB AQ 作△ABQ 的外接⊙O.点C 在点P 右侧，,4=PC 过点C 作直线,l m ⊥过点0作m OD ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E.在射线CD 上取点F ，使,23CD DF =以DE ，DF 为邻边作矩形DEGF ．设.3x AQ = (1)用关于x 的代数式表示BQ ，DF.(2)当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．(3)在点P 的整个运动过程中：①当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形？②作直线BG 交⊙0于另一点N ，若BN 的弦心距为1，求AP 的长（直接写出答案）．1．【南通】如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，DCE ∠tan ⋅=34 设,x AB =△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )．2．【重庆】若数a 使关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≤-)1(32),1(21131x a x x x 有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程 121223=-++-ya y y 有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是( )． 10.-A 12.-B 16.-c 18.-D3．【台州】如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE=BF.将△AEH，△CFG 分别沿边EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的161时，EBAE 为( )． 35.A 2.B 25.C 4.D4．【武汉】如图，在⊙0中，点C 在优弧AB 上，将弧 BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D.若⊙0的半径为,4,5=AB 则BC 的长是( )． 32.A 23.B 235.C 265.D5．【日照】在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点，已知反比例函数)0(<=m xm y 与 42-=x y 在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m 的取值范围为_________.6．【南通】在平面直角坐标系xOy 中，已知),0,2(t A )4,2(),2,0(t t C t B -三点，其中t>0，函数x t y 2=的图象分别与线段BC ，AC 交于点P ，Q ．若PAB PQB s s ∆∆-,t =则t 的值为________7．【台州】如图，有一个边长不定的正方形ABCD ，它的两个相对的顶点A ，C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B ，D 在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a 的取值范围是____．8．【金华】如图1为小明制作的一副弓箭，A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC=60 cm.沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点1D 时，有 .120,301111 =∠=C D B cm AD(1)图2中，弓臂两端11,C B 的距离为________.cm(2)如图3，将弓箭继续拉到点,2D 使弓臂22AC B 为半圆，则21D D 的长为_________.cm图1 图2 图39．【常州】如图，已知A 是一次函数)0(21≥=x x y 图象上一点，过点A 作x 轴的垂线Z ，B 是Z 上一点（点B 在点A 上方），在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数x xk y (=)0>的图象过点B ，C ，若△OAB 的面积为6，则△ABC 的面积是_________.10.【湖州】湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000 kg 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本一放养总费用十收购成本）．(1)设每天的放养费用是a 万元，收购成本为6万元，求a 和b 的值．(2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m(kg)，销售单价为y 元/kg ．根据以往经验可知：m 与t 的函数关系为⎩⎨⎧≤<+≤≤=),10050(15000100),500(20000t t t m y 与t 的函数关系如图. ①分别求出当500≤≤t 和10050≤<t 时，y 与t 的函数表达式.②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大，并求出最大值．（利润=销售总额一总成本）11.【杭州】如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B ，C 重合），连接AG ，作DE⊥ AG 于点E ，AG BF |于点F ，设.k BCBG = (1)求证：.BF AE = (2)连接,,DF BE 设⋅=∠=∠βαEBF EDF ,求证：⋅=βαtan tan k(3)设线段AG 与对角线BD 交于点H ，△AHD 和四边形CDHG 的面积分别为1S 和,2s 求12s S的最大值．12.【宁波】如图，抛物线c x x y ++=41412与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点(6,c )215 在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D.(1)求c 的值及直线AC 的函数表达式．(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连接PQ 与直线AC 交于点M ，连接MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点．①求证：△APM∽AON.②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长（用含m 的代数式表示）．13.【黄冈】已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，OA=4，OC=3，动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q 从点0出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P ，Q 的运动时间为t(s)．(1)当t=l 时，求经过O ，P ，A 三点的抛物线的表达式．(2)当t=2时，求tan∠QPA 的值．(3)当线段PQ 与线段AB 相交于点M ，且BM =2AM 时，求t 的值．(4)连接CQ ，当点P ，Q 在运动过程中，记△CQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数表达式．1．【宁波】如图，四边形ABCD 是边长为6的正方形，点E 在边AB 上，BE=4，过点E 作EF∥BC，分别交BD ，CD 于G ，F 两点．若M ，N 分别是DG ，CE 的中点，则MN 的长为( )．3.A 32.B 13.C4.D2．如图，在直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与D 重合，折痕与AD 交于点;1p 设D P 1的中点为,1D 第2次将纸片折叠，使点A 与1D 重合，折痕与AD 交于点;2p 设12D P 的中点为,2D 第3次将纸片折叠，使点A 与2D 重合，折痕与AD 交于点 3p 设21--n n D P 的中点为,1-n D 第n 次将纸片折叠，使点A 与点1-n D 重合，折痕与AD 交于点),2(>n P n 则6AP 的长为____________3．【衢州】在直角坐标系中，过原点O 及点A(8，0)，C(O ，6)作矩形OABC ，连接OB ，D 为OB 的中点，点E 是线段AB 上的动点，连接DE ，作DF⊥DE，交OA 于点F ，连接EF.已知点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t(s)．(1)如图1，当t=3时，求DF 的长．(2)如图2，当点E 在线段AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF 的值．(3)连接AD ，当AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t 的值，图1 图24．【达州】如图，在直角坐标系中，已知点A(O ，2)，点B （一2，0），过点B 和线段OA 的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE ．(1)点D 的坐标为___________，点E 的坐标为__________.(2)若抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 经过A,D ，E 三点，求该抛物线的表达式．(3)若正方形和抛物线均以每秒⋅5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为S ，求S 关于平移时间t(s)的函数表达式，并写出相应自变量t的取值范围，②运动停止时，求抛物线的顶点坐标. 答案。
小学六年级奥数第34讲 行程问题(二)(含答案分析)
第34讲 行程问题（二）一、知识要点在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。
二、精讲精练【例题1】甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。
甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。
甲第一次遇到乙后114 分钟于到丙，再过334分钟第二次遇到乙。
已知乙的速度是甲的23，湖的周长为600米，求丙的速度。
甲第一次与乙相遇后到第二西与乙相遇，刚好共行了一圈。
甲、乙的速度和为600÷（114+334 ）=120米/分。
甲、乙的速度分别是：120÷（1+23）=72（米/分），120—72=48（米/分）。
甲、丙的速度和为600÷（114 +334 +114）=96（米/分），这样，就可以求出丙的速度。
列算式为甲、乙的速度和：600÷（114 +334）=120（米/分） 甲速：120÷（1+23）=72（米/分） 乙速：120—72=48（米/分）甲、丙的速度和：600÷（114 +334 +114）=96（米/分） 丙的速度：96—72=24（千米/分） 答：丙每分钟行24米。
练习1：1、甲、乙、丙三人环湖跑步。
同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙两人反向。
在甲第一次遇到乙后114 分钟第一次遇到丙；再过334分钟第二次遇到途。
已知甲速与乙速的比为3：2，湖的周长为2000米，求三人的速度。
图34——1BA图34-1图34——2图34-22、兄、妹2人在周长为30米的圆形小池边玩。
从同一地点同时背向绕水池而行。
兄每秒走1.3米。
妹每秒走1.2米。
他们第10次相遇时，劢还要走多少米才能归到出发点？3、如图34-1所示，A 、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点，同时出发反向而行，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点60米。
【高考数学二轮复习提升微专题】第34讲 割补法与等积法-解析版
