高等数学A2复习题(2015)-内含考试重点!!!
高数第二学期总复习题及答案
高数第二学期复习题及答案1. 求球面222x y z R ++=与x z a +=的交线在x o y 面上的投影曲线的方程.()2222x y a x R z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩2. 判断方程22220,24x y z z x y +-=++=所表示的几何图形.（旋转抛物面，圆锥面） 3. 判断平面:230x y z ∏+-+=与直线112:311x y z l -+-==-的位置关系.（线在面内）4. 求过点()1,1,0且与125:214x y z l ---==垂直相交的直线方程.1121x y z --⎛⎫==⎪-⎝⎭5. 求通过点(1,2,1)-且通过23:212x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩的平面方程.()2450x y z --+=6. 求过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z==的平面方程.()726180x y z -+=7. 判断函数1sin ,0(,)0,0x y y f x y y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(0,0)点与(1,0)点的连续性.（在(0,0)点连续，在(1,0)点不连续）8. 求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy→+.()09. 求()()()2222(,)(0,0)221cos limexyx y x y xy+→-++.()010. 求(,)(0,0)lim24x y xy xy →-+.()4-11. 若00(,)0x y f x∂=∂，00(,)0x y f y∂=∂，判断(,)f x y 在点00(,)x y 的连续性和可微性.（不一定连续也不一定可微）12. 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，且00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，判断函数(,)f x y 在00(,)x y 处有无极值，如果有，判断是极大值还是极小值.（可能有极值，也可能无极值）13. 设222(,)z x yf x y xy =-，其中f 具有连续偏导数，求d z .()()()3222223121222d 2d xyf x y f x y f x xf x y f x y f y ''''+++-+14. 设(),z z x y =是由e2e 2xyzz -+-=所确定，求d z .()e d d 2exyzy x x y -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭15. 设()222,u f x y z xyz =++，其中f 具有二阶连续的偏导数，求2u x y∂∂∂.()22221112222422u xyf x z y z f xyz f zf x y ⎛⎫∂'''''''=++++ ⎪∂∂⎝⎭16. 求曲面222z x y =+在(0,1,1)-处指向下侧的单位法向量.()()0,2,1-- 17. 求曲面arctany z x=在1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处指向上侧的法向量.()()1,1,2-18. 求函数()22ln u x y z=++在点()1,0,1A 处的梯度.11,0,22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19. 求曲面2222321x y z ++=平行于平面460x y z ++=的切平面方程.()4621x y z ++=±20. 求曲线2222223472x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在点()2,1,6-处的切线和法平面方程.切线：21627284x y z +--==法平面：2728420x y z +++=21. 求曲线2322y xz x x⎧=⎪⎨=+⎪⎩在点()1,2,3处的切线和法平面方程.切线：123145x y z ---==法平面：45240x y z ++-=22. 在螺旋线()2cos ,sin ,02x y z θθθθπ===≤≤上求一点，使该点处螺旋线的切线平行于平面24x z +=.（2(2,,)24π或23(2,,)24π-）23. 交换二重积分21101d (,)d x xI x f x y y --=⎰⎰的积分次序. 21101d (,)d y yy f x y x --⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰ 24. 交换二重积分e ln 1d (,)d x I x f x y y =⎰⎰的积分次序.()1e 0ed (,)d yy f x y x ⎰⎰25. 把220d (,)d a ax x xI x f x y y -=⎰⎰化为极坐标形式.()2cos 24d cos ,sin d a f πθπθρθρθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 26. 把22222d ()d y y I y f x y x -=+⎰⎰化为极坐标形式. ()2sin 2200d d f πθθρρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 27. 把21110d (,)d y yI y f x y x +-=⎰⎰化为极坐标形式.()2cos 400d cos ,sin d f πθθρθρθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 28. 求22d d Dx y x y +⎰⎰，其中区域D 为由222x y y +=及0x =所围在第一象限内的区域.169⎛⎫⎪⎝⎭29. 求()22ln 1d d Dx yx y ++⎰⎰，其中区域D为由221,0,0x y x y +≤≥≥所围成的区域.()ln 414π⎛⎫-⎪⎝⎭30. 求arctand d Dy x y x⎰⎰，其中区域D 为22224,1,,0x y x y y x y +≤+≥≤≥所围成的区域.2364π⎛⎫⎪⎝⎭31. 求224d d Dx y x y --⎰⎰，其中区域D 为以222x y x +=为边界的上半圆域.41639π⎛⎫-⎪⎝⎭32. 求2d d Dx y x y ⎰⎰，其中区域D 为1,,2xy y x x ===所围成的区域.118⎛⎫⎪⎝⎭33. 求22d d Dxx y y ⎰⎰，其中区域D 为2,x y x ==及双曲线1xy =所围成的区域.94⎛⎫⎪⎝⎭34. 设积分区域:Ω2222(0)x y z az a ++≤>，把三重积分22()d x y v Ω+⎰⎰⎰化为球面坐标下的三次积分. 22cos 432000d d sin d a r r ππϕθϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰35. 设有一物体，占有空间闭区域Ω是由圆柱面22y x x =-及平面0,0y z ==和1z =围成的，在点(,,)x y z 处的密度为22(,,)x y z z x y ρ=+，计算该物体的质量. 89⎛⎫⎪⎝⎭36. 设有一物体，占有空间闭区域Ω是以221z x y =--及0z =围成的，在点(,,)x y z 处的密度222(,,)x y z x y z ρ=++，计算该物体的质量. 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭37. 利用三重积分计算由曲面221()2z x y =+与平面0z =和2z =所围成的介于两平面之间的立体的体积. ()4π38. 设222:1,0,0,0x y z x y z Ω++≤≥≥≥，求4d v Ω⎰⎰⎰.23π⎛⎫⎪⎝⎭39. 设L 为椭圆2212yx +=，其周长为a ，求22(2)d Lx y s +⎰ .()2a40. 设空间曲线22222:x y z x y⎧+=⎪Γ⎨=+⎪⎩，求22e d x ys +Γ⎰ .()22eπ41. 求d xyz s Γ⎰ ，其中Γ是点()1,0,2A 与()2,3,1B 之间的直线段.13114⎛⎫⎪⎝⎭42. 求()2d d 2L xxy x x y ++⎰其中L 沿222x y R +=顺时针从()0,A R 到(),0B R .22R ⎛⎫⎪⎝⎭43. 求()()esin d e cos d xxLy my x y my y -+-⎰其中L 为22x y ax +=从点(),0A a 到()0,0O 的上半圆弧，m 为常数.28m a π⎛⎫⎪⎝⎭44. 求()()22d sin d Lxy x x y y --+⎰其中L 是22y x x =-由点()0,0到()1,1的一段弧.sin 2746⎛⎫-⎪⎝⎭45. 设2222:x y z a ∑++=，求2d S ∑⎰⎰.()28a π46. 求(e cos 5)d (e sin 5)d x xCy y x y y --+-⎰，其中C 为222x y x +=自(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧. 25(e 1)2π⎛⎫+- ⎪⎝⎭47. 计算22d d d d d d x y z xy z x y x y ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面22z x y =+被4z =所截下部分的下侧. ()4π-48. 计算()d d ()d d ()d d y z y z z x z xx y x y ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为圆锥面22z x y=+被1z =所截下部分的下侧.()049. 计算22222()d d I x y z x y x y ∑=+++⎰⎰，∑为下半球面221z x y=---的下侧.23π⎛⎫- ⎪⎝⎭50. 设级数21nn u ∞=∑和21nn v ∞=∑均收敛，判断以下结论是否成立（()21n n n u v ∞=+∑收敛成立 ）1n n u ∞=∑收敛；1n n n u v ∞=∑条件收敛；()21n n n u v ∞=+∑收敛； ()211nn n u ∞=-∑条件收敛.51. 判别下列级数的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛.21(1)sin ln(1)nn n ∞=⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦∑（条件收敛），11(1)1ln n n n n n-∞=-+∑（绝对收敛），31arctan n n n ∞=∑（绝对收敛），()111n n n n ∞=+-∑（发散），()()12111n n n n ∞-=-+∑（条件收敛），()()111ln 1n n n -∞=-+∑（条件收敛）. 52. 判断1!nn n n∞=∑的敛散性.（收敛）53. 判断1!21nn n ∞=+∑的敛散性.（发散）54. 判断13!nnn nn ∞=∑的敛散性.（收敛）55. 求幂级数2321(1)2nn nn xn∞-=-∑的收敛域. ()2,2⎡⎤-⎣⎦56. 求幂级数21212n nn n x∞=-∑的收敛域. ()(2,2)-57. 求幂级数()112(1)nn n x n∞-=+-∑的收敛域.(]()3,1--58. 求幂级数()21211nnn x n ∞=-+∑的收敛域.13,22⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭59. 微分方程323e x y y y x -'''++=的特解形式为________.()e ()x x Ax B -+ 60. 微分方程369(1)e x y y y x '''-+=+的特解形式为________.()23e ()x x Ax B + 61. 微分方程244e x y y y x '''-+=的特解形式为________.()()22e x Ax B x +62. 求以12e (cos 2sin 2)xy C x C x =+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.()250y y y '''-+=63. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解为212e ,e x xy y -==，求其方程.()20y y y '''+-=64. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解为12e ,e x xy y x ==，求其方程.()20y y y '''-+=65. 求以12e xy C C =+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.()0y y '''-=66. 已知123,,y y y 是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，且2131y y y y -≠-常数，则方程的通解为________.()()()1212311C y y C y y y -+-+ 67. 求微分方程2d 1d 0xy x x y +-=满足初始条件1e x y ==的特解.()211e xy +-=68. 求解2110x y y x x y =⎧'=-+⎪⎨⎪=⎩.ln x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭69. 求解32cos xy y x x '-=.()()2sin y x x C =+70. 求解004306,10x x y y y y y =='''-+=⎧⎪⎨'==⎪⎩.