代数多重网格算法
【国家自然科学基金】_代数多重网格方法_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
推荐指数 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 预条件子 代数多重网格(amg) 锥形渐扩管 辐射扩散 结块 紊流模型 数值预测 局部粗化 局部松弛 代数多重网格方法 二维三温方程 newton-krvlov(nk) lrc-amg
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 高精度 锥形渐扩管 紧致差分格式 紊流 稀疏矩阵 电性差异 液固两相流 多重网格方法 光催化制氢 代数滑移模型 代数多重网格方法 代数多重网格 三维电阻率数值模拟 三维双调和方程 dlr型k-ε 紊流模型
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2011年 科研热词 推荐指数 离子发动机 2 图形处理器 2 高精度 1 高性能预条件库 1 预条件 1 非等距 1 返流 1 紧致差分格式 1 粒子网格 1 粒子模拟 1 并行计算 1 并行可扩展科学计算工具集 1 对流反应方程 1 多重网格法 1 多重网格 1 亥姆霍兹方程 1 交换电荷离子 1 grapes 1
2012年 序号 1 2 3 4 5
科研热词 漂移-扩散模型 有限体积方法 并行数值模拟 代数多重网格方法 三维半导体器件
推荐指数 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 推荐指数 代数多重网格 2 纹理特征 1 电磁场 1 最大流方法 1 无单元法 1 总迭代数 1 径向基点插值型无单元多重节点法1 小波 1 多重网格法 1 多网格 1 均方误差 1 图割方法 1 图像重构 1
基于光滑聚集代数多重网格的有限元并行计算实现方法
基于光滑聚集代数多重网格的有限元并行计算实现方法武立伟;张健飞;张倩【摘要】基于光滑聚集代数多重网格法实现一种用于结构有限元并行计算的预条件共轭梯度求解方法.对计算区域进行均匀划分,将这些子区域分配给各个进程同时进行单元刚度矩阵的计算,并组合形成分布式存储的整体平衡方程.采用光滑聚集代数多重网格预条件共轭梯度法对整体平衡方程进行并行求解,在天河二号超级计算机上进行数值试验,分析代数多重网格的主要参数对算法性能的影响,测试程序的并行计算性能.试验结果表明该方法具有较好的并行性能和可扩展性,适合于大规模实际应用.【期刊名称】《计算机辅助工程》【年(卷),期】2017(026)006【总页数】7页(P16-22)【关键词】有限元法;光滑聚集;代数多重网格;共轭梯度法;可扩展性【作者】武立伟;张健飞;张倩【作者单位】河海大学力学与材料学院,南京211100;河海大学力学与材料学院,南京211100;河海大学力学与材料学院,南京211100【正文语种】中文【中图分类】TB121有限元法是工程结构分析的一种重要数值方法。
随着工程规模不断扩大、工程复杂性不断增加和计算精度要求不断提高，传统的串行有限元程序的计算规模和计算速度都已经不能满足需求，迫切需要发展能够在超级计算机上高效运行的可扩展有限元并行算法和程序。
目前，传统有限元并行计算中常用的并行算法主要有子结构并行算法[1]、多波前法[2]和预条件共轭梯度法[3-4]等。
这些方法中的直接法计算量和存储量大、并行程度不高，预条件共轭梯度法中的预条件为提高并行性而降低收敛性，也无法适应大规模应用。
代数多重网格法[5-6]不需要几何网格信息，仅从方程组代数结构出发，形成虚拟的粗细网格，以达到加速收敛的目的。
该方法具有存贮量小、收敛快和可扩展性好等优点，将其用于结构有限元大规模并行计算，可以进一步增大计算规模、提高计算速度，能满足现代工程结构分析与设计的要求。
本文基于光滑聚集型代数多重网格法[7]，实现一种用于结构有限元大规模并行计算的预条件共轭梯度方法，并在天河二号超级计算机上对不同的聚集策略、光滑迭代算法和粗网格求解方法进行影响分析，测试和分析程序的并行性能。
代数多重网格算法库AMGCL
代数多重网格算法库AMGCL代数多重网格算法库（AMGCL）是一个用于求解大规模线性方程组的开源软件库。
它采用了代数多重网格（AMG）方法来加速求解线性方程组的过程。
AMGCL通过自适应网格划分和层次求解的策略，可有效解决大规模线性方程组的求解问题。
AMGCL提供了一个灵活且易于使用的接口，可以与各种线性方程组求解器和迭代求解方法结合使用。
它支持各种稀疏矩阵格式，包括压缩格式和坐标格式。
通过将AMG算法与现有的迭代求解器结合，AMGCL能够并行求解大规模问题，提高求解效率。
AMGCL的主要思想是使用层次结构来逐步逼近解，从而达到加速求解的目的。
在网格层次结构中，每一层都对应着一个粗糙的网格，通过在不同层次上进行求解，可以减少求解的自由度，从而加速计算过程。