第34讲 割补法与等积法一、知识与方法1 割补法割补法包括分割法和补体法,求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱 体,锥体,分别求出雉体和柱体的体积, 从而得出几何体的体积,这种方法称为分割法. 用 于直接解题较困难,分割后化繁为简,使问题较易获得解快,但有时候,所给的几何体并不 复杂,却很难直接计算求解,这类几何体实际上是一个常规几何体的一部分. 通过添补适当 的几何体,将其扩展为新的、其特征为我们比较熟悉的几何体,以便于从整体上宏观把握,处 理局部问题的一种方法称为补体法,体现了拓展空间, 从更广阁的范围内处理局部问题的整 体思想.分割法与补体法合在一起称为割袳法.2 等积法(又称等积变换法)（1）利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面. (1)求体 积时,可选择“容易计算”的方式来计算; (2)利用“等积法”可求“点到面的吟离”,关键是在 面中选取 3 个点,与已知点构成三棱锥.(2) 等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等 价转换.二、典型例题【例1 】(1) 如图 384- 所示,已知多面体 ABC DEFG - 中, ,AB AC ,AD 两两互相垂直,平面 //ABC 平面 DEFG , 平面 //BEF 平面 ,2,1ADGC AB AD DG AC EF =====, 则该多面体的体积为 ( ).A. 2B. 4C. 6D. 8(2) 如图 385- 所示,在多面体 ABCDEF 中, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 且 ,ADE BCF 均为正三角形. //,2EF AB EF =, 则该多面体的体积为( ).A. B. C. 43 D. 32【分析 】本例两小题给出的都是不规则几何体,直接求体积比较困难,可以将 这个几何体分割成若干规则的几何体,从而得出几何体的体积(求规则几何体的体积再合 成)，也可认运用补体法补成一个规则几何体再求解,如第(1) 问,可把题中给出的几何体 分割成两个三棱柱或补成一个正方体;第(2)问,不同的分割可以引发一题多解与发散思 维,这种解法体现了割补思想和等积变换思想.【解析】 (1) 【解法 一 】(割)如图 386- 所示,过点 C 作 CH DG ⊥ 于 H , 联结EH ,把多面体分割成一个直三棱柱 DEH ABC - 和一个斜三棱柱 BEF CHG -.于是所求几何体的体积为 112122122DEH BEF V S AD S DE ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2 4.=【解法 二 】(补)如图 387- 所示. 将多面体补成棱长为 2 的正方体. 显然所求的多面体的体积为该正方体体积的一半.于是所求几何体的体积 31242V =⨯=.(2) 【解法 一】 (分割法一)如图 388- 所示,分别过 ,A B 作 EF 的垂线, 垂足分别为点 ,G H , 联结 ,DG CH .则原几何体分割为两个三棱雉和一个直三棱柱,锥高12, 柱高 1. 2AG ==, 取 AD 中点 M , 则2MG =11112224434AGD S V =⨯⨯=∴=+⨯⨯123=【解法 二】 (分割法二)如图 389- 所示,取 EF 中点P , 则原几何体分割为两个三棱雉和一个四棱雉,易 知三棱雉 P AED - 和三棱雉 P BCF - 都是棱长为 1 的正四面体,四棱雉 P ABCD - 为棱长为 1 的正四 棱雉.2111233V =⨯+⨯= 【例 2】 已知直三棱柱 111ABC A B C - 中, 222A B C 是用一平面截得的截面,且 21AA h =, 2223,BB h CC h == , 若 ABC 的面积为 .S 求证:介于截面与下底面之间的几何体的体积为 ()12313V S h h h =++. 【分析】由于几何体 222A B C ABC - 是一个不规则的几何体,为求得其体积不 妨采用分割或补体的方法来求解和证明.【解析】【证法 一】 (分割)为了讨论方便, 不妨设 123h h h , 可将几何 体 222ABC A B C - 分割成一个小直三棱柱与两个三棱雉. 如图 390- 所示,过 2A 作 23//A B AB 交 2B B于 3B , 过 3B 作 33//B C BC 交 2C C 于 3.C 联结 23A C ,23B C , 则几何体 222ABC A B C - 被分割成直三棱柱 233ABC A B C - 、三棱雉 2233B A B C - 、二棱锥 2A 232B C C -设 ,BC x A = 到 BC 的距离为 d , 则 12S xd =. 由于 ()23322331211,3ABC A B C B A B C V Sh V S h h --==-, ()()223223231311111.3323A B C c B C C V S d h h x d S h h -=⋅=⋅-⋅⋅=- 故 ()2222332233223212313ABC A B C ABC A B C B A B C A B C C V V V V S h h h ----=++=++. 【证法二】（补体)将几何体 222ABC A B C - 以 ABC 为底面进行两次等几何体补形,使侧 棱的长均为 123h h h ++, 这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱.而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的 13， 故 ()222123 1133ABC A B C V V S h h h -==++新直三榬柱.【例 3】 如图 391- 所示,三棱锥 A BCD - 中, AB ⊥ 平面 BCD ,CD BD ⊥(1) 求证: CD ⊥ 平面 ABD ;(2) 若 1,AB BD CD M === 为 AD 中点,求三棱雉A MBC - 的体积.【分析】 利用三棱锥的“等积法”,即体积计算时,可以任一个面作为三棱锥 的底面,利用“等积法”可求“点到面的距离”,关键是在面中选取三个点,与已知,点构成 三棱锥.等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的 等价转换.【解析】(1) 证明: :AB ⊥ 平面 ,,BCD CD BD CD ⊥⊂ 平面 ,ABD BD ⊂ 平面 ABD , CD ∴⊥ 平面 .ABD(2)【 解法一】 由 AB ⊥ 平面 BCD ,得 AB BD ⊥,11,.2ABD AB BD S ==∴= M 为 AD 中点, ABM 11.24ABD S S ∴== 由 ()1 知,CD ⊥ 平面 ABD ,∴ 三棱锥 C ABM - 的高 1h CD ==.因此三棱雉 A MBC - 的体积 B 13A MBC C ABM A M V V S h --==⋅1.12=【解法二 】由 AB ⊥ 平面 BCD 知,平面 ABD ⊥ 平面 BCD .又平面 ABD ⋂ 平面 BCD BD = , 过点 M 作 MN BD ⊥ 交 BD 于点 N ,如图 392-所示,则 MN ⊥ 平面 BCD , 且 1122MN AB ==. 又 1,1,2BCD CD BD BD CD S ⊥==∴=. ∴ 三棱倠 A MBC - 的体积 1133A MBC A BCD M BCD BCD V V V AB S MN ---=-=⋅-. 112BCD S =. 三、易错警示【例 】 正方体容器 1AC 中盛满水, ,,E F G 分别是 1111,,A B BB B C 的中点,若 3 个小孔 分别位于 ,,E F G 三点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的( ). A. 78 B. 1112 C. 56 D. 2324【错解】剩下的水的最大容积是截面 EFG 以下几何体的体积,如图 393- 所示,设 1CC 的中点为 11,M C D 的中点为 N ,则截面 EFG 在正方体 1AC 的截面是 EFMN , 设正方体 1AC 的棱长为 1, 则三棱柱 11B EF C MN - 的体积 1111111.2228B EFC MN V =⨯⨯⨯= 于是, 正方体的水最多会剩下原体积的 17188-=, 故 选 A.【评析及正解】上迌解法是否正确,我们可认考查另一种情形.考虑由 1,,B E C 确定的截面,如图 394- 所示.此时,另一个小孔在截面 1BEC的上方, 此 时 三 棱 锥 11B BEC - 的体积为 1113B BEC V -=⨯ 111111.22128⎛⎫⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭ 于是, 正方体中的水最多会剩下原体积的 11111212-=, 故应选 B . 1. 从选项看,还有 2324, 那么,会不会是这个结果呢? 我们可以 考虑一般的情形.【正确的解法】如下:【解析】:我们注意到, 当正方体中剩下的水最多时,这时的水平面必定经过其中的两个小孔, 不妨设经过小孔 ,E G , 如图 395- 所示,另一个小孔 F 在该平面的上方. 设过 ,E G 的平面与棱 1111,,BB CC C D 的交点分别为 ,,H P Q , 则流出的水的最小体 积是台体 11B EH C QP - 的体积.设正方体 1AC 的棱长为 2 , 则 11B E =, 设 ()112B H x x =, 则 12C P x =-. 由 11B EH C QP , 得 12x C Q x-=. 于是, 台体 11B EH C QP - 的体积为112231(2) 31(2)14 2233121222,3312B EHC QP x V x x x x x x x ⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫⋅==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当 4x x =, 即 2x = 时,台体 11B EH C QP - 的体积最小, 为正方体体积的 112. 此 时,点 H 与点 B 重合, 即截面为 1BEC , 故选 B.四，难题攻略【例】 在三棱台 111ABC A B C - 中, 111,2A B G AB = 为 1CC 的中点,截面 1A BG 将棱台分 成上、下两部分,求这两部分体积之比.【分析】 由于合成的两部分都是不规则的几何体,故需将其分割成几个锥体 （特别是三棱锥)的组合体才便于计算体积之比,需要提醒的是这里有等面积、等高,等体 积的运用,使问题的解答别开生面.【解析】 如图 396- 所示, 联结 11,BC A C , 则棱台被分割成 4 个三棱 锥的组合体, 注意到 3 个三棱锥 11111,A BC G A BC B --,1A BCG - 都等高, 因而其体积之比为底面面积之比.又在梯形 11BCC B 中, 由 111112B C A B BC AB ==, 且 G 为 1C C 的 中点, 有 11.BCC BOG BC B S S S ==即 111111ΛBCC A BCC A BC B V V V V ---===,从而 111112A BCC A BC B V V V V --=+=上,在三棱雉 111B A B C - 与三棱雉 1A ABC - 中, 它们的高相等, 且 1114ABCA B C S S=,则 1111111444A ABC B A B c A BC B V V V V ---===.从而 1155A ABC A BCC V V V V --=+=下, 故 t :2:5V V =下 为所求.五、强化训练1.如图397-所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,12,,2AB BC AA ABC M π∠===是BC中点.(1)求证:1//A B 平面1AMC ;(2)求直线1CC 与平面AMC 所成角的正弦值;(3)试问在棱11A B 上是否存在点N ,使得AN 与1MC 所成角为?3π若存在,确定点N 位置;若不存在,请说明理由.【解析】（1）如图①所示，联结，设与相交于点，则为中点，联结，则为的中位线，依据线面平行判定定理可得.（2）将图①补体为图②，设直线与平面所成角为，则 .由题意，不妨设，依据等体积法可得1A C 1AC O O 1A C OM OM 1A BC 11111AB OM A B AMC A B AMC OM AMC //⎫⎪⊄⇒//⎬⎪⊂⎭平面平面平面1CC 1AMC α11sin C AMC h CC α-=122AB BC AA ===. （3）假设在棱上存在点，使得与成角，不妨设在棱上取点，使得，易得，如图③所示，故与成角.在中，由余弦定理可得.故在棱上存在点，且为棱的中点，使得与成角.111111133C AMC C AMC AMC C AMC AMCC AMC V V Sh Sh ----=⇒=11122sin 33C AMC C AMC h h CC α--⇒=⇒==11A B N AN 1MC 3π1(02)A N t t =≤≤CD Q CQ t =1AN C Q//1C Q 1MC 3π1MQC 22222211112cos3MQ MC QC MC QC π=+-⇒=+1[0,2]t -=∈11A B N N 11A B AN 1MC 3π。
小学六年级奥数-第34讲 行程问题(二)后附答案
第34讲 行程问题（二）一、知识要点在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。
二、精讲精练【例题1】甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。
甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。
甲第一次遇到乙后114 分钟于到丙，再过334分钟第二次遇到乙。
已知乙的速度是甲的23，湖的周长为600米，求丙的速度。
甲第一次与乙相遇后到第二西与乙相遇，刚好共行了一圈。
甲、乙的速度和为600÷（114 +334 ）=120米/分。
甲、乙的速度分别是：120÷（1+23）=72（米/分），120—72=48（米/分）。
甲、丙的速度和为600÷（114 +334 +114）=96（米/分），这样，就可以求出丙的速度。
列算式为甲、乙的速度和：600÷（114 +334）=120（米/分） 甲速：120÷（1+23）=72（米/分） 乙速：120—72=48（米/分）甲、丙的速度和：600÷（114 +334 +114）=96（米/分） 丙的速度：96—72=24（千米/分） 答：丙每分钟行24米。
练习1：1、甲、乙、丙三人环湖跑步。
同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙两人反向。
在甲第一次遇到乙后114 分钟第一次遇到丙；再过334分钟第二次遇到途。
已知甲速与乙速的比为3：2，湖的周长为2000米，求三人的速度。
2、兄、妹2人在周长为30米的圆形小池边玩。
从同一地点同时背向绕水池而行。
图34——1BA图34-1图34——2图34-2兄每秒走1.3米。
妹每秒走1.2米。
他们第10次相遇时，劢还要走多少米才能归到出发点？3、如图34-1所示，A 、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点，同时出发反向而行，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点60米。
