物理竞赛思想

微元法在静电场中的应用

江苏省海门中学 张 森

物理学中许多量都是连续量，例如时间、分布性电量、分布性场能等等，连续量的处理常借助微元法来分析，微元法就是把有些物理量化成无限逼近零值又不为零值的“元过程”（微元）来分析，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需要分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而起到巩固知识、加深知识和提高能力的作用。竞赛题涉及微元比例、微元关联、微元近似和微元累加4个方面。下面介绍这一方法在静电场中的应用 一、非点电荷问题的微元法求解

在静电场中F=2

21r

Q Q k

、E=k

2

r

Q 、r

Q k

=ϕ等公式均适用于真空中的点电荷。当我们遇到与带电体不能

看作点电荷时，就可采用微元法利用上述公式求解问题。

例1．一无限长均匀带电细线弯成如图所示的平面图形，其中AB 是半径为R 的半圆弧，AA ′平行于BB ′，试求圆心O 处的电场强度。

解析：据图形明显包含的对称性，可以估计到左上侧四分之一圆弧电荷对O 点的场强贡献与右下侧半无限长直线的电荷对O 点的场强贡献必相互抵消．若证明了这一点，左下侧与右上侧对应部分对O 点场强贡献自然也会相互抵消．

左上四分之一圆上的微元△l 1与右下直线的微元△l 2间，具有如图10—5所示的角微元

ϑ

∆对称关联．△l 1电荷与△l 2电荷在O 点产生的场强21E E ∆∆与方向相反，只要证明21E E ∆∆与大小相等，

便可得圆心场强.00

=∆E

设电荷线密度为常量ρ 因△l 1=R ϑ∆， 所以有.2

2

11R

k

R

rR k

R

l k

E ϑϑρρρ∆=∆=∆=∆

各参量,,r ϑ△l 1, △l 2, △l 2′的几何含义已在图中标出

所以有.

2

22

R

k

E ∆=∆ρ

而..cos ,,cos 2

222

2R r l r R

r l l l ϑϑϑϑ∆=

∆⇒⎪

⎪

⎪⎭

⎪⎪

⎪⎬⎫

=∆⋅='

∆'

∆=

∆ 因此

.12E R

k

E ∆=∆=∆ϑ

ρ

又由于△E 1与△E 2的方向相反，所以圆心O 的电场强度为0。 此题是通过建立微元关联、近似而得以解决的典型题。

例2．无穷远处有静止状态的带电粒子，它受均匀带电半圆环吸引，沿AB 线运动（如图所示），在A 点和B 点速度之比v A /v B =η，求粒子在这两点加速度之比。

解析 设在A 、B 两点电场强度为E A 和E B ，加速度为a A 和a B ，根据牛顿第二定律有 qE A =ma A ，qE B =ma B . 由此可知：

.B

A B

A E E a a =

即粒子在A 、B 两点加速度之比等于半圆环在这两点产生电场强度之比。设A 、B 两点电势为U A 和U B

，

电场力做功等于粒子获得的动能：

.

2

1,2

122B

B

A

A

mv

qU

mv

qU

=

=

（上式因为在无穷远处粒子电势能为零。）于是：

2

2

2

η

==

B

A

B

A v v U

U

下面尝试通过已知的U A /U B 来表示E A /E B 。 想象将半圆环分成大量元段，整个半圆环电量为Q ，每元段电量为△Q ，设某元段与B 点相距为l ，它在B 点产生电场强度和电势分别为△U B 和△E B （见图）。于是 .cos

4,cos 22

2

2

αα

r

Q

k

l

Q k

E r Q k

l

Q k

U

B B

∆=∆=∆∆=∆=∆ △E B 在水平x 轴上分量等于：△E Bx =△E B cos α=.2cos 42

r

U r

Q k

B

∆=

∆=

α

从对称性考虑可知，在B 点电场强度E B 沿x 轴方向。因此，E B 值等于所有元段产生电场强度分量△E Bx

之和，即： ∑

∑=

∆=∆=

.22r

U

r

U E E B

B

Bx B 至于U A 和E A 值，则： U A =r

U

k

r

Q

k

E r

Q k A

A ππ22,2

==。

于是 E A /E B =4U A /(πU B )。

因而，粒子在A 点和B 点加速度之比等于

=

B

A a a 2

4

4η

π

π=

B

A U

U

二、图像法中的俄微元法思想的渗透

巧妙地运用图像与坐标轴所围的面积是一招巧妙的解法。在用图像面积解题时，首先应从微元法思想出发，明确坐标轴乘积所能代表的物理关系来确定是“图像面积”的含义。在涉及带电体在静电场中的运动，运动上述思想处理问题。

例3．需要净化空气中的灰尘，但在一般条件下灰尘沉积下来是较缓慢的。为此可利用这样一个事实，即灰尘是带电的，为模拟净化过程提出两种装置。

第1个装置，将含有灰尘空气的玻璃圆桶（高H=1m ，半径R=0.1m ，如图所示）放在强度E 1=1×104V/m 的电场中，其场强方向沿着圆柱桶的轴线方向，经时间t 1＝2 min 后，可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部．

第2个装置是这样的，即沿圆柱筒的轴线紧拉着一根细导

线，且将此导线跟高压电源连接，电源电压是这样选取的，使在容器壁上场强值恰好等于第1个实验的场强值l ×l04V ／m ．已知在这种情况下场强E ∝

r

r ,1为离轴线的距离．

假设尘粒是同种的，其所带电荷量也相等，试确定第2个实验中尘粒沉积到容器壁所需时间。由于空气中的尘粒不多，体电荷可以忽略。 解析：电场作用在尘粒上的力F=qE ，式中q 为尘粒所带的电荷量，这个力跟空气的阻力F 阻=kv 相平衡，式中v 为尘粒运动速度，k 为比例常数，在第1个实验中，电场强度沿圆筒方向是常量，故尘粒的速度

k

qE v 2

1=

，空气净化的时间为：

.1

1

1qE Hk v H t =

=

①

在第2个实验中，尘粒所处的电场，其强度随离圆筒轴线距离的增大而减小， E(r)=r

R E 1

，故相应的尘粒的速度也随着r 的增大而减小：.)(1r

R k

qE r v ⋅

=

应用速度计算公式

t

r v ∆∆=

，可以写成.)

(t r v r ∆=∆作出

r

r v ---)

(1的图象，它是一条直线，如图所示。

△t=

)

(r v r ∆在数值上等于图线阴影部分的面积。为求尘粒从轴到器壁