243正多边形和圆 (2)

作业布置： 课本习题24.3第5、6题。
∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72度
D
E
C
.O
A FB
2、如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就 和原来的图形重合,那么这个正多边形是
(B )
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的
中心角是_6_0__度，半径是__1_，边心距 是 3 ，它的每一个内角是_1_2_0_°__．
2
4、正三角形的内切圆半径r与外接圆半径 R之间的关系D 为（ ）
A.4R=5r B.3R=4r C.2R=3r D.R=2r
5、将一个正五边形绕它的中心旋转,至少 要旋转 720 ,才能与原来的图形位置重合.
6、判断
各边相等的圆内接多边形是正多边形（ 正确 ）
各角相等的圆内接多边形是正多边形（ 错误 ）
∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形,
⊙O是五边形ABCD的外接圆.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径 E
D
正多边形的中心角: 正多边形的每一条边 所对的圆心角.
. F
中心角
O.
半径R
C
边心距r
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边
A
B
的距离.
以中心为圆心,边心距为半径 的圆与 为各正边多有边何形位 的置 内关 切系 圆?
BE2 OE2 OB2
2OE2 OB2
OE2 OB2
2
边心距OE 2 OB 2 R
2
2
A
D
·O
B
E
C
边长BC 2BE 2 2 R 2R 2
S正方形ABCD AB BC 2R 2 2R2
1、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心
角等于360 60，△OBC是等边三角形，从而正 六边形的6边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
r 42 22 2 3.
利用勾股定理,可得边心距
你想知道正多边形与圆的关系吗？
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧, 依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∵AB=BC=CD=DE=EA A
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴BCE=CDA=3AB
∴ ∠A=∠B.
B
E
O·
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
C
D
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
实验中学初三数学备课组
观察：
三条边相等， 三个角也相等（60度）。
四条边都相等， 四个角也相等（90度）。
正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如果一个正多边形有n条边，那么这个正 多边形叫做正n边形。
思考：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。边数是偶数的正多边形还是中心 ＝OD=
1 R. 2
A
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
AD OA OD R 1 R 3 R，
22
·O
∴AB= 3R
∴S△ABC=
3R •
3 2
R
3
2
B
3R2 4
D
C
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
F
E
在Rt△OPC中,OC=4, PC= BC 4 2， O
亭子地基的面积
2 2A
D rR
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). B P 22
C
练习：分别求出半径为R的圆内接正三角形， 正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R 在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
7、正n边形的一个外角度数与它的_中__心___角
的度数相等．
8、一个边长为2的正多边形的内角和是其外 角和的2倍，则这个正多边形的半径是__2___.
9、如图，正三角形ABC内接于圆O,AD是圆O 的内接正十二边形的一边，连接CD，若 CD=12，求圆O的半径。
A
D
。O
C B
课堂小结： 谈谈自己的收获？