五年级数学 奥数精品讲义1-34讲
五年级数学奥数精品讲义1-34讲第一讲消去问题（一）第二讲消去问题（二）第三讲一般应用题第四讲盈亏问题（一）第五讲盈亏问题（二）第六讲流水问题第七讲等差数列第八讲找规律能力测试（一）第九讲加法原理第十讲乘法法原理第十一讲周期问题（一）第十二讲周期问题（二）第十三讲巧算（一）第十四讲巧算（二）第十五讲数阵问题（一）第十六讲数阵问题（二）能力测试（二）第十七讲平面图形的计算（一）第十八讲平面图形的计算（二）第十九讲列方程解应用题（一）第二十讲列方程解应用题（二）第二十一讲行程问题（一）第二十二讲行程问题（二）第二十三讲行程问题（三）第二十四讲行程问题（四）能力测试（三）第二十五讲平均数问题（一）第二十六讲平均数问题（二）第二十七讲长方体和正方体（一）第二十八讲长方体和正方体（二）第二十九讲数的整除特征第三十讲奇偶性问题第三十一讲最大公约数和最小公倍数第三十二讲分解质因数（一）第三十三讲分解质因数（二）第三十四讲牛顿问题能力测试（四）第一讲消去问题（一）在有些应用题里；给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系；要求出这些未知数的数量.我们在解题时；可以通过比较条件；分析对应的未知数量变化的情况；想办法消去其中的一个未知量；从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来.这样的解题方法；我们通常把它叫做“消去法”.例题与方法在学习例题前；我们先进行一些基本数量关系的练习；为用消去法解题作好准备.(1)买1个皮球和1个足球共用去40元；买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克；1袋大米和1袋面粉共重多少千克？（3）6行桃树和6行梨树一共120棵；照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯；一共用去172元；每个水瓶18元；每个茶杯多少元？例1 学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯；共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个差杯；共用去118元.水瓶和茶杯的单价各是多少元？例2 买3个篮球和5个足球共、用去480元；买同样的6个篮球和3个足球共用去519元.篮球和足球的单价各是多少元？练习与思考１、 1袋黄豆和1袋绿豆共重50千克；同样的7袋黄豆和7袋绿豆共重（）千克.２、买5条毛巾和5条枕巾共用去90元；买1条毛巾和1条枕巾要（）元.３、买4本字典和4本笔记本共、用去了68元；买同样的9本字典和9本笔记本一共要（）元.４、9筐苹果和9筐梨共重495千克；找这样计算；2筐苹果和2筐梨共重（）千克.５、妈妈买了５米画布和３米白布；一共用去１０２元.花布每米１５元；白布每米多少元？６、果园里有１４行桃树和２０行梨树；桃树和梨树一共有４４０棵.每行梨树１５棵；每行桃树多少棵？８、食堂第一次运来６袋大米和４袋面粉；一共重400千克；第二次又运来9袋大米和4袋面粉；一共重550千克.每袋大米和每袋面粉各重多少千克？9、3豹味精和7包糖共重3800克；同样的3包味精和14包糖共重7300克.每包味精和每包糖各重多少克？10、育新小学买了8个足球和12个篮球；一共用去了984元；青山小学买了同样的16个足球和10个篮球；一共用去1240元.每个足球和每个篮球各多少元？11、买15张桌子和25把椅子共用去3050元；买同样的 5张桌子和20张椅子；需要1600元.买一张桌子和一把椅子需要多少元？12、3头牛和6只羊一天共吃草93千克；6头牛和5只羊一天共吃草130千克.每头牛每天比每只羊多吃多少千克？第二讲消去问题（二）例1、7袋大米和3袋面粉共重425千克同样的3袋大米和7袋面粉共重325千克.求每袋大米和每袋面粉的重量.3..三头牛和8只羊每天共吃青草93千克；5头牛和15只羊每天吃青草165千克.一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克？练习与思考1.3个皮球和5个足球共245元；同样的6个皮和10个足球共（）元.2.5盒铅笔和9盒钢笔共190支；同样的2盒铅笔和6盒钢笔共100支.3盒铅笔和3盒钢笔共（）支；1盒铅笔和1支钢笔共（）支.3.育才小学体育组第一次买了4个篮球和3个排球；共用去了141元；第二次买了5个篮球和4个排球；共用去180元.每个篮球和每个排球各多少元？4.3筐苹果和5筐梨共重138千克；5筐同样的苹果和3筐同样的共重134千克.；每筐苹果和每筐梨各重多少千克？5.某食堂第一次运进大米5袋；面粉7袋；共重1350千克；第二次运进大米3袋；面粉5袋；共重850千克.一袋大米和一袋面粉各重多少千克？6.3件上衣和7条裤子共430元；同样的7件上衣和3条裤子共470元.每件上衣和每条棵子各多少元？7.2千克水果糖和5千克饼干共64元；同样的3千克水果糖和4千克饼干共68元.每千克水果糖和每千克饼干各多少元？8.5包科技书和7包故事书共620本；6包科技书和3包故事书共420本.每包科技书比每包故事书少多少本？9.3个水瓶和8个茶杯共92元；5个水瓶和6个茶杯共102元.每个水瓶和每个茶杯各多少元？10.甲有5盒糖；乙有4盒糕共值44元.如果甲、乙两人对换一盒；则每人所有物品的价值相等.一盒糖、一盒糕各值多少元？第三讲一般应用题在小学里；通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题|”两大类.“典型应用题”有基本的数量关系、解题模式；较复杂的问题可以通过“转化”；向基本的问题靠拢.我们已经学过的“和差问题”、和“倍差问题”等等；都是“典型应用题”.“一般应用题|”没有各顶的数量关系；也没有可以以来的解题模式.解题时要具体问题具体分析；在认真审题；理解题意的基础上；理清一知条件与所求问题之间的数量关系；从而确定解题的方法.对于比较复杂的问题；可以借助线段图、示意图、直观演示等手段帮助分析.例题与方法例 1、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分；鱼尾重4千克；鱼头的重量等于鱼尾的重量加身一般的重量；而鱼身体、的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量.这条鱼重多少千克？例2、一所小学的五年级有四个班；其中五（1）班和五（2）班共有81人；五（2）班和五（3）班共有83人五（3）班和五（4）班共有86人；五（1）班比五（4）班多2人.这所学校五年级四个班各有多少人？例 3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼；甲钓了5条；乙钓了3条；吃鱼时；来了一位客人和甲、乙平均分吃这条鱼.吃完后来客付了8角钱作为餐费.问：甲、乙两为渔夫各应得这8角钱中的几角？例 4、一个工地用两台挖土机挖土；小挖土机工作6小时；大挖土机工作8小时；一共挖土312方.已知小挖土机5小时的挖土量等于大挖土机2小时的完土量；两种挖土机每小时各挖土多少方？例 5、甲、乙、丙三人用同样多的钱合买西瓜.分西瓜时；甲和丙都比乙多拿西瓜7.5千克.结果甲和丙各给乙1.5元钱.每千克西瓜多少元|？例 6、小红有一个储蓄筒；存放的都是硬币；其中2分币比5分币多22个.而按钱数算；5分币比2分币多4角.已知这些硬币中有36个1分币.问：小红的储蓄筒里共存了多少钱？练习与思考（第1～4题13分；其余每题12分；共100分.）1.有一段木头；不知它的长度.用一根绳子俩量它；绳子多15米；如果将绳子对折以后再来量；又不够04米.问：这段绳子长多少米？2.甲、乙两人拿出同样多的钱合买一段花布；原约定各拿花布同样多.结果甲拿了6米；乙拿了14米.这样；乙就要给甲12元钱.每米花布的单价是多少元？3.甲、乙丙合三人各出同样多的钱合买苹果若干千克.分苹果时；甲和丙都比乙多拿7.8千克苹果；这样甲和丙各应给乙6元钱.每千克苹果多少钱？4.学校买了2张桌子和5把椅子；共付了330元 .每张桌子的价钱是每把椅子的3倍.每张桌子多少元？5.某校六年级有甲、乙、丙丁四个班；不算甲班；期于三个班的总人数是131人；不算丁班；期于三个班的总人数是134人.已知乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少1人；甲、乙丙、丁四个班共有多少人？6.李大伯买了15千克特制面粉和35千克大米；共用去31.2元.已知1千克特特制面粉的价格是1千克大米的 2倍.李大伯买特制面粉和大米各用去多少元？7.14千克大豆的价钱与8千克花生的价钱相等；已知1千克花生比1千克大豆贵12元；大豆和花生的单价各是多少元？8.某车间按计划每天应加工50个零件；实际每天加工56个零件.这样；不仅提前3天完成原计划加工凌驾的任务；而求多加工了120个零件.这个车间实际加工了多少个零件？9.用8千克丝可以织6分米宽的绸4米；现在有10千克的丝；要织75分米宽的绸；可以织几米？|第四讲盈亏问题（一）盈亏问题又叫盈不足问题；是指把一定数量的物品平均分给固定的对象；如果按某种标准分；则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分；又会不足（亏）；求物品的数量和分配对象的数量.例如：小朋友分苹果；如果每人分2个；就多余16个；如果每人分5个；就缺少14个.小朋友有多少个？苹果有多少个？比较两次分的结果；第一次余16个；第二次少14个；两次相差1+14=30（个）.这是因为第二次比第一次每人多分了5-2=3（个）苹果.相差30个；就说明有30÷3=10（个）小朋友.请小读者自己算出苹果的个数.例题与方法例1、将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友；如果每人分3 粒；就会余下糖果17粒；如果每人分5粒；就会缺少糖果13粒.问：幼儿园下班有多少个小朋友|这些糖果共有多少粒？例 2、学生搬一批砖；每人搬4块；其中5人要搬两次；如果么人搬5块；就有两人没有砖可搬.搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？例3某校在植树活动中；把一批树苗分给各班；如果每班分18棵；就会有余下24棵；如果每班分20棵；正好分完.这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？练习与思考1.小朋友分糖果若每人分4粒则多9粒；若每人呢分5粒则少6粒.问：有多少小朋友？有多少粒糖果？2.小朋友分糖果；每人分10粒正好分完；若每人呢分16粒；则有3个小朋友分不到糖果.问：有多少粒糖果？3.在桥上测量桥高.把绳长对折后垂到水面；还余4米；把绳长3折后垂到水面；还余1米.桥高多少米？绳长多少米？4.某校安排新生宿舍；如果每间住12人；就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人就会有空出4间宿舍.这个学校有多少间？要安排多少个新生？5.在依次大扫除中；有一些同学被分配擦玻璃；他们当中如果有2人擦4块；其余的人各擦5块；就会多下12块玻璃没有人擦；如果么人擦6块；刚好擦完.擦玻璃的同学有多少人？玻璃共有多少块？6.有一个数；减去3所的差的4倍；等于它的2倍加上36.这个数是多少？7.体育老师和一个朋友一起上街买足球.他发现自己身边的钱；如果买10个“冠军”牌足球；还差42元；后来他向朋友借了1000元；买了31个“冠军”牌足球；结果多了13元.体育老师原来身边带了多少元？8.某小学生乘汽车去春游；如果每辆车坐65人；就会有15人不能乘车；如果每辆车多坐5人恰好多余了一辆车.一共有多少辆汽车？有多少个学生？第五讲盈亏问题（二）上一讲；我们讲了盈亏问题的一般情形；也就是在量词分配中恰好洋盈（多余）；一次亏（不足）.事实上；在许多问题里；也会出现两次都是盈（多余）；或者两次都是亏（不足）的情况.例 1、学校将一批铅笔奖给三好学生；每人9支缺15支；每人7支就缺7支.问：三好学生有多少人；铅笔有多少支？例2、某小学的部分同学外出参观；如果每辆车坐55人就会余下30个座位；如果每辆车坐50人；就还可以坐10人.有多少辆车？去参观的学生多少人？例3、学校规定上午8时到校.王强上学去；如果每分钟走60米；可以提早10分钟到校；如果每分钟作呕50米可以提早8分钟到校.问：王强什么时候离开家？他家离学校多远？练习与思考（第1～4题13分；其余每题12分；共100分.）1.同学们打羽毛球；每两人一组.每组分6个羽毛球；少10个球；每组分4个羽毛球；少2个球.问：共、有多少个同学打球？有多少个羽毛球？2.学校将一批钢笔奖给三好学生；每人8支缺11支；每人7支缺7支.问：三好学生有多少人？钢笔有多少支？3.某小学的部分学生去春游；如果每辆车坐50人；就会余下30个座位；如果每辆车坐40个人；还可以坐10人.问有多少辆车？去春游的学生多少人？4.一筐苹果分给一个小组；每人5个剩16个；每人7个缺12个.这个小组有多少人？共有多少苹果？5.一些学生分练习本.其中两人每人分6本；其余每人分4本；就会多4本；如果有一人分10本；其余每人分6本；就会少18本.学生有多少人？练习本多少本？6.一个学生从家到学校；先用每分50米的速度走了2分；如果这样走下去；他会迟到8分；后来他改用每分60米的速度前进；结果早到学校5分.这个学生家到学校的路程是多少米？7.筑路对计划每天筑路720米；实际每天比原计划多筑802米；这样；在规定完成任务时间的前3天；就只剩下1160米未筑.这条路多长？8.老师给幼儿园小朋友分苹果.每2人3个苹果；多2个苹果；每3人5个苹果；少4个苹果.问：有多少小朋友？多少苹果？第六讲流水问题想一想：从南京长江逆流而上去长江三峡；与从长江三峡顺水而下回南京；哪个花的时间少？哪个花的时间多？为什么？原因很简单.在长江行船与在一个平静的湖这行船是不一样的；因为长江的水是一直从西向东（也就是从上游向下游）流着的；船的速度会受到江水的影响.