麦克斯韦速率分布函数
§2[1].3麦克斯韦速率分布
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∫ vdN = v=
∞
2.方均根速率: v2 方均根速率: 方均根速率
v =
2
v2dN ∫ N
=
2
v2 Nf (v)dv ∫ N
= ∫ v2 f (v)dv =
0
∞
3kT 3RT = m µ
3kT 3RT RT v = = ≈1.73 . m µ µ
3.三种速率之比: v p : v : v 2 = 1 : 1.128 : 1.224 三种速率之比: 三种速率之比 它们三者之间相差不超过 23%,而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大 右图表示了麦克斯韦速率分布 中的三种速率的相对大小. 中的三种速率的相对大小. 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 证明中曾用到近似条件 v ≅ v 2
三.用麦克斯韦速率分布律求平均值
1.平均速率: 平均速率: 平均速率 (1)定义:大量分子速率的算术平均值. 定义:大量分子速率的算术平均值. 定义
(2)计算:* 计算:* 计算
由平均速率定义: 由平均速率定义:
∑ v ∆N v =
i
i
N
得:
∞ vNf (v)dv ∫0 N = ∫0 vf (v)dv N 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 8kT R 8RT RT v= ∵k = ∴v = ≈1.60 . πm NA πµ µ
l A S S ω B
φ P C
由于分子的速度大小不同,分子自 由于分子的速度大小不同,分子自B 到C 所需的时 间也不同,所以并非所有通过B 盘的分子,都能通过C 间也不同,所以并非所有通过 盘的分子,都能通过 盘狭缝射到P上 设分子的速率为v 盘狭缝射到 上.设分子的速率为 ,自B 到C 所需的时 间为 t ,
5麦克斯韦速率分布
2.平均速率
v
气体分子在各种速率的都有，那么 平均速率是多大呢？ 假设：速度为v1的分子有 N1 个， 速度为v2的分子有N 2 个， 平均速率为： v N1v1 N 2v2 N nvn N n
i 1
N i v i
N
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
N 解得：a 8v 0
a ( v 5 v 0 )dv N v0 NF ( v )
M
• 2）速率分布在2v03v0 间隔内的分子数N
N N FM ( v )dv
2 v0 3 v0 3 v0 2 v0
a
3 3adv 3av0 N 8
v0
v
§6. 麦克斯韦速率分布律/五.例题
§6. 麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证
例4：假想的气体分子，其速率分布如图 所示。当v>5v0时分子数为零。试求 1）根据N和v0，表示常数a的值； 2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数； 3）分子的平均速率。
解：根据速率分布 曲线，速率分布可 表示为
NFM ( v )
3a 2a
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的 经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
2kT vp m
T1 T2
T2 T1
曲线的峰值右移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值降低。 o
麦克斯韦速率分布
2. 朗缪尔实验装置 v L
N
(总分子数 )
3. 实验原理
N
(v ~vv的分子数)
由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个
速率大小，而是某一个速率范围：v ~ v+∆v
令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数 ，
∆N表示速率在v ~ v+∆v 范围的分子数，
⑵ 曲线下的细窄条面积
f (v)dv dN N
表示了分子出现在v ~ v+dv 区间段的概率
⑶ 曲线下v1 ~ v2 区间的阴影面积为：
vv12
f
(v)dv
vv12 4
(
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
表示分子速率处于v1 ~ v2 区间的概率
⑷ 对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：
这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 基人，气体动理论 的创始人之一。
《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
§2.3.1 分子射线束实验
用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。 最早是德国物理 学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。 后来不断改进， 包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏 分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。
dN dv N dv
例如，取 v 10m/s
ΔN /( NΔv) o
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
7-(4-5)麦克斯韦速率分布
f (v)
T 1
T2 > T 1
T2
v
T > T2 , orT < T2 ? 1 1
vp1 = 2RT 1
vp1 vp2
2RT2
µ
vp2 =
µ
vp1 < vp2
T < T2 1
第六章 气体动理学理论 (2) 同温度下的不同种气体
f (v)
O2 , H2 ?