()32e 4e x x y =+1.求过直线1123:11x y z L ---==-且平行于直线221:211x y z L +-==的平面方程．解：直线1L 上的一点(1,2,3)A ，方向向量1(1,0,1)s =-，2L 的方向向量2(2,1,1)s = 从而所求平面的法向量121013211ijkn s s i j k =⨯=-=-+∴所求平面的方程为：(1)3(2)(3)0x y z ---+-=即320x y z -++=2.设()22,,z f xy x y=+其中f具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．解：121222z f y f x yf xf x∂''''=⋅+⋅=+∂()()2111122122222z z f y f x f y x f x f y x yy x ∂∂∂⎛⎫'''''''''==+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂⎝⎭()221112122224f xyf x y f xyf '''''''=++++ 3.求曲线e cos ,e sin ,e t t t x t y t z ===在0t =时的法平面与切线方程. 解：()e (cos sin ),()e (sin cos ),()e t t t x t t t y t t t z t '''=-=+= ∴在0t =处的切向量为：()(0),(0),(0)(1,1,1)T x y z '''==又 0t =时对应曲线上的点(1,0,1)，∴切线方程：101111x y z ---==，法平面方程：1010x y z -+-+-=，即20x y z ++-= 4.计算22()d d ,Dx y x y +⎰⎰其中 22:24,02D x x y x x -≤≤-≤≤．解：:0,2cos 22D πθθρ≤≤≤≤22223202cos ()d d d d d d DDx y x y πθρρρθθρρ+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()42041cos d πθθ=-⎰20312+2cos2+cos 4d 22ππθθθ⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰20312+sin2+sin 4)28ππθθθ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦54π=5.计算()22d ,x y v Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面222x y z +=与平面2z =所围成的空间闭区域．解：2:02,02,22z ρθπρΩ≤≤≤≤≤≤，则()223d d d d x y v z ρθρΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222232d d d z πρθρρ=⎰⎰⎰2246230162(2)d 222123ρρρππρρπ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰6.计算22()d (sin )d ,LI x y x x y y =--+⎰其中L 是圆周22y x x =-由点(0,0)到 (1,1)的一段弧．解：22,sin P x y Q x y =-=--，则1P Q yx∂∂=-=∂∂ ∴曲线积分与路径无关取折线:0,:01;:1,:01OB y x BA x y =→=→∴OBBAI =+⎰⎰1122d (1sin )d x x y y =+--⎰⎰131sin 2324⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭71sin 264=-+7.计算()()()222d d d d d d ,y z y z z x z x x y x y ∑-+-+-⎰⎰其中∑为锥面22(0)z x y z h =+≤≤的外侧．解：补*222:()z h x y h ∑=+≤取上侧，则2P y z =-，2Q z x =-，2R x y =-， 0P Q R xyz∂∂∂===∂∂∂由Gauss 公式得，*0d 0v Ω∑+∑==⎰⎰⎰⎰⎰**22()d d ()d d xyD x y x y x y x y ∑∑=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224d (cos sin )d 4h h ππθρθρθρρ=-=⎰⎰故**44044h h ππ∑∑+∑∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.判定级数12ln 2n nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性． 解：0lim2n n n→∞= n ∴→∞时，ln 122n n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴由比较审敛法知：1ln 12n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑与12n n n ∞=∑有相同的敛散性.下面只要判定12nn n ∞=∑的敛散性1121lim 122nn n n n +→∞+⋅=< ，故由比值法，知12n n n∞=∑收敛 ∴12ln 2n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛 9.求幂级数12121(1)n nn n xn∞-=+-∑的收敛域．解：()2121121211nn nn n n n xxnn∞∞-==++-=∑∑，令221nn n u xn+=，则22212(23)limlim1(21)n n nn n nn xu n x u n n x++→∞→∞+=⋅=++当21x <，即1x <时，2121nn n xn∞=+∑收敛，21x>，即1x >时，2121nn n xn∞=+∑发散，当1x =时，121n n n∞=+∑发散；1x =-时，121n n n∞=+∑发散， ∴原级数的收敛域：()1,1-10.求微分方程cos d cot 5ed xy y x x+=的通解．解： 对应的齐次线性方程：d cot 0d y y x x+=，即1cos d d sin x y x yx=-两端积分，得ln ln(sin )ln y x C =-+ sin Cy x∴=用常数变易法，设原方程的通解为：()sin C x y x=代入原方程，得cos 2()sin ()cos ()cos 5e sin sin x C x x C x x C x x x x'-+=cos ()5sin e xC x x '∴= 从而cos ()5e xC x C =-+∴原方程的通解：cos 5esin xCy x-+=1.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042:z y x z y x l 在平面14:=+-∏z y x 上的投影直线的方程．解：过直线l 的平面束()092342=---++-z y x z y x λ即()()()0921432=--++-+λλλλz y x ，又l 的投影直线与l 确定的平面与平面∏垂直()()01,1,421,4,32=-⋅---+∴λλλ 即01311=+λ，解得1113-=λ所以投影直线⎩⎨⎧=+-=--+140117373117z y x z y x 。
高数A2总复习资料
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a b {ax bx , ay by , az bz }
a
(ax
{ax ,
bx )i
ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式
| a |
的距离为
M0
d
n
M1
(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
（4）两直线间的距离
命题1 两平行直线
l1 :
x x1 X
T( x, z) 0
y
0
10、平面
[1] 平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M 0( x0 , y0 , z0 )
n { A, B, C}
y)
2z z
xy
( ) y x
f xy ( x, y)
2 z z
yx
( ) x y
f yx (x,
y)
2 z z
y 2
( ) y y
f yy(x, y)
《高等数学A2》期末复习题库- 按章分类
高等数学期末复习题库第八章空间解析几何和向量代数一、选择题1、设向量(2,,1)a t = ，()1,-1,2b = ，若a b ⊥，则t =()(A)4(B)2(C)4-(D)22、已知向量)4,1,1(,-=⊥a b a，)1,,2(-=m b ，则=m ()；(A)1(B)1-(C)2(D)2-3、设向量(1,1,1)a =- ，(4,2,2)b =-，则向量a 与向量b 的关系是()(A)//a b (B)a b ⊥ (C)a b < (D)||||a b < 4、设向量2,24,a i mj k b i j nk =++=++ 若//a b，则()(A)2,1m n ==(B)2,4m n ==(C)1,1m n ==(D)1,2m n ==5、向量()1,,2a m = ，()2,4,b n = ，若//,a b，则()(A)2,1m n ==(B)2,4m n ==(C)1,1m n ==(D)1,2m n ==6、向量()2,1,a k =-，()3,2,1b =-- ，相互垂直，则k =()(A)4(B)1-(C)3(D)27、下面方程为圆柱面的方程是()(A)z =(B)222z x y=+(C)224x y +=(D)2221324x y z +-=8、下列方程的图形为旋转抛物面的是（）(A)z =(B)221x y +=(C)z =(D)22z x y =+9、将yoz 坐标面上的抛物线2z y =绕z 轴旋转一周而成的旋转抛物面的方程是()(A)z =(B)22z x y =+(C)z =(D)22=1x y +10、下列方程的图形为旋转抛物面的是()(A)22z x y =+(B)z =(C)z =(D)22=9x y +11、下面说法正确的是()(A)22z x y =+是旋转抛物面，z =是圆锥面(B)2224x y z ++=是旋转面，222z x y =+是球面(C)224x y +=是圆柱面，22z x y =+是旋转抛物面(D)22x y z -=旋转抛物面，222z x y =+是圆柱面12、过点()3,1,1-且与平面24120x y z ---=平行的平面方程是()(A)241311x y z -++==-(B)311241x y z --+==--(C)243=0x y z ---(D)247=0x y z ---13、直线11111x y z -+==-与平面2+2x y z -=的位置关系是()(A)平行(B)垂直(C)夹角为4π(D)夹角为4π-14、过点()12,4-，且与平面2340x y z -+-=垂直的直线方程是()(A)2312=0x y z ++-(B)244=0x y z -+-(C)124231x y z -+-==-(D)231124x y z -+-==-二、填空题1、过点(2,1,3)-且与平面2340x y z -+=垂直的直线方程为.2、过点(1,2,3)-且与直线3123x yz -==--垂直的平面方程为.三、解答题1、设(1,2,1),(2,1,3)a b =-= ，求(2)a a b ⋅+及a b ⨯ .2、设(2,1,3),(1,1,2)a b =-=- ，求a b ⋅ 及a b ⨯.3、设(0,1,4),(2,1,1)a b =-=-，求3a b ⋅ 及||a b ⨯ .4、设平面通过点(1,2,1)-且与两向量(1,0,1),(1,1,0)a b =-=都平行，求该平面的方程.5、一平面过点()2,-4,1且垂直与平面231x y z ++=与651,x y z -+=求该平面方程.6、求过点()0,2,4且与两平面21x z +=和32x y -=平行的直线方程.7、求垂直于两平面30x y z --+=与210x y z +--=且通过点()1,-2,-1的平面方程.8、一平面过原点且垂直于平面231x y z ++=与651,x y z -+=求该平面方程.9、求过点(1,2,1)且垂直于平面21x y z --=与20x y z --=的平面方程.第九章多元微分学一、选择题1、设函数2(,)2f x y x =+，则(1,1)'=y f ().(A)3(B)2(C)1(D)122、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处可偏导，则()(A)(),f x y 在点()00,x y 处可微(B)()()0000,=,0x y f x y f x y ''=时，(),f x y 在点()00,x y 处必有极值(C)(),f x y 在点()00,x y 处有极值时，必有()()0000,=,0x y f x y f x y ''=(D)(),f x y 在点()00,x y 处连续3、设(,)f x y 偏导数存在，则00000(2,)(,)lim x f x x y f x y x∆→-∆-=∆()(A)002(,)f x y '-(B)002(,)f x y '(C)001(,)2f x y '-(D)001(,)2f x y '4、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处存在连续偏导数，则()(A)()()0000,=,0x y f x y f x y ''=(B)(),f x y 在点()00,x y 处必有极值(C)(),f x y 在点()00,x y 处可微(D)(),f x y 在点()00,x y 处不连续5、设()z f ax by =+，且f 可微，则()(A)z z x y ∂∂=∂∂(B)z z x y ∂∂=-∂∂(C)z za b x y ∂∂=∂∂(D)z z ba x y∂∂=∂∂6、考虑二元函数(),f x y 的下面四条性质：(1)(),f x y 在()00,x y 处连续(2)(),x f x y '、(),y f x y '在()00,x y 处连续(3)(),f x y 在()00,x y 处可微(4)()00,x f x y '、()00,y f x y '存在若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是().