而在平静的湖水中行船时；船的速度不会受到水流的影响.考虑船在水流速度的情况下行驶的问题；就是我们这一讲要讲的流水问题.船在顺水航行时（比方说；从长江三峡顺流而下到南京）；船一方面按照自己本身的速度即船速（船在静水中行驶的速度）行驶；同时整个水面又按照水的流动速度在前进；水推动着船向前；所以；船顺水时的航行速度应该等于船本身的速度与水流速度的和.也就是顺水速度=船速+水速比方说；船在静水中行驶10千米；水流速度是每小时5千米；那么；船顺水航行的速度就是每小时10+5=15（千米）.同学们可以想一想；上面的问题中；如果是问“船逆水航行的速度是多少？”答案又该怎么样呢？船逆水行驶；情况恰好相反.本来船每小时行驶10千米；但由于水每小时又把它往回推了5千米；结果船每小时只向上游行驶了10—5=5（千米）.也就是船在逆水中的速度等于船速度与水速之差.即逆水速度=船速—水速例1、一艘每小时行驶30千米的客轮；在一河水中顺水航行165千米；水速每小时3千米.问：这艘客轮需要航行多少小时？例2、一艘船顺水行320千米需要8小时；水流速度是每小时15千米；这艘船逆水每小时行多少千米？这艘船逆水行这段路程；需要多少小时？例3、甲船逆水航行360千米需要18小时；返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的异端水路需要15小时；返回原地需要多少小时？练习与思考1.一只小船以每小时30千米的速度在176千米长的河中逆水而行；用了211小时.这只小船返回原处需要用多少小时？2.船在静水中的速度是每小时25千米；河水流速位每小时5千米；一只船往返甲、乙两港共花了9小时；两港相距多少千米？3.两地距280千米；一艘轮船在期间航行；顺流用去14小时；逆流用去20小时.求这艘轮船在静水中的速度和水流的速度.4.一架飞机所带的燃料；最多可以用6小时；飞机去是顺风；每小时可以飞1500千米；飞回时逆风；每小时可以飞1200千米.这架飞机最多飞出多少千米；就需要往回飞？5.乙船顺水航行2小时；行了120千米；返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路；用了3小时.甲船返回原地比去时多用多少小时？第七讲等差数列（1）1；2；3；4；5；6；7；8；…（2）2；4；6；8；10；12；14；16；…（3）1；4；9；16；25；36；49；…上面三组数都是数列.数列中称为项；第一个数叫第一项；又叫首项；第二个数叫第二项……以此类推；最后一个数叫做这个数列的末项.项的个数叫做项数.一个数列中；如果从第二项起；每一项与它前面一项的差都相等；这样的数列叫等差数列.后项与前项的差叫做这个等差数列的公差.如等差数列：4；7；10；13；16；19；22；25；28.首项是4；末项是28；共差是3.这一讲我们学习有关等差数列的知识.例题与方法例1、在等差数列1；5；9；13；17；…；401中401是第几项？例2、100个小朋友排成一排报数；每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3；小明站在第一个位置；小宏站在最后一个位置.已知小宏报的数是300；小明报的数是几？例3、有一堆粗细均匀的圆木；堆成梯形；最上面的一层有5根圆木；每向下一层增加一根；一共堆了28层.最下面一层有多少根？例4、1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=？例5、求100以内所有被5除余10的自然数的和.例6、小王和小胡两个人赛跑；限定时间为10秒；谁跑的距离长谁就获胜.小王第一秒跑1米；以后每秒都比以前一秒多跑0.1米；小胡自始至终每秒跑1.5米；谁能取胜？练习与思考（每题10分；共100分.）1.数列4；7；10；……295；298中298是第几项？2.蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米；第10小时蜗牛爬了1.9米；第一小时蜗牛爬多少米？3.在树立俄；10；13；16；…中；907是第几个数？第907个数是多少？4.求自然数中所有三位数的和.5.求所有除以4余1的两位数的和.6.0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+0 11+0 13+0 15+…0 99的和是多少？7.梯子最高一级宽32厘米；最底一级宽110厘米；中间还有6级；各级的宽度成等差数列；中间一级宽多少厘米？8.有12个数组成等差数列；第六项与第七项的和是12；求这12个数的和.9.一个物体从高空落下；已知第一秒下落距离是4.9米；以后每秒落下的距离是都比前一秒多9.8米50秒后物体落地.求物体最初距地面的高度.10.求下面数字方阵中所有数的和.1；2；3；…；98；99；1002；3；4；…99；100；1013；4；5；…；100；101；102……100,101,102, …197,198,199第八讲找规律你能找出下面各数列暴烈的规律吗？请在括号内填上合适的数》（1）8；15；22；（）；36；…；（2）17；1；15；1；13；1；（）；（）；9；1；…；（3）45；1；43；3；41；5；（）；（）；37；9；…；（4）1；2；4；8；16；（）；64；…；（5）10；20；21；42；43；（）；（）；174；175；…；（6）1；2；3；5；8；13；21；（）；55.例1. 1；2；3；2；3；4；3；4；5；4；5；6；6；7；…从第一个数算起；前100个数的和是多少？.练习与思考（第1题30分；其余每题10分；共100分.）（1）找规律；在括号内填上合适的数.（1）1,3,9,27,( ),243;（2）2,7,12,17,22,( ),( ),37;（3）1,3,2,4,3,( ),4;（4）0,3,8,15,24,( ) ,.48;（5）6,3,8,5,10,7,12,9,( ),11;（6）2,3,5,( ),( ),17,23;（7）81,64,（）；36；（）；16；9；4；1；（8）21；26；19；24；（）；（）；15；20；（9）1；8；9；17；26；（）；69；（10）4；11；18；25；（）；39；46；2.一串数按下面规律排列：1；3；5；2；4；6；3；5；7；4；6；8；5；7；9；…从第一个数算起；前100个数的和是多少？3.有一串黑白相间的珠子（如下图）；第100个黑珠前面一共有多少个白珠？4.在平面中任意作100条直线；这些直线最多能形成多少个交点？5.在平面中任意作20条直线；这些直线最多可把这个平面分成多少个部分？6.序号 1 2 3 4 5算式1+1 2+3 3+5 1+7 2+9序号 6 7 8 9 …算式3+11 1+13 2+15 3+17 …根据上面的规律；第40个序号的算式是什么？算式‘1+103“的序号上多少？7.小正方形的边长是1厘米；依次作出下面这些图形.已知第一幅图的周长是10厘米.（1）36个正方形组成的图形的周长是多少厘米？（2）周长是70厘米的图形；由多少个正方形组成？已知第一幅图的周长是10厘米.（1）36个正方形组成的图形的周厂是多少厘米？（2）周长是70厘米的图形；由多少个正方形组成？8在方格纸上画折线（如本讲例4图）；小方格的边长是1；图中的1；2；3；4；…分别表示折线扩大第1；2；3；4；…段.求折线中第100段的长度.长度是30的是第几段？能力测试（一）一、填空题（每空3分；工39分）.1.在下面的括号里按照规律填上适当的数字.（1）1；2；3；4；8；16；（）；64；128.（2）5；10；15；20；25；（）；35；40.（3）4；7；10；13；16；（）；22；25.（4）1；1；2；3；5；8；13；21；（）（5）1024；512；256；（）；64；32；16；8；4.（6）2；5；11；20；32；（）；65；86.（7）1；3；2；4；3；5；（）；6；5.（8）1；4；9；16；25；（）；49；64.1.9个人9天共读书1620页；平均1个人1天共读书（）页；照这样计算；5个同学5天读书（）页.2.如果平均1个同学1天植树（）棵；那么；3个同学4天共植树120棵.3.买3只足球和9只篮球共用了570元；买9只足球和27只篮球要用（）元.二、计算题（每小题5分；共10分）.1.2+4+6+8+10+ … +22+24+262.1+2+3+4+5+6+ … +1996+1997+1998三、应用题（第1～4题10其余每题10分；第5题11分；共51分）.1.李老师将一叠练习本分给第一组的同学；如果每人分7本；还多7本.如果每人分9；那么有一个同学译本也分不到.第一组有多少同学？这叠练习本一共有多少本？2.一只小船在河中逆流航行176千米；用了11小时.一知水流速度是每小时4千米；这只小船返回原处要用多少小时？3.4只篮球和8只足球共买560元；6只篮球和3只足球共买390元.问：一只篮球和一只足球各买多少元？4.有10元钞票与5元钞票共128张；其中10元比5元多260元.两种面额的钞票各是多少张？5.下面是一种特殊数列的求和方法.要求数列2；4；8；16；32；64；…；1024；2048的和；方法如下：S= 2+4+8+16+32+64+ … +1024+204822S = 4+8+16+32+64+ … +1024+2048+4096用下面的式子减去上面的式子；就得到S =4096 – 2 = 4094即数列2；4；8；16；32；64；…；1024；2048的和是4094.仔细阅读上面的求和方法；然后利用这种方法求下面数列的和.1；3；9；27；81；243；…；177147；531441.第九讲加法原理在日常生活与实践中；我们经常会遇到分组、计数的问题.解答这一类问题；我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理.熟练掌握这两个原理；不仅可以顺利解答这类问题；而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础.什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题：从南京到上海；可以乘火车；也可以乘汽车、轮船或者飞机.假如一天中南京到上海有4班火车、6班汽车；3班轮船、2班飞机.那么一天中乘做这些交通工具从南京到上海共有多少种不同的走法？我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法；那么从南京到上海；乘火车有4种走法；乘汽车有6种走法；乘轮船有3种走法；乘坐飞机有2种走法.因为每一种走法都可以从南京到上海；因此；一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法.我们说；如果完成某一种工作可以有分类方法；一类方法中又有若干种不同的方法；那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和.即N = m1 + m2 + … + m n (N代表完成一件工作的方法的总和；m1,m2, … m n 表示每一类完成工作的方法的种数).这个规律就乘做加法原理.例1 书架上有10本故事书；3本历史书；12本科普读物.志远任意从书架上取一本书；有多少种不同的取法？例2一列火车从上上海到南京；中途要经过6个站；这列火车要准备多少中不同的车票？例3在4 x 4的方格图中（如下图）；共有多少个正方形？例4 妈妈；爸爸；和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？练习与思考1.从甲城到乙城；可乘汽车；火车或飞机.已知一天中汽车有2班；火车有4班；甲城到乙城共有（）种不同的走法.2.一列火车从上海开往杭州；中途要经过4个站；沿途应为这列火车准备____种不同的车票.3.下面图形中共有____个正方形.4.图中共有_____个角.5.书架上共有７种不同的的故事书；中层６本不同的科技书；下层有４钟不同的历史书.如果从书架上任取一本书；有____种不同的取法.6.平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上）；经过每两个点画一条直线；共可以画_____条直线.7.图中共有_____个三角形.8.图中共有____个正方形．9.从2；3；5；7；11；13；这六个数中；每次取出两个数分别作为一个分数的分子和分母；一共可以组成_____个真分数．10.某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站（包括Ａ站和Ｆ站）铁路局要为在Ａ站到F站之间运行的。
2019年浙江省中考《第34讲：归纳、猜想与说理型问题》总复习讲解
