新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题知识分享
【最新浙教版精选】浙教初中数学七上《3.0第3章 实数》PPT课件 (1).ppt
为正整数．
【解析】
(1)有理数2，0，3
－8，13；
无理数
2，π，π2，0.1010010001…（两个“1”
(2之)2间个依有次理多数一：个2“，0”0）；2；个无理数：π，π2，则 π×π2－0＋2＝4(答案
不唯一)．
3．实数的大小比较
【典例 3】 比较 3 2－1 与 1＋2 2的大小．
【答案】
2 3
5．实数的运算
【典例 5】 计算：3 27＋1－23. 【点拨】 (1)先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减． (2)注意3 a与 a3 的意义，明确它们互为逆运算． 【解析】 3 27＋1－23＝3＋1－8＝－4. 【答案】 －4
【跟踪练习 5】 计算： (1)2 3－( 3－1)＝____； (2)－3 8＋2( 3＋3 3)(精确到 0.01)．
【跟踪练习 1】 (1)计算 9的结果是____； (2)计算3 －27的结果是____． (3)计算－ 179的结果是____； (4)计算 25的平方根的结果是____．
【答案】 (1) 3 (2)－3 (3)－43 (4) ± 5
2．无理数、实数的概念及其分类
【典例 2】 在 3.14，13，2π，－ 8，0.2020020002…(两个 “2”之间依次多一 1 个“0”)，－0.4·中，无理数有 ( )
【答案】 3 2－1<1＋2 2
【跟踪练习 3】
比较大小：7
2____3
11，
3＋1 4 2 ____3
ห้องสมุดไป่ตู้
(用“>”“<”或“＝”填空)．
【答案】 < >
4．算术平方根的双重非负性
【典例 4】 已知 y＝ x－3＋ 3－x＋2，试求 xy＋yx 的 值．
浙教版七年级上数学实数
【基础知识】1、无理数、实数的概念无理数：即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π等。
实数：有理数和无理数的统称。
温馨提示（1）无理数的特征①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
（2）实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数例题1：下列是无理数的有 （填序号）。
①3.14； ②25； ③3； ④； 3.3333⑤0.412⋅⋅； ⑥256- ⑦π+3； ⑧0.10110111011110…；2、实数的相反数和绝对值（1）相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a 、b 互为相反数。
（2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例题2（1）已知a 的倒数的相反数是715，则a = ；b 的绝对值的倒数是2，则b = 。
（2）-5/3的倒数的绝对值是 。
练习题1（1）若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则(a + b)33-×c×d = 。
（2）一个数和它的倒数相等，则这个数是 。
3、实数的大小比较（1）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）求差比较法：a-b ＞0，则a ＞b ；a-b=0，则a=b ；a-b ＜0，则a ＜b ；（3）求商比较法：b a ＞1，则a ＞b ；b a =1，则a=b ；ba ＜1，则a ＜b ； 例题3：比较下列实数的大小 （1）2，3，215 （2）9574，练习题2：比较下列实数的大小（1）35，211 （2）110-，1π-，310-4、实数与数轴上的点对应（1）数轴上的每一个点都能代表一个实数；（2）每一个实数都能在数轴上找到与之对应的点。
浙教版数学七年级上知识点总结及相关考点习题
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数七年级数学上册第一章 有理数及其概念1.整数：包含正整数和负整数,分数包含正分数和负分数.正整数和正分数通称为正数,负整数和负分数通称为负数.正整数和负整数通称为自然数2.正数：都比0大,负数比0小,0既不是正数也不是负数.正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可.任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示.反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数,a a 和-互为相反数,0的相反数是0.在任意的数前面添上“-”号,就表示原来的数的相反数.在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的侧,且到原点的距离相等.数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大.正数在原点的右边,负数在原点的左边.4.绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值,用“| |”表示.正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a即：当a 是正数时,a a =；当a 是负数时,a a =-；当a =0时,0a =5.绝对值的性质：除0外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数；0 ---1 2 3越来越互为相反数的两数除0外的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数,即|a|≥0①对任何有理数a,都有|a|≥0②若|a|=0,则|a|=0,反之亦然③若|a|=b,则a=±b④对任何有理数a,都有|a|=|-a|6.比较两个负数的大小,绝对值大的反而小.比较两个负数的大小的步骤如下：①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断.7.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.8.数轴上的两个点表示的数,右边的总比左边的大.第二章有理数的运算1.有理数加法法则：·同号两个数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.·异号的两个数相加,绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两数相加得0.·一个数同0相加仍得这个数2.灵活运用运算律,使用运算简化,通常有下列规律：①互为相反的两个数,可以先相加；②符号相同的数,可以先相加；③分母相同的数,可以先相加；④几个数相加能得到整数,可以先相加.3.加法交换律：a b b a+=+4.加法结合律：()()++=++a b c a b c5.有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.6.有理数乘法法则：两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘.任何数与0相乘积仍得0.7.有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号变为相反数8.有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换,也就是说,减法没有交换律.有理数的加减法混合运算的步骤：①写成省略加号的代数和.在一个算式中,若有减法,应由有理数的减法法则转化为加法,然后再省略加号和括号；②利用加法则,加法交换律、结合律简化计算.注意：减去一个数等于加上这个数的相反数,当有减法统一成加法时,减数应变成它本身的相反数.9．倒数：如果两个数互为倒数,则它们的乘积为1.如：-2与21、 3553与…等 10.有理数乘法法则： ①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘.②任何数与0相乘,积仍为0.11.乘法交换律：ab ba = 12.乘法结合律：()()ab c a bc = 13.乘法分配律：()a b c ac bc +⨯=+乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用.14.有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；②求出各因数的绝对值的积.乘积为1的两个有理数互为倒数.注意：①零没有倒数②求分数的倒数,就是把分数的分子分母颠倒位置.一个带分数要先化成假分数.③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数.15.有理数除法法则：·除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.·两个有理数相除,同号得正,异号得负,绝对值相除.0除以任何数都得0,且0不能作除数,否则无意义.16.有理数的乘方：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在n a 中a 叫做底数,n 叫做指数,n a 读作a 的n 次幂或a 的n 次方. 注意：①一个数可以看作是本身的一次方,如5=51；②当底数是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在右上角写指数.17.乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1,0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中,首先要确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.18.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减.②如果有括号,先算括号里面的.19.混合运算顺序：· 先算乘方,再乘除,后加减； · 同级运算,从左到右进行；· 如有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 20.近似数和有效数字:=⨯⨯⨯⨯ an a a a a 个幂与实际接近的数,叫近似数21.有效数字：一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位这时,从左边第一个非零数 字起到精确到那一位数字止,所有的数字例题精讲1、 -33÷214×-232 – 4-23×- 232 2、 -32+-23 –2×-1033、 -314++-7124、-23--5+-64--125、如果()()0132122=-+-++c b a ,求333c a abc -+的值．考点二、运用运算律进行简便运算 1、-+ 2、-12+16-34+512×-123、117512918--×36-6×+×6 4、492425×-5考点三、与数轴相关的计算或判断1、已知有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示,下列错误的是A 、b+c<0B 、-a+b+c<02、a ,b 在数轴上的位置如图所示,则a ,b ,a +b ,a -b 中,负数的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、若a ．b ．c 在数轴上位置如图所示,则必有a -2-1A ．abc ＞0B ．ab -ac ＞0C ．a +b c ＞0D ．a -cb ＞04、有理数a ,b 在数轴上的位置如图所示,则在a +b ,a -b ,ab ,3a ,23a b s 这五个数中,正数的个数是A ．2B ．3C ．4D ．55、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示,则 A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0 C ．a －b = 0 D ．a －b ＞06、a 、b 在数轴上的位置如图,化简a ＝ ,b a +＝ ,1+a ＝ .