AMGCL采用了自适应网格划分的方法，可以根据问题的特点自动选择适合的网格划分策略，从而提高求解效率。
在AMGCL中，网格划分和层次求解是两个关键的步骤。
网格划分是将原始问题划分为不同的网格层次，每个层次对应着一个粗糙的网格。
层次求解是在不同层次上求解问题，通过层次间的插值操作来逼近原始问题的解。
AMGCL还使用了预先计算的插值和限制算子，用于在不同层次间传递信息。
除了网格划分和层次求解，AMGCL还提供了其他功能来提高求解效率。
例如，它支持并行化求解过程，可以利用多核处理器和分布式计算环境来加速求解。
此外，AMGCL还提供了一些用于求解非线性方程组的扩展功能，例如非线性预条件子和非线性层次求解。
AMGCL已经在很多科学和工程领域得到了广泛的应用。
它在计算流体力学、结构力学、电磁学等领域的应用中取得了良好的效果。
由于AMGCL具有高度的可扩展性和灵活性，它可以适应各种求解问题的需求，并能够处理大规模的线性方程组。
总之，代数多重网格算法库AMGCL通过自适应网格划分和层次求解的方法，能够高效地求解大规模线性方程组。
它具有灵活且易于使用的接口，支持各种稀疏矩阵格式和迭代求解器，具有良好的可扩展性和应用性。
讲稿多重网格算法及平均现象的解释
讲稿多重网格算法及平均现象的解释多重网格算法（Multigrid Algorithm）是一种用于解决偏微分方程数值解的迭代方法，其特点是通过在不同的网格层次上进行逐层求解来提高算法的效率。
而平均现象（Averaging Phenomenon）则是指在多重网格算法中，粗网格上的误差和精细网格上的误差之间能够通过一种平均的方式相互影响和传播，最终使得算法收敛速度加快。
多重网格算法首先将原始问题离散化为不同层次的网格，通常包括粗网格和细网格。
在每一层次上，算法通过迭代求解来逼近问题的解，然后将该解传递到相邻的层次上。
在粗网格上，由于离散化程度较低，计算量相对更小，因此可以高效地求解近似解。
而在细网格上，精度较高，可以更准确地求解。
通过在不同层次间多次迭代，最终得到问题的数值解。
在多重网格算法中，平均现象是使算法收敛速度加快的关键。
在每一次迭代中，粗网格上的解被传递到细网格上，而细网格上的误差则通过一种平均的方式传回到粗网格上。
这种误差传递和平均化的过程使得细网格上的误差被平滑和减少，同时将误差传播回粗网格上，从而进一步减小粗网格上的误差。
通过多次迭代，误差逐渐减小，最终达到问题的收敛。
平均现象可以通过以下两个方面来解释:1. 粗网格修正：在每一层次的求解过程中，细网格上的误差通过插值传递到粗网格上。
通常采用的插值技术是限制性平均（Restriction Average），即对于每个细网格上的误差点，通过计算其周围的粗网格节点值的平均来修正。
这样，细网格上的误差会通过平均操作在粗网格上逐渐减小。
2. 细网格修正：在每一层次的求解过程中，粗网格上的解通过插值传递到细网格上。
通常采用的插值技术是延拓平均（Prolongation Average），即对于每个粗网格上的解点，通过计算其周围的细网格节点值的平均来修正。
这样，粗网格上的解会通过平均操作在细网格上逐渐修正。
通过以上两种修正方式，多重网格算法中的平均现象得以实现。
多重网格法的代数理论
多重网格法的代数理论多重网格法是求解偏微分方程大规模离散代数系统最有效的数值方法之一，它可以看作是一些传统松弛迭代法的加速。
多重网格法大致可分为几何多重网格法和代数多重网格法。
由于几何多重网格法的构造是基于具有分层结构的网格，这限制了其在很多实际问题中的应用。
对于无结构网格上的离散问题，代数多重网格法显示出了很强的潜力，它已被广泛应用于计算流体力学、结构力学、汽车工程仿真等实际问题的数值模拟。
作为一种迭代法，多重网格法的收敛理论无疑是人们非常关心的问题，文献中已有丰富的研究成果。
本文系统地建立了多重网格法的代数理论，并给出了一些核心理论的新证明。
全文分为六章：第一章，我们介绍多重网格法的基本思想、算法原理和发展状况，并简单介绍本文的主要研究成果。
第二章，我们讨论两层网格法的代数理论。
对于精确两层网格法，我们以新的分析方法证明其收敛率等式和误差传播算子谱的性质。
对于非精确两层网格法，我们利用矩阵分析技巧和特征值不等式建立非精确两层网格法的收敛理论，并给出误差传播算子能量范数的上下界估计。
特别地，当粗网格问题被精确求解时，我们的收敛性估计与精确两层网格法的收敛率等式一致。
第三章，我们研究多重网格法的代数理论。
利用V－循环多重网格法误差传播算子的显示表达和预条件子的极小化性质，我们得到XZ－恒等式的一个新证明，并给出对应的“最优”向量分解。
此外，基于子空间校正的思想，我们得到V－循环多重网格法收敛率的一个新上界。
通过比较可知：文献中已有的最好上界是新上界的一种特殊情形。
第四章，我们建立代数多重网格法中理想插值算子的新理论。
具体来说，我们给出理想插值算子的充分条件、必要条件以及等价条件。