第34讲 归纳、猜想与说理型问题(建议该讲放第11讲后教学)类型一 通过数式变化产生规律例1 (2019·淄博)(1)填空：(a －b)(a ＋b)＝ ； (a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝ ； (a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝ ； (2)猜想：(a －b)(an －1＋an －2b ＋…＋abn －2＋bn －1)＝ (其中n 为正整数，且n≥2)；(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.【解后感悟】此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是先计算，再观察各等式的结构，猜想结果并验证．对于(3)根据结构特征进行设、列来构建等式求解．1．(1)(2019·资阳模拟)设一列数中相邻的三个数依次为m 、n 、p ，且满足p ＝m 2－n ，若这列数为－1，3，－2，a ，－7，b …，则b ＝ .(2)(2019·德州模拟)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：输入x ――→第1次y 1＝2x x ＋1――→第2次y 2＝2y 1y 1＋1――→第3次y 3＝2y 2y 2＋1――→…则第n 次运算的结果y n ＝ (用含字母x 和n 的代数式表示)．类型二 通过图形变化产生规律例2 (2019·达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( )A ．25B ．33C ．34D ．50【解后感悟】本题通过一次操作，得到下一个图形的三角形个数与上一个图形的三角形个数之间的数量关系是解题的关键．解决这类问题的关键是仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．2．(2019·舟山)如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan ∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝____________________，…按此规律，写出tan ∠BA n C ＝____________________(用含n 的代数式表示)．类型三 通过平移、折叠产生规律例3 如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n－1D n－2的中点为D n－1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n－1重合，折痕与AD交于点P n(n＞2)，则AP6的长为( )A.5×35212B.365×29C.5×36214D.375×211【解后感悟】此题是翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．3．如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA＝1，OC＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次(n＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为(用含n的代数式表示)．类型四通过旋转产生规律例4(2019·衢州)如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为________．【解后感悟】解题的关键是尝试特殊情况，寻找循环规律，从特殊到一般的探究方法解决问题．4．(2019·东港模拟)如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1(点O，B1，A1按逆时针方向排列)，称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2(点O，B2，A2按逆时针方向排列)，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB n A n 的边OA n 与等边△OBA 的边OB 第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是 .类型五 以数轴、平面直角坐标系为背景的规律问题例5 (2019·菏泽)如图，一段抛物线：y ＝－x(x －2)(0≤x≤2)记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进行下去，直至得到C 6，若点P(11，m)在第6段抛物线C 6上，则m ＝ .【解后感悟】此题是抛物线其中一段的旋转规律，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．5．(1)如图，在数轴上，A 1，P 两点表示的数分别是1，2，A 1，A 2关于点O 对称，A 2，A 3关于点P 对称，A 3，A 4关于点O 对称，A 4，A 5关于点P 对称…依此规律，则点A 14表示的数是 .(2) (2019·达州)在直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3、…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…S n ，则S n 的值为____________________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．【探索研究题】用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S ，该多边形各边上的格点个数和为a ，内部的格点个数为b ，则S ＝12a ＋b －1(史称“皮克公式”)．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形格中的类似问题进行探究：正三角形格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：则S 与a 、b 之间的关系为S ＝________(用含a 、b 的代数式表示)．【方法与对策】此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．该题型采用特殊到一般探究问题的方法．是中考命题的一种方式．【探求一般规律，注意序号与变量之间对应关系】如图，△ABC 是斜边AB 的长为3的等腰直角三角形，在△ABC 内作第1个内接正方形A 1B 1D 1E 1(D 1、E 1在AB 上，A 1、B 1分别在AC 、BC 上)，再在△A 1B 1C 内按同样的方法作第2个内接正方形A 2B 2D 2E 2，…如此下去，操作n 次，则第n 个小正方形A n B n D n E n 的边长是________．第34讲 归纳、猜想与说理型问题【例题精析】例1 (1)a 2－b 2，a 3－b 3，a 4－b 4； (2)a n－b n； (3)令S ＝29－28＋27－…＋23－22＋2，∴S －1＝29－28＋27－…＋23－22＋2－1＝[2－(－1)](29－28＋27－…＋23－22＋2－1)÷3＝(210－1)÷3＝(1024－1)÷3＝341，∴S ＝342.例2 ∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个；…∴第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝(3n ＋1)个；当3n ＋1＝100时，解得：n ＝33，故选：B.例 3 由题意得，AD ＝12BC ＝52，AD 1＝AD －DD 1＝158，AD 2＝5×3225，AD 3＝5×3327，…∴AD n ＝5×3n22n ＋1.故AP 1＝54，AP 2＝1516，AP 3＝5×3226…AP n ＝5×3n －122n.∴当n ＝6时，AP 6＝5×35212.故选A.例4 如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋43π，∵2019÷3＝672……1，∴翻滚2019次后AB 中点M 经过的路径长为672·⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋43π＋233π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134633＋896π.故答案为(5，3)；⎝ ⎛⎭⎪⎫134633＋896π.例5 ∵y＝－x(x －2)(0≤x≤2)，∴配方可得y ＝－(x －1)2＋1(0≤x≤2)，∴顶点坐标为(1，1)，∴A 1坐标为(2，0)，∵C 2由C 1旋转得到，∴OA 1＝A 1A 2，即C 2顶点坐标为(3，－1)，A 2(4，0)；照此类推可得，C 3顶点坐标为(5，1)，A 3(6，0)；C 4顶点坐标为(7，－1)，A 4(8，0)；C 5顶点坐标为(9，1)，A 5(10，0)；C 6顶点坐标为(11，－1)，A 6(12，0)；∴m＝－1.故答案为：－1.【变式拓展】1．(1)128 (2)2nx （2n－1）x ＋1 2.113 1n 2－n ＋1 3.145n （n ＋1）或65n （n ＋1） 4.1310 5.(1)－25 (2)22n －3【热点题型】【分析与解】根据8＝8＋2(1－1)，11＝7＋2(3－1)得到S ＝a ＋2(b －1)． 填表如下：【错误警示】∵∠A＝∠B＝45°，∴AE1＝A1E1＝A1B1＝B1D1＝D1B，∴第一个内接正方形的边长＝3AB＝1；同理可得：第二个内接正方形的边长＝13A1B1＝19AB＝13；第三个内接正方形的边长＝13A2B2＝127AB＝19；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长＝13n AB＝13n－1，故答案为：13n－1.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB 4=，BAD ∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG AE ⊥，垂足为G ，若DG 1=，则AE 的边长为( )A ．B ．C ．4D ．82．如图所示，点A 是双曲线y=1x（x ＞0）上的一动点，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，作AC 的垂直平分线双曲线于点B ，交x 轴于点D ．当点A 在双曲线上从左到右运动时，四边形ABCD 的面积（ ）A ．不变B ．逐渐变小C ．由大变小再由小变大D ．由小变大再由大变小3．若k ＞0，点P （﹣k ，k ）在第（ ）象限． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则sin B 的值为（ ）A ．23B ．35C ．34D ．455．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1，0)与(0，2)，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是( )A ．x 1>-B ．x 1<-C ．x 2>D ．x 2<6．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD=ABC S ∆=tanC 的值为（ ）A ．13 B ．12C D 7．下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＞1的是（ ）A ．y =B ．11-=x yC ．11-=x y D ．y ＝（x ﹣1）08．关于x 的正比例函数，y=（m+1）23m x -若y 随x 的增大而减小，则m 的值为 （ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．-129．要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排6天，每天安排6场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( ) A ．()1x x 1362+= B ．()1x x 1362-= C ．()x x 136+= D ．()x x 136-=10．下面是一个几何体的俯视图，那么这个几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a+b ＞0，③4ac ＜b 2，④a+b+c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤12．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出两个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12二、填空题13．矩形的面积是240m ，设它的一边长为x （单位：m ），则矩形的另一边长y （单位：m ）与x 的函数关系是__________．14．已知直线y 1＝kx ＋1(k ＜0)与直线y 2＝nx(n ＞0)的交点坐标为(13，13n )，则不等式组nx －3＜kx ＋1＜nx 的解集为______．15．若a ，b 分别是方程x 2+2x-2017=0的两个实数根，则a 2 +3a+b=_________． 16．函数y =中，自变量x 的取值范围是________. 17．因式分解：244a a -+=____.18．这段时间，一个叫“学习强国”的理论学习平台火了，很多人主动下载、积分打卡，兴起了一股全民学习的热潮．据不完全统计，截止4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达8830万次，请将8830万用科学记数法表示为是_____． 三、解答题 19．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过A 作AB 的垂线，交BC 的延长线于点D ，O 的切线CE 交AD 于点E .（1）求证：12CE AD =； （2）若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连接CF 交AB 于点G ，且AD=6，AB=3，求CG 的长．20．阅读下列材料，解决问题：12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a 1＝1，第二个橄榄数为a 2＝121，第三个橄榄数为a 3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：1111⨯=2222121121⨯=++3333331232112321⨯=++++…… 根据以上材料，回答下列问题（1）11111112＝ ；将123454321变形为对称式：123454321＝ ．（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．