考点四、带绝对值的分类讨论1、若a b =,则a 和b 的关系是2、1___x x -==若，则；123______x x -==若，则.3、已知a 和b 互为相反数,c 和d 互为倒数,x 的绝对值是1,则2()x a b cd x cd -++-= .4、已知ab>0,试求abab b b a a ||||||++的值.考点五、求汽车来回运动最后停在何处的问题1、体现社会对教师的尊重,教师节这一天上午,出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师.如果规定向东为正,向西为负,出租车的行程如下单位：千米：＋15,－4,＋13,―10,―12,＋3,―13,―17.-11ab1当最后一名教师到达目的地时,小王距离接送第一位教师的出发地什么方向,多少千米2若汽车耗油量为升1千米,这天下午汽车共耗油多少升考点六、科学计数法及近似数的综合1、近似数×109精确到位；近似数万精确到位；近似精确到位2、如果一个近似数是,则它的精确值x的取值范围是A <x<B ≤x<C <x≤D <x<3、我国2013年参加高考报名的总人数约为1230万人,则该人数可用科学记数法表示为人.4、×109是位整数；62100…00用科学计算数表示为考点七、基准量是否发生变化的应用题1、股民小王上星期五买进某股票1000股,每股25元,下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况单位：元：+表示收盘价比前一天涨1星期四收盘时,每股是多少元2本周内最高价是每股多少元最低价是每股多少元3已知买进股票时需付‰的手续费,卖出时需付成交额的‰千分之的手续费和3‰的交易税.如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出,他的收益情况如何收益=卖股票收入-买股票支出-卖股票手续费和交易税-买股票手续费4谈谈你对股市的看法：2、某摩托车厂本周计划每日生产250辆摩托车,由于工人实行轮休,每日上班的人数不一定相等,实际每日的生产量与计划量相比较的情况如下表.记超出的为正,不足的为负；单位：辆：1本周六生产了多少辆2产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆3用简便方法算出本周实际总产量第三章实数知识框图注意掌握以下公式：①⎧=⎨⎩② =将考点与相关习题联系起来考点一、“……说法正确的是……”的题型 1、下列说法正确的是A ．有理数只是有限小数B ．无理数是无限小数C ．无限小数是无理数D ．4π是分数2、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根.其中正确的有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3、下列结论中正确的是A ．数轴上任一点都表示唯一的有理数B ．数轴上任一点都表示唯一的无理数 C. 两个无理数之和一定是无理数 D. 数轴上任意两点之间还有无数个点 考点二、有关概念的识别1、下面几个数：.0.34,…π,227其中,无理数的个数有 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、下列说法中正确的是3 B. 1的立方根是±1 =±1 D. 5的平方根的相反数3、一个自然数的算术平方根为a,则与之相邻的前一个自然数是 考点三、计算类型题1则下列结论正确的是1322(39)(310)ππ--、4x-12=9考点四、数形结合1. 点A 在数轴上表示的数为35,点B 在数轴上表示的数为5-则A,B 两点的距离为______ 2、如图,数轴上表示2A,B,点B 点A 的对称点为C,则点C 表示的数是 A 2－1 B ．12．22 D 2－2 考点五、实数绝对值的应用1、|32232+23-考点六、实数非负性的应用 123|49|07a b a a --=+,求实数a,b 的值.2．已知x-62+2(26)x y -求x-y 3-z 3的值.第四章代数式代数式分类的拓展将考点与相应习题联系起来考点一、代数式的书写是否正确的问题1、下列代数式书写规范的是A．512ab2 B．ab÷c C．a-cbD．m·32、下列代数式书写规范的是A．a÷3 B．8×a C．5a D．212a考点二、去括号的问题1、下列运算正确的是A．-3x-1=-3x-1 B．-3x-1=-3x+1 C．-3x-1=-3x-3 D．-3x-1=-3x+3 2、下列去括号中错误的是A．2x2-x-3y= 2x2-x+3y B．13x2+3y2-2xy=13x2-2xy +3y2C．a2-4-a+1= a2-4a-4 D．- b-2a--a2+b2= - b+2a+a2-b23、下列去括号,错误的有个① x2+2x-1= x2+2x-1,② a2-2a-1= a2-2a-1,③ m-2n-1=m-2n-2,④ a-2b-c=a-2b+cA. 0B. 1C. 2D. 34、去括号：--1-a-1-b=考点三、代数式中与概念有直接关系的题目1、单项式中-27πa2b的系数和次数分别是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧)(被开方数含有字母无理式分式多项式单项式整式有理式代数式A ．-27,4B ．27,4C ．-27π,3D ．27π,3 2.下列代数式中,不是整式的是A. 13a 2+12a+1B. a 2+1bC. m+12D. 2006x+y 3．下列说法正确的是 A. x 2-3x 的项是x 2,3x B. 3a b 是单项式 C. 12,πa,a 2+1都是整式 D. 3a 2bc-2是二次二项式4、若m,n 为自然数,则多项式x m -y n -2m+n 的次数是 A. m B. n C. m+n D. m,n 中较大的数5、下列各项式子中,是同类项的有 组 ① -2xy 3与5y 3x,② -2abc 与5xyz,③ 0与136,④ x 2y 与xy 2,⑤ -2mn 2与mn 2,⑥ 3x 与-3x 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 56、若A 和B 都是三次多项式,则A+B 一定是A. 六次多项式B. 次数不高于三次的多项式或单项式C. 三次多项式D. 次数不低于三次的多项式或单项式0或27、已知-6a 9b 4和5a 4m b n 是同类项,则代数式12m+n-10的值为8、多项式2b-14ab 2-5ab-1中次数最高的项是 ,这个多项式是 次 项式 9、若2a 2m-5b 与mab 3n-2的和是单项式,则m 2n 2=考点四、代数式求值的问题,主要有先化简再直接代入、整体代入、稍作变形后再代入把整式的加减也归入这一类1、若代数式x 2+3x-3的值为9,则代数式3x 2+9x-2的值为 A 、0 B 、24 C 、34 D 、442、已知a-b=2,a-c=12,则代数式b-c 2+3b-c+94的值为A 、－32B 、32C 、0D 、973、若a+b=3,ab=-2,则4a-5b-3ab-3a-6b+ab=4、已知a2-ab=15,b2-ab=10,则代数式3a2-3b2的值为5、先化简,再求值-1 2a-32a-23a2 -632a+13a2 -1,其中a=-26、先化简,再求值13a2-5b2+12ab-5a2-b2-12ab+4a2,其中a=112,b= -1225x-y3-3x-y2+7x-y-5x-y3+x-72-5x-y,其中x-y=137、有这样一道题：计算2x3-3x2y-2xy2-x3-2xy2+y3+-x3+3x2y-y3的值,其中x=12,y=-1,小明把x=12错抄成x= -12,但他的计算结果也是正确的,请你帮他找出原因.8、已知一个多项式与5ab-3b2的和等于b2-2ab+7a2,求这个多项式考点五、用代数式表示实际生活中的问题1、洗衣机每台原价为a元,在第一次降价20%的基础上再降价15%,则洗衣机的现价是每台元2、用20元钱购买x本书,且每本书需另加邮寄费元,则购买这x本书共需要元3、买单价为c元的球拍m个,付出了200元,应找回元.4、为鼓励节约用电,某地对居民用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度,那么每度电价按a元收费；如果超过100度,那么超过部分每度电价按b元收费,某户居民在一个月内用电160度,该户居民这个月应缴纳电费是元用含a、b的代数式表示；5、某城市自来水费实行阶梯收费,收费标准如下表：1某用户十月份用水30吨,用含a的代数式表示该用户十月份所交的水费2若a=元时,求该用户十月份应交的水费6、某市电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一：A计时制：元每分钟；B包月制：60元每月限一部个人住宅电话上网；此外,每一种上网方式都得加收通信费元每分钟．1某用户某月上网的时间为x小时,请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；2若某用户估计一个月内上网的时间为25小时,你认为采用哪种方式较为合算7、我国出租车收费标准因地而异,A市为：行程不超过3千米收起步价10元,超过3千米后每千米增收元；B市为：行程不超过3千米收起步价8元,超过3千米后每千米增收元．1填空：某天在A市,张三乘坐出租车2千米,需车费 ____元；2分别计算在A、B两市乘坐出租车10千米的车费；3试求在A市与在B市乘坐出租车xx＞3千米的车费相差多少元第五章 一元一次方程1.含有未知数的等式叫做方程,使方程左右两边的值都相等的未知数的值叫做方程的解.只含有一个未知数,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程.运用方程解决问题：1设未知数.2找出相等的数量关系,3根据相等关系列方程,解决问题.2.等式的性质：1、等式两边加或减同一个数或式子,结果仍相等.c b c a b a ±=±=那么如果,2、等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.cb c a c b a bcac b a =≠===那么如果那么如果),0( ,3.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项4.解方程步骤：解一元一次方程一般要去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系5.数化为1等,最后得出a x =的形式.第六章 图形的初步认识1. 线段、射线、直线正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：经过两点有一条直线,并且只有一条直线.两点确定一条直线.AOB图12..比较线段的长短线段公理:两点间线段最短;两之间线段的长度叫做这两点之间的距离. 比较线段长短的两种方法: ①圆规截取比较法; ②刻度尺度量比较法.用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分; 用圆规可以画出线段的和、差、倍.两点之间的所有连线中,线段最短.两点间的线段长度,叫做这两点的距离 两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离．．．．．．．．. 3角的度量与表示角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角; 这个公共端点叫做角的顶点; 这两条射线叫做角的边. 角的表示法：角的符号为“∠”①用三个字母表示,如图1所示∠AOB②用一个字母表示,如图2所示∠b ③用一个数字表示,如图3所示∠1 ④用希腊字母表示,如图4所示∠β4.角度数的换算：1°=60分,1′=60秒角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.如图5一条射线绕它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角．．.如图6所示：终边继续旋转,当它又和始边重合时,所成的角叫做周角．．.如图7所示： 5.从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分．．．．b 图2图5平图6 1图3β 图4线．. 6.等角的补角相等,等角的余角相等7.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.8.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行. 9.互相垂直的两条直线的交点叫做垂足．．. 10.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.11.如图8所示,过点C 作直线AB 的垂线,垂足为O 点,线段CO 的长度叫做点．C ．到直线．．．AB ．．的．距离．．. 周角图8。