1
2RT
2
v
vp1 vp2
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 出现在v附近 单位速率区间内的分子数dN 附近、 出现在 附近、单位速率区间内的分子数
说出下列各式的物理意义
第六章 气体动理学理论
(4)∫ f (v)dv= ∫
v1
v2
v2
v1
∆Nv1 →v2 dN dv = Ndv N
对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率 占总分子数N的百分比 概率 概率)。 v1～v2区间内的分子数△N占总分子数 的百分比 (概率 。 占总分子数
(5)∫ Nf (v)dv = ∫
v1
v2
dN N = ∆Nv1→v2 N
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 v1～v2区间内的分子数△N。 。
一、分子速率分布函数
速率分布： 速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的 百分比为多大。 百分比为多大。
伽 耳 顿 板
第六章 气体动理学理论
大学物理04麦克斯韦速率分布律
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13
3
f v 4 m 2 emv2 2kT v2
2kT
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5
讨论：
1. f(v)~v曲线
v 0时 f (v) 0 v 时 f (v) 0
3
f v 4 m 2 emv2 2kT v2
2kT
2.在 dv 速率区间内分子出现的概率
3
f (v) dN Ndv
f (v)dv dN 4 m 2 emv2 2kT v2dv N 2kT
例如速率间隔取100m/s , 整个速率分为0—100；100—200；…等区间。
2.总分子数为N，在v v v区间内的分子数为N
在v
v
v区间内的概率为N 第1页/共13页
i
/
N
1
2.总分子数为N，在v v v区间内的分子数为N
在v v v区间内的概率为 N i / N
则可了解分子按速率分布的情况。
式：
g (v )
0
g(v)f (v)dv
利用此公式还可计算分子的方均根速率、分子的平均
平动动能等。
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11
3.方均根速率 v 2
利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利 用计算统计平均值公式：
g(v
)
0
g(v)f (v)dv
v 2 0 v 2 f (v )dv
利用广义积分公式
0
x
围内， 取v1 0, v2 ,则有 :
f (v)dv
0
N dN 1 0
N 第3页/共13页
归一化条件
麦克斯韦速率分布函数的物理意义
速率分布函数[1]是一个描述分子运动速率分布状态的函数。
一个符合玻尔兹曼分布的粒子体系，如理想气体，其体系中粒子运动速率的分布可以用如下的速率分布函数来描述：通常速率分布函数也采用依动量和依动能分布的形式，虽然形式上有所不同但因为动量动能和速率的相关关系，这些表达方式本质上和依速率表示的速率分布函数还是一样的在处理某些特殊体系的情况下可能会用到二维和一维的速率分布函数，如固体表面吸附的理想气体就可以看做是在二维平面上运动的一个二维独立粒子体系，当处理这个体系有关分子运动速率的问题的时候就要用到二维速率分布函数在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N .dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比：其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率.分布函数f(v)满足归一化条件：大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律.麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞.上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N .我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.。
麦克斯韦速率分布函数
当 x 很大时，可以 使用教科书 105 页给 出的渐近展开式进行 计算，但要注意式中 的 (x)1/2 有误，应该 改为1/2x后再计算。
七、在计算分子 通量的公式中应 用类比法的实例
类比法是一种在科学研究 中常用的逻辑推理方法。使 用类比法时，根据两类对象 之间在某些方面的相似或相 同，来推出它们在其他方面 也可能相似或相同。
由此可得：
vpf(vp)=41/2e1 =常量。
这是一条双曲线 的方程。
用麦克斯韦速率分 布函数的约化形式来 求速率分布曲线出现 极大值的点的轨迹， 似乎更简便。
x=v/vp， dx/dv=1/vp. f(v)=F(x)dx/dv
=F(x)/vp =41/2x2 exp(x2)/vp.
f(vp)=F(1)/vp =41/2e1/vp.
的函数，记为f(t)，即
f(t) = dS/dt.