（3）证明任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除（m ＝1，2…9，n ＝1，2…9，m ＞n ）21．已知方程组2+24x y ax by =-⎧⎨-=-⎩和方程组3128x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求（2a+b ）2015的值． 22．如图，ABC △的顶点分别为()()()3,4,B 4,2,C 2,1.A（1）请在平面直角坐标系中做出ABC △绕原点O 逆时针旋转90后得到的111A B C △(点,,A B C 的对应点分别为111,,A B C );(2) 画出点A 在旋转过程中所经过的路径，并求出点A 所经过的路径的长23．如图，二次函数图象的顶点为（﹣1，1），且与反比例函数的图象交于点A （﹣3，﹣3）（1）求二次函数与反比例函数的解析式；（2）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量x 的取值范围．24．传统文化与我们生活息息相关，中华传统文化包括古文古诗、词语、乐曲、赋、民族音乐、民族戏剧、曲艺、国画、书法、对联、灯谜、射覆、酒令、歇后语等．在中华优秀传统文化进校园活动中，某校为学生请“戏曲进校园”和民族音乐”做节目演出，其中一场“戏曲进校园”的价格比一场“民族音乐”节目演出的价格贵600元，用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍，求一场“民族音乐”节目演出的价格．25．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：2803(2)4xx x-<⎧⎨--⎩…．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．40 yx =14．14 33x<<15．201516．5x>-17．（a-2）218．83×107．三、解答题19．（1）详见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）利用AB是⊙O的直径判断AD是⊙O的切线，利用切线长定理判断出AE=CE，进而得出∠DAC=∠EAC，再用等角的余角相等判断出∠D=∠DCE，得出DE=CE，即可得出结论；（2）先求出tan∠ABD值，进而得出GH=2CH，进而得出BC=3BH，再求出BC建立方程求出BH，进而得出GH，即可得出结论．【详解】（1）∵AB是⊙O直径，AB⊥AD，∴AD是⊙O的切线，∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE=CE，∴∠DAC=∠ECA，∵∠ACD=90°，∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°，∴∠D=∠DCE，∴DE=CE，∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，∴CE=12 AD；（2）如图，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，∴tan∠ABD=ADAB=2，过点G作GH⊥BD于H，∴tan∠ABD=GHBH=2，∴GH=2BH，∵点F是直径AB下方半圆的中点，∴∠BCF=45°，∴∠CGH=∠CHG-∠BCF=45°，∴CH=GH=2BH，∴BC=BH+CH=3BH，在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC=2，∴AC=2BC，根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，∴4BC2+BC2=9，∴，∴，∴，∴，在Rt△CHG中，∠BCF=45°，∴5．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出tan∠ABD的值是解本题的关键．20．（1）55555555551234567654321,123454321⨯++++++++；（2）65，74，83，92；（3）任意两个橄榄数a m，a n的各数位之和的差能被m﹣n整除．【解析】【分析】（1）根据题中给出的定义，直接可得：（2）设十位数字是x，个位数字是y，根据题意得到x+y=11，进而确定两位数；（3）根据数的规律求得a m的各数位之和m2，a n的各数位之和n2，然后因式分解证明结论. 【详解】（1）根据题中给出的定义，直接可得：11111112＝1234567654321，123454321＝⨯++++++++5555555555 123454321；（2）设十位数字是x，个位数字是y，x＞y，10x+y+10y+x＝11（x+y）＝121，∴x+y＝11，∴这个两位数是65，74，83，92；（3）a m的各数位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝(1)(1)22m m m m+-+＝m2，a n的各数位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝(1)(1)22n n n n+-+＝n2，∴a m，a n的各数位之和的差为m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），∵m＞n，∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）能被m﹣n整除，∴任意两个橄榄数a m，a n的各数位之和的差能被m﹣n整除．【点睛】本题考查新定义，字母表示数，自然数求和，因式分解；能够理解定义，熟练掌握因式分解，自然数求和方法是解题的关键．21．【解析】【分析】由两个方程组中不含a、b的两个方程可组成一个新的方程组，可求得x、y的值，再代入含有a、b的两个方程，可得到关于a、b的方程组，可求得a、b的值，代入计算即可．【详解】方程组224x yax by+-⎧⎨--⎩＝①＝②与3128x ybx ay＝③＝④-⎧⎨+-⎩有相同的解，∴由①、③可得方程组22312x y x y +-⎧⎨-⎩＝＝，解得26x y ⎧⎨-⎩＝＝， 再把26x y ⎧⎨-⎩＝＝代入②、④可得方程组264268a b b a +-⎧⎨--⎩＝＝，解得11a b ⎧⎨-⎩＝＝， ∴（2a+b ）2015=（2-1）2015=1．【点睛】本题主要考查方程组的解法，利用方程组的解相同求得方程组中x 、y 的值是解题的关键．22．(1) 111A B C △如图所示见解析；(2) 路径如图所示见解析，路径长为52π 【解析】【分析】（1)在平面直角坐标系中画出A,B,C 的对应点111,,A B C ,然后顺次连接即可;(2)求出AO 的长，根据弧长公式进行计算即可求出点A 所经过的路径长.【详解】(1) 111A B C △如图所示(2) 路径如图所示，则路径长为905180π⋅⋅ =52π. 【点睛】此题考查作图-旋转变换，解题关键在于掌握作图法则23．（1）y ＝﹣（x+1）2+1，9y x=；（2）原点（0，0）是在二次函数的图象上；（3）当x ＜﹣3或x ＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．【解析】【分析】（1）设二次函数为y ＝a （x+1）2+1，设反比例函数的解析式为y ＝k x，把A 点的坐标代入，关键待定系数法即可求得；（2）把x ＝0代入求得的二次函数的解析式即可判断；（3）由两函数的图象直接写出x 的取值范围即可．【详解】解：（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，∵经过点A（﹣3，﹣3）∴﹣3＝4a+1，∴a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，设反比例函数的解析式为y＝kx，∵二次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣3）∴k＝﹣3×（﹣3）＝9，∴反比例函数的解析式为y＝9x；（2）把x＝0代入y＝﹣（x+1）2+1，得y＝﹣1+1＝0，∴原点（0，0）是在二次函数的图象上；（3）由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为A（﹣3，﹣3），当x＜﹣3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．【点睛】本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求二次函数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围．24．一场“民族音乐”节目演出的价格为4400元．【解析】【分析】设一场“民族音乐”节目演出的价格为x元，根据等量关系：用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍列出分式方程求解即可.【详解】设一场“民族音乐”节目演出的价格为x元，则一场“戏曲进校园”的价格为（x+600）元．由题意得：2000088002600x x=⨯+解得：x＝4400经检验x＝4400是原分式方程的解．答：一场“民族音乐”节目演出的价格为4400元．【点睛】本题运用了分式方程解应用题，找准等量关系列出方程是解决问题的关键.25．1≤x＜4，见解析.【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【详解】解：2803(2)4 xx x-<⎧⎨--⎩①②…解不等式①得：x＜4，解不等式②得：x≥1，所以不等式组的解集是：1≤x＜4，表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N 平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是A ．先向下移动1格，再向左移动1格B ．先向下移动1格，再向左移动2格C ．先向下移动2格，再向左移动1格D ．先向下移动2格，再向左移动2格2．在函数y =x 的取值范围是（ ） A.x 2≠-B.x 0>C.x 2>-D.x 2≥- 3．12019的倒数是（ ） A.12019 B.﹣12019C.2019D.﹣2019 4．2018年10月24日港珠澳大桥正式通车.港珠澳大桥是在“一国两制”框架下，粤港澳三地首次合作共建的超大型基础设施项目，总投资约480亿元，大桥全长55000米，主体工程集合了桥、岛、隧三部分.隧道两端的东西两个海中人工岛，犹如“伶仃双贝”熠熠生辉，寓意三地同心的青州航道桥，形似中华白海豚的江海直达航道桥，以及扬帆起航的九洲航道桥，也是伶仃洋上别致的风景.将数据480亿用科学记数法表示为（ ）A ．848010⨯B ．94810⨯C ．104.810⨯D ．110.4810⨯5．下列运算正确的是（ ）A.a 2×a 3＝a 6B.a 2+a 2＝2a 4C.a 8÷a 4＝a 4D.（a 2）3＝a 56．如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（-3，-2），⊙A 的半径为1，P 为x 轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，则当PQ 最小时，P 点的坐标为（ ）A ．（-3，0）B ．（-2，0）C ．（-4，0）或（-2，0）D ．（-4，0）7．计算（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006的结果是（ ）A B C +2 D ．08．下列运算正确的是( )A ．336a a a +=B ．222()a b a b +=+C ．22122m m -= D ．2222)2961a a a ÷=-+ 9．如图，将一副三角板如图放置，BAC ADE 90∠∠==，E 45∠=，B 60∠=，若AE //BC ，则AFD (∠= )A ．75B ．85C ．90D ．6510．为了改善人民生活环境，建设美丽家园，某省第一季度投放垃圾箱及环境保护牌共250000个．将250000用科学记数法表示为（ ）A ．2.5×104B ．2.5×105C ．25×104D ．0.25×10711．函数x 的取值范围是（ ）A ．x≥-3B ．x≠-3C ．x>-3D ．x≤-312．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．2500(12)12000x +=B ．22500(1)12000x +=C ．25002500(1)2500(12)12000x x ++++=D ．225002500(1)2500(1)12000x x ++++=二、填空题13．有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）.现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为____.14．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.5环，方差分别是S 甲2=0.90平方环，S 乙2=1.22平方环，在本次射击测试中，甲、乙两人中成绩较稳定的是__．15．如图，在Rt △OAB 中，OA=4，AB=5，点C 在OA 上，AC=1，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数 k y x= （k≠0）的图象经过圆心P ，则k=________.16．直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中如图所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为________________．17．如图，点A 的坐标（﹣1，2），点A 关于y 轴的对称点的坐标为__________．