(A)()()()231⇒⇒(B)()()()321⇒⇒(C)()()()341⇒⇒(D)()()()314⇒⇒7、设函数(),z f x y =且()()0000,=,0,x y f x y f x y ''=则函数(),f x y 在点()00,x y 处()(A)必有极值，可能是极大值，也可能是极小值(B)必有极大值(C)可能是极值，也可能无极值(D)必有极小值8、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下面结论错误的是()(A)()()()00,,,limx y x y f x y →在()00,x y 存在(B)(),x f x y '、(),y f x y '在()00,x y 处连续(C)函数(),f x y 在()00,x y 处连续(D)()00,x f x y '及()00,y f x y '存在9、设函数2xz y =在点()11，处的全微分是()(A)2dz dx dy =-(B)2dz dx dy =+(C)2dz dx dy=+(D)2dz dx dy=-10、若(),,zf x y z xy x=+-则()1,0,1x f 等于()(A)0(B)1(C)1-(D)2-11、曲线221z x y y ⎧=+⎨=⎩在点()0,1,1处的切线对于x 轴的倾角是()(A)0(B)4π(C)3π(D)2π12、二元函数(),f x y 在()00,x y 处两个偏导数()00,x f x y '、()00,y f x y '存在是(),f x y 在()00,x y 处连续的()(A )充分而非必要条件(B )必要而非充分条件(C )充分必要条件(D )既非充分也非必要条件13、设函数yz x =，则(,1)|e zy∂=∂()(A)e(B)1e(C)1(D)014、若函数(),z f x y =在()00,x y 处可微，且()00,0x f x y '=，()00,0y f x y '=，则(),f x y 在()00,x y 处()(A)必有极值，可能是极大值，也可能是极小值(B)可能有极值，也可能无极值(C)必有极大值(D)必有极小值15、设33z x x y =--，则它在点(1,0)处()(A)取到极小值(B)取不到极值(C)取到极大值(D)无法判断是否有极值二、填空题1、函数21z x y=+的定义域为.2、函数)2ln 21z y x =-+的定义域为.3、函数()1ln z x y =+的定义域为.4、()()(),2,0sin 3lim2x y xy y→=.5、()(),0,1lim x y →=.6、()()(),2,0sin lim x y xy y→=.7、()(),0,3tan lim x y xyx →=.8、()()(),2,0ln 1lim x y xy x→+=.9、设函数(),z f x y =，在点()00,x y 具有偏导数，且在点()00,x y 处有极值，则()00,y f x y '=.10、曲线221z x y x ⎧=+⎨=⎩，在点()1,0,1处的切线对于y 轴的倾角为.三、解答题1、设函数2ln 5xyz xy e =+-，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.2、设22(,,)xy z f x y e x y =+-，其中f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂.3、设(),z z x y =由方程30z y xyz e -+=所确定，求z x ∂∂，,z dz y∂∂4、设函数2sin()yz xy x xe =-+，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.5、设223(,)xy z f x y e =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂.6、设(),z z x y =由方程2230z x yz e y --=所确定，求z x ∂∂，,z dz y ∂∂7、设(),z z x y =由方程点220z y x z e ++=所确定，求z x ∂∂，zy∂∂及.dz 8、设()22,xyz f x y e=-，其中f 具有一阶偏导数，求z x ∂∂，.z y∂∂9、设44224z x y x y =++，求z x ∂∂，z y∂∂及y x z∂∂∂2.10、设()22,z f x y xy =-，其中f 具有一阶偏导数，求z x ∂∂，.zy∂∂11、设(),z z x y =由方程点0z e xyz -=所确定，求z x ∂∂，z y∂∂.12、设()2222,u f xy z x y z =++，其中f 具有一阶偏导数，求u u x y∂∂∂∂，.13、设44224z x y x y =+-，求dz ，yx z∂∂∂2.14、设()2cos z x y xy =-，求z x ∂∂，z y ∂∂及yx z∂∂∂2.15、设(),z z x y =由方程点33340x y z xyz +++=所确定，求z x ∂∂，zy∂∂及.dz 16、求二元函数2126332--++-=y x y x z 的极值.17、求二元函数8632+-+=xy y x z 的极值.18、求函数33124z x y xy =+-+的极值.19、求函数22685z x x y y =--++的极值.20、求函数333z x y xy =+-的极值点与极值.21、求二元函数46332--+=xy y x z 的极值.四、应用题与证明题1、设()22,z f x y =+其中f 是可微函数，求证：0.z z y x x y∂∂-=∂∂2、设11,x y z e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=求证：222.z zx y z x y∂∂+=∂∂3、设yxz xe =，求证：.z z xy z x y∂∂+=∂∂4、设z =，求证：22220.z zx y∂∂+=∂∂5、设(),z z x y =由(),0F x z y z ++=所决定，其中(),F u v 具有一阶偏导数，求证：1.z z x y∂∂+=-∂∂6、设(),yz xyf u u x==，且()f u 可导，求证：2.z z xy z x y∂∂+=∂∂第十章二重积分一、选择题1、设1{(,)0,01}2D x y x y =≤≤≤≤，则=⎰⎰+Dy x y x e d d 2().(A)1(1)2e -(B)1e -(C)2(1)e -(D)21(1)2e -2、交换二次积分的顺序⎰⎰-xy y x f x 1010d ),(d =()；(A)⎰⎰110d ),(d yxy x f y (B)⎰⎰yxy x f y 11d ),(d (C)⎰⎰-yxy x f y 1010d ),(d (D)⎰⎰-1110d ),(d yxy x f y 3、设(,)f x y 是连续函数,210(,)=⎰⎰xx dx f x y dy ()(A)110(,)⎰⎰ydy f x y dx(B)10(,)⎰y dy f x y dx(C)1(,)⎰y dy f x y dx(D)11(,)⎰⎰dy f x y dx4、二次积分()1201,xdx f x y dy -⎰⎰更换积分次序后为()(A)()2110,dy f x y dx ⎰⎰(B)()2210,y dy f x y dx -⎰⎰(C)()1201,ydy f x y dx-⎰⎰(D)()2212,ydy f x y dx-⎰⎰5、二次积分()1,xdx f x y dy ⎰⎰更换积分次序后为()(A)()100,xdy f x y dx⎰⎰(B)()11,ydy f x y dx⎰⎰(C)()1,y dy f x y dx⎰⎰(D)()1,xdy f x y dx⎰⎰二、填空题1、设D 是由422≤+y x 所确定的闭区域，则=⎰⎰Dy x d 5d .2、设平面区域是由1,==y x y 与y 轴所围成，则=⎰⎰Dy x d 4d .3、设平面区域D 是由224x y +=y 轴所围成，则3Ddxdy =⎰⎰.4、设平面区域D 是由,4y x y ==与y 轴所围成，则2Ddxdy =⎰⎰.5、设平面区域D 是由直线220x y -+=与x 轴及y 轴所围成，则2Ddxdy =⎰⎰.6、设平面区域D 是由直线240x y -+=与x 轴及y 轴所围成，则4Ddxdy =⎰⎰.三、解答题1、计算22(2)DI x y d σ=+-⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围的闭区域.2、计算DI σ=⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围的闭区域.3、计算二重积分22,x y Ded σ--⎰⎰其中D 是由22+y 1x =及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.4、计算二重积分22,xy De d σ+⎰⎰其中D 是由22+y 1x y x ==，和0x =在第一象限围成的闭区域.5、计算二重积分,Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由坐标轴，直线=1x y +所围成的闭区域.6、计算二重积分,Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由直线=2y x +、=y x 、=4x 和y 轴所围成的闭区域.四、应用题与证明题1、已知一元函数f 连续，证明()()()21100.y xdy f x dx e e f x dx =-⎰⎰2、证明：()()()ln 12211.2exydx xf y dy e e f y dy =-⎰⎰⎰3、计算以xoy 面上的圆221x y +=围成的闭区域为底，221z x y =++为顶的曲顶柱体的体积.第十二章无穷级数一、选择题1、设正项级数1n n u ∞=∑，当1lim n n n uu +→∞=()时，级数1n n u ∞=∑收敛.(A)1(B)12(C)2(D)32、若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数不收敛的是()(A)1(10)∞=+∑nn u (B)110∞=+∑nn u (C)10∞=∑nn u(D)110∞=∑nn u3、若级数1n n u ∞=∑收敛（0n u ≠），则必有()(A)211()n n u n ∞=+∑收敛(B)1(1)nnn u∞=-∑收敛(C)1||n n u ∞=∑收敛(D)211()n n u n∞=+∑发散4、幂级数211(1)n n n x ∞-=-∑在（－1，1）内的和函数()s x =()(A)21x x -+(B)21x x --(C)221x x -+(D)221x x --5、幂级数11(1)n nn x ∞-=-∑在（－1，1）内的和函数()s x =()(A)1x x-(B)1x x -+(C)1x x+(D)1x x--6、幂级数12(1)1(1)n n n x∞--=-=∑()(A)211x -，11x -<<(B)211x +，11x -<<(C)211x-，x -∞<<∞(D)211x+，x -∞<<∞7、幂级数11(1)nn n x ∞-=-=∑()(A)11x -，11x -<<(B)11x +，11x -<<(C)11x -，11x -<<(D)11x -+，11x -<<8、幂级数0(1)nn n x ∞=-=∑()(A)11x -，11x -<<(B)11x +，11x -<<(C)11x -，11x -<<(D)11x -+，11x -<<二、填空题1、判断正项级数1(2n ∞=+∑的敛散性（收敛还是发散）.2、判断正项级数1n ∞=的敛散性（收敛还是发散）.3、幂级数113n n n x n ∞=⋅∑的收敛半径为.4、幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛区间为，和函数为.5、函数3x e 展开为麦克劳林级数是.6、函数12x-展开为麦克劳林级数是.三、解答题1、判定级数1(1)nn ∞=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？2、判定级数12/311(1)n n n ∞-=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3、判定级数1(1)n n ∞=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？4、求幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛半径、收敛区间及和函数.5、求幂级数1111n n x n ∞-=+∑的收敛半径、收敛区间.6、求幂级数112n nn x n ∞=⋅∑的收敛半径、收敛区间.。
数学A2——精选推荐
高等数学A2一．选择题（满分20分）本大题共4个小题，每小题5分．对于每小题给出的命题，认为正确请选A ，认为不正确请选B 。
1．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,10,1)(x x x x x x f ，则(0)1f =． A ．正确 B ．不正确2．函数)1ln()(2+=x x f 是),(∞+-∞内的连续函数．A ．正确B ．不正确3．设函数31()1f x x =+，则()f x 在(,)-∞+∞内必可导． A ．正确 B ．不正确4． 20d d 2d x t t x x=⎰． A ．正确 B ．不正确二．选择题（满分30分）本大题共6个小题，每小题5分．对于每小题给出的命题，认为正确请选A ，认为不正确请选B 。