(2)
这就是质点在运动中 所通过的路程对于时间 的分布函数，或者称为 时间分布函数； (2) 式 的图像就是时间分布曲 线。
f(t)表示在时间 t 附近的dt间 隔内，平均每单位时间间隔内 质点在运动中所通过的路程。 有时为了叙述的简便，在不致 引起误解的前提下，常常就说 f(t)表示在时间 t 附近的单位时 间间隔内质点在运动中所通过 的路程。
时间分布函数给出了质点 在运动过程中所通过的路程 对于时间的分布情况的具体 图像。由此可见，f(t)其实就 是质点运动在t时刻的瞬时速 率，因而 f(t)－t 这条时间分 布曲线正是力学中熟知的速 率－时间曲线。
通过以上的讨论可 以看出，热学中的速 率分布曲线与力学中 质点运动的速率－时 间曲线之间存在着颇 为相似的情况。
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
04麦克斯韦速率分布律-PPT文档资料
9
讨论： 1）vP与温度T的关系
f (v )
T1
2kT vp m
T2
T v p
T 2 T 1
曲线的峰值右移,由 于曲线下面积为1不变， 所以峰值降低。
o
v p1
v p2
v
f (v )
m2
2）vP与分子质量m的关系
m1
m m vp m 2 1
曲线的峰值左移,由 于曲线下面积为1不变， 所以峰值升高。
N dN Nf ( v ) dv 在 v v2区间内的分子数为 1
N v2 f (v) dv 在 v v2有限区间内的概率为 1 v 1 N v 2 v dN Nvf ( v ) dv 在 v v 区间内的总速率 1 2 v
v 1 v 1
v 2
v 2
1
4
N dN Nf ( v ) dv 在 v v2区间内的分子数为 1
1.将速率从 0 分割成很多相等的速率区间。 例如速率间隔取10m/s , 整个速率分为0—10；10—20；…等区间。 在 v v v 区间内的 分子数为 N 2.总分子数为N，
N/ N 在 v v v 区间内的概率为
2
在 v v v 区间内的 分子数为 N 2.总分子数为N，
0
vf(v)dv 平均速率： v vf(v)dv f(v)dv m e vdv 4 kT 2
0
8kT v m
0
3 /2
2 mv 2 kT 3
0
8 kT m
11
8 RT 8kT 上下同乘N 有： RT v v 1.59 A M mol M mol m
麦克斯韦速率分布律
理气
d(m )F (器 dt壁）
真实气体 d (m ) (F 器 壁 f 内 部 )d t 分 子
pi
β
a
修正为
RT
Pb Pi
由于分子之间存在引力 而造成对器壁压强减少 内压强 P i
基本完成了第二 步的修正
内压强 1) 与碰壁的分子数成正比 2) 与对碰壁分子有吸引力作用的分子数成正比
解： 已知 T27 K,3 p1.0at m 1.01 1350 P,a d3.51 0 1m 0
kT 2d 2 p
1 .4 1 3 .1 1 . 3 4 (3 .5 8 1 1 2 0 3 1 0 2 )0 1 7 .0 3 150 6 .9 1 8 0 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
例 计算在 27C时，氢气和氧气分子的方均
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
m ( H 2 ) m ( O 2 )
o
2000 v/ms1 vp(H 2)vp(O 2)
vp(H2) vp(O2)
麦克斯韦速度分布函数
麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数是一种物理学中使用最广泛的分布函数，它可以用来描述物体的速度分布特征。
简言之，麦克斯韦速度分布函数的作用就是根据不同的物理现象，建立并预测不同物体的速度分布。
它是一种用于描述物理现象的统计分布，比如分子运动、分子电极面等。
麦克斯韦速度分布函数可以用来研究各种相关的物理现象，比如汽油喷射压力，和半导体晶体管的量子效应，二者两者都受到该速度分布函数的影响。
此外，该分布函数也可以用来描述动力学系统中的分子碰撞，以及分子的可能传播速度。
麦克斯韦速度分布函数的数学表达式为：f(v)=4πv^3/Nexp(-v^2/2u^2)，其中N是正则化常数，v是分子速度的模，u^2是有序温度的两倍。
对于一个特定的温度T，其中的N(T)可以作为一个函数表示，可以表示为：N(T)=∫-∞∞ f(v) dv = (2πmkT/h^2)^(3/2)，其中m是分子的质量，k是Boltzmann常数，h是Planck常数。