18．某实验室对150款不同型号的保温杯进行质量检测，其中一个品牌的30款保温杯的保温性、便携性与综合质量在此检测中的排名情况如图所示，可以看出其中A 型保温杯的优势是_____．三、解答题19．今年，某社区响应泰州市政府“爱心一日捐”的号召，积极组织社区居民参加献爱心活动．为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计（统计表如下），数据整理成如图所示的不完整统计图．请结合图中相关数据回答下列问题：捐款分组统计表（1）本次调查的样本容量是多少？（2）求出C组的频数并补全捐款户数条形统计图．（3）若该社区有1000户住户，请估计捐款不少于200元的户数是多少？20．（1）计算：|1（12）﹣1﹣2tan60°（2）先化简，再求值：22121()242x x xxx x-++÷-++，其中x﹣1．21．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN项部M的仰角为37°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）22．下面是两个转盘，每个转盘分成几个相等的扇形，甲、乙两个人做游戏，游戏者同时转动两个转盘一次，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，则甲赢否则乙赢．（1）甲和乙获胜的概率分别是多少？（2）这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．（3）如果你认为不公平，应怎样修改才能使游戏对双方公平？23．为了丰富学生的校园文化生活，学校开设了书法、体育、美术音乐共四门选修课程.为了合理的分配教室，教务处问卷调查了部分学生，并将了解的情况绘制成如下不完整的统计图：（1）参与问卷调查的共有________人，其中选修美术的有________人，选修体育的学生人数对应扇形统计图中圆心角的度数为________.（2）补全条形统计图；（3）若每人必须选修一门课程，且只能选一门，已知小红没有选体育，小刚没有选修书法和美术，则他们选修同一门课程的概率是多少，列树状图或列表法求解.24．一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．25．如图，已知在矩形ABCD中，E是BC边上的一个动点，点F，G，H分别是AD，AE，DE的中点．（1）求证：四边形AGHF是平行四边形；（2）若BC＝10cm，当四边形EHFG是正方形时，求矩形ABCD的面积．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1 214．甲15．5 416．1x<-；17．（1，2）18．便携性三、解答题19．（1）50；（2）C组的频数是：50×40%＝20；图见解析；（3）760.【解析】【分析】(1)根据样本的容量=A、B两组捐款户数÷A、B两组捐款户数所占的百分比即可求出(2)C组的频数=样本的容量×C组所占的百分比,进而可以补全捐款户数条形统计图;(3)捐款不少于200元的有C、D、E、两组,捐款不少于200元的户数=1000×D、E两组捐款户数所占的百分比;【详解】解：（1）调查样本的容量是：（10+2）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝50；（2）C组的频数是：50×40%＝20；补全捐款户数条形统计图如图所示：（3）估计捐款不少于200元的户数是：1000×（28%+8%+40%）＝760户．【点睛】此题综合考查了频数(率)分布表，扇形统计图，用样本估计总体，频数(率)分布直方图和扇形统计图，需要熟悉以上考点才能解答出此题20．（1+1；（2．【解析】【分析】（1）根据绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（1）|1|+（12）﹣1﹣2tan60°1+21+2﹣；（2）22121() 242 x x xxx x-++÷-++＝21(2)(21) 222x x x xx x-+-+÷++（）（）＝2212 22221 x xx x x x-+++--（）（）＝211211 xx x-+-（）（）（）＝12(1)xx-+，当x﹣1＝12．【点睛】本题考查分式的化简求值、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．21．人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【解析】【分析】在Rt△MED中，由∠MDE＝45°知ME＝DE，据此设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，由ME＝EC•tan ∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求得x的值，根据MN＝ME+EN可得答案．【详解】由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15，在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．22．（1）1625，925；（2）不公平，理由见解析；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【解析】【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，再根据概率公式计算可得；（2）由（1）的结果，判断两人获胜的概率是否相等，得到结论不公平．（3）只要使甲、乙获胜的概率相等即可．【详解】解：（1）列表如下：由表知，共有25种等可能结果，其中转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色有16种结果，∴甲获胜的概率为16 25，则乙获胜的概率为925；（2）不公平，因为1625≠925；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．23．（1）60,12,108°；（2）详见解析；（3）1 6【解析】【分析】（1）用参与了解的音乐的学生数除以所占的百分比即可求得调查的总人数；用总人数减去书法的人数减去体育和音乐的人数就可得到美术的人数；用选修体育的人数除以总人数再乘以360°即可求出对应扇形的圆心角；.（2）根据选修课程的人数补全条形统计图即可；.（3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．【详解】(1) 由条形统计图可知音乐有24人，由扇形统计图可知音乐占40%，2440%=60∴÷（人）；。
高考数学一轮总复习 5.34 等差、等比数列的性质及综合应用课件 理
三、等差、等比数列综合
例3已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的
积为 8.
(1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若 a2，a3，a1 成等比数列，求数列{|an|}的前 n 项和．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
第十七页，共40页。
当 n≥3 时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋（n－2）[2＋2 （3n－7）]＝23n2－121n＋10. 当 n＝2 时，满足此式．
4, n 1,
综上，Sn＝
3 2
n2
11 2
n
10,
n
2.
【点评】本例(2)小问求解的关键是确定项的正负取值情况 (qíngkuàng)，以去掉绝对值，化归为等差数列的和．
第十三页，共40页。
②证法一：对任意 k∈N＋， Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk) ＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1 ＝2ak＋1＋ak＋1·(－2) ＝0， 所以，对任意 k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1 成等差数列． 证法二：对任意 k∈N＋，2Sk＝2a1（11－－qqk），
【点评】本例第(3)小问题的求解，实质上是探究数列{dn}的 通项公式，然后(ránhòu)依通项公式确定其为等比数列．
第二十三页，共40页。
〔备选题〕例5在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84， a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意 m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m，92m) 内的项的个数记为 bm，求数列{bm}的前 m 项和 Sm.
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第34讲
直线l0：7x＋5y＝0的平行直线l：7x＋5y＝t，当直线l经过A点时，S可取
最大值．由方程组
4x＋3y－20＝0 x－3y－2＝0
，可得 A
22 4 点坐标 ， ，然而点 5 5
A 不是整
数，A 点坐标不能作为最优解．
第27页
高考总复习（文、理）
因经过点 A 的目标函数所确定的直线 l 为： 4 7x＋5y＝34 ， 5 令 7x＋5y＝34，经验证可得： 在可行域中与此直线 l 距离最近的整点为 B(2,4)， SB＝7×2 使 ＋4×5＝34 为最大．
第10页
高考总复习（文、理）
解析：不等式 f(x)＋f(y)≤0 可转化为(x－1)2＋(y－1)2≤2，不 等式 f(x)－f(y)≥0 可转化为(x－y)(x＋y－2)≥0.于是点(x， y)所形成 1 的区域为两个 圆面，而圆面积是 2π. 4
答案：D
第11页
高考总复习（文、理）
点评：学习数学要在“做中学”，勤动笔，勤动脑，这里的“动 ”是没有人可以替代的．
反．把点(3,1)和(4，－6)分别代入3x－2y＋a，得7＋a,24＋a.
由题意知：(7＋a)(24＋a)＜0⇔－24＜a＜－7. 答案：D
第8页
高考总复习（文、理）
2 ． (2010· 家 庄 质 检 一 ) 已 知 变 量 x ， y 满 足 约 束 条 件 石
y≤x x＋y≥2 ，则目标函数 z＝2x＋y 的最大值为( y≥3x－6
高考总复习（文、理）
解析：不等式x－2y＋1＞0表示直线x－2y＋1＝0右下方的点的集合 ；
不等式x＋2y＋1≥0表示直线x＋2y＋1＝0上及其右上方的点的集合
； 不等式1＜|x－2|≤3可化为－1≤x＜1或3＜x≤5，它表示夹在两平行
2015中考夺分自主复习课件_第34讲函数问题(共39张PPT)
例 1 [2014· 南充] 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象 如图 34－1 所示， 下列结论： ①abc＞a－b＋c＞0； ⑤若 ax2 ＋ bx ＝ ax 1 1 2＋bx2， 且 x1≠x2，则 x1＋x2＝2.其中正确的有 ( )
第34讲┃ 函数问题
解：(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)， k＝－ ， 10k＋b＝60， 2 根据题意，得 解得 20k＋b＝55， 1 1 ∴y＝－ x＋65. 2 b＝65.
A．①②③ B．②④
图 34－1 C．②⑤ D．②③⑤ 第34讲┃ 函数问题
【例题分层探究】 (1)如何确定 a，b 以及 c 的符号？由以上结论判断 abc 与 2a＋b 与 0 的大小关系． (2)分别求当 x＝1，x＝m(m≠1)时的函数值， 由函数图象知 这两个值哪一个更大？ (3)当 x＝－1 时， 函数值是多少？根据抛物线的对称性， 表 示这一对数值的点大约位于哪一象限？ (4)平行于 x 轴的直线交抛物线于两点，这两点的纵坐标有 怎样的数量关系？这两点的横坐标之和是多少？
第34讲
函数问题
在中考中， 有关函数问题主要考查函数的图象和性质及 函数的应用，而函数与几何知识的综合应用是其中的难点， 一般通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数解析式， 进一步研究几何的性质，建立函数与几何的有机联系．常涉 及数形结合思想、方程思想及建模思想．
第34讲┃ 函数问题
┃考向互动探究┃ 探究一 函数的图象与性质综合
探究二
函数在实际生活中的应用
例 2 [2013· 临沂] 某工厂投入生产一种机器的总成本为 2000 万元． 当该机器生产数量至少为 10 台，但不超过 70 台时，每台成本 y 与生产数 量 x 之间是一次函数关系，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x(单位：台) 10 20 30 y(单位：万元/台) 60 55 50 (1)求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)求该机器的生产数量； (3)市场调查发现，这种机器每月销售量 z(台) 与售价 a(万元/台)之间满足如图 34－3 所示的函数 关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价 共卖出这种机器 25 台，请你求出该厂第一个月销 售这种机器的利润(注：利润＝售价－成本)．
高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第34讲 一元二次不等式及其解法(50张PPT)
②若 a＝12，则不等式为(x－2)2<0，不等式的解集为∅；
③若 a>12，则1a<2，此时不等式的解集为1a，2.