实数计算中的规律性问题(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
重难点：实数计算中的规律性问题（5种题型）探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．【考点剖析】一．数轴（共1小题）1．（2022秋•杭州期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的﹣2022所对应的点将与圆周上字母（）所对应的点重合．A．A B．B C．C D．D【分析】根据圆的周长得到，4个数字一个周期，然后从0开始，即出发的位置是点B，然后用2022除以4看余数即可．【解答】解：∵圆的周长为4个单位长度，∴4个数字为一个循环，点B与数字0对应，∴2022÷4＝505……2，即从B开始在转2次，∴﹣2022对应的字母是D．故选：D．【点评】本题考查数轴，能够注意到点B对应的是数字0是解答本题的关键．二．有理数的混合运算（共3小题）2．（2022春•海淀区校级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，…利用以上运算的规律，写出f（n）＝（n为正整数），计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）＝．【分析】根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式；再根据f（n）的表达式，代入f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100），计算即可．【解答】解：（1）∵，，，，…∴f（n）＝1﹣．f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）•（1﹣）＝××ו•×＝．故答案为：1﹣；．【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．理解新运算，进而写出f（n）的表达式是解题的关键．3．（2022秋•拱墅区月考）观察下列运算过程：22＝2×2＝4，；，＝；…（1）根据以上运算过程和结果，我们发现：22＝；（）2＝；（2）仿照（1）中的规律，判断（）3与（）﹣3的大小关系；（3）求（﹣）﹣4×（）4÷（）﹣3的值．【分析】（1）观察计算过程即可得出结论；（2）利用题干中的方法解答即可得出结论；（3）利用以上的解题规律进行运算即可．【解答】解：（1）∵22＝2×2＝4，，∴；∵，＝， ∴， 故答案为：；；（2）（）3＝（）﹣3，理由：∵＝＝，＝＝， ∴（）3＝（）﹣3．（3）原式＝×÷23＝×＝16×＝2．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，利用题干中的方法和解答中发现的规律解答是解题的关键．4．（2021秋•台州期末）规定：若有理数a ，b 满足a ﹣b ＝ab ，则a 叫做b 的“差积数”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差积数”；﹣1≠×1，可知不是1的“差积数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）填表： ﹣（2）一个有理数的“差积数”等于这个数，求这个有理数； （3）若m 为正整数，记m +1，m +2，m +3，…，m +2022这2022个数的“差积数”的积为A ，试猜想A 的值（用含有m 的式子表示），并给出合理的猜想过程．【分析】（1）根据定义分别求出各自对应的“差积数”：（2）可设这个有理数为x ，再由定义求出即可：（3）先解出前几项对应的差积数，观察找规律，总结一般结论再代入求值即可．【解答】解：（1）设3的积差数为x ，y 的积差数为﹣2，由题意可列：x﹣3＝3x，﹣2﹣y＝﹣2y，解得：x＝﹣，y＝2，故答案为：﹣：；2．（2）设这个有理数为a，由题意可列：a﹣a＝a2，解得：a＝0，答：这个有理数为0．（3）设m+1的差积数为b，由题意可列：b﹣（m+1）＝（m+1）b，解得：b＝，∴m+1的差积数是，同理：m+2的积差数是，则A＝＝＝1+．【点评】认真读题，理解差积数的含义，培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力．，最后一问考查了学生由特殊到一般的数学思想．三．算术平方根（共2小题）5．（2022秋•鄞州区校级期中）（1a+b＝，则代数式（a+b）2的值为．（2）如下是按规律排列的一列单项式：x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…则第10个单项式是．【分析】（1）将a+b的值整体代入所求的代数式运算即可；（2）通过观察可得第n个单项式是（﹣1）n+1••xn，由此求解即可．【解答】解：（1）∵a+b＝，∴（a+b）2＝（）2＝3，故答案为：3；（2）∵x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…，∴第n个单项式是（﹣1）n+1••xn，∴第10个单项式是﹣x10，故答案为：﹣x10．【点评】本题考查数字的变化规律，整式的运算，熟练掌握整体代入思想求代数式的值，根据所给的单项式，探索出单项式的各项系数和指数的规律是解题的关键．6．（2023春•城区校级期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：①；②；③；④．根据以上算式的规律，解答下列问题：（1）13+23+33+43+53＝（）2＝；（2）＝；（用含n的代数式表示）（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．【分析】（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；（2）得出＝1+2+3+…（n﹣1）+n，再利用求和公式求出结果即可；（3）将原式化为（1【解答】解：（1）∵＝1+2+3+4+5＝15，∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225，故答案为：1+2+3+4+5，225；（2）由（1）可得，＝1+2+3+…（n﹣1）+n＝，故答案为：；（3）由（2）得，113+123+133+…+193+203＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103）＝＝44100﹣3025＝41075．【点评】本题考查算术平方根，列代数式，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键．四．规律型：数字的变化类（共19小题）7．（2022秋•北仑区期中）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n 为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别求出部分输出结果，发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，则经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，由此可求解．【解答】解：当n＝21时，经过1次运算输出的数是64，经过2次运算输出的数是32，经过3次运算输出的数是16，经过4次运算输出的数是8，经过5次运算输出的数是4，经过6次运算输出的数是2，经过7次运算输出的数是1，经过8次运算输出的数是4，经过9次运算输出的数是2，……∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，∵（2022﹣4）÷3＝672…2，∴经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键．8．（2022秋•莲都区期中）对一组数（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y），且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数），如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2），则P2022（1，﹣1）＝（）A．（0，21011）B．（21011，﹣21011）C．（0，﹣21011）D．（21011，21011）【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答．【解答】解：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝P1（P1（1，﹣1））＝P1（0，﹣2）＝（2，﹣2），P3（1，﹣1）＝P1（P2（1，﹣1））＝P1（2，﹣2）＝（0，4）＝（0，22），P4（1，﹣1）＝P1（P3（1，﹣1））＝P1（0，4）＝（4，﹣4）＝（22，﹣22），P5（1，﹣1）＝P1（P4（1，﹣1））＝P1（22，﹣22）＝（0，23），…，P2022（1，﹣1）＝（21011，﹣21011）．故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．9．（2022秋•海曙区校级期中）将正偶数按下表排成5列：根据上面排列规律，则2022应在____________行，___________列．（）A．506；3B．506；2C．253；2D．253；4【分析】通过观察发现，每8个偶数的位置循环一次，再由1011÷8＝126……3，可知2022在第4列，行数位于126×2+1＝253行，由此即可求解．【解答】解：由图可知，每8个偶数的位置循环一次，∵2到2022共有1011个偶数，∴1011÷8＝126……3，∴2022与6的列数相同，∴2022在第4列，∵126×2＝252，∴2022在第253行，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，探索出数的位置的循环规律是解题的关键．10．（2022秋•开化县校级月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，……，第2022次输出的结果为（）A．1B．2C．4D．8【分析】通过计算发现，从第二次开始每三次运算结果循环一次，则可得第2022次输出的结果与第2次输出的结果相同，由此求解即可．【解答】解：第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，第4次输出的结果为1，第5次输出的结果为4，……∴从第二次开始每三次运算结果循环一次，∵（2022﹣1）÷3＝673……2，∴第2022次输出的结果为2，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．11．（2022秋•慈溪市月考）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2021的点与正方形上的数字对应的是（）A．0B．2C．4D．6【分析】求出2021与﹣1的距离是2022个单位，再去确定2022是正方形旋转252圈余6个单位长度，则可知2021与6对应．【解答】解：∵正方形的周长为8个单位，∴正方形的边长为2个单位，由旋转可知，正方形旋转一周是8个单位长度，∵2021与﹣1的距离是2022个单位，又∵2022÷8＝252……6，∴正方形旋转252圈余6个单位长度，∴2021与6对应，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算确定2021与﹣1的距离与正方形周长的关系是解题的关键．12．（2021秋•北仑区期末）观察下列各式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，则第n个式子是（）A．﹣2n﹣1x n B．（﹣2）n x n C．﹣2n x n D．（﹣2）n﹣1x n【分析】通过观察可知系数为﹣2的n次方，x的次数为自然数，由此可得第n个式子为（﹣2）nxn．