传统观点普遍认为理想插值算子是唯一且稠密的，而新理论显示：理想插值算子具有多种取法，且可以设计出具有稀疏结构的理想插值算子。
另外，我们给出一类理想插值算子的显示表达，它可以将一些常用的代数多重网格法纳入统一的框架下进行分析。
基于元代数多重网格方法的推广
元代数多重网格方法的基本步骤和算法流程
元代数多重网格方法的基本步骤包括：代换、离散化、逼 近和修正。
算法流程包括：选择适当的代换基底，将问题空间离散化 为多尺度网格，对每个网格进行代数代换，利用逼近和修 正技术得到数值解。
03
基于元代数的多重网格方 法
基于元代数的多重网格方法的概念和定义
基于元代数的多重网格方法是一种数值计算方法，用于解决大规模、复杂的问题， 如偏微分方程、积分方程等。
应用三：在大规模科学计算中的应用和分析
总结词：可扩展性 总结词：计算效率高
详细描述：元代数多重网格方法在大规模科学计 算中具有良好的可扩展性，能够有效地处理大规 模问题，提高计算效率。
详细描述：该方法在处理大规模问题时，能够有 效地减少计算时间和内存消耗，提高计算效率。
06
基于元代数多重网格方法 的优缺点和未为一系列子域，每个子域具有 不同的尺度和分辨率。
2. 局部问题建立：在每个子域 上建立相应的局部问题，可以 采用不同的离散化方法、数值 逼近方法等。
基于元代数的多重网格方法的基本步骤和算法流程
3. 局部问题求解
4. 全局解整合
利用适当的数值计算方法，如有限元法、 有限差分法等，求解每个局部问题。
基于元代数多重网格方法是一种新型的数值计算方法，它结合了元代数和高性能计算的优势，能够有 效地处理具有复杂特征的问题。因此，对基于元代数多重网格方法的研究具有很高的理论和应用价值 。
研究现状和问题
• 目前，基于元代数多重网格方法的研究已经取得了一定的进展 ，但仍存在一些问题需要进一步解决。例如，该方法在处理某 些类型的问题时，计算效率和精度还有待提高；同时，该方法 在处理具有特定特征的问题时，也需要进行进一步的优化和改 进。因此，对基于元代数多重网格方法的研究仍具有重要的理 论和应用价值。
图像融合中代数多重网格算法的研究的开题报告
图像融合中代数多重网格算法的研究的开题报告题目：图像融合中代数多重网格算法的研究一、研究背景与意义随着计算机技术的不断发展，图像处理技术也越来越成熟。
图像融合是图像处理技术中的一个重要的分支，它可以将不同传感器、不同波段、不同时间等多源图像的信息融合在一起，生成更精确、更完整、更有意义的图像，从而提高了图像的质量和可用性。
图像融合在遥感、医学影像、军事等领域有着广泛的应用。
在图像融合中，多重网格算法是一种非常有效的算法。
其优点为高效、通用性强、容易实现、可并行，已得到广泛应用。
代数多重网格算法是多重网格算法中的一种，能够有效地解决线性方程组的求解问题，是实现高效图像融合的有效算法。
因此，本课题拟研究图像融合中的代数多重网格算法，探究其在图像融合中的应用，为提高图像融合的精度和效率提供技术支持。
二、研究内容和目标本课题拟研究以下内容：1. 代数多重网格算法的原理以及在图像融合中的应用。
2. 探究代数多重网格算法在图像融合中的优化策略，提高融合图像的质量和效率。
3. 设计算法实验，验证代数多重网格算法在图像融合中的应用效果。
通过以上研究，达到以下目标：1. 理解代数多重网格算法的原理和应用，掌握其优化策略。
2. 能够利用代数多重网格算法进行图像融合，并提高融合图像的质量和效率。
3. 实现算法，并进行实验验证，评估算法性能。
三、研究方法和步骤本课题的研究方法主要包括：文献调研、算法分析、算法设计、实验评估等。
具体步骤如下：1. 对代数多重网格算法进行文献调研和算法分析，掌握其原理和在图像融合中的应用。
2. 根据代数多重网格算法在图像融合中的应用特点，设计优化策略。
2.1 针对图像融合中的特定问题，优化代数多重网格算法的求解模型。
2.2 设计算法操作流程，使算法实现更高效和准确。
3. 实现算法，并利用现有图像数据集进行实验评估，分析算法性能和结果。
4. 评估算法性能并总结优缺点，提出改进方向和未来研究方向。
多重网格算法
二、已取得的成果和待扩充领域
• 多重网格算法经过近20年的研究，在经典 应用领域—线性和非线性、标量和非标量 椭圆型问题取得了丰硕的成果。
1 2
in,
j
qin,
1 j
1 s
1 2
2
1 2
in,
j
qin,
j
• 即： Lqin,j1 f
•其中：
L
1 s
1 2
2
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n i,
j
f
1 s
1 2
2
1 2
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j
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j
多重网格方法的计算步骤
M M-1 M-2 M-3 M-4
