抽象函数问题的解题策略 (2)

抽象函数问题的解题策略

一、利用特殊模型

有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,

但解答题的解答书写过程一般不能用此法.

例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),

f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= .

解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型,

又f(-2)=f(1)≠0,

则可取x x f 3

2sin )(π=

于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y),

f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 . 解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型,

又 f(-3)=8, 32sin )1()1()32sin()34sin(πππ---=-⇒g g

.1)1()1()1(23)1(2323-=-+⇒---=⇒g g g g 2561

1

则可取

∵f(x)f(x-2)< ∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)2

1(，

∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x>5,

∴ 不等式的解集为 {x|x>5}.

二、利用函数性质

函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路 转、化难为易.

1. 利用单调性

例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.

解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,

∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),

由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),

∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 2561

x>0, x-8>0, x(x-8)≤9, ⇒ 8

∴ 不等式解集为 {x|8

2. 利用奇偶性

例4 已知函数f(x)=ax 5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.

分析 f(x)的解析式含有两个参数a 、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a 、b 的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax 5

+bsinx 是奇函数,有g(-3)=-g(3).

解 设g(x)=ax 5+bsinx,显然g(x)是奇函数,

∵ f(-3)=7, ∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7 g(3)=-4,

∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.

3. 利用周期性

例5 设函数f(x)在R 上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0

解 由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,

于是 f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

例6 已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=

)

(1)(1x f x f -+,则 f(2007)= . )(11x f ++⇒

解 ∵

∴ f(x)是以4为周期的周期函数,

4. 利用对称性 例7 已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x ≠0},又f(x)在区间

（0,+∞）上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 的取值区间

是 .

解 依已知条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x 的取值区间是（-1,0）∪（1,+∞）.

例8 定义在（-

在（-∞,2）上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(6)的大小关系为 . 解 设F(x)=f(x+2),

∵ F(x)为偶函数, ),()2(1)4(x f x f x f =+-=+从而

图1

.21)1(1)3()2007(-=-==∴f f f

∴ F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x),

∴ 函数f(x)的图象关于直线x=2对称,

∴ f(-1)=f(5),

∵ f(x)在（-∞,2）上是增函数,

∴ f(x)在（2,+∞）上是减函数,

∴ f(6)

三、利用特殊方法

有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果.

1. 利用赋值法

例9 函数f(x)的定义域为R,对任意x 、y ∈R,都有f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)f(y),且f(0)≠0.

（1）求证:f(0)=1;

（2）求证:f(x)是偶函数;

（3） ① 求证:对任意x ∈R,有f(x+c)=

-f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数.

解 （1）令x=y=0,则有2f(0)=2f 2(0),

∵ f(0)≠0,

.0)2()0(=≠c f ，c c 使若存在常数