线性代数第三章第二节n维向量组的线性相关性

2显然存在不 a1,a2,全 ,an和 为 1使 零得 的 a 11 a 22 a nn ( 1 ) 0 因此 1,2,,n,线性相关。
例2 讨论下列向量 关组 性线性相
（ 1） 1 1， 2， 0，2 2,1,1 （ 2） 1 1， 1， 1，2 2,1,1,3 1,4, p
其 中 p为 实 数 。
（ 2） 对 任 意 的 n维 向 量 a1,a2,L,an， 向 量 组 1,2,L,n,线 性 相 关 。
证 1 设c 1 有 ,c 2 , ,c n 数 使得
c 11 c22 cnn 0
由向量的数乘与加法运算性质有
c 1 ,c 2 , ,c n 0 ,0 , ,0
于 是 c 1 c 2 L c n 0 , 因 此 1 ,2 , L ,n 线 性 无 关 。
因向量 1,组 2,3线性无关，故有
x1 x3 0
x1 x2 0
x2 x3 0
由于系数行列式
101 1 1 0 20 011
因此齐 * 只 次 有 x 1方 x 2 零 x 程 3 解 0 ,所 组以
向量 1 , 2 , 3 组 线性无关。
注意
1.如果 一个向 量 一组 个只 零， 包 向则 含 量该 向量组是线性相关。
分 组 (即 由 该 向 量 组 向的 量一 所部 组分 成 )线的 性 相 关 ， 则 该 线向 性量 相组 关也 。
定2理 .2'若 n维向量 1,2, 组 ,mm2线性
关，则其任 线意 性部 无分 关组 。也
定 理 2.3 若n维 向 量 1,组 2,,m线 性 无 关 而 向 量 1,组 2,,m,线 性 相 关 能 ，由 则 1,2,,m唯 一 地 线 性 表 示 。
1 k k 1 2 2 k k 1 3 3 k k m 1 m .
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
定 理 2.1' 向 量组 1,2,,mm2线 性 无 关
的充要条件是这 组个 中向 的量 任何向量都 由其m 余1个向量线性表示。
定 理 2.2若n维 向 量 1,组 2,,mm2有 一 个
例 3设 向量 1,2,组 3线 性 无 1关 1， 2,
223,331,试 证 向 1,量 2,3组
线性无关。
证设有 x1,x 数 2,x3使得
源自文库
即
x 11x2 2x3 30
x 1 1 2 x 2 2 3 x 3 3 1 0
x 1 x 3 1 x 1 x 2 2 x 2 x 3 3 0
第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相 一关 个性 最是 难掌握 内容，需下苦功 。夫学好
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的 称向 为量 向量组。
定义2.1 给定向A量 :1,组 2,,m,如果存在
全 为 零c1的 ,c2,数 ,cm使
c11c22cmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
线性方程组的向量表示
a x a x a x b a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b m1
1
m2
2
mn n
m
1x 1 2x 2 nx n b
Axb
未知数
x 1 1x 22 x n nb 系数
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
一 个 含 有 有 限 个 向向 量量 组的 ， 总 可 以 是 由 一 个 矩 阵 的 向全 量体 所行 构 成 。
mn矩阵 A有m个n维行向量，n同 个时 m维列向量
a1j
j
a2 j
amj
j 1,2, ,n
从而A可记为
1
A
2 m
或 A1,2, ,n
总之，一个含有有向限量个的向量组可构个成 矩阵。反之，一个可矩以阵看成是有限个量行所向 构成所构成的向量也组可，以看成是有限向个量列 所构成所构成的向。量矩组阵与向量组在上形能式 够相互转,因 化此可用矩阵讨论组向的量有关问题。
注意 i是 ： 列 (i向 1,2,,量 n)!
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
因 1 ,2 , ,m 1 , 1 这 m个数不全为0，
故 1,2,,m 线性相关.
必要性 设 1,2,,m线性相关，
则有不全为0的数 k1,k2,,km,使
k 11 k 22 k m m 0 .
因 k1,k2,,km中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
注意 1.若1,2,,m线性无 ,则 关只有当
c1 c2 cm0时,才 有
c11c22cmm0成 立 .
2.对于任一向 ,不量 是组 性 线无关就是线. 性
称 n 维向量组
1 1，0， ，0 2 0,1 ， ，0
n 0，0， ，1
为 n 维单位向量组
例 1 试 证: （ 1）n维 单 位 向 量 组 线 性 无 关
向量组与矩阵
n 维 行 i a 向 i1 ,a i2 , 量 ,a in ， (i 组 1 ,2 , ,m )可 ,
构成一个矩阵
a a a a
11
12
1j
1n
1
a a a a A
21
a a a a m1
22
m2
2j
mj
m 2nn m 2
A称 为 n维 由行 向 1,量 2,组 ,m所 构 成 的, 矩 i称阵 为A 矩 的阵 i第 个 行 向 量
相关性判定定理
定理 2.1 向量组 1,2,,mm2线性相关
的充要条件是这 组个 中向 至量 少有一个向 由其m 余1个向量线性表示。
证明 充分性
设 a1,a2,,am中有一个向量（比如 a m ）
能由其余向量线性表示. 即有
a m 1 1 22 m 1 m 1
故
2.如果一个向量 一组 个只 非包 零 ，含 向 则 该向量组是线性无关。
3.如 果 一 个 向 量 个组 零包 向 ，含 量 则一 该 量组是线性相关。
4.对于含有两个向量的 组,它向线性相关的 充要条件是两向量的 对分 应成比例，几 义何 是两向量共线；三 量个 相向 关的几何意义 向是 量共面 .