5． ()33f x x =-是奇函数.A.正确B.不正确6． 当0x ®时,()ln 1x +与x 是等价无穷小量.A.正确B.不正确7．设函数2y =1d 1d 2x y x ==． A ．正确 B ．不正确 8．若()2,f x y x y =，则()()2,f a a b a a b +=+．A ．正确B ．不正确9． cos 4x 是函数4sin 4x -的一个原函数.A.正确B.不正确10．若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数()11n n u ∞=+∑也必收敛． A ．正确 B ．不正确三．选择题（满分30分）本大题共6个小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母答在题中相应位置上．11． 1sin limx x x→= ( )． A ．sin1- B ．sin1 C ．cos1- D ．cos112．设函数2ln(1)y x =+，则d d y x=（ ）． A ．21x + B ．11x + C ．22(1)x + D ． 21(1)x + 13．设函数sin(2)z x y =-，则z y ∂=∂（ ）． A ．cos(2)x y -- B ．cos(2)x y -C ．2cos(2)x y --D ．2cos(2)x y -14．曲线2sin y x =在点()0,0处的切线斜率k 为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．215．不定积分21(1)d x x +=⎰ ( ) ． A ．1x C x -++ B ．1x C x-+ C . 1x C x ++ D ．1x C x--+ 16． 2x 0e d x -+∞=⎰（ ）．A ．12-B ．0C ．12D ．+∞ 四．选择题（满分20分）本大题共4个小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母答在题中相应位置上．17． 设函数226()34z x y x y =---+，则点(3,1)-（ ）．A ．不是驻点，也不是极值点B ．是驻点，但不是极值点C ．是极小值点D ．是极大值点18．曲线y (1,1)处切线的方程为（ ）． A ．1122y x =+ B ．1122y x =-- C ．21y x =- D ．21y x =--19．设积分区域D 由曲线2y x =，及直线1y =围成，1D 是在区域D 在第一象限部分，则()1d Dx σ+=⎰⎰（ ）．A ．12(1)d D x σ+⎰⎰B ．12d D x σ⎰⎰C ．12d D σ⎰⎰ D ．020．幂级数nn ∞= ）．A ．2B ．1C ．4D ． 3答案1．A 2．A 3．B 4．B5．B 6．A 7．B 8．A 9．A10．B 11．B 12．A 13．A 14．D 15．B 16．C17．D 18．A 19．C 20．B。
高等数学A2期末复习要点
第七章 微分方程一、教学要求：掌握可分离变量的方程、可降阶微分方程的解法，一阶线性微分方程的解法；二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
理解齐次方程的概念；线性微分方程解的性质及解的结构定理。
二、练习题：1、方程的通解中应包含的任意常数的个数为（ ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、微分方程是( )微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次3、已知，，是方程的三个解，则通解为 ( ) ABC D4、已知是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ）A ．B ．C ．D ．5、微分方程不是 ( )A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程6、下面哪个不是微分方程的解（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 7、微分方程的通解是 8、微分方程的通解是222(1)1xxd ye e dx+⋅+=2(1)0y dx x dy --=x y cos =xe y =x y sin =()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22xc e c x c y x sin cos 321++=()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=()x c x c e c c y xsin cos 12121++++=2,sin ,1x y x y y ===221sin 1x C x C y ++=2321sin x C x C C y ++=21221sin C C x C x C y --+=212211sin C C x C x C y --++=0ydx xdy -=''5'60y y y +-=65x x e e -+x e 6x e -6x x e e -+01=+''y 044=+'+''y y y9、微分方程的通解为 10、微分方程满足初始条件的解为 11、微分方程的通解是12、微分方程的通解是 13、微分方程的通解为 14、方程x x y sin +=''的通解是=y 15、微分方程04=+''y y 的通解为16、求微分方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解 17、求微分方程x e y dx dy-=+的通解 18、求方程1sin '+=xy y x x的通解．第八章 向量代数与空间解析几何一、教学要求：掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式及其运算；平面方程和直线方程及其求法；两个向量垂直与平行的条件。
高数-2015高数A上总复习-PPT课件
12
x e b 例. 设函数 有无穷间断点 x 0 f (x ) (xa )( x 1 )
及可去间断点 x 1, 试确定常数 a 及 b . 解: x 0 为无穷间断点, 所以
[ f ( x h ) f ( x )] [ f ( x h ) f ( x )] 0 0 0 0 h h
21
常用的高阶导数公式
x ( n ) x n x (n x ( 1 ) ( a ) a ln a ( a 0 )( e ) ) e
( 2 ) (sin x ) sin( x n ) 2
a (1cosx) x
2
介值定理 .
,
x 0
例. 设函数
f (x)
1, ln(bx2) ,
x 0
x 0
1 2 1cos x~ x 2
在 x = 0 连续 , 则 a =
2 , b= e . a ( 1 cos x ) a 0)lim 提示: f( 2 2 x 0 x
1 2
15
变限函数的导数公式
d b 1 x f (t )dt f( x ) dx
2
d ( x) f [ ( x )] ( x ) f (t )dt a dx
b ( x ) d b( x) 0 d f ( t ) d t f ( t ) d t 3 f(t )dt a ( x ) 0 d x dx a( x)
( x , x ) ,使 F ( ) 0 ,即 故由零点定理知 , 存在 1 2
f ( ) f ( x ) f ( x ) . 1 2
【备考2015】全国名校2014高考数学试题分类汇编(12月 第一期)A2 命题及其关系充分条件必要条件(含解析)
A2 命题及其关系、充分条件、必要条件【数学理卷·2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】5. 已知()3sin f x x x π=-，命题:0,,()02p x f x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则( )A ．p 是假命题;:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭ B ．p 是假命题;00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题; :0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈> ⎪⎝⎭D.p 是真命题;00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【知识点】命题的真假的判断；命题的否定.A2【答案】【解析】D 解析：()3cos 0f x x π'=-<恒成立,则()3sin f x x x π=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,(0)0f =,则()0f x <恒成立,所以p 是真命题,00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭,故选D.【思路点拨】先对原函数求导，再利用单调性判断可知p 是真命题,然后再写出其否定命题即可。
【数学理卷·2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】9. 在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈∀,，a b *为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=； （2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．关于函数1()()x x f x e e=*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中正确说法的序号为（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③【知识点】命题的真假判断与应用．A2 【答案】【解析】B 解析：∵1()()x xf x e e =*=（e x ）•1x e +（e x ）*0+1x e *0=1+e x+1x e ，对于①，∵1+e x+1xe ≥1+（当且仅当x=0时取“=”），∴f （x ）min =3，故①正确；对于②，∵f （x ）=1+e x+1x e=1+e x +e ﹣x ，∴f （﹣x ）=1+e x +e ﹣x =1+e x +e ﹣x=f （x ）， ∴函数f （x ）为偶函数，故②正确；对于③，∵f′（x ）=e x﹣e ﹣x=21x xe e-，∴当x≥0时，f′（x ）≥0，即函数f （x ）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B ．【思路点拨】依题意，可得f （x ）=1+e x+e ﹣x，对于①，可由基本不等式1+e x+1xe ≥1+判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误； 对于③，由f′（x ）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．【数学理卷·2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】5. 已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ） A. ),2[+∞ B. ),2(+∞ C. ),1[+∞ D. ]1,(--∞【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案】【解析】B 解析：∵311x <+，∴321011xx x --=<++，即（x ﹣2）（x+1）＞0， ∴x ＞2或x ＜﹣1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2，故选：B ．【思路点拨】求出不等式q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【典例剖析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．【数学理卷·2015届安徽省“江淮十校”高三11月联考（201411）WORD 版】15.对任意两份非零的平面向量α和β，定义,⋅⋅αβαβ=ββ若平面向量a,b 满足0,≥>a b a 与b 的夹角[0,]4πθ∈，且ab 和b a 都在集合{|,n }nm m∈∈Z Z 中，给出下列命题： ①若1,m =则a b =ba =1；②若2m =,则12=ab . ③若3m =,则a b 的取值最多为7个； ④若4m =,则a b 的取值无限多个；其中正确命题序号是_____________(把所有正确命题的序号都填上). 【知识点】命题的真假判断与应用 A2【答案】【解析】①③ 解析：①2cos ,a a b a b bbθ==2cos b b a b a aaθ==由a b b a = ，可得a b = cos a b b a θ∴==1,[0,]14m a b b a πθ=∈∴∴== 正确。
高数A2习题册答案
一、判断题(1)√；(2) ×
二、单项选择题C ; A
三、填空题
1导数,常; 2阶; 3初始; 4、
四、计算题：
1、
2、
3、
习题二
一C; C; B
二
1
2
3
4、
习题三
一、判断题(1)√；(2)√
二、C
三、
1、
2、
3、
4、
习题四
1、
2、
3、
4、
习题五
一
D; D;
二
1 ;
2
三
1
2
3
四、
习题六
一、1 ;
四．
五． （5，－8，2）
习题九
一．DCC
二．1. 2.（1，－1,3）
3. 4.－4, 3
三．
四．
五．面方程：
习题十
一．D BAC
二．1．
2. ，参数方程：
3．－1
三．直线方程：
四．
习题十一
一． √
二．CDDCC
三．1． 2. 3. 4.
