韦达定理的应用

韦达定理及其应用

【趣题引路】

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？

已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求(

221

ab b

a

++

)2004的值。

解析由①知1+21

a

-

2

1

a

=0,

即(1

a

)2-2·

1

a

-1 =0,③

由②知(b2)2-2b2-1=0,④

∴1

a

,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根.

由韦达定理,得1

a

+b2=2,

1

a

·b2=-1.

∴

221

ab b

a

++

=[(

1

a

+b2)+

2

b

a

]2004=(2-1)2004=1.

点评

本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,•难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.

一、

知识要点

1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a

b x x -

=+21， a c x x =

∙21，；补充公式a

x x ∆=-21 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙+++x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()212

2

x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭

⎫

⎝

⎛

++

=++ 【知识延伸】

例1 已知关于x 的二次方程2x 2+ax -2a+1=0的两个实根的平方和为71

4

,求a 的值. 解析 设方程的两实根为x 1,x 2,根据韦达定理,有

1212

,221.2

a x x a x x ⎧

+=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩

于是,x 22

12

x x +=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2 =(-2a )2-2·21

2

a -+ =

1

4

（a 2+8a -4） 依题设,得14(a 2+8a -4)=71

4

.

解得a=-11或3.

注意到x 1,x 2•为方程的两个实数根, 则△≥0,但a=-11时,△=(-11)2+16×(-11)-8=-63<0; a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=49>0, 故a=3. 点评

韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a 的值后,没有考虑a 的值满足△≥0这一前提条件.

例2 已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0,求:(1)m 为何值时,•方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m 为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m 为何值时,•方程的两个根一个

大于1,另一个小于1.

解析 (1)据题意知,m 应当满足条件

21244(2)0,20.

m m x x m ⎧∆=-+>⎨=+<⎩

即 (1)(1)0,

2.

m m m -+>⎧⎨

<-⎩

由①,得m>2或m<-1, ∴m<-2.

(2)m 应当满足的条件是

2121244(2)0,20,20.m m x x m x x m ⎧∆=-+≥⎪

+=->⎨⎪=+>⎩

即21,0,2.m m m m ≥≤-⎧⎪

<⎨⎪>-⎩

或

∴-2

(3)m 应当满足的条件是21244(2)0,

(1)(1)0.

m m x x ⎧∆=-+>⎨--<⎩

即21,

2(2)10.m m m m ><-⎧⎨

+--+<⎩

或

∴21,

1.

m m m ><-⎧⎨

<-⎩或

∴m<-1. 点评

若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解.

【好题妙解】

佳题新题品味

例 已知△ABC 的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b 为正整数,若a 2+b 2+c 2=84,求b 的值

.