通过分析麦克斯韦速度分布函数，它具有以下几个特点：第一，分布函数的最大值位于 v=0，其最大值为 4πN/N = 4π。
第二，分布在整个速度空间中是对称的，即 f(v)=f(-v)。
第三，当 v>0，速度分布函数从 0性增加，当 v=√2u，函数极值点出现，即 f(√2u)=4πu^3/N。
第四，当 v>√2u，函数开始下降，当 v→∞，函数最终收敛于 0 。
麦克斯韦速度分布函数在热力学中有着重要的作用，对于理解热力学系统中分子碰撞、热迁移，以及热力学平衡状态的形成，都有着重要的指导意义。
因此，麦克斯韦速度分布函数在描述和研究热力学系统中有着重要的作用。
麦克斯韦速度分布函数可以用于计算分子运动的各种参数，比如分子运动的温度、平均速度、偏度系数以及平均能量的计算等。
此外，它也可以用来研究分子运动的统计性质，因此能够更准确地描述和识别不同系统中分子运动的特征。
综上所述，麦克斯韦速度分布函数在物理学中具有重要的意义，它可以用来描述物理现象，可以计算分子运动的各种参数，也可以用来研究热力学系统的相关物理性质，从而更好地描述物质的热动力特性。
麦克斯韦速率分布函数
麦克斯韦速率分布函数
麦克斯韦速率分布函数（Maxwell speed distribution）是物理场论中用来描述微粒物质的一种速度分布。
它表示了物质在由统计力学所确定的不同速度级别上所占有的百分比。
它表明，物质以恒定的密度分布在越来越大的速度上，但其最高速度是有限的。
该分布首先由美国物理学家约翰·麦克斯韦提出，他认为这种物质的速度可以满足类似高斯分布的概率分布函数。
根据统计力学，该函数包含物质的速率，总能量和温度，可以描述它们在温度和速度方向上的随机运动。
麦克斯韦速率分布函数可以通过以下方程表示：
f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/2kT)。
其中，m为微粒的质量，v为微粒的速度，k是玻尔兹曼常数，T为微粒的温度。
因此根据该函数可以确定物质在温度和速度方向上的随机运动，以及物质以恒定的密度分布在不同速度上的分布情况。
7.4 麦克斯韦速率分布 玻尔兹曼分布.
相等的小区间，则分子速率在vp所在区间内的 几率最大。
由一级微商的特性可有:
f (v)
df v
dv
vv p
0
vp
2kT m
2RT M
v
O vp
信息学院 物理教研室
不同气体，在同一温度下的麦克斯韦速率 分布曲线。若气体分子的质量m1>m2 则:
f (v) O
m1 m2
2kT 2RT
m
3 2
e
mv 2 2 kT
v
2
Ndv 2kT
3、方均根速率
v 2 v 2 f (v)dv v 2 3kT 3RT
0
m
M
信息学院 物理教研室
最概然速率: v p 平均速率:
2kT m
2RT M
f (v)
v 8kT 8RT
m M
方均根速率:
0
1 2
mv
2
f
v
dv
表示:
分子平均平动动能 。
信息学院 物理教研室
例题:用总分子数N、气体分子速率v 和速率分
布函数f(v)表示下列各量:
(1)速率大于v0的分子数= (2)速率大于v0的那些分子的平均速率= (3)多次观察某一分子的速率，发现其速率
大于的v0几率
答案： Nf vdv、 v0
Hg
金属蒸汽 狭 缝
l
显 示
屏
信息学院 物理教研室
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
麦克斯韦速率分布律
0°C 时,氧气分子速率分布的粗略情况
100 1以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7 7~8 8~9 9以上
m/s
%
1.4
8.1
16. 5
21. 4
20. 6
15. 1
9.2
4.8
2.0
0.9
气体的速率从整体上看有统计规律性。
设速率 v v + dv 区间的分子数为dNv
vv f (v)dv N
v
N
例7 在Nf(v)~v曲线下的面积表示什么物理意义？ Nf(v)~v曲线下的面积为该速率区间内的分子数。
N f (v)
N f (v)
o v v dv
N f (v)dv dNv
v
v
o v v v
v v
v N f (v)dv N
vp
2
8.31 300 29 10 3
414
m/s
例5 试说明下列各式的物理意义。
(1)f (v)dv ,
(3
)v2 v1
f (v )dv ,
(2)Nf (v)dv ,
(
4
)v2 v1
Nf
(v )dv .
