《二次函数专题培优》 ：特殊三角形与特殊四边形存在性问题

《二次函数专题培优》 ：特殊三角形与特殊四边形存在性问题

1、如图，已知抛物线经过A （1，0），B （0，3）两点，对称轴是x=﹣1． （1）、求抛物线对应的函数关系式；

（2）、动点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA 上运动，同时动点M 从O 点出发以每秒3个单位

长度的速度在线段OB 上运动，过点Q 作x 轴的垂线交线段AB 于点N ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒．

①、当t 为何值时，四边形OMPQ 为矩形；

②、△AON 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．

2、如图，抛物线22

5

212-+-

=x x y 与轴相交于A 、B ，与轴相交于点C ，过点C 作C D ∥轴， 交抛物线点D ． （1）、求梯形ABCD 的面积；

(2) 、 若梯形ACDB 的对角线AC 、BD 交于点E ，求点E 的坐标，并求经过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式； （3）、点P 是射线CD 上一点，且△PBC 与△ABC 相似，求符合条件的P 点坐标．

x y x

3、如图，抛物线y=－3

x2－

2

333交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．

（1）、求点A、B、C的坐标；

（2）、把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC．

①、求E的坐标；②、试判断四边形AEBC的形状，并说明理由；

（3）、试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小，若存在，•请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

4、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线

3

2+

+

=bx

ax

y经过（－2，－5）和（5，－12）两点．

（1）、求此抛物线的解析式；

（2）、设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；

（3）、点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标

5、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

(3)、是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？

若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

6、如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，

且使△OCA∽△OBC．

（1）、求线段OC的长度；

（2）、设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

（3）、在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、C（1，0），

与y轴交于点B．

（1）、求此抛物线的解析式；

（2）、点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．

①、过点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②、连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，

求出对应的P点的坐标．

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过

点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）、直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．

（2）、点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；

（3）、设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

9、如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交

于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．

（1）、求抛物线的解析式；

（2）、当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；

若不存在，请说明理由；

（3）、点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，

若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．

10、如图，已知抛物线y=ax

2+8

5

x+c

与x

轴交于A ，B两点，与y轴交于丁C，且A （2，0），C（0，-4），直线l ：y=-1

2

x-4与x 轴交于点D

，点P 是抛物线y =ax 2+

8

5

x +c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）、试求该抛物线表达式；

（2）、如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；

（3）、如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．

①、求证：△ACD是直角三角形；

②、试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？

11、如图，已知与x轴交于点(10)

A，和(50)

B，的抛物线1l的顶点为(34)

C，，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C'．（1）、求抛物线2

l

的函数关系式；

（2）、已知原点O，定点(04)

D，，2l上的点P与1l上的点P'始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D O P P'

，，，为顶点的四边形是平行四边形？

（3）、在2

l

上是否存在点M，使ABM

△是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

1

2

3

4

5

5

4

3

2

1