【解答】解：∵﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，∴第n个式子为（﹣2）nxn，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式，探索出式子的一般规律是解题的关键．13．（2021秋•嘉兴期末）已知一列数a1，a2，a3，…，满足a m•a n＝a m+n（m，n为正整数）．例如：a1•a2＝a1+2＝a3，a2•a2＝a2+2＝a4．若a1＜0，a2＝4，则a2021的值是（）A．4042B．﹣22020C．22021D．﹣22021【分析】分别求出a1＝﹣2，a2＝4，a3＝﹣8，a4＝16，…，可得一般规律an＝（﹣2）n，即可求a2021＝﹣22021．【解答】解：∵a2＝4，∴a1•a2＝a1+2＝a3＝4a1，a2•a2＝a2+2＝a4＝16，∵a1•a3＝a1+3＝a4，∴4a12＝16，∴a1＝±2，∵a1＜0，∴a1＝﹣2，∴a3＝﹣8，a4＝16，…，∴an＝（﹣2）n，∴a2021＝﹣22021，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的条件，通过计算，探索出数的一般规律是解题的关键．14．（2022秋•浦江县月考）求1+2+22+23+…+22018的值，可令S＝1+2+22+23+…+22018，则2S＝2+22+23+…+22019，因此2S﹣S＝22019﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52018的值为（）A．52019﹣1B．52018﹣1C．D．【分析】直接根据已知条件中的示例，设所求式子为S，在所求式子中都乘以5得到一个新的式子，然后两个式子相减，从而求出所求问题．【解答】解：设S＝1+5+52+53+•+52018，则5S＝5+52+53+54+•+52019．∴5S﹣S＝52019﹣1，∴S＝．故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的运算及技巧性求复杂数式的值的方法，解题的关键是根据所求问题灵活运用各种运算规律．15．（2022秋•东阳市期中）正整数按如图的规律排列，请写出：（1）第3行，第6列的数字是；（2）正整数2022在第行，第列．【分析】（1）根据所给的数，确定第六列的第一个数是26，再求解即可；（2）通过观察发现每行的第一个数n2，确定第45行的第一个数是2025，再求解即可．【解答】解：（1）由图可知，第六列的第一个数是26，∴第3行，第6列的数字是28，故答案为：28；（2）每行的第一个数n2，∴第45行的第一个数是2025，∵2025﹣2022＝3，∴2022在第45行第4列，故答案为：45，4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行第一个数的规律是解题的关键．16．（2022秋•西湖区校级期中）观察下面算式，探索规律并解答问题：1+3＝4，1+3+5＝9，1+3+5+7＝16，1+3+5+7+9＝25．（1）计算，1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝；（2）请用上述规律计算：79+81+83+85++197+199＝．【分析】（1）通过观察所给的等式，可得1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2；（2）由（1）的规律，将等式变形为（1+3+5+……+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+……+77）再求解即可．【解答】解：（1）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝（）2＝n2，故答案为：n2；（2）79+81+83+85++197+199＝（1+3+5+......+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+ (77)＝1002﹣392＝8479，故答案为：8479．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式结果的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．17．（2022秋•义乌市校级期中）小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入9时，输出结果为，从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有个．【分析】通过观察输出结果，得到当输入的数是3n+1时，输出项的系数与次数均为奇数，再由2022÷3＝674，即可求解．【解答】解：输入1，得到a，项的系数与次数均为奇数，输入2，得到3b2，项的系数与次数不都为奇数，输入3，得到4ab2，项的系数与次数不都为奇数，输入4，得到7ab4，项的系数与次数均为奇数，输入5，得到11a2b6，项的系数与次数不都为奇数，输入6，得到18a3b10，项的系数与次数不都为奇数，输入7，得29a5b16，项的系数与次数均为奇数，……∴当输入的数是3n+1时，输出项的系数与次数均为奇数，∵2022÷3＝674，∴从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个，故答案为：674．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的输出结果，探索出输出项的系数与次数均为奇数时，输入数的规律是解题的关键．18．（2022秋•鄞州区校级期中）按上面数表的规律，得下面的三角形数表：（1）上表中，第九行有个算式，第九行最中间的算式是．（2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15个数是．【分析】（1）通过观察可得第九行有9个算式，每一行的每个算式的第一个数的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二个数都是2n，由此求解即可；（2）先确定第15个数所在的位置，再根据（1）的规律进行求解即可．【解答】解：（1）第一行1个算式，第二行2个算式，第三行3个算式，第四行4个算式，……，∴第九行有9个算式，∵每一行的每个算式的第一个数的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二个数都是2n，∴第九行最中间的算式是24+29，故答案为：9，24+29；（2）∵3，5，6，9，10，12，…，∴第15个数是第五行第5个数，∴第15个数是24+25＝48，故答案为：48．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的算式的排列，探索出每一行数的排列规律是解题的关键．19．（2022秋•余杭区校级月考）已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式：第1行1第2行﹣2，3第3行﹣4，5，﹣6第4行7，﹣8，9，﹣10第5行11，﹣12，13，﹣14，15…按照上述规律排下去，那么第10行从右边数第5个数为．【分析】通过观察可得第n行有n个数，求出前9行45个数，可知第10行的第一个数是﹣46，再求解即可．【解答】解：第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……，∴第n行有n个数，∴前9行有×9＝45个数，∴第10行的第一个数是﹣46，∴第10行从右边数第5个数为51，故答案为：51．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察数的排列规律，探索出每行数的个数的规律是解题的关键．20．（2021秋•缙云县期末）如图，某学校图书馆把WIFI密码做成了数学题．小红在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么她输入的密码是．【分析】通过观察发现：第一个两位数是5×8＝40，第二个两位数是6×8＝48，第三个两位数是40+48＝88，由此可求密码．【解答】解：∵5*2⊕6＝301242，2*6⊕9＝185472，8*3⊕4＝321244，∵5×6＝30，2×6＝12，（5+2）×6＝42，2×9＝18，6×9＝54，（6+2）×9＝72，8×4＝32，3×4＝12，（8+3）×4＝44，∴5*6⊕8＝404888，故答案为：404888．【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的式子，探索出数字之间的联系是解题的关键．21．（2021秋•临海市月考）计算：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝．【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可．【解答】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]＝1+1+…+1＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键．22．（2022秋•拱墅区校级月考）如图，将一列有理数按如下规律排列，请回答下列问题：（1）在A，B，C三个数中，其中表示负数的是；（2）若A，B，C，D，E均表示对应的有理数，A+B+C+D的值是；（3）数﹣2020对应A，B，C，D，E中的什么位置？并说明理由．【分析】（1）通过观察发现，A点表示的数与1的正负性相同，B点表示的数与﹣2的正负性相同，C点表示的数与3的正负性相同，由此求解即可；（2）由（1）可求A+B+C+D的值是﹣2；（3）通过观察发现，每6个数是一组循环，由此求解即可．【解答】解：（1）A点表示的数与1的正负性相同，B点表示的数与﹣2的正负性相同，C点表示的数与3的正负性相同，∴B表示负数，故答案为：B；（2）由（1）知，D点表示的数与﹣4的正负性相同，∵1+（﹣2）+3+（﹣4）＝﹣2＜0，∴A+B+C+D的值是﹣2，故答案为：﹣2；（3）由图可知，每6个数是一组循环，∵2020÷6＝336……4，∴﹣2020与D点的位置相对应．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出数字的循环规律是解题的关键．23．（2022秋•义乌市校级月考）观察下面的等式：﹣1＝﹣|﹣+2|+44﹣1＝﹣|﹣1+2|+42﹣1＝﹣|1+2|+4﹣1＝﹣|+2|+4﹣1﹣1＝﹣|4+2|+4…回答下列问题：（1）填空：﹣1＝﹣|6+2|+4；（2）已知：0﹣1＝﹣|x+2|+4，则x的值是；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并直接写出此时的等式．【分析】（1）找出各式的规律，利用规律解答即可；（2）利用（1）中的规律解答即可；（3）利用（1）中的规律列出不等式，从而求得最大值，利用（1）中的规律写出当时即可．【解答】解：∵﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|﹣+2|+4，4﹣1＝﹣|3﹣4+2|+4＝﹣|﹣1+2|+4，2﹣1＝﹣|3﹣2+2|＝﹣|1+2|+4，﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|+2|+4，﹣1﹣1＝﹣|3﹣（﹣1）+2|+4，•∴a﹣1＝﹣|3﹣a+2|+4，∴6＝3﹣（﹣3），∴﹣3﹣1＝﹣|3﹣（﹣3）+2|+4＝﹣|6+2|+4，故答案为：﹣3；（2）∵0﹣1＝﹣|3﹣0+2|+4＝﹣|x+2|+4，∴x＝3，故答案为：3；（3）∵y﹣1＝﹣|3﹣y+2|+4，∴|5﹣y|＝5﹣y，∴5﹣y≥0，∴y≤5，∴y的最大值为5，此时的等式为：5﹣1＝﹣|﹣2+2|+4．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值，本题是规律型题目，依据各式的特征找出规律是解题的关键．24．（2021秋•临海市期末）观察下面三行数；﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③（1）第①行第8个数为；第②行第8个数为：第③行第8个数为．（2）是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①后一个数是前一个数的﹣2倍，②的数的规律是在①每个对应数加2，③后一个数是前一个数的﹣2倍，由此可求解；（2）通过观察可得规律：①的第n个数是（﹣2）n，②的第n个数是（﹣2）n+2，③的第n个数是（﹣1）n2n﹣1，再由（﹣2）n+（﹣2）n+2+（﹣1）n×2n﹣1＝322，求n即可．