【最新】有理指数幂及其运算

（2） n an ？ nan aa， ，当 当 n n为 为 正 正 偶 奇 数 数 时 时
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4．分数指数幂（有理指数幂）：
（1）正分数指数幂：
1
anna(a0 )
m
annam
(a0 ,n ,m N ,且 m n为 既 约 分 数 )
（2）负分数指数幂：
am n1 m(a0,n,m N ,且 m n为 既 约 分 数 )
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有（1） a a a
（2） (a ) a
（3） (a b) a b
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注意：（1）对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，
一般把根式 统一化成分数指数幂的形式，以便于计算。
如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式。
（2）对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，
实 数 指 数 幂 a都 是 有 意 义 的 .
运算法则
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（1） a a a （2） (a ) a （3） (a b) a b
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小结：
1、根式和根式的性质： 2、指数幂的拓展： 3、实数指数幂的运算律： 4、实数指数幂的运算律的应用。
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规定： a0 1(a0)
问题:
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an
1 an
(a
0)
an(nz)中,a的取值
范围是什么？
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例1．化简下列各式：
(1) 3.140 (3) 2x4
(2)
1 2
5
10
9
(4) 5 2 5 2
a3 b2 3a2b1
(5)
9a2b3
a3 a3 a3 a3 (6)
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an
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思考：
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（ 1）a4与a2等价吗？
（2）a在什么范围时？
a np mp n am(m,n, pN)
2021/2（/2 3）0的任何次方根是0,对吗?
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规定:0的正分数次幂是0,0的负分 数次幂没有意义.
5.有理指数幂运，算法则：
设 a0,b0， 对 任 意 有 理 数 ,，
2．拓展：
如果存在实数x，使得 x n a
(a R ,n1 ,n N ，) 则x叫做a 的n次方根
求a的n次方根，叫做把a开n 次方，称作开方运算。
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问题：a的n次方根一定存在吗？ 如果存在，有几个？
（1）正数a的偶次方根有两个，它们互
为相反数，记为 n a , n a
（2）负数的偶次方根在实数范围内不存 在。
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三、无理指数：
如果 2 的任一个有理数不足近似 值记为an，其相应的有理数过剩近似 值记为bn，那么当n无限增大时，an，bn 就逼近于一个实数 2，因而5an，5bn也就 逼近于一个实数5 2。
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实数指数幂：
一 般 的 ， 当 a> 0 ,为 任 意 实 数 值 时 ,
但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分
母又2021含/2/2 有负指数。
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（2）
注意：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，
化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进
行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的。
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（3）正数的奇次方根是一个正数，负数
a 的奇次方根是一个负数。都记为 n 。
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说明：
（1）正数a的正n次方根，叫做a的 n次算术根。
（2）当 n a 有意义时，n a
叫做根式，n叫做根指数。
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3．根式性质：
（ 1 ） (na)n ？ (n 1 ,n N )
(na)na(n1,n N )
实数指数幂及运算
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高一数学备课组
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教学目标 （1）掌握实数指数幂的拓展过程中的
不变性质。 （2）掌握根式和有理数指数幂的意义 （3）注意指数幂的拓展过程中的底数的
约束条件
教学重点 实数指数幂的运算和底数的限制条件
教学难点
2021/2/2 根式的概念及分数指数的概念
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一、正整数指数（复习）：
a4 a4 1 aa1
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练习１
2 1
5x 3y2
(1)
(
1
1
x 1 y 2 )(
5
1 1
x3y 6)
4
6Leabharlann Baidu
m m 1 2
(2) 1
1
m 2 m2
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练习２
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二、分数指数：
1．复习：
问题： x 2 a
x3 a
则x的取值是什么？
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1． an(nN) 的意义： an a a a
n
2. an(nN)的运算法则
1 a m a n a m n
(2) (a m ) n a mn
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(3)
am an
a mn (m n, a 0)
(4) (a b)m am bm 3
３.拓展：整数指数幂
取消法则3中m>n的限制,则推广 到整数指数幂.