答：由速率分布函数可知 f (v) dNv Ndv
(1) f (v)dv dNv N
表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。
f (v) dNv Ndv
(2)Nf (v)dv dNv
表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。
(3
)v2 v1
f (v)dv
N N
表示在v1~v2速率区间内，分子出现的概率，或 在该速率区间内分子数占总分子数的百分数。
麦克斯韦速率分布
3/ 2 mv
2
e
2 kT
v , ( , n均匀）
2
2、分子在势场中，n不均匀，考虑空间分布：
dN ndV n0 e
p
kT
dxdydz
——在x，y，z处得体元dV中的分子数
在势场中，分子总是优先占据势能较低的状态。
N / N 0
0
100－200 200－300 300－400 400－500 500－600 600－700 700－800 800－900
1.4 8.1
16.5 21.4 20.6 15.1 9.2 4.8 2.0
N
Nv
ΔN－在v－v＋Δv区间内 的分子数 N－总分子数 Δv －速率区间
分布
2、公式推导：——流体静力学 h+dh h 今取一垂直于地面的气体圆 P+dP＝P’ 柱体。设地面处分子数密度 为 n 高度为h处的分子数密 0 为度 n P
dP gdh
nm
dP nmgdh —（1）
平衡时， P nkT
h+dh h
P+dP＝P’ P
T处处相等，
dP kT dn —（2）
0
m 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
v dv
3
__
v 4 2kT
3/ 2
mv
2
e
2 kT
k3dv R / N 0 v
mN0
8kT
m
8 RT 1.60 RT
麦克斯韦气体分子速率分布律
速率区间 （m/s）
100以下 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 600～700 700～800 800～900
900以上
分子数出现的概率 ΔN/N
0.014 0.081 0.165 0.214 0.206 0.151 0.092 0.048 0.020 0.009
25
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于 电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版。1871年受聘为剑桥 大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著 名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室 的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。
(v)dv
N
v1
N
表示在速率v1～v2速率区间内， 分子出现的概率。
(4)
v2
Nf (v)dv N
表示在速率v1 ～ v2速率区间内， 分子出现的个数。
v1
20
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
麦克斯韦速率分布律的实验 验证
麦克斯韦在 1860 年 从理论上预言了理想气 体的速率分布律。60 年 后，也就是 1920 年斯特 恩通过实验验证了这一 规律，后来密勒和库将 实验进一步完善。
ΔN→0
v
N vdN
vf (v)dv
0N
0
14
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
2.平均速率 v
v 0 vf (v)dv
代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：
v 4
m
3
/
2
麦克斯韦速率分布定律ΔN
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2(> μ1) μ1
O
v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
例 氦气的速率分布曲线如图所示。
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况； (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。
解 (2) v p
2RT M
RT 2 103
1、速率分布函数 f(v)
设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
间内分子数的比率为
dN N
f
(v ) dv
f (v) dN Ndv
f(v)
称为速率分布函数
分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率
讨论 分子束中的速率分布和容器中的是否相同？
2、 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下，分子速率分布函数
df (v ) 0 dv vvp
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
2. 平均速率
v
v
dN N
1 N
0 v Nf (v
)dv
v
v f (v )dv
8kT 1.60
RT
0
π
M
3. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v
)dv
3kT
0
μ
说明
v 2 3kT 1.73 RT
分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
(7)曲线下面的总面积, 等
麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布律介绍麦克斯韦速率分布律是描述理想气体粒子速度分布的统计物理学定律。
它是由19世纪物理学家詹姆斯·麦克斯韦提出的，通过分析气体分子的碰撞和运动，揭示了粒子速度的分布规律。
麦克斯韦速率分布律在理解和研究气体的性质和行为方面起着重要作用。
物理背景在理想气体状态下，气体分子间无相互作用力，分子之间碰撞时可以视为弹性碰撞，满足动量守恒和能量守恒。
根据统计物理学的理论，在给定温度下，气体粒子的速度具有一定范围的分布。
麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数是描述理想气体速度分布的函数，可以用来计算在给定温度下不同速度范围内气体分子的数量。
麦克斯韦速率分布函数的形式为：[f(v)=4()^{3/2} v^2 e^{-}]其中，[f(v)]为速度为[v]的气体分子的数量，[m]为分子的质量，[k]为玻尔兹曼常数，[T]为气体的温度。
速度分布特点根据麦克斯韦速率分布律，气体分子的速度分布具有以下特点：1. 最概然速度最概然速度是指在给定温度下，气体粒子速度分布函数的峰值对应的速度值[v_p]。
最概然速度与温度无关，只取决于粒子的质量。
最概然速度可以通过对速度分布函数求导并令导数等于零来求得。
2. 平均速度平均速度是指在给定温度下，所有速度可能取值的加权平均值。
根据麦克斯韦速率分布律，平均速度与温度成正比，与粒子质量无关。
3. 方均根速度方均根速度是指在给定温度下，速度平方的平均值的开平方。
方均根速度与温度成正比，与粒子质量无关。
麦克斯韦速率分布律的应用麦克斯韦速率分布律在研究气体性质和行为时具有广泛的应用。