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第34讲 一元二次不等式及其解法
(2)当 a＝0 时，不等式为－x＋2<0， 此时不等式的解集为(2，＋∞)．
点
(3)当 a<0 时，不等式可化为x－1a(x－2)>0.
面
（x－a）（x－b）≥0，
xx－ －ab≥0 等价于_x_－___b_≠__0_____________；
xx－ －ab≤0 等价于（x－x－b≠a）0. （x－b）≤0，
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第34讲 一元二次不等式及其解法
双
向
—— 链接教材 ——
固
基 础
1 ． [ 教 材 改 编 ] 不 等 式 － x2 － x ＋ 2≥0 的 解 集 是
础 间的函数关系式为 y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，
若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不
小于总成本)时的最低产量是________台．
[答案] 150
[解析] 根据题意，得 3000＋20x－0.1x2≤25x，移项 整理，得 x2＋50x－30 000≥0，解得 x≤－200(舍去)或 x ≥150.因为 x∈N，则生产者不亏本时的最低产量是 150 台．
即 0<|x|<2，解得－2<x<0 或 0<x<2，故所求的不等式的解
点 集是(－2，0)∪(0，2)．
面 讲 考
(2)x－1x<0⇒x2－x 1<0⇒x<－1 或 0<x<1；x2－1x>0⇒x<0
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
安全工程师：第34讲第八章-安全生产统计分析
第八章安全生产统计分析大纲要求：安全生产统计分析。
运用安全生产与职业卫生统计指标以及常用统计分析方法，分析生产安全事故、职业危害的特点与规律，制定防范对策措施。
内容讲解：第一节统计基础知识安全生产统计主要包括生产安全事故统计、职业卫生统计、安全生产行政执法统计。
一、统计工作的基本步骤完整的统计工作一般包括设计、收集资料(现场调查)、整理资料、统计分析4个基本步骤。
【2011.82】某企业为保持安全生产形势的持续稳定，对企业近二十年发生的各类伤亡事故进行统计分析，研究企业安全管理存在的问题，制订预防事故的安全生产措施。
采取的统计分析基本步骤包括()。
A.整理资料B.收集资料C.统计设计D.统计分析E.计量统计【答案】ABCD二、统计学基本知识㈠统计资料的类型统计资料(或称统计数据)有3种类型：计量资料、计数资料和等级资料(介于计量资料和计数资料之间)。
㈡统计学中的重要概念1.变量；2.变异；3.总体与样本；4.随机抽样；5.概率；6.误差【2011.68】在统计学中，由于仪器不准确、标准不规范等原因造成测试结果倾向性偏大或偏小，这种误差称为()误差。
A.随机测量B.人为C.系统D.随机抽样【答案】C三、统计图表的编制㈠统计表简单表：表格只有一个中心意思，即二维以下的表格。
复合表：表格有多个中心意思，即三维以上的表格。
㈡统计图【2015.65】为了有效降低高速公路的交通事故率，某省交通管理部门开展了高速公路交通流特性研究，该交通管理部门采用先进的数据采集和处理技术，获取了大量高速公路交通流的速度、流量和密度数据。
在进行交通流数据分析时，能够很好的反映出速度-密度、密度流量和速度流量二者之间关系的统计图是()。
A.直方图B.半对数线图C.条图D.散点图【答案】D四、统计描述与统计推断统计的主要工作就是对统计数据进行统计描述和统计推断。
统计描述是统计分析的最基本内容，是指应用统计指标、统计表、统计图等方法，对资料的数量特征及其分布规律进行测定和描述。
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第34讲最值问题
内容概述
均值不等式,即与为定值得两数得乘积随着两数之差得增大而减小.各种求最大值或最小值得问题，解题时宜首先考虑起主要作用得量，如较高数位上得数值,有时局部调整与枚举各种可能情形也就是必要得。
典型问题
２.有4袋糖块，其中任意３袋得总与都超过60块．那么这4袋糖块得总与最少有多少块?
【分析与解】方法一：设这4袋为A、Ｂ、C、D，为使4袋糖块得总与最少，则每袋糖应尽量平均,有A、B、C袋糖有20、2０、２1块糖．
则当A、B、Ｄ三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于2１块,验证A、B、C、D这4袋糖依次有２0，20，２l，2l时满足条件，且总与最少.
这4袋糖得总与为20+20+2１+21=8２块。
方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖,
有,①+②＋③+④得：3（a+ｂ＋c＋d）≥244,所以a+b+c＋d≥81,因为ａ+ｂ＋ｃ+d均就是整数，所以a+b+c+d得与最小就是8２。
评注：不能把不等式列为,如果这样将①＋②+③+④得到３（a＋b+ｃ+d)>240,a＋b+ｃ+ｄ〉80,因为ａ、b、ｃ、d均就是整数，所以a+b+c+d得与最小就是81、至于为什么会出现这种情况.如何避免，希望大家自己解决、
4。
用１,3,5，7，9这５个数字组成一个三位数ＡBC与一个两位数DＥ,再用O,2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH与一个两位数IJ．求算式ＡBC×DE-FGＨ×IJ得计算结果得最大值.
【分析与解】为了使ＡBC×DE－FＧH×IJ尽可能得大，ＡBC×ＤＥ尽可能得大,FGH×IJ尽可能得小.
则ABC×DE最大时,两位数与三位数得最高位都最大，所以为７、9，然后为3、５,最后三位数得个位为1，并且还需这两个数尽可能得接近，所以这两个数为7５1,93.
则FGH×IＪ最小时,最高位应尽可能得小，并且两个数得差要尽可能得大，应为４68×２0.
所以AＢＣ×DＥ—ＦＧH×IＪ得最大值为751×93－468×２０＝604８3．
评注：类似得还可以算出FGH×IＪ－AＢC×DE得最大值为640×82-３79×15=４6７95．
6．将6,7,8,9，10按任意次序写在一圆周上,每相邻两数相乘,并将所得5个乘积相加，那么所得与数得最小值就是多少？
【分析与解】我们从对结果影响最大得数上人手,然后考虑次大得,所以我
们首先考虑10，为了让与数最小,１0两边得数必须为６与７．
然后考虑9,9显然只能放到图中得位置，最后就是8，8得位置有两个位置可放,而且也不能立即得到哪个位置得乘积与最小,所以我们两种情况都计算.
8×７＋7×１0+10×6+6×9＋9×8＝312；
９×７+7×10＋１０×6+6×8+８×9＝31３.
所以,最小值为312。
8.一个两位数被它得各位数字之与去除，问余数最大就是多少?
【分析与解】设这个两位数为＝lOa+b,它们得数字与为a+b,因为lＯa+ｂ=(a+b）+9a，所以ｌOa+ｂ≡9a（mｏd a＋ｂ)，
设最大得余数为k,有9a≡k（mod ａ+b)。
特殊得当a+b为１8时,有9a＝k+１8m,因为9a、1８ｍ均就是9得倍数，那么ｋ也应就是９得倍数且小于除数18,即0，9,也就就是说余数最大为9；
所以当除数a+b不为18，即最大为17时，
：余数最大为16，除数a+b只能就是17，此时有9a=１5+17m,有（t为可取0得自然数)，而ａ就是一位数,显然不满足；
：余数其次为15，除数ａ+b只能就是1７或16,
除数a+b=17时,有9ａ=1５+１7m,有,（ｔ为可取0得自然数)，ａ就是一位数，显然也不满足;
除数a+b＝16时，有9a=15＋16m,有（t为可取0得自然数),因为a就是一位数,所以a只能取7,对应b为1６—７=9,满足;
所以最大得余数为15，此时有两位数79÷（7+9）＝4……15．
1０.用１，2，3,4,5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都就是三位数得正确得减法算式,那么这个算式得差最大就是多少?
【分析与解】考虑到对差得影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数得百位为9，减数得百位为1,如果差得百位为8，那算式就就是如下形式：剩下得6个数字为2、３、4、5、６、7，因为百位数字为８,所以我们可以肯定被减数得十位数字比减数要大,而且至少大2,因为1已经出现在算式中了,算式得可能得形式如下：
得数得十位只可能就是减数与被减数得十位数字之差，或者小1,可能得算式形式如下：
但这时剩下得数都无法使算式成立。
再考虑差得百位数字为7得情况，这时我们可以肯定减数得十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值得十位为8，因此,算式可能得形式为:
再考虑剩下得三个数字，可以找到如下几个算式:
，所以差最大为７84。
1２、 4个不同得真分数得分子都就是1,它们得分母有2个就是奇数、２个就是偶数,而且２个分母就是奇数得分数之与与２个分母就是偶数得分数之与相等.这样得奇数与偶数很多，小明希望这样得２个偶数之与尽量地小，那么这个与得最小可能值就是多少？
【分析与解】设这四个分数为上、、、(其中m、ｎ、a、ｂ均为非零自然数)
有＋＝+,则有-=-，
我们从m=1,b=1开始试验：
=+=＋,=＋=+，
=＋=+，＝+＝+，
＝+=+，﹍
我们发现，与分解后具有相同得一项，而且另外两项得分母就是满足一奇一偶，满足题中条件: +=+,所以最小得两个偶数与为６＋10=16。
１４、有1３个不同得自然数,它们得与就是1０0.问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
【分析与解】 13个整数得与为１０0,即偶数，那么奇数个数一定为偶数个,则奇数最少为2个,最多为12个；对应得偶数最多有11个，最少有1个．
但就是我们必须验证瞧就是否有实例符合．
当有11个不同得偶数，2个不同得奇数时,11个不同得偶数与最小为2+４+6＋８+1０+１2＋14＋1６+1８+20+２2＝１32，而2个不同得奇数与最小为1＋3＝4.它们得与最小为１32＋4=１36，显然不满足：
当有９个不同得偶数，４个不同得奇数时,９个不同得偶数与最小为2＋4+6+8＋10＋1２+14＋16+18=90，而4个不同得奇数与最小为1+3+5+７=16,还就是大于1０0，仍然不满足;
当有７个不同得偶数,6个不同得奇数时,7个不同得偶数与最小为2+4+6+８+１0＋12＋14=５6，６个不同得奇数与为1+３＋5＋7+9+１1：36,满足,如2，4，6,８，10,１２，22，1,3，５，7，9，11得与即为100。
类似得可知,最少有5个不同得偶数，８个不同得奇数，有2，４，8,10，16,1．３．5，7，9，１1,13，15满足.
所以，满足题意得1３个数中,偶数最多有7个，最少有5个。