两层“V”循环 多重网格方法
多层“V”循环 多重网格方法
完全多重网 格方法
三基本思想三大支柱套迭代技术四多重网格方法的计算步骤多层v循环多重网格方法两层v循环多重网格方法m1m2m3m4完全多重网格方法多重网格方法的计算步骤两层v循环多重网格方法的计算步骤h2h求解的方程为
多重网格算法
全广艳 2012年5月10日
一、发展过程 二、已取得的成果和待扩充领域 三、基本思想 四、多重网格方法的计算步骤
a.计算细网格上的亏损量：
dhn
fh
n
Lhuh
n
Lh (uh uh ) LhVh
b.从细网格到粗网格转移亏损量：
d
n H
I
H h
d
n h
并行代数多重网格算法可扩展性能分析
实 际性 能 的能力 ．
本 文提 出一套 可 扩展性 能 分析 方法 ， 目的是用 于 分析 和指 导并行 迭 代算 法及 实现技 术 的设计 与优 化 ． 首
［ 稿 日期 】 ０６—０ 收 ２０ ３—１；［ 回 日期 】２０ ３ 修 ０６—０ ９—０ ８ ［ 金项 目 ］国 家 杰 出 青 年 基金 （０ ２２５ 、 家 ９３项 目（０ ５ Ｂ ２７２ 和 Ｎ Ｆ Ｎ ．０７０ ５ 资 助 项 目 基 ６４ ５０ ） 国 ７ ２０Ｃ ３ １０ ） Ｓ （ ｏ６ ３３ １） ［ 者简 介 ］徐 小 文 （９８一） 男 ， 南 ， 士 生 ， 事 代 数 多 重 网 格 方 法 和 并行 计算 方 面 的 研 究 ． 作 １７ ， 湖 博 从
并 行 代数 多重 网格 算 法 可 扩 展 性 能 分 析
徐 小 文 ， 莫 则 尧
（．中 国工 程 物 理 研 究 院 研 究 生 部 ，北 京 １０ ８ ；２ 北 京 应 用 物 理 与 计 算 数 学 研 究 所 高性 能计 算 中心 ，北 京 １０ ８） １ ００８ ． ００８ ¨Βιβλιοθήκη 。＝Ｇ （ ） ；
ｉｓ：＝ ｋ ＋ １： ｔ
其 中 。 为初 始 近似解 ， 为迭代 格式 ， 为 迭代次 数 ． Ｇ ｓ 并记单 次迭 代计 算 量为 ｃ ． 在数值 计 算领域 ， 们一 直在 寻求 具 有最优 计 算复 杂度 的算 法 ， 人 即算法 的计 算量 线性 地依 赖于 物理量 个 数…． 代数 多 重 网格 （ ＭＧ 方 法 就具 有这 种性 质 ， 已成为数 值计 算领 域一 种 重要 的加 速迭 代 收敛 技术 ． Ａ ） 现 近年来 ， 大规模 并行 机上 实 现 Ａ 在 ＭＧ算 法成 为研 究热 点 ． 然而 ， 量数 值 实 验 和实 际应 用 表 明Ｉ …， 大 ６ 与 虽
代数多重网格与多波前技术综合并行有限元分析方法
１ 多 波 前 技 术
在 有 限元 法 中， 统控 制方 程被 离 散 为下 面 系 的代数方程 组 ：
置Ｋ — Ｆ （） １
式 中 ： 是 系 数 矩 阵 ， 是 解 向 量 ， 为 右 端 项 ． ｊ ｒ
对非 线性 分析 ， 程 （ ）可被线性 化为 方 １
维普资讯
第 ４卷第 ２ ２ 期 ２００２ ３ 年 月
大 连 理 工 大 学 学 报
Ｊ ｕｒ ａ ｌａ ｉ ｅ ｓｔ ｆ Ｔｅ ｈ ｌ ｇ ｏ ｎ ｌｏｆＤａ ｉ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｎｏ ｏ ｙ
Ｖ ０ ２ Ｎｏ ２ Ｌ４ ． Ｍ ａ ２ ０ ０２ ｒ
ＫＮ（ ＋ ） ： １一 ＲＲ ： 【△ ＋ （） ２
式中： 角标 表示 迭代 次数 ， 是残 差 向量 ． 在 凡 每 一次 迭代 中被更新 为
肄Ｉ ： 【 Ａ ： — ＋ ＋ Ｘ 将 问题 的求解 区域 ｒ分 为 ｍ 个 子 区 ：
ｒ — Ｕ
（） ３
圆形 方程 是 一种 最 优 的数 值方法 一 文将 多 ．本 波前 算法 与代数 多重 网格方 法相结合 用于有 限元 分 析．首先 将 问 题 的 求 解 区域 划 分 成 一 些 子 区 域， 在子 区域 内利 用波 前 法并行 进 行 组装 和 内部
自由度的 消元 ， 当每 一 个 渡前前 进 到各 自的边界 时 ， 波前 活动 变 量 核心 数组 中提取 相 应系 数组 在
对 每 一个 子区 ， （）可写 为下面 的矩阵形式 ： 式 ２
ｆ （ ： ） ｋ． （．十） ｆＡ 。 十 １ ． ｚ） ｋ（ｚ ： １ （ｘ） （ 十 ｏ ） ｉ ：
文章 编 号 ： ０ ０ ８ ０ （ ０ ２ ０ — １ ８ ０ １ ０ — ６ ８ ２ ０ ） ２０ ４ — ５
多重网格方法及其算法分析
多重网格方法及其算法分析多重网格方法（Multigrid Method）是一种用于求解偏微分方程数值解的高效算法。
它通过在多个网格层级上迭代求解，将计算时间大大缩短，并提高了求解结果的精度。
本文将对多重网格方法及其算法进行深入分析。
一、多重网格方法简介多重网格方法是一种求解线性或非线性偏微分方程数值解的方法。
其基本思想是通过在不同精度的网格上进行迭代求解，从而达到快速求解的目的。