【解答】解：（1）﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，∴第8个数是256，②的第8个数是256+2＝258，③的第8个数是128，故答案为：256，258，128；（2）不存在一列数，使三个数的和为322，理由如下：①的第n个数是（﹣2）n，②的第n个数是（﹣2）n+2，③的第n个数是（﹣1）n2n﹣1，由题意得，（﹣2）n+（﹣2）n+2+（﹣1）n×2n﹣1＝322，∴n为偶数，∴4×2n﹣1+2n﹣1＝5×2n﹣1＝320，∴2n﹣1＝64，∴n＝7，∴不存在一列数，使三个数的和为322．【点评】本题考点数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子中各数间的规律是解题的关键．25．（2021秋•海曙区月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：3的差倒数是＝，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推．（1）分别求出a2、a3、a4的值．（2）计算a1+a2+a3的值．（3）请直接写出a1+a2+a3+…+a2021的值．【分析】（1）由定义直接求解即可；（2）根据（1）中所求的值进行运算即可；（3）由（1）可知，每三次运算结果循环出现，则a1+a2+a3+…+a2021＝673×+2﹣1＝．【解答】解：（1）∵a1＝2，∴a2＝＝﹣1，a3＝＝，a4＝＝2；（2）a1+a2+a3＝2+（﹣1）+＝；（3）由（1）可知，每三次运算结果循环出现，∵2021÷3＝673……2，∴a1+a2+a3+…+a2021＝673×+2﹣1＝．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算找到运算结果的循环规律是解题的关键．五．二次根式的性质与化简（共1小题）26．（2021秋•诸暨市期中）探索规律：先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想＝．（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式：．（3）计算：．【分析】（1）直接利用已知运算规律得出，最终结果的分母与后两项分母的关系，进而得出运算结果；（2）直接利用已知运算规律得出，最终结果的分母与后两项分母的关系，进而得出运算结果；（3）利用（2）中运算规律，进而化简得出答案．【解答】解：（1）＝1；（2）＝1+；（3）原式＝1+1+1+…+1＝1×99+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝99+1﹣＝99．故答案为：（1）1；（2）＝1+．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及数字变化规律，正确发现数字之间变化规律是解题关键．。
七年级上 第三章 实数 浙教版
七年级上第三章实数浙教版七年级上第三章实数浙教版1.平方根（1）含义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平平方根（或平方根），也就是说，如果x=a，那么x称为a的平方2根。
（2）表示方法：整数a的正平方根表示为“a”或“2A”，其中a叫做被开方数;“2”中的2叫做根的指数（一般可省略不写）；“a”或“2a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a的负的平方根表示为“－a”或“－2a”；正数a的平方根为±a，读作“正负根号a”我们把a的正的平方根a称为a的算术平方根。
（3）性质：一个正数有两个平方根，它们是相对的；仅0一个平方根，还是0；负数没有平方根。
算术平方根的性质：正数的算术平方根是正数；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根。
（4）方形操作1）定义：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中位数A称为正方形；平方运算和平方运算是相互逆的运算2）平方根（或算术平方根）的几个公式：式子±a有意义的条件为a≥0；a表示a的算术平方根，a是非负数，即a≥0；，?? a？=a（a）≥0）；? a？=a（a）≥0）22a2=a=a，a≥0或；－a，a03）非负数及其性质：a．非负数：若a≥0，则称a为非负数，初中阶段有三种非负数：a，a，a2b、如果几个非负数之和为0，则它们都是0.2立方根（1）定义：如果一个数x的立方等于a，即x=a，那么就称这个数字x是A的立方根。
表示法：a的立方根表示为3a，其中a为被开方数，“3”中的3为根指数（根指数3不能省略）；3a读作“三次根号a”或“a的立方根”。
（2）性质：任何数字都有一个立方根，任何数字都有一个唯一的立方根。
正数有正方根；负数有负的立方根；0的立方根仍然是0（3）有关立方根的补充说明和公式1）在3A中，平方数a可以是正的、负的、0；3a的正负值与a一致2）3?a=－3a，3）33?a?3=3a=a34）开立方运算：求一个数a的立方根的运算叫做开立方运算。
新浙教版七年级上第三章实数复习课件(已修改)
-9 -3
1 4
3
（4）9的立方根是什么？
3 72
9
（5）-72的立方根是什么？ 3 72
千叮万嘱：立 方根只有一个。
1、若某数的一个平方根是 9 3 - ， 则这个数是 4 ； 2 2、若某数的一个立方根是4，则这个 数的平方根是 ±8 ；
3、(-4)2的算术平方是 4 ；
4、 4 的平方根是 2 ；
1） 8是
64
的平方根
千叮万嘱： 先做开方不 会错
2） 64 的平方根是 ±8 3） 4）
64的值是 8
64的平方根是
8
4
5） 64 的立方根是
在下列各数中哪几个是有理数？
3
2
384Fra bibliotek你发现了什么？ 带根号的数不一定就是无理数。
5
小结：无理数常见类型： 开不尽方的数 一些含 的数。 有规律但不循环的无限小数。
a
若x a, 则x 3 a
3
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方 根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根。
平方与开平方是互为逆运算。
（1）9的平方根是什么？ （2）16的平方根是什么？
+3和-3 +4和-4
2和 2
4 2 3
1.如果 x 2，则x
2
, -4x
3
2.若
7 a (b 27 ) c 9 0, 则a b c
3 2
1 3. 2006 a a 2006 a
4.已知10 3 x y，其中x是整数，且0 y 1, 求x y的相反数.
新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题
新浙教版七年級上冊數學第三章《實數》知識點及典型例題注意掌握以下公式：① ⎧=⎨⎩② =將考點與相關習題聯系起來考點一、關於“……說法正確の是……”の題型 1、下列說法正確の是（ ）A ．有理數只是有限小數B ．無理數是無限小數C ．無限小數是無理數D ．4π是分數2、有下列說法：①有理數和數軸上の點一一對應；②不帶根號の數一定是有理數；③負數沒有立方根；④是17の平方根。
其中正確の有（ ） A ．0個 B ．1個 C ．2個 D ．3個3、下列結論中正確の是 （ ）A ．數軸上任一點都表示唯一の有理數B ．數軸上任一點都表示唯一の無理數 C. 兩個無理數之和一定是無理數 D. 數軸上任意兩點之間還有無數個點 考點二、有關概念の識別1、下面幾個數：.0.34，1.010*******π，227） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、下列說法中正確の是（ ）A.3 B. 1の立方根是±1 C. ±1 D. 5の平方根の相反數3、一個自然數の算術平方根為a ，則與之相鄰の前一個自然數是 考點三、計算類型題1，則下列結論正確の是（ ）A.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5C.5.5<a<6.0D.6.0<a<6.54、對於有理數x 1xの值是3 4、4(x-1)2=9考點四、數形結合1. 點A 在數軸上表示の數為，點B 在數軸上表示の數為A ，B 兩點の距離為______2、如圖，數軸上表示1A ，B ，點B 關於點A の對稱點為C ，則點C 表示の數是（ ）A 1B ．1C ．2D 2考點五、實數絕對值の應用1、考點六、實數非負性の應用 12|49|0-=，求實數a ，b の值。
2．已知(x-6)2，求(x-y)3-z 3の值。
考點七、實數應用題1．有一個邊長為11cm の正方形和一個長為13cm ，寬為8cm の矩形，要作一個面積為這兩個圖形の面積之和の正方形，問邊長應為多少cm 。
浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题
期末复习三 实数 要求 知识与方法了解 平方根、算术平方根、立方根的概念无理数的概念实数的概念、实数与数轴上的点一一对应理解 实数的分类用有理数估计无理数，实数的大小比较实数的运算运用用计算器进行简单的混合运算用实数的运算解决一些简单的实际问题一、必备知识：1．一个正数a 有____________个平方根，正平方根用____________表示，负平方根用____________表示.0的平方根等于____________，____________没有平方根．2．一个正数有一个____________的立方根；一个负数有一个____________的立方根；0的立方根是____________．3．____________叫做无理数．常见的无理数有三种形式：①带π的，②开不尽的方根，③不是循环规律的无限小数．4．在数轴上表示两个实数，____________的数总比____________的数大．数轴上的点与____________一一对应．二、防范点：1．区分平方根和算术平方根的概念，注意一个正数的平方根必有两个．2．不要把无限小数都认为是无理数．如227，0.31等无限小数都是有理数．平方根、算术平方根及立方根例1 (1)14的算术平方根是________，16的平方根是________，64的立方根是________．(2)下列说法中正确的是( ) A ．9的立方根是3B ．－9的平方根是－3C ．±4是64的立方根D ．4是16的算术平方根【反思】注意一个正数的平方根有两个，立方根只有一个．算术平方根的双重非负性例2 (1)已知实数x ，y 满足|x －5|＋y ＋6＝0，求(x ＋y)2017的值；(2)对于有理数x ，2017－x ＋x －2017＋1x的值是( ) A ．0 B ．2017 C .12017D ．－2017 【反思】算术平方根具有双重非负性，第一，被开方数是一个非负数，第二，算术平方根的本身也是一个非负数．无理数、实数的概念及实数的分类例3 (1)在－4，3.14，π，10，1.51，27中，无理数的个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个(2)在0，3.14，13，2π，－8，81，－0.4，－9，4.262262226…(每两个”6”之间依次多一个”2”)中，属于有理数的有 ；属于无理数的有 ；属于正实数的有 ；属于负实数的有．【反思】无理数常见形式有三种：①开不尽的方根，②带π的，③不是循环规律的无限小数．所以不要把所有无限小数都认为是无理数．用有理数估计无理数，实数的大小比较例4(1)估计11的值在()A．1与2之间B．2与3之间C．4与5之间D．3与4之间(2)10的整数部分是________，37的小数部分是________．(3)把下列实数表示在数轴上，并将它们用”<”连接起来：－1.5，－3，3，0，π【反思】在数轴上表示无理数，往往取无理数的近似值表示在数轴上即可．实数与数轴相关问题例5(1)如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是________；点B表示的数是________．(2)如图所示，数轴上表示2，5的点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是________．【反思】实数与数轴相关问题，往往是利用数轴上两点间的距离公式，并结合方程思想求解．