摩擦系数及其计算

达芬奇1508年提出假设，摩擦系数一般为0.25阿芒汤1699年，摩擦系数0.3比尤里芬格1730年，摩擦系数0.3库伦，十八世纪，确定压力对摩擦系数的影响，并求出几种材料配合的摩擦系数的不同数值。

俄国，科捷利尼科夫、彼得罗夫，十九世纪中叶，摩擦偶件的摩擦系数并非不变摩擦系数影响因素：1材料本性及摩擦表面是否有膜（润滑油、氧化物、污垢）2静止接触的延续时间3施加载荷的速度4摩擦组合件的刚度及弹性5滑动速度6摩擦组合件的温度状态7压力8物体的接触特性，表面尺寸，重叠系数9表面质量及粗糙度A Static Friction Model for Elastic—Plastic Contacting Rough Surfaces．形状误差对过盈联接摩擦力的影响分析及其修正摩擦分类：1动摩擦力，对应于很大的、不可逆的相对位移，相对位移大小与外施力无关。

2非全静摩擦力，对应于很小的、局部可逆的相对位移，位移大小与外施力成正比，称为初位移，微米级。

3全静摩擦力，对应于初位移的极限值，初位移转变成相对位移。

根据运动学特征划分滑动摩擦、旋转摩擦（变相的滑动摩擦）、滚动摩擦根据表面状态，是否润滑的特征1纯净摩擦，无吸附膜、氧化物等2干摩擦，表面间无润滑油、污垢等3边界摩擦，表面被一层润滑油分开，润滑油极薄（<0.1微米）4液体摩擦5半干摩擦6半液体摩擦静摩擦系数，克服两物体的接触耦合、使之摆脱静止状态所耗费的最大切向力对应接触物体所受压力载荷的比率。

滑动摩擦系数，克服两物体相对移动的阻力（超出初位移的范围以外）所耗费的切向力对应接触物体所受压力载荷的比率。

滚动阻力系数，···库伦方程，采用的滚动摩擦系数PT krT——滚动摩擦力，r——圆柱体的半径，P——接触物体所受压力接触面积、粗糙度、载荷的影响由于固体表面的粗糙度及波纹度，使得两个固体表面总是在个别的点上发生接触。

两个相互叠合的表面只是在其某些凸部发生接触，而这些凸部的总接触面积只占接触轮廓所限定的总表面面积的极小部分。

随着压力增大，接触面积增大。

凸部的直径几分之一微米至30~50微米（高度小于80微米）。

载荷增大，各点的直径增大，随后面积的增大主要是由于接触点数目的增多。

名义（几何）接触面积——由接触物体的外部尺寸描绘出来.轮廓接触面积——由物体的体积压皱所形成的面积；真实面积即轮廓接触面上；轮廓接触面积与压力载荷有关。

真实（物理）接触面积——物体接触的真实微小面积总和，也是压力载荷的函数，并且在名义面积尺寸的1/100 000至1/10的范围内变化，由接触表面的机械性能及粗糙度而定。

接触点的总数目及每一个接触点的尺寸随着载荷的增大而增大，但当载荷继续增大时，接触面积的增大主要是依靠接触点的数目的增加，尺寸几乎不再变化。

对于粗糙表面来说，需要耗费更大的力，使凸部变形，从而获得一定的接触面积；光滑表面，凸部变形不大时，就能获得很大的接触面积（试验知，光滑表面的接触点上的应力约为材料硬度的一半，粗糙表面的接触点应力为硬度的2-3倍）。

固体的接触有弹性-塑性的特性，当除去载荷时，大部分（30~70%）的接触点依靠凸部本身的弹性而消失。

由于表面粗糙度及波纹度的关系，各个凸部所受载荷不同：距离对偶表面较远的凸部所受载荷较小，反之，距离对偶表面较近的凸部所受载荷较大。

在球形及圆柱形绝对光滑表面接触的场合里，轮廓接触面积与真实接触面积重合，按照赫兹公式来确定。

在球面与平面接触的场合里，2321k S C r N =式中232212112112.6C E E μμ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭ μ——泊松系数，E ——弹性模量；在圆柱面与平面接触的场合里，12122k S C r N L =式中122212212111.6C E E μμ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭ L ——圆柱体的长度（cm ），r ——圆柱体的半径两个球面或者两个圆柱面的接触，C 的值将相应改变。

接触应力理论使得可以确定具有任何曲率的物体的接触面积，接触椭圆的半轴宽度有下列公式表示：a =b = 式中 ''112241111R R R R δ=+++；12122211283(1)(1)E E K E E μμ=-+-系数α及β根据引向接触点表面的切线所形成的角而定。

粗糙表面可以模拟成为具有不同高度的一组圆柱形棒的形式，棒按下降次序排列好，棒的顶点的几何位置即所谓的支撑表面曲线，即被平行于横坐标轴的直线截断的各个凸部的总宽度。

若认为第三个量度中所有凸部具有相同的截面轮廓，则lb S ϕ=，b ——被研究表面的宽度。

但若凸部具有球形，则单个接触面积相应的等于2l π∆。

若认为接触点具有相同的半径，则2S r n ϕπ=。

为得出真实面积，除总宽度外，必须有个别点的半径方面的数据， 2l S r l r r ϕππ⎛⎫== ⎪⎝⎭在第一种和第二种情况下，真实接触面积与互相接近程度成正比。