多重网格方法拥有以下特点：1. 多层网格结构：多重网格方法通过构建多个层级的网格结构，从粗网格开始，逐渐向细网格逼近。
每个网格层级包含不同的网格点数量，用于近似原始偏微分方程的解。
2. 收缩-插值操作：在不同网格层级之间，通过收缩和插值操作，将解从粗网格传递到细网格，或者将残差从细网格传递到粗网格。
这样可以加速迭代求解，达到更高的求解精度。
3. 快速下降：多重网格方法利用了网格层级结构，每次迭代都能快速收敛至最细网格，然后再进行细致的求解。
这种快速下降的策略有效地减少了计算时间。
二、多重网格方法算法分析多重网格方法包含以下主要步骤：1. 初始化：选择适当的初始解，并构建多层网格结构。
2. 粗网格迭代：在粗网格上进行迭代求解，不断逼近精确解。
3. 输运操作：通过插值或收缩操作，将解从粗网格传递到细网格，或者将残差从细网格传递到粗网格。
4. 细网格迭代：在细网格上进行迭代求解，提高求解精度。
5. 重复操作：重复进行输运操作和细网格迭代，直到达到预定的收敛标准。
6. 输出结果：得到最终的数值解。
多重网格方法的核心在于输运操作和迭代求解。
输运操作通过插值和收缩操作，将解从一个网格层级传递到相邻的层级，实现解的传递和精度提升。
而迭代求解则在每个网格层级上进行局部的求解，通过逐步逼近真实解来提高数值解的精度。
三、多重网格方法的应用领域多重网格方法在科学计算和工程领域有着广泛的应用。
它可以用于求解各种偏微分方程，如椭圆方程、抛物方程和双曲方程等。
amg并行策略
AMG并行策略介绍AMG（代数多重网格）是一种用于解决大规模线性代数方程组的方法。
在并行计算中，AMG并行策略是一种用于加速AMG求解器的技术，可以显著提高计算效率和性能。
本文将详细探讨AMG并行策略的原理、应用和优化方法。
AMG简介AMG是一种基于代数方法的多重网格求解器，广泛应用于求解线性代数方程组，特别是在科学计算和工程领域。
AMG的基本思想是通过构建一系列层次结构，将原始问题转化为一系列规模更小的子问题，然后通过迭代求解这些子问题来逐步逼近原始问题的解。
AMG的求解过程可以分为两个阶段：预处理阶段和迭代求解阶段。
预处理阶段主要是构建层次结构和计算各层次之间的相互关系，而迭代求解阶段则是通过迭代计算逐步逼近解。
AMG并行策略的原理AMG并行策略的目标是将AMG求解器的计算过程划分为多个并行任务，以充分利用计算资源并提高计算效率。
AMG并行策略的核心思想是将AMG求解器的各个阶段进行并行化，包括预处理阶段和迭代求解阶段。
具体来说，AMG并行策略可以通过以下几个方面来实现：并行层次构建在AMG的预处理阶段，需要构建层次结构和计算各层次之间的相互关系。
这一过程可以通过并行化来加速。
一种常用的方法是将原始问题的网格划分为多个子网格，然后在每个子网格上分别构建层次结构，最后将所有子网格的层次结构合并为整体的层次结构。
并行粗化在AMG的预处理阶段，需要进行粗化操作，即将原始问题转化为规模更小的子问题。
这一过程可以通过并行化来提高效率。
一种常用的方法是将原始问题的网格划分为多个子网格，然后在每个子网格上分别进行粗化操作，最后将所有子网格的粗化结果合并为整体的粗化结果。
并行插值在AMG的预处理阶段，需要进行插值操作，即根据粗网格上的解来估计细网格上的解。
这一过程可以通过并行化来加速。
一种常用的方法是将插值操作划分为多个子任务，然后在每个子任务上分别进行插值操作，最后将所有子任务的插值结果合并为整体的插值结果。
基于多核异构的代数多重网格的并行算法实现
基于多核异构的代数多重网格的并行算法实现刘荣;陈华;李庆贺;张艺丹;贾昌辉【摘要】近年来,受GPU其高浮点峰值性能的提高和应用领域中大规模科学计算问题的驱动,高性能领域中利用代数多重网格(AMG)求解稀疏线性方程组成为研究热点.针对经典的AMG算法,探究建立阶段(网格粗化)和求解阶段的并行计算结构,提出基于多核异构的AMG并行计算模式.数值实验表明,并行计算模式计算效率相对于串行提高了3～4倍,加速效果明显.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2014(014)014【总页数】5页(P120-124)【关键词】代数多重网格;并行计算;多核异构;GPU【作者】刘荣;陈华;李庆贺;张艺丹;贾昌辉【作者单位】中国石油大学(华东),青岛266580;中国石油大学(华东),青岛266580;中国石油大学(华东),青岛266580;中国石油大学(华东),青岛266580;中国石油大学(华东),青岛266580【正文语种】中文【中图分类】O151.2;O246;TP312近年来，图形处理器(GPU)由于其高浮点峰值性能和其可编程性，越来越多的应用与高性能计算领域。
随着GPU和CPU的计算能力的不断提升，将两者整合以提高效率成为研究热点。
CPU+GPU的模式是一种简单、有效的并行模式，在并行计算过程中充分利用CPU的高计算能力和GPU的细粒度并行的优势，达到资源的充分利用。
