高等数学A2复习题(2015)-内含考试重点!!!

高等数学A （2）复习题

一、多元函数微分学

1．求极限 （1）

x xy

y x sin lim

)2,0(),(→；

（2）

xy

xy y x 1

1lim

)

0,0(),(-+→；

（3）

2

2

22)

0,0(),(cos 1)(lim

y

x y x y x +-+→；

（4）

y x y x xye xy +→+)

1ln(lim

)0,1(),(；

（5）

2

222)

0,0(),(1

sin

)(lim y

x y x y x ++→。 2．求全微分、偏导数

（1）)1sin(2y e z x +=，求dz ；

（2）设函数f 具有一阶连续偏导数，),2cos (x

e x

f y =，求

dx

dy ； （3）设)sin ,2(x y y x f z -= ，其中f 具有连续的偏导数，求：

y

z x z ∂∂∂∂,。 （4）设),(y x z z =是由方程 32=-z xy e z 确定的隐函数，求y

z x z ∂∂∂∂,。 3．求切线方程、切平面方程、法线及法平面方程

（1）求曲线1,cos ,sin -==+=t

e z t y t t x 在点（0，1，0）处的切线方程和法平面方程。 （2）求曲面 72=+-xy z e z

在点（2，3，0）处的切平面方程和法线。

（3）在曲面xy z =上求一点，使这点处的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出该法线方程。

4．求方向导数与梯度

（1）函数xy y x z -+=2

2

在点)1,1(处沿什么方向的方向导数最大？最大方向导数的值是多

少？

（2）求函数 )ln(2z yz xe u y ++= 在点A （1，0，1）处方向导数的最大值和方向导数取

最大值的方向，并求在点A （1，0，1）处沿点A 指向点B )2,2,3(-方向的方向导数。 5．求函数极值、应用拉格朗日乘数法求实际最值问题 （1）求函数 2233331y x y x z --++= 的极值。

（2）求函数z xy =在条件1x y +=下的极大值。（应用拉格朗日乘数法）

（3）在曲面z =231x y z -+=的距离最近。（应用拉

格朗日乘数法）

（4）设销售收入R （单位：万元）与花费在两种广告宣传上的费用,x y （单位：万元）之

间的关系为：200100510x y

R x y

=

+++，利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用，已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用可使利润最大。（应用拉格朗日乘数法）

二、重积分与应用

1．二重积分计算与应用

（1）设D 由21x y -=和0=y 所围成，求

⎰⎰

+D

d y x σ22。

（2）设D 由x y =与2

x y =所围成，求

dxdy x D

⎰⎰。

（3）交换积分次序

⎰

⎰

10

sin x x

dy y

y

dx 。 （4）计算

⎰⎰

--11

2

22dy x y dx 。

（5）设平面薄片所占的闭区域D 为 412

2≤+≤y x ，它的面密度y x y x ++=1),(ρ，求

该平面薄片的质量。

（6）设均匀薄片由0,14

2

2

≥≤+y y x 确定，求薄片的质心（1=μ）。 （7）设),(y x f 连续，且22

(,)(,)D

f x y x y f x y dxdy =++

⎰⎰，其中D 是圆形区域

224x y +≤，求(,)f x y 。

2．三重积分计算与应用

（1）设Ω是由三个坐标平面与平面1=++z y x 所围成，求积分 ⎰⎰⎰Ω

dv x

2。

（2）计算

⎰⎰⎰

Ω

+dxdydz y x )(22，其中Ω是由221y x z +-=与平面0=z 所围成的区域。

（3）计算重积分(z dv Ω

⎰⎰⎰，其中Ω是由圆柱面221x y +=和平面0,1z z ==所

围成的闭区域。

（4）求由球面z =

和圆锥面z =所围成的立体的体积。

（5）设Ω为曲面22y x z +=与22y x z +=

围成的封闭区域，它的密度函数为

z z y x =),,(μ，求Ω关于z 轴的转动惯量。

三、曲线、曲面积分

1．求第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）设L 为上半圆周24x y -=

，求ds e

L

y x ⎰+2

2。

（2）设L 是连接点（0，0）与点（1，2）的直线段，求⎰

+L

ds y x )(。

（3）计算曲线积分

()x y z ds Γ

++⎰，其中Γ是连接点(1,1,1)A 与点B （2，3，4）的直线段。

2．求第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

（1）设曲线L 为抛物线2

y x =上从点(0,0)到点(1,1)一段弧，求曲线积分⎰

-L

dx y x )(22。

（2）设Γ是从（1，1，1）到（2，3，4）的直线段，求 zdz ydy xdx ++⎰

Γ

。

3．应用格林公式 （1）计算

dy y x x dx y x L

)()1(3332+-+++⎰

，其中L 为圆周422=+y x ，取正向。

（2）计算曲线积分

dy y x y x dx x y x L

)2sin 2()cos 31(22--+-+⎰

，其中L 是沿上半圆周

)0(22>-=a x a y 从点)0,(a A 到点)0,(a B -的一段弧。

4．求第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

（1）求曲面2

2y x z +=被曲面222y x z +-

=所截下的那部分曲面的面积。

（2）设∑为曲面)10(2

2≤≤+=

z y x z ，求⎰⎰∑

++dS z y x )(。

5．求第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） （1）计算曲面积分⎰⎰

∑

dxdy z 3

，其中∑为抛物面 22y x z +=介于平面1,0==z z 之间的部分，取上侧。