实数的运算例6计算下列各题：(1)16－(3－27＋4)；(2)9－(－3)2＋3（－8）2－（－2）2；(3)用计算器计算3＋(－3)×(2－3)(结果精确到0.001)．【反思】实数的运算过程中，要弄清”a ”与”3a ”的区别，不要混淆．计算时往往要保留根号进行运算，到最后一步才借助计算器等取近似值．运用实数的运算解决一些简单的实际问题例7 将一个半径为10cm 的圆柱体容器里的药液，倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？(结果精确到0.1)．【反思】关于实数运算的实际问题，往往与求体积、面积相关，注意体积、面积公式不要搞错．1．已知3≈1.732，30≈5.477，那么30000≈( )A ．173.2B ．±173.2C ．547.7D ．±547.72．请写出两个无理数，使它们的和是有理数____________．3．若a ＜14＜b ，且a ，b 为连续正整数，则a 2－b 2＝____________.4．计算：(1)4－144＋||－16－5116＝____________； (2)()－22＋||2－1－(2＋1)＝____________.5．在如图所示的数轴上，点B 与点C 到点A 的距离相等，A 、B 两点对应的实数分别是1和－3，则点C 对应的实数是____________．第5题图6．计算： (1)9－169＋|－4|－614；(2)（－3）2＋|3－1|－(3＋1)．7．当运动中的汽车撞击到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用”撞击影响”来衡量．某种型号的汽车的撞击影响可以用公式I ＝2v 2来表示，其中v(千米/分)表示汽车撞击时的行驶速度．假设这种型号的汽车在一次撞车实验中测得撞击影响为17，试求出撞击时该车的行驶速度(精确到1千米/分)．参考答案期末复习三 实数【必备知识与防范点】1．正、负两a －a 0 负数 2.正 负 0 3.无限不循环小数 4.右边 左边实数【例题精析】例1 (1)12±2 2 (2)D 例2 (1)－1 (2)C 例3 (1)A (2)有理数有：0，3.14，13，81，－0.4，－9；无理数有：2π，－8，4.262262226…(每两个“6”之间依次多一个“2”)；正实数有：3.14，13，2π，81，4.262262226…(每两个“6”之间依次多一个“2”)；负实数有：－8，－0.4，－9.例4 (1)D (2)3 37－6 (3)画图略 －3<－1.5<0<3<π 例5 (1)2－2 2＋2 (2)4－ 5例6 (1)3 (2)2 (3)2.686例7 17.7cm【校内练习】1．A 2．答案不唯一，如：－π，π 3．－7 4．(1)－814(2)0 5．2＋ 3 6．(1)原式＝3－13＋2－52＝－1012. (2)原式＝3＋3－1－3－1＝1. 7．根据I ＝2v 2，I ＝17，∴v 2＝I 2＝172，∴v ＝172≈3千米/分． 答：撞击时该车的行驶速度约为3千米/分．。
(完整)浙教版初一上册数学实数全章复习与巩固(基础)知识点梳理及重点题型分析汇编,推荐文档
-1 a
0
【答案】 1 a a2 a ； a
类型三、实数综合应用
6、现有一面积为 150 平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加 6 米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留 4 个有效数字）？
【答案与解析】 解：因为原正方形鱼池的面积为 150 平方米，根据面积公式，
它的边长为 150 12.247 （米）．
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4.实数的运算：
数 a 的相反数是－ a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相
反数；0 的绝对值是 0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、
开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
类型二、与实数有关的问题
3、把下列各数填入相应的集合：
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－1、
3 、π、－3.14、
9、
6
2 、
2 2
、
0.7
．
（1）有理数集合｛
｝；
（2）无理数集合｛
｝；
（3）正实数集合｛
｝；
（4）负实数集合｛
｝．
【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.
解：（1） 3 216 3 1000 ( 2)2 ＝ 6 10 2 16 2
3
33
3
（2）
26 1
27
(1 5)2 ＝ 3 1
4
27
1 4
2
1 3
1 4
1 12
（3）
(1)2 3
专题03 实数(考点串讲,5大考点 10大题型)七年级数学上学期期中考点(浙教版2024)
1 =3
3；
11
+
−
1+
+ 111222+
+222222 =
=1 +
+11
1−
−222 =
= 1 222 =
=222；
；
1
1
1
1 + 1
1 =11+
1−1
1 =11 1
1=7
7；
11
+
1+
+ 22222+
+33222 =
=1 +
+ 22−
−33=
= 1 66 =
=66；
；
2
1
3
1
6
6
1
A． 3
B．− 3
C． 3或− 3
D．2 3
【变式 7-1】如图所示，若数轴上的点 A，B，C，D 分别表示数−2，1，2，3，则表示 4 − 3
的点 P 应在（C ）
A．线段
上
B．线段
上
C．线段
上
D．线段
上
题型剖析
题型八：无理数的大小估计
【例 8】若 = 27 − 3，则 的取值范围是（ B）
A．1 <
(2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是
55，请写出这个等式；
(2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55，请写出这个等式；
55，请写出这个等式；
(2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是
(3)根据以上规律，写出第
个等式．
（用含有
的式子表示，n
为整数，且
实数(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(浙教版)(解析版)
实数（5种题型）【知识梳理】一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点的关系我们尝试用数轴上的一个点来表示2．由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD ，它的边长为2．观察正方形ABCD ，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．这样，就在数轴上确定一个点来表示2．要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。
3.两个实数比较大小①负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。
②数轴上，如果点A,点B 所对应的数分别为a ，b ，那么A,B 两点的距离4.估算：怎样估算无理数20 (①误差小于1)？(②误差小于0.1)？ 误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1. 估算无理数的方法是：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。
如精确到1m 是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m ，答案在真正值左右1m 都符合题意，答案不惟一。
在本章中误差小于1m 就是估算到个位，误差小于10m 就是估算到十位。
专题03《实数》(解析版)-期末挑重点之2020-2021学年上学期七年级数学(浙教版)
专题03《实数》思维导图考点1：平方根和立方根考点2：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点知识（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数（2）任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.考点1：算术平方根【例1】（2015•日照）4的算术平方根是（）A．√2B．±2 C．2 D．±√2【解答】解：4的算术平方根是2．故选：C．考点2：非负数的性质：算术平方根【例2】（2015•呼伦贝尔）若|3﹣a|+√2+b=0，则a+b的值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：由题意得，3﹣a＝0，2+b＝0，2a≥0a≥解得，a＝3，b＝﹣2，a+b＝1，故选：B．考点3：立方根【例3】（2019•陕西）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：﹣8的立方根为﹣2，故选：B【例4】（2016•德阳）若实数x，y满足（2x+3）2+|9﹣4y|＝0，则xy的立方根为．【解答】解：∵（2x+3）2+|9﹣4y|＝0，∴2x+3＝0，解得x=−32，9﹣4y＝0，解得y=94，xy=−32×94=−278，∴xy的立方根为−32．故答案为：−32．考点4：实数与数轴【例5】（2015•枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c【解答】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，∴A、ac＜bc，故A选项错误；B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|＝b﹣a，故B选项错误；C、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确． 故选：D ．考点5：估算无理数的大小【例6】（2016•毕节市）估计√6+1的值在（ ） A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间【解答】解：∵2=√4＜√6＜√9=3， ∴3＜√6+1＜4， 故选：B ．【例7】（2012•常德）规定用符号[m ]表示一个实数m 的整数部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3．按此规定[√10+1]的值为 ． 【解答】解：∵3＜√10＜4， ∴3+1＜√10+1＜4+1， ∴4＜√10+1＜5， ∴[√10+1]＝4， 故答案为：4． 考点6：实数的运算【例8】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|√2−1|−√273． 【解答】解：原式＝4+√2−1﹣3=√2．【例9】（2016•宁夏）化简求值：（a a+2+1a 2−4）÷a−1a+2+1a−2，其中a ＝2+√2． 【解答】解：原式＝[a(a−2)(a+2)(a−2)+1(a+2)(a−2)]•a+2a−1+1a−2=(a−1)2(a+2)(a−2)•a+2a−1+1a−2=a−1+1a−2=aa−2，当a ＝2+√2时，原式=√2+1． 考点7：实数的运算【例10】（2018•益阳）计算：|﹣5|−√273+（﹣2）2+4÷（−23）． 【解答】解：原式＝5﹣3+4﹣6＝0本章节注意以下几点：了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 能用有理数估计一个无理数的大致范围.一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．（3分）（2020227，13-，0.301，π，0.301300130001(3⋯与1之间依次增加一个0)中，无理数的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．62=，227，13-，0.301都是有理数，而π0.301300130001(3⋯与1之间依次增加一个0)都是无限不循环小数，因此是无理数， 所以无理数的个数有3个， 故选：A ．