四．1．由xoz面上的曲线 绕z轴旋转得到的
2．由xoy面上的曲线 绕x轴旋转得到的
2 ;
3
二
1
2
3、
4
复习题
一、判断题(1)×；(2) √
二
C; A; C
三
1 ; 2 ;
3
四
1
2
3
4
习题七
一． √√√√
二．ADC
三．xoy面(-2,3,0) -2 yoz坐标面
四． （ ）
五．（1）（－1，3，3） （2） （3）
高数A2练习题
⾼数A2练习题1、选择题：1.⽅程是( )(a)、柱⾯ (b)、椭球⾯ (c)、双曲抛物⾯ (d)、锥⾯2、设平⾯⽅程为，其中A，C，D均不为零，则平⾯（）A．平⾏于x轴 B. 平⾏于y轴 C. 经过x轴， D. 经过y轴。
3．已知向量a ，b的模分别为，则 ( )(a)、2 (b)、 (c)、(d)、14．设平⾯⽅程为，且，则平⾯( )(a)、平⾏于x轴 (b)、平⾏于y轴(c)、经过y轴 (d)、垂直于y轴5.向量为共线的单位向量，则它们的內积 ( )(a)、1 (b)、-1 (c)、0 (d)、(a)、 (b)、(c)、 (d)、以上均不正确7、向量（）是单位向量A：（1，1，1） B：（，，） C：（0，-1，0） D：（，0，）8．双曲线绕z轴旋转⽽成的旋转曲⾯的⽅程为（）(a)、 (b)、(c)、 (d)、9、直线的标准⽅程是（）ABCD10、曲⾯z=xy在M0(1,2,2)处的切平⾯为（）A： 2x+y-z=2 B:2x-y+z=2 C:x+2y-z=2 D:2x+y+z=02．函数11.在点处连续是它在该点偏导数存在的（）(a)、必要⽽⾮充分条件， (b)、充分⽽⾮必要条件，(c)、充分必要条件， (d)、既⾮充分以⾮必要条件。
12.已知为某函数的全微分，则为 ( )(a)、－1 (b) 、0 (c)、1 (d)、2。
13、函数在点(0,0)处： ( )(A)连续但不可导 (B)不连续但可导(C)可导且连续 (D)既不连续⼜不可导14、函数在点可微分且在该点取极值，则在点处必有( )(A) (B)且仅与有关(C)且仅与有关 (D)且与和均有关15．函数在点处偏导数存在，是在该点连续的( )(a)、充分条件，但不是必要条件。
(b)、必要条件，但不是充分条件。
(c)、充分必要条件。
(d)、既⾮充分条件，⼜⾮必要条件。
16、⼆元函数在处关系表述正确的是 ( )A. 可微可偏导连续B. 可微可偏导连续C. 可偏导连续, 但可偏导未必可微D. 可微可偏导,可微连续 ,但可偏导未必连续17．函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)处有f x/(x0,y0) =0,f y/(x0,y0)=0 则P0点是( ) A：连续点 B：极⼤值点 C：驻点 D：极⼩值点18. 函数在点（0，0）处【】(a)、连续，偏导数存在 (b)、连续，偏导数不存在(c)、不连续，偏导数存在 (d)、不连续，偏导数不存在19.⼆元函数在点的偏导数存在，是在该点可微的（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．⽆关条件20.设函数在单连通域D上具有⼀阶连续偏导数，则曲线积分在D域内与路径⽆关的充要条件是( )(a)、 (b)、 (c)、 (d)、21.曲线积分，其中C是圆⼼在原点，关径为的圆周，则积分值为( )(a)、， (b)、， (c)、， (d)、22．设L是圆周，取逆时针⽅向，则曲线积分( )(a)、-1 (b)、1 (c)、0 (d)、223．设，则三重积分等于(a)、0 (b)、 (c)、 (d)、2。
大学高等数学A-2试卷答案
《高等数学》考试试卷A-2参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题3分, 共15分)1．B 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题（每小题3分，共15分)1．12dx dy + 2．533．2(,)x f a b ' 4．230+-=y z 5．18π三、计算题(每题7分；共56分)1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩A B C D B C D A B C （4分）所以有0=D ；::2:1:1=-A B C所求平面方程为 20--=x y z （3分）2．解：21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分） ()21212()2()4.z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （4分）3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x （3分）(){}22221111120212240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x D x y dxdyD dx x y dy dx ydyx x dx （4分）4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域． 解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)故10z D zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12022 3z dz ππ==⎰ (+5分) 5．解： 设2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y ==-++，因为()()22:111L x y -+-=， 所以220x y +≠，而且有()22222Q x y P x y x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L ydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。
高数A2第五章练习
高等数学 A2 第五章练习一、填空题1.根据定积分的性质比较各组积分的大小： （1）221x dx =⎰231x dx ⎰； （2）21ln xdx =⎰221(ln )x dx ⎰；（3）1xdx =⎰10ln(1)x dx +⎰；（4）1xe dx =⎰ 1(1)x d x +⎰。
2. 利用定积分的几何意义，求下列积分： （1）0=⎰ ； （2）3-=⎰。
3.设0sin t x udu =⎰，0cos ty udu =⎰，则dydx= 。
4. 设()f x 为连续函数，且满足20()(1),xf t dt x x =+⎰则(2)f = 。
5.220cos limx x tdt x →=⎰ 。
6.325425sin 21x xdx x x -=++⎰ 。
7.2121tan 1x xdx x -+=+⎰ 。
8.求导数32x x d dx =⎰ 。
9.计算定积分120arcsin xdx =⎰。
10.计算定积分1=⎰ 。
二、计算与证明。
1. 设()f x 为连续函数，()()()xaF x x t f t dt =-⎰，求()F x '。
2. 求由220cos 0yxt e dt t dt -+=⎰⎰所确定的隐函数()y x 的导数。
.3.设()f x 在[,]a b 上连续，且单调增加，证明1()()xaF x f t dt x a =-⎰在(,]a b 上单调增加。
三、计算下列积分。
1.520cos sin 2x xdx π⎰ 2.11ln exdx x+⎰3.1⎰ 4.1⎰5.设2,0()1,0x e x f x x x -⎧≥=⎨+<⎩，求212(1)f x dx -⎰。
6.20sin t ntdx π⎰（n 是正整数） 7.1sin(ln )ex dx ⎰8.设2(31),xf x xe +=求1()f t dt ⎰9.+∞⎰10.1(1)dxx x +∞+⎰四．计算与证明。
2015-2016-2大学数学A2期末试题--标准答案
-----4分
注意到 的方程为 ，取下侧，其中 为单位圆面，因此有从而 --- Nhomakorabea---9分
5. 解：对函数 偶延拓，因此
-------2分
----6分
由此得到函数 的余弦级数为
-----9分
四、计算题 (本题满分 12分)
解：考虑幂级数
，所以幂级数在 收敛---------3分
令和函数为 ，即
两边积分 --------6分
3. 解：记 ， ，只要 ，便有
，
在区域 内 ，
所以 在区域 内是某个二元函数 的全微分。-----4分
在区域 内取定点 和动点 ，由 知曲线积分 在 内与路径无关，该积分只依赖于点 ，取从 到 再到 的折线作为积分路径，得
----------9分
4. 解：记平面 被 所截得的圆面的下侧为 ，则 构成一个外法线方向的闭曲面，另记 所包围的立体为 ，由Gauss公式得
本科课程考试试题参考答案及评分标准
开课单位：数学学院 学生所在学院： （2015 ～2016年第2学期）
课程编号
0910411012
学分/总学时
6/96
课程名称
高等数学A2
课程类别
█公共课 □专业课
专业/年级
专业 2015 年级
修读方式
█必修 □选修
出题教师
大学数学部
是否主干基础课
是
考试方式
█闭卷 □开卷
一、填空题
（1）2
（2）
（3）
（4）
（6）D
（5）
二、选择题
（1）C
（2）B
（3）C
（4）A
2015-2016-2大学数学A2期末试题--标准答案
本科课程考试试题参考答案及评分标准开课单位：数学科学学院 学生所在学院： （2015 ～2016年第2学期） 课程编号 0910411012 学分/总学时 6/96 课程名称 高等数学A2课程类别 █公共课 □专业课 专业/年级 专业 2015 年级 修读方式 █必修 □选修 出题教师 大学数学部是否主干基础课是考试方式█闭卷 □开卷一、填空题 （1）2（2）2（3）4260x y z +--=（4）24212d (,)d d (,)d x xxx f x y y x f x y y +⎰⎰⎰⎰（6）D（5）[4,6)二、选择题 （1）C （2）B （3）C （4）A （5）A三、计算题（本题满分 45分，每小题9分）1. 解：积分区域D 关于y 轴对称，函数221xyx y ++关于x 是奇函数，故22d d =01D xyx y x y ++⎰⎰------3分从而22122222002d d 12d d d =d d =2=2d 111D D D xyx yx y x yx y x y x y πρρθρ++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------6分ln 2π=----9分 2. 解：122zxf yf x∂=+∂------4分 21112221222211122221221=2(2)(2)42()()zx yf xf f y yf xf x yxyf x y f xyf f f f ∂++++∂∂=++++=-----------5分(3)d d d x x y z ΩΩ∂-⎰⎰⎰⎰⎰⎰注：1.出题教师负责制订课程考试试题参考答案及评分标准（列出答案要点即可），不够可另附页。
2.试题参考答案及评分标准与试题一并交学院。
3.试卷评完后，此表随同试卷交学院，由学院妥善保存。
高数A2归类复习题
x − xy ∂z ∂ 2 z （6）. 设 z = f , e , 且 f 具有二阶连续偏导数，求 , 2 . ∂x ∂x y 2 ∂ z 1 ∂z 1 ′′ − 2e − xy f12 ′′ + y 2 e −2 xy f 22 ′′ + y 2 e − xy f 2′. 解: = = 2 f11 f1′− ye − xy f 2′; 2 ∂x y ∂x y
（2）练习。曲面 z = xy 在点 (1，， 2 2 ) 处的法线方程是 =
x −1 −2
y−2 z−2 = .. −1 1
（3） 曲面 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 0. 12 上点（1,-2,1）处的切平面方程为 3 x − 4 y + z − 12 =
∂u （4）. 设函数 u = xyz 在点(1,1,1)沿 l = (2,1,1) 的方向导数 =【 ∂l (1,1,1) 3 4 3 A. B. C. 2 D. 2 6 6
第九章：多元函数微分及其应用（思想：一元函数的求导公式+多元 函数求导规则） 1.导数基本定义（一阶和二阶）
（1）,z=e xy cos x y，求
∂z 。 ∂y
∂z 解： =xe xy cos x y − e xy sin x y ⋅ = x y ln x e xy [cos x y ⋅ x + ( − sin x y ) ⋅ x y ln x]. ∂y
4.多元极值（无条件和条件极值（看书例题 P113）） （1） （无条件极值）设 z = z ( x, y ) 由 x 2 − 6 xy + 10 y 2 − 2 yz − z 2 + 18 = 0 确定.
