王勖成《有限单元法》习题答案3

(η
ηi +
1)
(2
+
ξ
ξi +
η
ηi −
ξ2
−
η2 )
,
1 8
b
ηi
(ξ
ξi
+
1)
(η
ηi
+
2
1)
(η
ηi
−
1)
,
−1 8
a
ξi
(ξ
ξi
−
1)
(ξ
ξi
+
2
1)
(η
ηi
+
1 ) ⎤⎦⎥⎥
即：
⎛ ⎜ ⎜
−
∂2 ∂x2
⎞ ⎟ ⎟
⎡
⎤
⎢1 υ 0 ⎥
又，
B
=
LN
=
⎜ ⎜− ⎜
∂2 ∂y 2
⎟ ⎟
( N1 ,
ω＝α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x3 + α8 (x 2 y + xy 2 ) + α 9 y 3
验证当单元的两条边分别平行于坐标轴且长度相等时，决定参数α1 ，α 2 ，··· ，α 9 的代
数方程组的系数矩阵是奇异的。 解：
N2
,
N3
,
N4
,
)
，
D
=
D0
⎢⎢υ
⎟
⎢
⎜ ⎜⎜⎝
−2
∂2 ∂x∂y
⎟ ⎟⎟⎠
⎢⎣0
1 0
0
⎥ ⎥
,
1−υ ⎥
D0
=
Et 3 12(1 −ν
2)
,
⎥
2⎦
∫ ∫ K e = a b BT DBdxdy = D0 ×
−a −b
30ab
1
⎡+m1
⎤
⎢ ⎢
+m4
+m2
对称
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−m5
−m6
+m3
⎥ ⎥
+
30
b2 a2
+
30
a2 b2
, m2 = 8(1−ν )b2 + 40a2
, m3 = 8(1−ν )a2 + 40b2
m4
=
3b
+12ν b +
30
a2 b2
,
m5
=
3a
+ 12ν
a
+
30
b2 a2
,
m6 = 30ν ab
m7
=
−21 +
6ν
− 30
b2 a2
+ 15
a2 b2
,
m8 = −8(1−ν )b2 + 20a2 ,
整理左边的式子，得到：
[α4 (L2 + CL3 ) + α6 (L1 + CL3 )]L1L2 + [α5 (L3 + CL2 ) + α8 (L1 + CL2 )]L1L3 + [α7 (L3 + CL1) +α9 (L2 + CL1)]L2L3 = α1L1L2 + α2L2L3 + α3L3L1
计算固体力学作业（第十章）
10.1 导出矩形非协调板单元矩阵（10.2.11）式的显示表达式。 解：
已知 w = PC−1ae = Nae ，其中
N = [N1 N 2 N3 N 4 ] ，ξ＝（x − xc ) / a ，η = ( y − yc ) / b
Ni :=
⎡⎣⎢⎢
1 8
(ξ
ξi +
1)
所以，
α4 (L2 + CL3 ) + α6 (L1 + CL3 ) = α1
再将各个节点的坐标 (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) 代入上式，从而得到：
C (α 4
+α6)
=
α4
=
α6
⇒
C
=
1 2
10.4 有一四边固支的方形薄板，取其 1/4 用 8 结点 Mindlin 板单元进行分析，用减缩积分方 法时 4×4 网格仍发生剪切锁死（如图 10.12 所示），而采用假设剪切应变方法时，仅用 3×3
m9 = −2(1−ν )a2 + 20b2
m10
=
−3b −12ν b +15
a2 b2
,
m11Biblioteka Baidu
=
3a
−
3ν
a
+
30
b2 a2
,
m12
=
21− 6ν
−15
b2 a2
−15
a2 b2
m13 = 2(1−ν )b2 +10a2 ,
m14 = 2(1−ν )a2 +10b2
,
m15
=
−3b
+
3ν
b
+ 15
网格也未发生剪切锁死（如图 10.15 所示），试用 Ks 奇异性的充分条件（10.4.13）式加以验
证。 解：采用减缩积分法时，
Mnsds = 16× 4× 2 = 128, N = 65× 3 − (9 + 8) × 3 − (7 + 7) −1× 2 = 128
m5 −m6 +m3
⎥
⎢ ⎢
+m17
−m20
−m21
+m12
−m15
−m16
m7
−m10
−m11
+m1
⎥ ⎥
⎢+m20 +m18 +0
+m15 m13 +0
−m11 m8 0
−m4 +m2
⎥
⎢⎢⎣−m21 +0 +m19
m16 +0
m14 +m11
0 +m9
−m5 m6 +m3
⎥⎥⎦
m1
=
21 −
6ν
(
∂w ∂y
)i
= θxi
=
a3
+ a5 xi
+ 2a6 yi
+
a8 (x i2
+ 2xi yi ) + 3a9 yi2
−(
∂w ∂x
)i
= θ yi
=
−a2
− 2a4 xi
− a5 yi
− 3a7 xi2
− a8 (2xi yi
+
yi2 )
将上列方程组表示成矩阵形式： Cα = ae ，其中 C 的表达式如下：
因 为 L1, L2 , L3 的 线 性 组 合 表 示 单 元 的 刚 体 位 移 ， 所 以 在 常 应 变 情 况 下 可 以 去 掉
（10.2.19）式中的α1L1 + α2L2 + α3L3 ，即为：
α4 (L22L1 + CL1L2L3 ) + ........ + α9 (L12L3 + CL1L2L3 ) = α1L1L2 + α2L2L3 + α3L3L1
此时，C 矩阵的秩为 9。当三角形板单元的两条边分别平行于坐标轴且长度相等时，即：
x1 = x3, y2 = y1, y3 = x2 − x1 + y1 ，此时，C 矩阵变为：
此时 C 矩阵的秩变为 8，即 C 是奇异的。
3
10.3 利用单元位移函数的完备性确定（10.2.19）式的常数 C 的数值。 解：
a2 b2
m16
=
−3a
+ 3ν a
+ 15
b2 a2
,
m17
=
−21 +
6ν
+ 15
b2 a2
− 30
a2 b2
,
m18 = −2(1−ν )b2 + 20a2
m19 = −8(1−ν )a2 + 20b2 ,
m20
=
3b
−
3ν b
+
30
a2 b2
,
m21
=
−3a
−12ν
a
+ 15
b2 a2
10.2 如果三角形板单元的位移函数是
⎢+m7 +m10 +m11 +m1
⎥
⎢ ⎢
+m10
+m8
+0
+m4 +m2
⎥ ⎥
⎢−m11 +0 +m9
m5 +m6 +m3
⎥
⎢ ⎢
+m12
−m15
+m16
m17
−m20
m21
+m1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
+m15
+m13
+0
m20 m18 +0
−m4 +m2
⎥ ⎥
⎢−m16 +0 +m14
m21 +0 +m19
设三个节点坐标分别为( x1, y1 )， (x2 , y2 ) ， (x3, y3 ) ，并代入以下各式：
2
wi = a1 + a2 xi + a3 yi + a4 xi2 + a5 xi yi + a6 yi2 + a7 xi3 + a8 (xi2 yi + xi yi2 ) + a9 yi3