2．（3分）（2020秋•荥阳市期中）下列说法正确的是( ) A ．7的算术平方根是49B ．平方根等于它本身的数是1和0C ．有理数与无理数的乘积一定是无理数D ．若0ab >，则点(,)a b 在第一象限或第三象限【解答】解：A 、7B 、平方根等于它本身的数是0，不符合题意；C 、有理数与无理数的乘积不一定是无理数，不符合题意；D 、若0ab >，即a 与b 同号，则点(,)a b 在第一象限或第三象限，符合题意．故选：D ．3．（3分）（2020( )AB．面积为10CD【解答】解：AB、面积为10C、D故选：A．4．（3分）（2020秋•东港市期中）满足x<x有() A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：122<<，∴-<<-，21又132<<，x<，-，0，1，∴整数x为1故选：C．5．（3分）（2020秋•镇平县期中）比较大小错误的是()A<B21<C6>-D．【解答】解：57<，∴A不符合题意；5356<，∴<<，728<，98210819∴<<，∴21<，因此选项B不符合题意；4235<<，11712∴<+<，5.56∴<<，6 5.5∴-<<-，因此选项C符合题意；3218=，，∴>D不符合题意；故选：C．6．（3分）（2020春•老城区校级月考）在下列结论中，正确的是()A54=±B．2x的算术平方根是xC．2x-一定没有平方根D的平方根是【解答】解：54=，故错误；B．2x的算术平方根是||x，故错误；C．2x-，当0x=时，平方根为0，故错误；的平方根为，正确．故选：D．7．（3分）（2019秋•武进区期中）实数m、n在数轴上的位置如图所示，化简||n m m--的结果为()A．2n m-B．2n m--C．n D．n-【解答】解：由实数m、n在数轴上的位置可知，0n m-<，所以||n m m m n m n--=--=-，故选：D．8．（3分）（2019秋•亭湖区校级期中）下列说法正确的是()A ．实数与数轴上的点一一对应B ．无理数与数轴上的点一一对应C ．整数与数轴上的点一一对应D ．有理数与数轴上的点一一对应【解答】解：数轴不仅表示有理数，也可以表示无理数，例如：如图，矩形OABC ，1OA =，2OC =，则OB =，以O 为圆心，OB 为半径画弧交数轴于点D ，则点D ， 同理，可以在数轴上表示其它的无理数， 因此数轴上的点与实数一一对应，故选：A ．9．（3分）（2019秋•南岸区校级期中）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，那么||a b +( )A ．2a b +B ．bC ．2a b -D ．3b【解答】解：实数a ，b 在数轴上对应的点的位置可知：0a >，0b <，且||||a b >， 因此，0b a -<，0a b +>，||2a b a b a b b a b +=-++-=-， 故选：C ．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）10．（2分）（20202(2)0y +=，那么xy 的值为 6- ． 【解答】解：由题意得，30x -=，20y +=， 解得3x =，2y =-， 所以，3(2)6xy =⨯-=-． 故答案为：6-．11．（2分）（2020秋•宛城区校级期中）方程381250x +=的根是 52- ．【解答】解：381250x +=， 38125x =-，31258x =-， 52x =-；故答案为：52-．12．（2分）（2020秋•姑苏区期中）若31x +的平方根为2±，41y -的立方根为3，则2y x -的值为 5 ． 【解答】解：31x +的平方根为2±，41y -的立方根为3，314x ∴+=，4127y -=， 1x ∴=，7y =，2725y x ∴-=-=，故答案为：5．13．（2分）（2020秋•鼓楼区期中）已知实数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e fe f -= 4 【解答】解：实数a 、b 互为相反数，0a b ∴+=，c 、d 互为倒数，1cd ∴=，3134<<，∴3，3e =，253<<，∴2，即2f ，∴32)01324e f -=-=-+-=故答案为：4．14．（2分）（2020•建湖县模拟）已知，实数x 满足2220202021x =+，的值等于 4041 ．【解答】解：22212(20202021)1x -=+-222[2020(20201)]1=++-222(20202020220201)1=++⨯+-242020420201=⨯+⨯+2(220201)=⨯+24041=∴4041=故答案为：4041．15．（2分）（2018秋•金牛区校级月考）若a 、b 均为整数，当1x =时，代数式2x ax b ++的值为0，则b a 的算术平方根为 14．【解答】解：当1x =时，代数式2x ax b ++的值为0，21)1)0a b ∴++=，60a b --+=， a 、b 均为整数，60a b ∴-+=，0-=，2a ∴=，4b =-，41216b a -∴==，∴则b a 14=， 故答案为：14． 16．（2分）（2016秋•龙泉驿区期末）在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x y 时，x ★2y x =；x y >时，x ★y y =．则当3z =-时，代数式(2-★)(4z z --★)z 的值为 7- ．【解答】解：根据题中的新定义得：当3z =-时，原式(2)=-★(3)(3)(4)-⨯---★(3)9167-=-=-， 故答案为：7-17．（2分）①点M 个单位，则点M 表示的实数为②数轴上到的点所表示的数是 ．【解答】解：①点M 个单位，∴点M 表示的实数为；②数轴上到分别是0或-三．解答题（共10小题，满分58分）18．（4分）（2020秋•亭湖区校级期中）求下列各式中x 的值：（1）2250x -=；（2）34(1)320x +-=．【解答】解：（1）2250x -=，225x ∴=， 5x ∴=±；（2）34(1)320x +-=，34(1)32x ∴+=，3(1)8x ∴+=，12x ∴+=，1x ∴=．19．（4分）（2020秋•沙河口区期中）a 、b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．（1）a b + > 0，ab 0；（请用“<”、“ >”填空）（2）用“<”将a 、a -、b 、b -连接起来 ；（3）求|1|2||3|2|a a b b a ++---+的值．【解答】解：（1）根据有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置可知，0a <，0b >，且||||a b <， 0a b ∴+>，0ab <；（2）0a <，0b >，且||||a b <，b a a b ∴-<<-<，（3）0a <，0b >，且||||a b <，10a ∴+>，0a b -<，20b a -+<，|1|2||3|2|12263327a a b b a a a b b a a b ∴++---+=+-++-+=-+；故答案为：（1）>；<；（2）b a a b -<<-<．20．（4分）（2020秋•吴江区期中）（1）若实数m 、n 满足等式|2|0m -=，求23m n +的平方根；（2）已知8y =【解答】解：（1）|2|0m -，|2|0m -40，20m ∴-=，40n -=，解得2m =，4n =，2341216m n ∴+=+=，23m n ∴+的平方根为4±；（2）8y x =-，∴240240x x -⎧⎨-⎩， 24x ∴=，8y =-，∴4==．21．（6分）（2020秋•杭州期中）请回答下列问题；（1a 和b 之间，且a b <，那么a = 4 ，b = ；（2）x 2的小数部分，y 1的整数部分，求x = ，y = ；（3）求)y x -的平方根．【解答】解：（1）45∴<<，4a ∴=，5b =，故答案为：4，5；（2）61727<<，314<<，又x 2的小数部分，y 1的整数部分，264x ∴-=，3y =，4，3；（3）174x =，3y =，3)464y x ∴==，)y x ∴-的平方根为8±．22．（6分）（2020秋•成华区期中）已知：31a +的立方根是2-，21b -的算术平方根是3，c 部分．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求922a b c -+的平方根． 【解答】解：（1）31a +的立方根是2-，318a ∴+=-，解得，3a =-，21b -的算术平方根是3，219b ∴-=， 解得，5b =，67∴<，∴6，即，6c =，因此，3a =-，5b =，6c =，（2）当3a =-，5b =，6c =时，9926561622a b c -+=--+⨯=， 922a b c -+的平方根为4=±．23．（6分）（2020秋•成都期中）在数轴上点A 表示a ，点B 表示b ．且a ，b |0b =．（1）x 表示a b +的整数部分，y 表示a b +的小数部分，则x = 11 ，y = ；（2）若点A 与点C 之间的距离表示AC ，点B 与点C 之间的距离表示BC ，请在数轴上找一点C ，使得2AC BC =，求点C 在数轴上表示的数．【解答】解：（1）|0b =，10a ∴=，b =10a b ∴+=132<<，11010210∴+<+，即，111012<，a b ∴+的整数部分为11，即，11x =，a b +的小数部分为10111=，即，1y =，故答案为：111；（2）设点C 在数轴所表示的额数为c ，①当点C 在AB 的延长线上时，BC c ，10AC c =-， 2AC BC =，10)c c ∴-=，10c ∴=，②当点C 在AB 之间时，BC c =10AC c =-， 2AC BC =，102(c c ∴-=-，c ∴=③当点C 在BA 的延长线上时，BC c =10AC c =-，此时，AC 不可能等于2BC ，因此这种情况不存在，综上所述，点C 所表示的数为10． 24．（5分）（2020秋•北仑区期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）（1）折叠纸面，使表示的点1与1-重合，则2-表示的点与 2 表示的点重合；（2）折叠纸面，使1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数 表示的点重合；表示的点与数 表示的点重合；③若数轴上A 、B 两点之间距离为9(A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，此时点A 表示的数是 、点B 表示的数是（3）已知在数轴上点A 表示的数是a ，点A 移动4个单位，此时点A 表示的数和a 是互为相反数，求a 的值．【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与1-重合，折叠点对应的数为1102-+=，设2-表示的点所对应点表示的数为x ，于是有202x -+=，解得2x =， 故答案为2；（2）折叠纸面，使表示的点1-与3重合，折叠点对应的数为1312-+=， ①设5表示的点所对应点表示的数为y ，于是有512y +=，解得3y =-，z 1=，解得2z = ③设点A 所表示的数为a ，点B 表示的数为b ，由题意得：12a b +=且9b a -=，解得： 3.5a =-， 5.5b =，故答案为：3-，2 3.5-，5.5；（3）①A 往左移4个单位：(4)0a a -+=．解得：2a =．②A 往右移4个单位：(4)0a a ++=，解得：2a =-．答：a 的值为2或2-．25．（7分）（2019秋•洛宁县期末）已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的平方根是4±，c 数部分，求2a b c +-的平方根．【解答】解：由题意得：2193116a a b -=⎧⎨+-=⎩， 5a ∴=，2b =．91316<<，34∴<．3c ∴=．26a b c ∴+-=．2a b c ∴+-的平方根是26．（8分）（2019秋•奉化区期末）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“<”连接： 1.5-，22-，(4)--，0，|3|--．【解答】解： 1.5-，224-=-，(4)4--=，0，|3|3--=-3，则22|3| 1.50(4)-<--<-<<--．27．（8分）（2019秋•路北区期末）如图1，已知在数轴上有A 、B 两点，点A 表示的数是6-，点B 表示的数是9．点P 在数轴上从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q 在数轴上从点B 出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点Q 到达点A 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒．（1）AB = 15 ；1t =时，点Q 表示的数是 ；当t = 时，P 、Q 两点相遇；（2）如图2，若点M 为线段AP 的中点，点N 为线段BP 中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长；（3）如图3，若点M 为线段AP 的中点，点T 为线段BQ 中点，则点M 表示的数为 ；点T 表示的数为 ；MT = ．（用含t 的代数式填空）【解答】解：（1）9(6)15AB =--=，1t =时，3BQ =，6OQ =，设t 秒后相遇，由题意(23)15t +=，3t =， 故答案为15，6，3（2）答：MN 长度不变，理由如下： M 为AP 中点，N 为BP 中点12MP AP ∴=，12NP BP =， 11()7.522MN MP NP AP BP AB ∴=+=+==． （3）则点M 表示的数为6t -；点T 表示的数为392t -；5152MT t =-； 故答案为6t -，392t -，5152t -；。