11-12-2高等数学A2期末总复习
淮 海 工 学 院11 – 12 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末总复习一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. 由向量)2,0,1(=OA ，)2,1,0(=OB 围成的三角形OAB ∆面积为--------------（A ） （A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）4注1：已知,a b ，会求,,a b a b a b ⋅⨯⨯，举例说明并练习.注2：已知,a b ，会求由,a b 构成的面积s a b =⨯，举例说明并练习.2．)tan()1(),(2222y x y y x y x f +-+=，则(,1)xx f x=-----------------------------（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x2注1：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的值代入，在对该变量求导. 如： 2(,)1,f x y y xy =+求(3,1),(,1),(,1),(0,1),(0,),(0,)x x xx y y yy f f x f x f f y f y . 又如：对选择题2，求(1,1),(0,1)x y f f .3. z y e u x-+=ln 在点)1,1,0(-处沿下列哪个方向的方向导数最大-----------（B ） （A ）)1,1,0(- （B ）)1,1,1(- （C ）)1,1,0( （D ）)1,0,1(注1：(,,)u f x y z =在点0M 处沿梯度方向000((),(),())x y z f M f M f M 的方向导数达到最大值222000()()()x y z f M f M f M ++.如：函数32),,(222+-+=z y x z y x f 在点)27,1,1(处沿下列哪个方向的方向导数最大？并求最大值.简要解答：,2x f x =z f y f z y 4,2-==则 )72,2,2()27,1,1(-=g r a d f ，6)27,1,1(][max )27,1,1(==∂∂grad lf . 又如：对选择题3，求方向导数的最大值.4．二次积分⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(的另一种积分次序为----------------------（B ）（A ） x d y x f dy ye e ⎰⎰10),( （B ） x d y x f dy eey ⎰⎰1),(（C ）x d y x f dy eeey⎰⎰1),( （D ） x d y x f dy e eey ⎰⎰1),(注1：在直角坐标系下，交换二次积分的积分次序，需熟练描绘积分区域的图形，并将其表示成另一种积分区域. 如：⎰⎰10),(yydx y x f dy 的另一种积分次序为--------------------------------------------（C ） （A ）⎰⎰1),(xxdy y x f dx （B ）⎰⎰10),(x x dy y x f dx（C ）⎰⎰102),(xx dy y x f dx （D ）⎰⎰102),(x xdy y x f dx又如：x d y x f dy ee y⎰⎰10),(的另一种积分次序为⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(.5．2272(21)(1)x y x y ds +=++=⎰----------------------------------------------------------------（D ） （A ）0 （B ） π （C ）2π （D ） 22π 注1：第一种曲线积分的计算需利用(,),LLx y L ds s∈=⎰与对称奇偶性来完成.如：设L 为椭圆2215x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（D ） （A ）15l （B ） l （C ） 5l （D ） 5l6．设∑为锥面22y x z += 与平面1z =所围立体Ω的表面内侧，则223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--=⎰⎰----------------------------------------------------（D ） （A ）π- （B ）3π- （C ）3π （D ）π注1：第二种曲线积分的计算需利用高斯公式与kdv kv ΩΩ=⎰⎰⎰来完成，注意内外侧. 如：设空间闭区域{}(,,)1,2,||3x y z x y z Ω=≤≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算得23xdydz ydzdx zdxdy ∑-+=⎰⎰ 96 .又如：对选择题6，设∑为空间闭区域{}22(,,)1,1x y z x y z Ω=+≤≤的表面内侧， 用高斯公式计算223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--⎰⎰.简要解答: Ω是半径为1、高为2的圆柱体，其体积为2π，令2,23P x z Q xyzR z ==-=-，则3x y z P Q R ++=-则原式()xyz P QR dv Ω=++⎰⎰⎰3dv Ω=⎰⎰⎰6π=．7．设)1(1+=n n u n ，则级数-------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∑∞=∞=121n n n nuu 与都收敛 （B ）∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而∑∞=12n nu发散 （D ）∑∞=1n nu发散，而∑∞=12n nu收敛注1：对于p 级数11p n n ∞=∑，当1p ≤时发散，当1p >时收敛． 如：下列级数中收敛的是--------------------------------------------------------------------（D ）（A ）∑∞=+11n n n （B ）∑∞=+1)1(1n n n （C ）∑∞=+11n n n （D ）∑∞=+111n n n又如：若级数5611pn n∞-=∑收敛，则p 的取值范围是-----------------------------------------（A ）（A ）(,23)-∞ （B ）(,23]-∞ （C ）(23,)+∞ （D ）[23,)+∞8．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为21,0()3,0x x f x x x ππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(8)S π=-----（C ）（A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）3注1：以π2为周期的)(x f 满足狄利克雷收敛条件，若0x 为)(x f 的第一类间断点，则)(x f 的傅里叶级数001()[()()]2S x f x f x +-=+.如：对选择题8，24(7)2S πππ--+=.二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设),(y x f z =是由 z x z y 25)35ln(-=- 所确定的隐函数,求23x y z z +. 注1：设),(y x f z =是由(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则有公式法如下： ,x x z y y z z F F z F F =-=-．解：设=),,(z y x F z x z y 25)35ln(+-------------------------------------1 则03532,355,5≠--=-=-=zy F z y F F z y x (3分,偏导错一个扣分)则23x y z z +(23)x y z F F F =-+ =5.-------------------------------------------------3如： 设0)3cos()2sin(=-+-z y z x 确定了隐函数),(y x z z =，求23x y z z +. 2． 设1(,)z f xy x y x =+，其中f 可微，求)0,1(dz . 解：12211()zf yf f x x x ∂=-++∂-----------------------------------------------------------------2121()z xf f yx∂=+∂-----------------------------------------------------------------------------2 )0,1(dz = 212[(0,1)(0,1)][(0,1)(0,1)]f f dx f f dy -++.-----------3注1：含抽象复合函数的偏导数计算需利用链式法则.如： )(),(xy g yx xy f z +=,其中g f ,均可微，求x y xz yz +. 简要解答:),(1221y xg xy f y yf x z '-+=∂∂ ),(1221y x g x f y x xf y z '+-=∂∂ 则12x y xz yz xyf +=.又如：对计算题2，求x y z z -.注2：(,)z f x y =的全微分公式为x y dz z dx z dy =+，求出,x y z z ，可得dz ， 进一步，将00,x x y y ==代入dz ，可得00(,)x y dz，或00(,)dz x y .如：设(,)y z yf x y x=-，其中f 可微，求(1,0)dz -.简要解答: 122()x y z y f f x =-+，121()y z f y f f x=+-， 因x y dz z dx z dy =+，则(1,0)(0,1)dz f dy -=-.又如：对计算题1，求dz .3．设D 由23,1y x y x ==-及x 轴所围成，求2221(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,03D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式1223(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212220(1)(1)6r d r π-=++⎰12π=.----------------------------------3注1：若积分区域为圆（扇、环）域，被积函数为22()f x y +，则用极坐标. 如： 若{}1),(22≤+=y x y x D ，求221Dx y dxdy --⎰⎰.简要解答: 原式212001d d πθρρρ=-⋅⎰⎰01)1(32232ρπ--=32π=. 又如：对计算题3，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰.4．取L 为22132x y+=的顺时针方向，用格林公式求422(2)(1)23L x y dy y dx x y +-++⎰.解：原式41(2)(1)6L x y dy y dx =+-+⎰-------------------------------------------------------2221321(21)6Green x y d σ+≤=-+⎰⎰--------------------------------------------------------------3221321622x y d σπ+≤=-=-⎰⎰.----------------------------------------------------------2注1：用格林公式求LPdx Qdy +⎰时，若,P Q 含分母，利用(,)x y L ∈将分母变为常数，再用格林公式进行计算，注意L 的逆（顺）时针方向. 如：设L 是221x y +=的逆时针边界曲线，则=+--+⎰Ly x dyy x dx y x 22)()(π2-. 再如：对计算题4，求2(2)(2)y Ly y dx xy e dy --+⎰.三、计算题（8分）记曲面zxy z ln 21+=在点),,(0000z y x M 处的切平面为∏，若已知直线z y xL -==32:与∏垂直，求点),,(0000z y x M 及∏的方程. 解： 设=),,(z y x F z z x y 21ln -+，则 )211,1,1(),,(000--=z x F F F M z y x ------2 由L ⊥∏，知 0000111211,22112x z x z --==⇒==- ------------------------------3 代入zxy z ln 21+=可得：2ln 210+=y ----------------------------------------------1故∏：0)2()2ln 21()21(2=----+-z y x ，即 02ln 22=--+z y x .---2注1：曲面(,,)0F x y z =在点0M 处的法向量为0(,,)x y z M F F F .如：在曲面xy z =上求一点，使该点处曲面的法线垂直于平面.093=+++z y x 简要解答: 设所求点为 ),,(0000z y x M , 令(,,)F x y z z xy =- 则点0M 处的法向量为000(,,)(,,1)x y z M F F F y x =-由已知得113100-==x y ，解之得: 1,300-=-=y x ，则 3000==y x z 故所求点为)3,1,3(--.又如：求曲面0162222=++-+-z x z y x 在)1,3,1(处的切平面I 的方程, （1）判断平面∏：0536=---z y x 与切平面I 的位置关系；（2）判断直线11:63x z L y --==与切平面I 的位置关系. 简要解答: （1）令162),,(222++-+-=z x z y x z y x F则,14-=x F x 62,2+=-=z F y F z y ，切平面I 法向量)8,6,3(1-=n切平面I 方程为： 07863=++-z y x ，∏平面法向量为)3,1,6(2--=n由021=∙n n 知 21n n ⊥ ，即 ∏⊥I . （2）直线L 的方向向量为(6,1,3)s =-由10n s ∙=，知1n s ⊥，又直线L 上的点(1,0,1)∉I ，则L I .注意：当1n s ⊥时，若直线L 上的某点M ∈I ，则有L ⊂I .四、计算题（８分）求幂级数∑∞=+---11212)12(2)1(n n n nn x 的收敛半径和收敛域．