代数多重网格(简称“AMG”)[1,2]，是高性能领域求解稀疏线性方程组的重要方法，广泛应用于地下水勘探、爆炸性材料建模、电磁学应用、核物理应用等领域。
多重代数网格在算法上具有良好的可拓展性，在求解每个非零元所需的操作数可以为常数，不随并行规模的扩大而增加。
因此提高AMG算法的计算效率对于科学计算具有重要的意义。
目前，李佳佳等[3]提出了AMG中稀疏矩阵的GPU并行乘法，在求解阶段提高了AMG的求解效率,提高了2～3倍的计算效率。
徐小文,莫则尧[4]通过探究代数多重网格网格粗化的并行算法，在建立阶段优化了网格粗化的效率。
多重网格法简介（MultiGrid）
多重⽹格法简介（MultiGrid）多重⽹格法是⼀种⽤于求解⽅程组的⽅法，可⽤于插值、解微分⽅程等。
从专业⾓度讲多重⽹格法实际上是⼀种多分辨率的算法，由于直接在⾼分辨率（⽤于求解的间隔⼩）上进⾏求解时对于低频部分收敛较慢，与间隔的平⽅成反⽐。
就想到先在低分辨率（间隔较⼤）上进⾏求解，因为此时，间隔⼩，数据量⼩，进⾏松弛时的时空耗费⼩，⽽且收敛快，⽽且⼀个很重要的优点是在低分辨率上对初值的敏感度显然要低于对⾼分辨率的初值的要求。
这⼀点是显⽽易见的，例如我们平时看⼀个很复杂的物体，在很远的地⽅，你可能就觉得它是⼀个点或⼀个球，但是在近处你就不能这么近似，或许发明多重⽹格法的⼈就是从这⼀基本⽣活常识发现的吧。
多重⽹格法可以直接在低分辨率上以⼀个随意的初值进⾏计算，然后再进⾏插值，提⾼其分辨率，再在更⾼分辨率进⾏计算；也可以现在⾼分辨率以随意初值进⾏计算，得到⼀个结果，再将其限制（插值）到低分辨率去，再在低分辨率上进⾏解算，最终再从低分辨率经插值计算达到⾼分辨率。
有关多重⽹格法的资料可以到这⾥下载：多重⽹格技术（multigrid solver）微分⽅程的误差分量可以分为两⼤类，⼀类是频率变化较缓慢的低频分量；另⼀类是频率⾼，摆动快的⾼频分量。
⼀般的迭代⽅法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。
⾼频分量和低频分量是相对的，与⽹格尺度有关，在细⽹格上被视为低频的分量，在粗⽹格上可能为⾼频分量。
多重⽹格⽅法作为⼀种快速计算⽅法，迭代求解由偏微分⽅程组离散以后组成的代数⽅程组，其基本原理在于⼀定的⽹格最容易消除波长与⽹格步长相对应的误差分量。
该⽅法采⽤不同尺度的⽹格，不同疏密的⽹格消除不同波长的误差分量，⾸先在细⽹格上采⽤迭代法，当收敛速度变缓慢时暗⽰误差已经光滑，则转移到较粗的⽹格上消除与该层⽹格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进⾏下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细⽹格上。
SRTP论文
题目基于GPU并行的多重网格方法和代数多重网格方法及其应用作者冯悦储洁宇杨超逸指导教师王何宇年级2010级所在院系理学院数学系基于GPU并行的多重网格方法和代数多重网格方法及其应用摘要：多重网格算法是目前求解基于微分方程离散的线性系统Ax=b效率最高的一种算法。
GPU采用大量的执行单元进行并行处理，速度远远优于CPU。
微分方程离散出来的A 是大规模稀疏矩阵，本文利用代数多重网格算法（AMG），借助于GPU并行计算，从而提高了计算速度。
关键词：代数多重网格GPU并行计算离散化GPU使显卡减少了对CPU的依赖，并进行部分原本CPU的工作，尤其是在3D图形处理时。
但是如今GPU已经不再局限于3D图形处理，GPU通用计算技术发展已经引起业界不少的关注，事实也证明在浮点运算、并行计算等方面，GPU可以提供数十倍乃至于上百倍于CPU的性能。
GPU采用大量的执行单元进行并行处理，处理数据的速度远远优于CPU。
然而，GPU只能进行一些较为简单的命令处理，在算法过程中尽可能的合理运用GPU技术，可以加快算法的运行速度。
多重网格算法具有较高的收敛精度和数值效果。
普通的迭代法会因光滑分量因素而收敛速度变慢，多重网格法的根蒂正是协助迭代法有效地消除那些光滑误差分量。
如果能比较好的运用GPU计算技术加以解决，则能极大提高桌面系统的实际计算能力。
许多科学计算问题都可以通过此程序加以解决并且大幅度提高计算机的运算速度，从而提高其应用效率。
一、微分方程离散化由于数字电子计算机只能存储有限个数据和做有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法都必须把连续问题进行离散化，最终化成有限形式的线性代数方程组。
多种方法都能将微分方程离散化，目前常用的方法有：有限差分法、有限元方法、谱方法、有限体积法等，它们各有利弊。
1、有限差分法有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，基本思想是把连续的求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，从而把求解微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
