数学课件——高考 数列专题学习

专题数列

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在对口高考中，数列单元主要考查以下三种题型：第一，根据等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项之和公式、及其有关性质进行简单计算；第二，构造新的等差数列、等比数列，再应用数列知识有关解决问题；第三，熟练掌握等差数列、等比数列等实际应用题的解法。

【真题回访】

1、等差数列{a

n

}的前三项依次为a-2、a+1、2a+4，则这个数列的通项公式为(B)

A)a

n =3n-1 B) a

n

=3n+5 C) a

n

=3n+2 D) a

n

=3n-2

2、某医院用76.3万元购进一台医疗仪器。

(1)第1年的维修、保养等费用为l.38万元，以后每年比上一年增加0.22万元，求10年的维修保养总费用。

(2)第1年操作人员的工资费用为5万元，以后每年比上一年增长5％，求10年的工资费用总额。

(3)若用此仪器做检查的病人每年有2000人次，计划10年收回全部投资和费用(含购机成本、维修保养费、工资费用等)，则医院对病人每检查一次至少应收费多少元？

【解】(1)设第n年的维修、保养等费用为a

n 万元，则{ a

n

}是一个以l.38为首项，以0.22

为公差的等差数列，S

10

表示10年的维修保养总费用。

∴S

10=10⨯ l.38+

2

1

⨯10(10-1)⨯0.22=23.7

(2) 设第n年的工资费为b

n 万元，则{ b

n

}是一个以5为首项，以1.05为公比的等比数列，

T

10

表示10年的工资费用总额。

∴T

10=

05

.1

1

)

05

.1

1(510

-

-

≈63

(3)设医院对病人每检查一次收费x元，则有：

2000x⨯10≥10000(76.3+23.7+63) ∴x≥81.5

答：10年的维修保养总费用为23.7万元，工资费用总额为63万元，10年收回全部投资和费用医院对病人每检查一次至少应收费81.5元。

【仿真题型】

一、等差数列、等比数列的简单计算

【例1】在等差数列{a n }中，a 2=9，a 6=21，令b n =2n a ,若S n 表示数列{b n }前n 项之和，求n n

n n S 3213lim -++∞

→。 【解】⎩⎨⎧=+=+21591

1d a d a ∴⎩⎨⎧==361d a ∴ a n =3n+3 ∴ b n =2n a =233+n =64⨯81-n , S n =81)81(64--n =7

648764-⨯n ∴n n

n n S 3213lim -++∞→=7

648764382lim -⨯-⨯+∞→n n n n =327 【点评】等差数列的计算题最终都可以转化为首项a 1和公差d 来计算；等比数列的计算题最终都可以转化为首项a 1和公比q 来计算,我们把这种方法称为基本量纲法。在应用时注意以下三点：1、在应用等比数列前n 项和的公式时，要根据公比分情况讨论，而应用S n =a 1+a 1q+ a 1q 2+……求和问题就简化了；2、在解等差数列、等比数列的综合计算题时，要从等差数列、等比数列的不同角度设未知数，找准问题的切入点；3、有时应用等差数列、等比数列的性质计算可能更容易简化计算过程。

二、等差数列、等比数列的综合分析题

【例2】已知f(x+1)+f(x-1)=2x 2-8x+8, f(x+1)-f(x-1)=4x-8,且f(x-1), -2

1,f(x)是一个递增的等差数列{a n }的前三项。 (1)求{a n }的通项公式。

(2)求a 2+a 5+ a 8+……+ a 26的值。

【解】(1)⎩⎨⎧-=--++-=-++8

4)1()1(882)1()1(2x x f x f x x x f x f , ∴f(x-1)=x 2-6x+8

∴f(x)=x 2-4x+3

f(x-1),-

2

1,f(x)是一个递增的等差数列{a n }的前三项。 ∴( x 2-6x+8)+( x 2-4x+3)=2⨯(-21),∴x=3

∴ a 1= f(x-1)=x 2-6x+8=-1，公差d=

21 ∴ a n =21n-2

3 (2)原式=(a 1+d)+(a 1+4d)+(a 1+7d) +……+(a 1+25d)=9a 1+117d=

299 【例3】设二次方程0112=+-+x a x a n n (n +∈z )有两个根βα,，且6362=+-βαβα. 若321≠

a ，求证：数列}32{-n a 是等比数列； 当671=a 时，若}{n a 的前n 项之和为S n ，求)32(lim n S n n -+∞

→。 【解】（1）由题意可知：βα+=

n n a a 1+，βα=n a 1，又6362=+-βαβα ∴31211+=

+n n a a ，∴321-+n a =21(3

2-n a ), ∴数列}32{-n a 是以321-a 为首项，以2

1公比的等比数列。 （2）32-n a =21(21)1-n ,∴=n a (21)n +32 ∴)3

2(lim n S n n -

+∞→=1 【点评】在解决数列问题时，常要构造一个新的等差数列或等比数列，再利用有关数列知识解决问题。其中形如c ba a n n +=-1的数列，通常可变形为，)(1αα-=--n n a b a 的等比数列。

三、应用数列思想解决实际问题

【例4】某乡2008年人均年纯收入为3600元，人口5万人。为了加快社会主义新农村建设，该乡计划纯收入年增长率达10%，如果该乡人口平均每年增长1.2%。1）该乡从2008年起第n 年人均年收入为多少元？2）到哪一年该乡人均年收入才能达到小康社会的标准(农村居民人均年纯收入8000元)。

【解】1）设从今年2008年起第n 年人均纯收入为 a n 元。则有

a n =11%)

2.11(50000%)101(500003600--++⨯n n =1)012.11.1(3600-n =3600⨯1.08691-n 2）a n =3600⨯1.08691-n ≥8000 ∴n ≥11