解: =+∞→|)()(|lim 1x u x u n n n 24x -----------------------------------------------------------------2当142<x 时，即2||<x 时，该级数绝对收敛-------------------------------------------1 当214x >时，即||2x >时，该级数发散------------------------------------------------1 则收敛半径2=R---------------------------------------------------------------------------12±=x 时，相应级数为∑∞=--±1121)1(41n nn 收敛--------------------------------------2∴收敛域为]2,2[-． -------------------------------------------------------------------------1注1：熟练掌握求幂级数收敛半径和收敛域的解题方法与过程． 如：求幂级数n n n x n 2114⋅⋅∑∞=-的收敛半径和收敛域．简要解答: 1lim |()()|n n n u x u x +→∞=24x ，当241x <时，即||12x <时，该级数绝对收敛； 当241x >时，即||12x >时，该级数发散，则收敛半径12R = ，12x =±时，相应级数为14n n∞=∑发散，∴收敛域为(12,12)-．五、证明计算题（本题8分）求证：23(32)(2)y y x e x y dx x e x y dy +-+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ．解: 23(,)32,(,)2yyP x y x e x y Q x y x e x y =+-=-+ ----------------------------------1231y P Q x e y x∂∂=-=∂∂-----------------------------------------------------------------------2 则(,)u x y 与积分路径无关-------------------------------------------------------------------1(,)u x y =(,)23(0,0)(32)(2)x y y yx e x y dx x e x y dy C +-+-++⎰----------------------1230(32)(2)x y y x x dx x e x y dy =++-+⎰⎰---------------------------------------2322y x e x xy y C =+-++．-----------------------------------------------------------1注1：x y LPdx Qdy du Q P Pdx Qdy +=⇔=⇔+⎰与积分路径L 无关，且000(,)(,)(,)(,)x y x yx y x y u Pdx Qdy P x y dx Q x y dy C =+=++⎰⎰⎰，一般取00(,)x y 为原点.如：证明：dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++在整个xoy 平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数． 简要解答: 因x y y x yPx Q cos 2sin 2+-=∂∂=∂∂，则命题得证； (,)2(0,0)2(2sin sin )x y xyu Pdx Qdy C xdx y x x y dy C=++=+-+⎰⎰⎰22sin cos y x x y C =++又如：对证明计算题五，求证:LI Pdx Qdy =+⎰与积分路径L 无关,仅与L 的起点仅与L 的起点(0,0)A 与终点(,)B x x 有关，并求出I ． 简要解答: 因231y Q Px e x y∂∂==-∂∂，则命题得证； (,)23(0,0)(32)(2)x x xxy I Pdx Qdy x x dx x e x y dy =+=++-+⎰⎰⎰32x x e x =+．六、计算题（本题8分）求,122σd y x D⎰⎰-+ {}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤．[解] 如图,原式122222(1)(1)D D x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰------------------------------212222(1)2(1)D D x y d x y d σσ=+-+--⎰⎰⎰⎰-----------------------------221112220000(1)2(1)dx x y dy d r rdr πθ=+-+-⎰⎰⎰⎰-------------------------2143π=-.----------------------------------------------------------2第５页 共7页七、应用题（本题8分）如图ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，其中ATPN 是一座半径为90m 的扇形小山，P 是弧TN 上一点，其余部分都是平地.某开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的矩形停车场PQCR ， 设,PR x AM y ==，求该停车场PQCR 的最大面积.解：在Rt APM ∆中，222(100)90x y -+=----------------------------------1 停车场PQCR 的面积(100)S x y =-，,(0,100)x y ∈------------------------1 构造222(100)[(100)90]L x y x y λ=-+-+-， ------------------------------------------1 由(100)2(100)0,20x y L y x L x y λλ=---==-+=----------------------1 解得x y =或100x y +=------------------------------------------------1 当x y =时，易得2950S m =---------------------------------------------------------------------1当100x y +=，易得2(1405090002)S m =----------------------------------------------1故停车场PQCR 的最大面积为2(1405090002)m -.-----------------------1注1：此类优化应用题应化为条件极值问题，一般利用拉格朗日乘数法解决，也可将条件代入目标函数转化为无条件极值问题加以解决.如：2008年5月12日我国四川汶川发生了强烈地震，整个汶川地区的道路网受到了空前的破坏，为重建家园，政府决定建立一个优化的道路系统．现有一个道路子网将连接汶川地区的四个农庄A B C D 、、、，A B C D 、、、恰好座落在边长为km 2的正方形顶点上，该道路子网有一条关于,AD BC 对称的中心道21O O 及四条支道1122O A O B O C O D 、、、，整个设计要求11,O A O B x == 22O C O D y ==，设21O O 长为2z ，问,,x y z 为多少时，道路子网总长度最短？A BO 1O 2D C简要解答:221122x y z -+-+=，且(1,2),(1,2),(0,1)x y z ∈∈∈该题要求在上述条件下求道路总长度2()d x y z =++的条件最小值 构造拉格朗日函数222()(1122)L x y z x y z λ=+++-+-+-222220120122011220x y z x L x y L y L L x y z λλλλ⎧=+=⎪-⎪⎪⎪=+=⎨-⎪⎪=+=⎪=-+-+-=⎪⎩ 解得213,1333x y z ===-，可使道路子网总长度最短． 注意：本题也可将221122x y z -+-+=化为222211z x y =----，代入目标函数222()2(1)11d x y z x y x y =++=++----第６页 共7页令0x y d d ==进行求解．八、微分方程复习题1、yx ey +='的通解为----------------------------------------------------------------------（ B ）（A ）C e e yx=-- （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+- （D ）C e e y x =+ 注1：一阶可分离变量微分方程()()y f x g y '=的解法为()()dyf x dxg y =⎰⎰.对选择题1，,x yy e e '=yxedy e dx -=⎰⎰，则选（ B ）.如：求23x yy e-'=的通解.2、12xy C C e =+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（ A ） （A ）0='-''y y （B ）0='+''y y （C ）0=-''y y （D ）0=+''y y 注1：0y py qy '''++=的特征方程为20r pr q ++=，0,∆<不要求； 若0,∆>特征方程有两个不同实根12r r ≠，原方程通解为1212r xr xy C e C e =+；若0,∆=特征方程有两个相同实根r ，原方程通解为12()rxy C C x e =+.对选择题2，因011,x x xe e e ==为该微分方程的两个特解，则120,1r r ==为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为2(1)0r r r r -=-=，故选（A ）如：0=-''y y 的通解为12x xy C e C e -=+；通解为12xxy C eC e -=+，则微分方程为0=-''y y .又如：20y y y '''++=的通解为12()xy C C x e -=+；通解为12()xy C C x e -=+，则微分方程为20y y y '''++=.3、 微分方程xxe y y y 244-=+'+''的一个特解可设为---------------------------（C ）（A ）2()xax b e-+ （B ）xe b ax x 2)(-+ （C ）xeb ax x 22)(-+ （D ）xex 23-注1：xy py qy ceλ'''++=的特解可设为*k xy ax e λ=，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.注2：()x y py qy cx d e λ'''++=+的特解可设为*()k xy ax b x e λ=+，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.对选择题3，因2λ=-为其相应特征方程2440r r ++=的重根，取2k =，其特解可设为*22()xy ax b x e -=+；1y y '''+=的特解可设为*y ax =.4、解微分方程.0)0(222⎩⎨⎧==+'-y xe xy y x注1：y Py Q '+=的通解可用公式法()Pdx Pdxy e Qe dx C -⎰⎰=+⎰，也可用构造法，利用()'PdxPdxye Qe ⎰⎰=求其通解.解（一）：公式法：22)(,2)(x xe x Q x x P -== ⎰=∴2)(x dx x P ，2)(222)(x dx e xe dx e x Q x x dxx P =⋅=⎰⎰⎰-故通解为)(22C x e y x +=-由0)0(=y 得0=C ， 因此 22x e x y -=. 解（二）：构造法：222()'2xdxxdxx ye xe e -⎰⎰=，则2()'2x ye x =，于是222x yexdx x C ==+⎰,有22()x y e x C -=+，下与解（一）相同.如：求解微分方程2111y x y x x +'-=++． 简要解答: 公式法， 111121()1dx dx x x x y ee dx C x -+++⎰⎰=++⎰ ln(1)ln(1)21()1x x x e e dx C x +-++=++⎰21(1)()1x dx C x =+++⎰(1)(arctan )x x C =++ 构造法：111121()'1dx dx x x x e y e x --+++⎰⎰=+，则ln(1)ln(1)21()'1x x x e y ex -+-++=+， 化简得21()'11y x x =++， 则21arctan 11y dx x C x x ==+++⎰，有(1)(arctan )y x x C =++． 注意：ln u e u =，如311ln ln ln ln 23ln 22311,,u x x x x x x x e u e e e e e e x x --=====．第７页共7页。
高数A(Ⅱ)总复习一 (微分方程、级数)
1 x
x ( x 1) e dx c
1 x x c ( xe c) e x x
f (1) = e 代入，得 c = 0
∴ f (x) = ex
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2. 二阶常系数非齐次线性微分方程 y"- 4y' + 3y= 4xe3x 的
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1. 解微分方程 xf ( x) f ( x) （x 1)e x , f (1) e.
解:
1 x 1 x P( x) , Q( x) e x x
∴ 通解为
f ( x)
1 dx e x
1 dx x 1 x x e e d x c x
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6. 任意项级数的比值判别法 和根值判别法
un 1 ∑un为任意项级数， lim ( 或 lim n | un | ) n un n
① ρ< 1 ， 级数绝对收敛 ② ρ> 1 或为+∞， 级数发散 ③ ρ= 1 ，另行判定
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n 1
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*例. 级数 A. 收敛;
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n2
(1) n n (1)
n
的收敛性为 【 A 】 C． 不确定 ； D. A, B, C 都不对
( n 2, 3,...)
