7-4一阶线性微分方程

dy 1 x2 y dx 2 x 2 dx 1 y2 x dy 2 y 2
可分离变量方程
dy (2) x y (ln y ln x) dx
齐次型方程
(3) ( y x 3 ) dx 2 x d y 0 (4) 2 y dx ( y 3 x) d y 0
dy P ( x ) y 0, y C e P ( x ) d x . dx
即 y e v ( x )e P ( x )dx .
非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比: C u( x )
y u( x )e
P ( x ) dx
.
y u( x )e
P ( x ) dx
P ( x )dx dx 是非齐次线性方程的 Q( x )e
dy P ( x ) y Q( x ). dx
即： e y
P ( x ) dx
P ( x )dx dx 是非齐次方程一个特解. Q( x )e
常数变易法： 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 齐次线性方程的通解
yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？
(1) ( x 2)
dy 1 dy y 0 是齐次线性方程. y dx x 2 dx (2) 3x25x5y 0 y 3x25x 是非齐次线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) (一阶线性微分方程) dx
二、齐次线性方程的解法 (使用分离变量法)
dy 齐次方程 P ( x ) y 0 是变量可分离方程 dx dy P ( x )d x 分离变量: y
两边积分得: ln y P ( x )d x ln C
P ( x ) dx
dy P ( x ) y Q( x ) dx
y u( x )e
P ( x ) dx
u( x )[ P ( x )]e
u( x )e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
将y和y代入原方程得
Q( x ),
P ( x )dxdx C , 积分得 u( x ) Q( x )e
(3) y ycos x e sin x 是非齐次线性方程
dy 10 x y 不是线性方程 (4) dx dy x3 dx ( y 1)2 2 dy 3 0或 x 0 (5) ( y 1) 2 dx ( y 1) dx dy x3
不是线性方程
验证 y e
一个特解：
P ( x ) dx P ( x )dx dx ) (e y Q( x )e
P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx e .( P ( x )) Q ( x )e dx e Q ( x )e dx P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x )e Q ( x )e dx Q ( x )
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x )dxdx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
dy P ( x ) y Q( x ) dx
线性方程
线性方程
(5) ( y sin x 2) y dx x d y
dy 2 sin x 2 y y 伯努利方程 dx x x
2、求下列方程的通解:
dy (1) ( x y)2 dx
(3) xy y y(ln x ln y)
(4) y y 2 2(sin x 1) y sin 2 x 2 sin x cos x 1
版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史
上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用,
而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对
双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
f (0) 0
利用公式可求出
1 x f ( x) (cos x sin x e ) 2
伯努利(1654 – 1705) ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多
位数学家.
1694年他首次给出了直角坐
1695年
标和极坐标下的曲率半径公式,
年提出了著名的伯努利方程, 1713年出
第七章
第四节 一阶线性Байду номын сангаас分方程
一、一阶线性微分方程
二、齐次线性方程的解法
三、非齐次线性方程的解法
一、一阶线性微分方程
dy 一阶线性微分方程标准形式: P ( x ) y Q( x ) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ; 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
dy dx 2 y x , x sin t t 2 , 线性的; 例如 dx dt
例2 求方程 y
解:
1 sin x y 的通解. x x sin x 1 , P ( x ) , Q( x ) x x P ( x )dxdx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e

1 1 x dx sin x x dx e e dx C x
积分得 即 则
y C ( x 1)2
y u ( x 1)2 2 u ( x 1)
2 用常数变易法求特解. 令 y u ( x ) ( x 1) ,
代入非齐次方程得 解得
3 2 u ( x 1) 2 C 3
故原方程通解为
例4 求方程 y 3 dx (2 xy 2 1)dy 0 的通解.
dy 1 (2) 1 dx x y
(5) y( xy 1)dx x(1 xy x y )dy 0
2 2
3. 求一连续可导函数
使其满足下列方程: 令
u x t
提示:
f ( x) sin x f (u )d u
0
x
则有
f ( x) f ( x) cos x
解2：这是齐次线性方程：
p( x ) 1 ( x 2)
dy 1 y dx ( x 2)
由通解公式得原方程的通解为：
y Ce
P ( x ) dx
Ce

1 dx ( x 2)
Ce ln( x 2) C ( x 2)
dy P ( x ) y Q( x ) 的解法 三、非齐次线性方程 dx dy dy Q( x ) P ( x ) y Q( x ), P ( x ) dx , dx y y Q( x ) dx P ( x )dx , 两边积分 ln y y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
e

ln x
sin x ln x e dx C x
1 x
sin xdx C
1 cos x C . x
5 dy 2y 例3 解方程 ( x 1) 2 . dx x 1 dy 2y d y 2d x 解: 先解 0, 即 dx x 1 y x1
两端积分得
u ln | u 1 | x ln C
以uxy代入上式：y ln | x y 1 | ln C ,
或 x Ce y y 1.
作业：P315 1(1),(3),(7);2(2),(4);7(1),(3) 内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
P ( x )d x
ye
2. 伯努利方程

P ( x ) d x dx C Q( x) e
令 u y1 n , 化为线性方程求解.
思考与练习
1、判别下列方程类型: 提示:
(1) x
dy dy y xy dx dx
y 1 dx dy y x dy y y ln dx x x
dx 2dy x C 1 分离变量，并积分得 , 1 y2 x y
dy 1 例5： 解方程 dx x y
法1. 取 y 作自变量:
dx x y 线性方程. dy
d y du 1 dx dx
法2. 作变换 u x y, 则 y u x ,
du 1 du u1 1 , 代入原方程得 dx u dx u u 可分离变量方程 du dx u1
y C e P( x) d x 故通解为:
dy y 的通解. 例1 求方程 ( x 2) dx dy dx 解1： 原方程可变为 y x2 两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC
方程的通解为 yC(x2)
dy P ( x ) y 0, y C e P ( x ) d x dx
dy y3 方程变为 dx 不便求解 解： 把 y 看成是 x 的函数： 1 2 xy 2
dx y 2 y 2 x 1 则为一阶线性微分方程 但若写成： dy 3 dx 2 y2 x 0 于是对应齐次方程： y dy
3
1 常数变易法 x u( y ) 2 , y 1 代入原方程 u( y ) u( y ) ln | y | C y 1 故原方程的通解为 x 2 (ln | y | C ) y
y C e P( x) d x
dy 非齐次线性方程： P ( x ) y Q ( x ). dx
P ( x )dxdx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x )dx dx Q( x )e