以下是一些麦克斯韦速率分布律的应用：1. 气体的热容根据麦克斯韦速率分布律可以计算出给定温度下气体分子的平均动能和热容。
热容是指单位物质在温度变化下吸收或释放的热量。
通过麦克斯韦速率分布律，我们可以计算气体的平均动能，并根据统计物理学的理论将其与热容联系起来。
2. 气体的扩散速率扩散是指气体中各个分子在温度梯度下的运动。
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说明
(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。
(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。
(3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。
2. 麦克斯韦速率分布曲线
·由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。
vp~vp+Δv 区间内的分子数与温度 T成反比( 设Δv 很小)
证 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有
f (v ) 4π ( )3/ 2 ev2 / 2kTv 2
2π kT
4 π
v p3ev 2
v /v
2 p
2
f (v p )
v v0 的分子数与总分子数的比率为
N N
v0a
v0
2 3v0
2 3
因此，v>v0 的分子数为 ( 2N/3 )
N 2 N 3
同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )
例 根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 (1) 。 v
解 根据平均值的定义，速率倒数的平均值为
(1)
v1
N
·曲线下面的总面积， 等于分布在整个速
f(v) T
率范围内所有各个
速率间隔中的分子
数与总分子数的比
率的总和
O
vp
v
( 速率分布曲线 )
f (v )dv 1 (归一化条件)
0
·最概然速率v p
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率
·不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系
f(v) T
·在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N
·在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
例如气体分子按速率的分布
速率
v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv
…
分子数按速率
的分布
ΔN1
ΔN2
…
ΔNi
…
分子数比率 按速率的分布 ΔN1/N
ΔN2/N
…
ΔNi/N
…
｛ ΔNi ｝就是分子数按速率的分布
二. 速率分布函数 f(v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
RT 2 103
1000 m/s
(v p )H2
RT 103
1.41103m/s
( v 2 )H2
3RT M
1.73103m/s
f (v)
He H2
O 1000
v (m/s)
例 有N 个粒子，其速率分布函数为
f (v)
av v0 0 v v0
a
v0 v 2v0
由于曲线下的面积不变,由此可见 ① μ 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, μ 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2(> μ1) μ1
O
v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
五. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率
0
v 2v0
求 (1) 作速率分布曲线并求常数 a
(2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数
解 (1) 由归一化条件得
f (v )
a
v0 av dv 2v0 adv 1
0 v0
v0
1v 2
0a
v0a
1
a 2 3v 0
O v0
2v 0 v
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以
1 f (v )dv
4π (
)3
/
2
e
2kT
v
2
vdv
v 0v
0 2π kT
4π (
)3/ 2 ( kT )
v
e 2kT
2
d(
v
2
)
2π kT
0
2kT
2 π μ 4 4
π kT 8kT π π v
例 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率
v
v
dN N
1 N
0 v Nf
(v )dN
v
v
f
(v )dN
8kT 1.59
RT
0
π
M
式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
k
R N0
8.31 6.022 1023
1.381023 J/K
思考：
v 2 vf
v1
(v )dv
是否表示在v1
~v2 区间内的平均速率
·讨论分子的平均平动动 O
vp v
v
能用 v 2
v2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p
例 氦气的速率分布曲线如图所示.
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
解 (2) v p
2RT M
通过改变角速度ω的大小，
选择速率v
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间
v
L 2
v
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率
下的分子数
四. 麦克斯韦速率分布定律
1. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数
f (v ) 4 ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT ( 麦克斯韦速率分布函数 )
2π kT
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
？
2. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v )dv
3kT
0
μ
3. 最概然速率
v2
3kT 1.73 RT
μ
M
df (v ) 0 dv v v p
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
说明 f(v)
(1) 一般三种速率用途各
不相同
T
·讨论速率分布一般用 v p ·讨论分子的碰撞次数用 v
间内分子数的比率为
dN N
f
(v ) dv
f(v) 称为速率分布函数
f (v) dN Ndv
意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总
分子数的比率。
三. 气体速率分布的实验测定
1. 实验装置 2. 测量原理
(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件
L v
v L