【优质课件】初中浙教版数学七年级上册第三章实数复习优秀课件.ppt
作业：作业本总复习题。
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
4、若某数的一个平方根是
- 3 ，则这个数是 2
9 4
；
5、若某数的一个立方根是4，则这个
数的平方根是 ±8 ；
6、(-4)2的算术平方根是 4 ；
7、 4 的平方根是 2 ；
8、 81 的平方根是 ±3 ；
9、-64的立方根是 －4 ；
10、(1) 若 x2 = 5 ,则 x =±5 ; (2) 当 x = 4 ,且 y =－ 4 时 ，
a 0 a 0
(a 0)
2
a
a
3 a3 a
3 a 3 a
有限小数及无限循环小数
正整数
整数
0
有理数
分数
负整数 正分数
实 数
负分数
正无理数
无理数
负无理数
自然数
无限不循环小数
(1)
，2 ，2 ；
2
一般有三种情况 2、“ ”，“3 ”开不尽的数
(3)、 类似于0.0100100010 0001
环小数，因此， 2 的小数部分我们不可能全部
写出来，于是小明用 2 1来表示 2 的小数 部分，你同意小明的方法吗？事实上，小明的 表示方法是有道理的，因为 2的整数部分是1， 将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。 请解答：
已知10 3 x y，其中x是整数，且0 y 1, 求x y的相反数.
（2）立方根表示与性质 3 a
（3）什么叫做开立方运算？
求一个数的立方根的运算
区别
算术平方根
平方根
立方根
表示方法 a ≠ a
新浙教版七年级数学上册 第3章 实数 全章热门考点整合
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【点拨】注意一个正数的平方根有两个，且它们互为相反 数.一个正数的算术平方根一定是正数.
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2．(1)－125的立方根是___－__5___； (2)－0.027的立方根是__－__0_.3___； (3)1是___1_____的立方根； (4)6是___2_1_6___的立方根．
7 见习题 8 见习题 9B 10 B 11 见习题
12 见习题 13 见习题 14 B 15 B 16 见习题
答案显示
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1．分别求出下列各数的平方根和算术平方根： (1)0.022 5； 解：因为（±0.15)2＝0.022 5，所以 0.022 5 的平方根是±0.15， 即± 0.022 5＝±0.15； 0.022 5 的算术平方根是 0.15，即 0.022 5＝0.15.
Байду номын сангаас
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【点拨】52是分数，所以是有理数；π3是 π 型的无理数； 2是 开方开不尽的数，所以是无理数；－ 116＝－14，是分数， 所以是有理数；3.14 是有限小数，所以是有理数；0 是整数，
也是有理数； 2－1 是无理数与有理数的差的形式，所以是
3
无理数； －9是开方开不尽的数，所以是无理数；| 4－1| ＝|2－1|＝1，所以是整数，也是有理数.
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6．已知 a－2＋(b＋5)2＋|c＋1|＝0，那么 a－b－c 的值
为___8_____．
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7．已知一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，求这个正 数的立方根． 解：因为一个正数的两个平方根分别是 x＋3 和 x－1， 所以 x＋3＋x－1＝0，解得 x＝－1. 所以这个正数是（x＋3)2＝4.
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新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题注意掌握以下公式：① 2a⎧=⎨⎩② 33a a =-将考点与相关习题联系起来考点一、关于“……说法正确的是……”的题型 1、下列说法正确的是（ ）A ．有理数只是有限小数B ．无理数是无限小数C ．无限小数是无理数D ．4π是分数 2、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17是17的平方根。
其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3、下列结论中正确的是 （ ）A ．数轴上任一点都表示唯一的有理数B ．数轴上任一点都表示唯一的无理数 C. 两个无理数之和一定是无理数 D. 数轴上任意两点之间还有无数个点 考点二、有关概念的识别1、下面几个数：.0.34，1.010********.064-3π，2275 ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、下列说法中正确的是（ ） A.813 B. 1的立方根是±1 C. 1=±1 D. 55的平方根的相反数3、一个自然数的算术平方根为a ，则与之相邻的前一个自然数是 考点三、计算类型题126，则下列结论正确的是（ ）A.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5C.5.5<a<6.0D.6.0<a<6.5 4、对于有理数x 120132013x x x--的值是 322(39)(310)ππ-- 4、4(x-1)2=9考点四、数形结合1. 点A 在数轴上表示的数为35，点B 在数轴上表示的数为5A ，B 两点的距离为______2、如图，数轴上表示12的对应点分别为A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是（ ） A 2－1 B ．12 C ．22 D 2－2考点五、实数绝对值的应用1、32232+23考点六、实数非负性的应用123|49|7a baa--=+，求实数a，b的值。
2．已知(x-6)22(26)x y-，求(x-y)3-z3的值。
考点七、实数应用题1．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
2、如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液。
当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm（如图）。
求：（1）瓶内溶液的体积为（2）圆柱开杯子的内底面半径引申提高大家都知道整数和分数统称为有理数，但有人对循环小数也是有理数数，感到不可理解，认为它应属于无理数的范畴。
为了让他们理解清楚，小明就思考着能否将循环小数化成分数？下面这几个循环小数，你能帮小明把它变为分数吗？（1）0.23 （2）1.123巩 固 练 习一、选择题1、立方根为8的数是 ···················································································· （ ） A 、512 B 、64 C 、2 D 、±22、已知正数m 满足条件m 2＝39，则m 的整数部分为 ·········································· （ ） A 、9 B 、8 C 、7 D 、63、下列说法错误的是 ···················································································· （ ） A 、实数与数轴上的点一一对应B 、无限小数未必是无理数，但无理数一定是无限小数C 、分数总是可以化成小数，但小数未必能转化为分数D 、有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数 4、下列各式正确的是 ···················································································· （ ）A 、16＝±4B 、364＝4C 、－9＝－3D 、16 19＝4135、一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是 ············································ （ ） A 、1 B 、0 C 、1或0 D 、1或0或－16、已知x ＋10＋y －13＝0，则x ＋y 的值是 ···················································· （ ） A 、13 B 、3 C 、－3 D 、237、两个连续自然数，前一个数的算术平方根是x ，则后一个数的算术平方根是 ········· （ ）A 、x ＋1B 、x 2＋1C 、x ＋1D 、x 2＋18、下列四个数中，比0小的数是····································································· （ ）A 、23B 、 2C 、πD 、－19、若3x ＋3y ＝0，则x 与y 的关系是 ······························································· （ ）A 、x ＝y ＝0B 、x 与y 的值相等C 、x 与y 互为倒数D 、 x 与y 互为相反数10、如果323.7＝2.872，323700＝28.72，则30.0237＝ ········································ （ ） A 、0.2872 B 、28.72 C 、2.872D 、0.02872二、填空题（每空2分，共30分）11、7表示 的算术平方根；127的立方根为 ；±25＝ ，3－8＝12、在5与26之间，整数个数是 个；13、在数轴上一个点到原点距离为22，则这个数为 ； 14、如果x 的平方根是±4，那么x ＝ ，364的平方根是 ； 15、已知a ＝－5，则a 2＝ ； 16、观察下列各式：32－12＝2×4 ，42－12＝3×5 ，52－12＝4×6 ，……，则102－12＝ ；17、如果x 2＝9，则x ＝ ，x 3＝－8，则x ＝19、已知25x2-144=0，且x是正数，求代数式2513x+的值20、若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______.21、用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为1.728m3，则需要面积为m2的铁皮22、已知按一定规律排列的一组数：1231920。