用于图像重构的代数多重网格算法
一类新的瀑布型代数多重网格方法
（ ＣＭ Ｇ ）ｍｅ ｈ ｄ ａ ｄ ａｇ ｂ ａｃ ｍｕ ｔ ｒ ＡＭ Ｇ）ｍｅ ｈ ｄ Ｔｈ ｅ ｕ ｔｏ ｍｅ ｉｌ ｘ ｅ ｉ ｎ ｓ ｓ ｏ ｔ ｏ ｎ ｌｅ ｒ ｉ ｌｉ ｉ ｇ ｄ（ ｔ ｏ ． ｅ ｒ ｓ ｌ ｆＮｕ ｒ ｐ ｒｍｅ ｔ ｈ ｗ ａ ｅ
多 重 网格 （ ＭＧ） 方法 是 偏 微 分 方 程 问题 的数 值
法 ， 不需 要校正 步 ， 它 方法 也得 到 了进 一步 的完善 引 ． 本文 结 合 Ｃ ＭＧ法 和 ＡＭＧ 法 的思 想 ， 出一类 提 瀑 布型 代数 多重 网格 （ ＡＭＧ） ． Ｃ 法
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广西科 学 Ｇｕ ｎ ｘ ｃ ｎ ｅ ０ ８ １ （ ） １ ２ ４ ａ ｇ ｉ ｉ ｃｓ ０ ， ５ ２ ：４ ￣１ ４ Ｓｅ ２
一
类 新 的 瀑 布 型 代 数 多 重 网 格 方 法
Ａ ｗ ｓ ａ ｉ ｅ ｒ ｉ ｕ ｇ ｉ ｅ ｈ ｄ Ｎｅ Ｃａ ｃ ｄ ｃ Ａｌ ｂ ａ ｃ Ｍ ｌ ｉ ｒｄ Ｍ ｔ ｏ ｇ ｔ
５ １ ０ ；２ 北 方 民族 大学 信息 与计算 科 ４ ０４ ．
（ ． ｃ ｏ ｌｏ ｎ ｏ ｍａ ｉｎ ａ ｄ Ｃｏ ｕ ａ ｉｎ Ｓ ｉｎ ｅ Ｇｕ ｌ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｅ ｔ ｏ ｉ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｙ， １ Ｓ ｈ ｏ ｆ Ｉ ｆ ｒ ｔ ｎ ｍｐ ｔ ｔ ｃ ｃ ， ｉ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ Ｅｌｃ ｒ ｎｃ ｏ ｏ ｅ ｉ ｔ ｃ ｎ ｌｇ
代数多重网格算法
代数多重网格算法代数多重网格算法（algebraic multigrid method，简称AMG）是一种用于求解线性代数方程组的数值方法，特别适用于大规模的、稀疏的线性方程组。
AMG算法结合了代数方法和多重网格技术，能够快速、高效地求解线性方程组，是一种非常强大的求解器。
AMG算法的核心思想是通过构建粗网格模型来近似细网格上的线性代数方程组，从而实现高效的求解。
该算法可以分为以下几个步骤：1.建立粗网格模型：根据细网格的结构，构造一个粗略的网格模型。
这个模型通常比原始网格拥有更少的节点和单元，因此粗网格上的方程组规模更小。
2.选择插值算子：通过插值算子将细网格上的解插值到粗网格上，从而在粗网格上构造一个近似解。
插值算子的选择非常关键，一般有线性插值、加权平均等方法。
3. 求解粗网格方程组：在粗网格上使用传统的迭代方法（如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代等）求解方程组。
由于粗网格上方程组规模较小，因此计算速度更快。
4.修正细网格解：通过使用插值算子将粗网格上的解修正到细网格上，从而在细网格上获得一个更准确的解。
修正的步骤通常与插值算子的方法相反。
通过以上四个步骤，AMG算法能够在较短的时间内求解原始的线性代数方程组。
相比于传统的直接解法和迭代法，AMG算法具有以下优点：1.高效的计算速度：AMG算法通过使用粗网格模型，将原始方程组规模缩小，因此计算速度更快。
2.高精度的解：AMG算法通过修正细网格解，能够得到更精确的解。
3.大规模问题的求解能力：AMG算法适用于大规模和稀疏的线性方程组，能够处理数百万乃至数十亿个未知数的问题。
4.并行计算的可扩展性：由于AMG算法的计算过程可以自然地分解成多个独立的任务，因此非常适合并行计算，具有良好的可扩展性。
综上所述，代数多重网格算法是一种高效、高精度、可扩展的线性代数方程组求解方法。
在科学计算、工程领域和计算机图形学中，AMG算法被广泛应用于各种领域的问题求解。
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代数多重网格算法∗
2007年2月14日
1基本思想
Gauss-Seidel算法的特点是,最初几步收敛的很快,但是很快就开始停滞不前.到最后几乎不收敛.从数值试验的图像可以看出,Gauss-Seidel迭代当插值点少的时候,收敛速度极快,但当插值点多的时候,由于上述效应收敛速度极慢.因此,代数多重网格(Algebraic Multi-Grid)算法利用这些特点,将由具体方程离散出来的矩阵,重投到一系列由细到粗的网格上,在每一层网格上只做若干次Gauss-Seidel迭代.与传统的多重网格算法不同,该算法不需要提供任何网格的信息.所有的信息完全只来自方程离散后的矩阵.