令()S x ϕϕ=，当0x =，()P x S ϕ=；当x h =，()0x ϕ=。

S P ——轮廓投影图的基础面积，称为计算接触面积，但x ——棒的高度，相对于经过最短的棒的零位截面而言的。

令棒上的单位载荷q 为绝度压缩（x-a ）的函数，即()q k x a =-式中，k ——凸部的压缩应力与绝对变形之间的比例系数，又称刚度系数。

压力总值，'()()ha N x k x a dx ϕ=--⎰ 显然，真实接触面积'()ha S x dx φϕ=⎰ 比率''()()()h a h a x dx S N x x a dxφϕϕ=-⎰⎰——对于计算摩擦系数很重要。

该比率可用借图解法得出，即将支撑表面曲线的横坐标除以限定在已知互相接近程度的相应横坐标与被其切断的支撑表面上部曲线之间的面积。

多数情况下，支撑表面曲线可以表示成直线的形式：'()x ϕγ=γ——支撑表面直线的倾角的正切，即光滑度正切。

由此可得，2()S N h a k φ=-，()S h a φγ-=，即S N φ=···（5） 这就是说，当表面光滑度及载荷增大以及表面刚度减小时，真实接触面积就增大。

刚度系数k 与接触点的半径有关，并且可以近似用布辛公式表示，适用于平物体变形的特殊情况。

平物体上，载荷均匀分布与半径为r 的段落上，22(1)E k r μ=-，μ——泊松系数 在不平度高度具有线性分配定律的两个粗糙表面的场合里面有：223S N k φθ=，···（7） 式中，1212k k k k k =+，θ与接触表面的粗糙度有关。

若表面凸部的排列是十分杂乱的，则公式（7）是正确的。

若表面凸部的排列不是十分杂乱的，则S φ的值比公式（7）给出的较大，接近于公式（5）的值。

接触处得平均真实单位压力与表面粗糙度有关。

在粗糙表面与光滑表面接触的场合里面：,cp q φ=在两个粗糙表面的场合里面：2323,cp k N q φθ=。

真实接触面积随着表面光滑度的提高而增大，在所有情况下与粗糙度无关，真实接触面积与载荷成正比，为0.6次幂，即比按理论确定的略低。

在混合弹性-塑性接触特性的场合里，当载荷足够大时，接触面积可以近似用下列公式表示：S A BN φ=+···（7a ）式中，A 与表面光滑度及刚度系数有关。

光滑度及刚度系数越大，A 值越大。

系数B 与材料对于塑性变形的阻力有关。

摩擦力就是在各个接触点产生的阻力的总和。

因为真实接触面积很小，所以甚至在载荷很小的时候，真实接触面积上也产生很大的单位压力。

在此压力的作用下，表面相互压入，并在相对移动时，互相压入额部分便被剪断。

此外，在表面相互压缩的部分上，产生分子吸引力。

显然，摩擦有下列两个因素决定：克服机械啮合；分子吸引力。

单位摩擦力用所谓摩擦的“单元”定律来表示，对于分子作用来说，这定律由杰利雅庚确定出来，可用下列公式表示：1011()m f A q q ταβ=+=+ (8)式中，A 0——分子附着力，即在接触处由分子吸引力决定的附加压力（kg/cm 2） q ——单位压力（kg/cm 2）f m ——分子粗糙度系数对于机械作用，我们提出了剪断切向力与单位压力的关系，用下列公式表示：222q ταβ=+ (9)式中α2——无压力时的剪断阻力，（kg/cm 2）β2——压力与剪断阻力间的比例系数。

沿各个微观面积把摩擦力相加，得到11112222()()T S q S q φφαβαβ=+++式中，S φ1——分子作用面积q 1 及q 2——真实单位压力S φ2——机械作用的相应面积在分子作用面积与机械作用面积之间的比率恒定的场合里，即12S nS φφ=，且21S S S φφφ=+则得到：()T S q S N φφαβαβ=+=+ (10)式中：121n n βββ+=+；121n n ααα+=+ 公式（10），是干摩擦及边界摩擦的综合定律。

这个摩擦力的公式使得摩擦系数的值（即摩擦力对法向压力的比率T/N ）与摩擦参数α及β（由摩擦偶件的机械特性及物理特性来确定的参数）区分开来。

摩擦系数的值由下列二项式确定：S f N φαβ=+ (11)其中第二项是不变的，即恒定的，第一项（对阿芒汤定律的修正）则与比率S φ/N 有关。

这个比率由接触物体的几何形状、波纹度、粗糙度、弹性来决定。

见公式（4）利用单元摩擦力的相加定律，我们得到：11112222()()T q S q S φφαβαβ∑=+++ (12)式中：12S S S φφφ=-；2211q S N S q φφ=-；1S l φγ=∆；γ——光滑度的正切。

将上式带入公式（11）得到：212S C f N Nφαβ=±++···（13） 式中：()()112112C l q γααββ=∆-+-⎡⎤⎣⎦常数C 考虑到分子作用，表面光滑度愈高，分子作用的效果就愈大。

用真实接触面积来表示摩擦系数实际上时不方便的，真实接触面积用其他参数来表示。

对塑性接触：T N S φσ=，σT ——屈服点。

在此情况下，摩擦系数的值仍只是常数，即遵从阿芒汤定律：T fN = 式中：Tf αβσ=+ 在弹性接触下，S φ比较复杂。

对于与平面接触的圆柱面来说，摩擦系数公式：1212C r Lf N αβ=+ (15)式中r ——圆柱体的半径（cm ），L ——圆柱体的长度（cm ）。

在两个粗糙表面接触的情况下，2313f k N θβ=+···（17） 当表面光滑度、凸部刚度增大以及载荷减小时，摩擦系数增大。