B. 发散 ;
1 1 1 解： S2n-1 = 1 3 4 56 (2n 1) (2n)
全国名校高考数学试题分类汇编(12月 第一期)A2 命题及其关系、充分条件、必要条件(含解析)
A2 命题及其关系、充分条件、必要条件【数学理卷·2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】5. 已知()3sin f x x x π=-，命题:0,,()02p x f x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则( )A ．p 是假命题;:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭ B ．p 是假命题;00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题; :0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈> ⎪⎝⎭D.p 是真命题;00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【知识点】命题的真假的判断；命题的否定.A2【答案】【解析】D 解析：()3cos 0f x x π'=-<恒成立,则()3sin f x x x π=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,(0)0f =,则()0f x <恒成立,所以p 是真命题,00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭,故选D.【思路点拨】先对原函数求导，再利用单调性判断可知p 是真命题,然后再写出其否定命题即可。
【数学理卷·2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】9. 在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈∀,，a b *为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=； （2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．关于函数1()()x x f x e e=*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中正确说法的序号为（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③【知识点】命题的真假判断与应用．A2 【答案】【解析】B 解析：∵1()()x xf x e e =*=（e x ）•1x e +（e x ）*0+1x e *0=1+e x+1x e ，对于①，∵1+e x+1xe ≥1+（当且仅当x=0时取“=”），∴f （x ）min =3，故①正确；对于②，∵f （x ）=1+e x+1x e=1+e x +e ﹣x ，∴f （﹣x ）=1+e x +e ﹣x =1+e x +e ﹣x=f （x ）， ∴函数f （x ）为偶函数，故②正确；对于③，∵f′（x ）=e x﹣e ﹣x=21x xe e -，∴当x≥0时，f′（x ）≥0，即函数f （x ）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B ．【思路点拨】依题意，可得f （x ）=1+e x+e ﹣x，对于①，可由基本不等式1+e x+1xe≥1+判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误； 对于③，由f′（x ）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．【数学理卷·2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】5. 已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ） A. ),2[+∞ B. ),2(+∞ C. ),1[+∞ D. ]1,(--∞【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案】【解析】B 解析：∵311x <+，∴321011xx x --=<++，即（x ﹣2）（x+1）＞0， ∴x ＞2或x ＜﹣1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2，故选：B ．【思路点拨】求出不等式q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【典例剖析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．【数学理卷·2015届安徽省“江淮十校”高三11月联考（201411）WORD 版】15.对任意两份非零的平面向量α和β，定义,⋅⋅αβαβ=ββe 若平面向量a,b 满足0,≥>a b a 与b 的夹角[0,]4πθ∈，且a b e 和b a e 都在集合{|,n }nm m∈∈Z Z 中，给出下列命题：①若1,m =则a b e =b a e =1； ②若2m =,则12=a b e . ③若3m =,则a b e 的取值最多为7个； ④若4m =,则a b e 的取值无限多个；其中正确命题序号是_____________(把所有正确命题的序号都填上). 【知识点】命题的真假判断与应用 A2【答案】【解析】①③ 解析：①2cos ,a a b a b b b θ==r r r r r g u u r e r 2cos b b a b a a aθ==rr r r r g u u r e r 由a b b a =r r r r g g ，可得a b =r r cos a b b a θ∴==r r r r g g 1,[0,]14m a b b a πθ=∈∴∴==r r r r Q g g 正确。
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高等数学A （2）复习题一、多元函数微分学1．求极限 （1）x xyy x sin lim)2,0(),(→；（2）xyxy y x 11lim)0,0(),(-+→；（3）2222)0,0(),(cos 1)(limyx y x y x +-+→；（4）y x y x xye xy +→+)1ln(lim)0,1(),(；（5）2222)0,0(),(1sin)(lim yx y x y x ++→。
2．求全微分、偏导数（1）)1sin(2y e z x +=，求dz ；（2）设函数f 具有一阶连续偏导数，),2cos (xe xf y =，求dxdy ； （3）设)sin ,2(x y y x f z -= ，其中f 具有连续的偏导数，求：yz x z ∂∂∂∂,。
（4）设),(y x z z =是由方程 32=-z xy e z 确定的隐函数，求yz x z ∂∂∂∂,。
3．求切线方程、切平面方程、法线及法平面方程（1）求曲线1,cos ,sin -==+=te z t y t t x 在点（0，1，0）处的切线方程和法平面方程。
（2）求曲面 72=+-xy z e z在点（2，3，0）处的切平面方程和法线。
（3）在曲面xy z =上求一点，使这点处的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出该法线方程。
4．求方向导数与梯度（1）函数xy y x z -+=22在点)1,1(处沿什么方向的方向导数最大？最大方向导数的值是多少？（2）求函数 )ln(2z yz xe u y ++= 在点A （1，0，1）处方向导数的最大值和方向导数取最大值的方向，并求在点A （1，0，1）处沿点A 指向点B )2,2,3(-方向的方向导数。
5．求函数极值、应用拉格朗日乘数法求实际最值问题 （1）求函数 2233331y x y x z --++= 的极值。
（2）求函数z xy =在条件1x y +=下的极大值。
（应用拉格朗日乘数法）（3）在曲面z =231x y z -+=的距离最近。
（应用拉格朗日乘数法）（4）设销售收入R （单位：万元）与花费在两种广告宣传上的费用,x y （单位：万元）之间的关系为：200100510x yR x y=+++，利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用，已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用可使利润最大。
（应用拉格朗日乘数法）二、重积分与应用1．二重积分计算与应用（1）设D 由21x y -=和0=y 所围成，求⎰⎰+Dd y x σ22。
（2）设D 由x y =与2x y =所围成，求dxdy x D⎰⎰。
（3）交换积分次序⎰⎰10sin x xdy yydx 。
（4）计算⎰⎰--11222dy x y dx 。
（5）设平面薄片所占的闭区域D 为 4122≤+≤y x ，它的面密度y x y x ++=1),(ρ，求该平面薄片的质量。
（6）设均匀薄片由0,1422≥≤+y y x 确定，求薄片的质心（1=μ）。
（7）设),(y x f 连续，且22(,)(,)Df x y x y f x y dxdy =++⎰⎰，其中D 是圆形区域224x y +≤，求(,)f x y 。
2．三重积分计算与应用（1）设Ω是由三个坐标平面与平面1=++z y x 所围成，求积分 ⎰⎰⎰Ωdv x2。
（2）计算⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22，其中Ω是由221y x z +-=与平面0=z 所围成的区域。
（3）计算重积分(z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由圆柱面221x y +=和平面0,1z z ==所围成的闭区域。
（4）求由球面z =和圆锥面z =所围成的立体的体积。
（5）设Ω为曲面22y x z +=与22y x z +=围成的封闭区域，它的密度函数为z z y x =),,(μ，求Ω关于z 轴的转动惯量。
三、曲线、曲面积分1．求第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）设L 为上半圆周24x y -=，求ds eLy x ⎰+22。
（2）设L 是连接点（0，0）与点（1，2）的直线段，求⎰+Lds y x )(。
（3）计算曲线积分()x y z ds Γ++⎰，其中Γ是连接点(1,1,1)A 与点B （2，3，4）的直线段。
2．求第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）设曲线L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)一段弧，求曲线积分⎰-Ldx y x )(22。
（2）设Γ是从（1，1，1）到（2，3，4）的直线段，求 zdz ydy xdx ++⎰Γ。
3．应用格林公式 （1）计算dy y x x dx y x L)()1(3332+-+++⎰，其中L 为圆周422=+y x ，取正向。
（2）计算曲线积分dy y x y x dx x y x L)2sin 2()cos 31(22--+-+⎰，其中L 是沿上半圆周)0(22>-=a x a y 从点)0,(a A 到点)0,(a B -的一段弧。
4．求第一类曲面积分（对面积的曲面积分）（1）求曲面22y x z +=被曲面222y x z +-=所截下的那部分曲面的面积。
（2）设∑为曲面)10(22≤≤+=z y x z ，求⎰⎰∑++dS z y x )(。
5．求第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） （1）计算曲面积分⎰⎰∑dxdy z 3，其中∑为抛物面 22y x z +=介于平面1,0==z z 之间的部分，取上侧。
（2）计算曲面积分dxdy e y x dzdx z dydz y z)(22++++⎰⎰∑，其中∑是由曲面22y x z += 与平面1=z 所围成立体的表面，取外侧。
四、无穷级数1．判断下列级数的敛散性（1）11(1)3nn n n +∞-=-∑。
（2）∑∞+=++-132321)1(n nn n 。
（3）∑+∞=12sin n n n α。
（4）∑∞+=+1224cos n n n n π。
（5）41!n n n ∞=∑。
2．若幂级数∑∞=-0)1(n nn x a在2-=x 处收敛，判断幂级数∑∞=0n nnx a 在2=x 处的收敛性。
3．将函数 12)(+=x e x f 在 1=x 处展开为幂级数，并求收敛域。
4． 将函数x x f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数，并求其收敛域。
5．将函数231)(2++=x x x f 展开为 1-x 的幂级数，并求收敛域。
6．将函数 )23ln()(2++=x x x f 展开为 2-x 的幂级数，并求收敛域。
7．求幂级数∑∞=++01)1(4n n n n x 的收敛域，并求和函数。
8．求幂级数∑∞=--113)1(n nn nnx 的收敛域，并求和函数 9．将函数 ⎩⎨⎧≤≤<≤=πx x x x f 2,20,1)( 展开为余弦级数∑∞=+10cos 2n n nx a a ，讨论此余弦级数的收敛于)(x f 情况，并求出余弦级数的和函数。
（不必求出余弦级数的具体形式）10．将函数⎩⎨⎧≤≤<≤--=ππx xx xx f 00)( 展开为傅里叶级数，求系数1a 。
五、微分方程1．求下列微分方程的通解（1）23xy xy dx dy+=； （2）xy y dxdyx 2=+；（0>x ） （3）x y 2cos ='''； （4）y x y x '=''+2)1(2。
2．求微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧==+'1)(cos πy x x x y y 。
3．二阶线性常系数齐次微分方程的通解为 )2sin 2cos (21x c x c e y x +=，求此微分方程。
4．求微分方程 052)4(=''+'''-y y y 的通解。
5．求微分方程 x e y y y -=+'+''2 的通解。
6．求微分方程 x x y y y sin cos 323+=+'+'' 的通解。
7．已知连续可微函数)(x f 满足1)0(=f ，且使曲线积分dy x f y dx x yf ye x L)]([)](31[2++-+⎰与路径无关，求)(x f 。
8．设函数)(x f 连续，且满足⎰⎰-+=xxx dt t f x dt t tf e x f 0)()()(，求)(x f 。
同时答案也上传在百度文库，需要的只要搜索一下。