假设Possion方程
−∆u=f(1)用某种离散方法(比如,有限元或有限差分),在某个相当细的网格上,最后产生线性问题
A x=b.(2)现在考虑如何将其投影到一个较粗的网格上.
假设φ={φi},i=1,···,N为细网格上的一组分片一次线性有限元基函数.则矩阵A是一个N×N的矩阵,且元素a ij可以看作是对应基函数的一个双线性运算a(φi,φj).我们如果要将A重新投影到一个对应基函数为ψ={ψi},i=1,···,M,M<<N的粗网格上,则根据用φ表出ψ的关系,我们可以得到
ψ=Pφ,(3)这里P是一个M×N的矩阵.相应的,如果令
˜A=P AP T,˜x=P x,˜b=P b,(4)则
˜A˜x=˜b(5)∗该文档为李若教授讲授的《数值分析高等算法》的课堂笔记,由王何宇整理.
就可以看作是(2)投影到粗网格上以后的问题.代数多重网格的做法,就是对第k步的线性问题
A k x=b k(6)先用Gauss-Seidel迭代进行几步迭代,得到一个近似解x k,然后将残问题
A k x=b k−A k x k(7)用投影矩阵P k重投到粗一层的网格上得到第k+1步的问题
,b k+1=P k b k−A k x k,(8)
A k+1x=b k+1,A k+1=P k A k P T
k
如此不断迭代和重投,直到得到一个规模相当小的线性问题后,可以用直接法(Gauss消去法)求得精确解,然后用记录下的一系列P k矩阵,还原出原问题的解.在还原的时候,仍然使用Gauss-Seidel迭代在每一层来改进数值解.如此整个过程为一步AMG迭代.
2算法步骤
现在给出严格的算法步骤.
对过程AMG(A k,x k,b k),
第一步如果A k的阶数小于一个给定的整数,比如20,则用Gauss消去法解出并x k并返回;否则,对问题(6)做3至5步Gauss-Seidel迭代;
第二步产生问题(8),令x k+1=0;
第三步递归调用AMG(A k+1,x k+1,b k+1);
第四步x k=x k+P T
x k+1;
k
第五步做3至5步Gauss-Seidel迭代,返回.
所以对问题(2),执行AMG(A,x,b)完成一次AMG迭代(迭代更新了x).而整个求解过程为
do AMG(A,x,b)while(|b-Ax|<e).
这里e为控制误差.
现在整个算法过程,还剩下的问题就是如何产生P.假设(2)是在网格点x={x i},i= 1,···,N上离散的,那么我们首先要确定一个粗网格,也就是说,要考虑在x移除一些点,保留一些点.我们将保留的点称为核心点(core points).核心点的选取,应该满足如下两点:
1.不能太多:核心点彼此之间,不能相邻;
2.不能太少:所有被移除的点,必须至少与一个核心点相邻.
根据这个原则,和稀疏矩阵存储规则,我们设计算法如下:
第一步产生一维数组c[1:N],并置所有元素初值为零;
第二步选出核心点:for i=1:N,如果c[i]==0,则x i为核心点,同时将所有满足a ij=0的c[j]+=1;
第三步假设x i为第k个选出的核心点,则P的第k行元素为:0如果a ij==0,
1
c[j]
如果a ij=0.
注意该算法仍然只用了矩阵的信息而没有使用网格的信息.
3算法分析
该算法实际上的迭代过程完全基于Gauss-Seidel迭代.所以其收敛的要求和Gauss-Seidel一样,为矩阵对称正定.但是要达到加速收敛的效果,要求矩阵必须有网格和方程的背景,否则这样做是没有意义的.。